1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 基础巩固 1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是() A.一次函数的图象都是上升的或下降的 B.对任意x∈R.x+10 C.任意自然数的平方必大于0 D.存在一个负数x,使2 答案：A 解析：只有A,C两个选项中的命题是全称量词命题，且A中命题显然为真命题因为0是自然 数，而02=0不大于0，所以C中命题为假命题. 3.下列命题是假命题的是( ) A对任意的实数a,b,都有a2+b2-2ab20 B.3r∈Zx2=2 C.二次函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点 D.偶数的平方还是偶数 答案B 解析：对于A,因为2+b2-2ab=(a-b)2≥0，故A为真命题：对于B,当x2=2时，x=士VZ为无理数，故 B为假命题；对于C,因为方程x2-ax-1=0的判别式△=2+4>0恒成立，所以函数y=x2-am-1的 图象与x轴恒有交点，故C为真命题；易知D为真命题 4.下列命题是真命题的是( A有一个实数x,使V:<0 B.存在一个不能被2整除的偶数 C.有些三角形是等边三角形 D.存在一个三角形，没有外接圆 答案C 5.下列命题是全称量词命题且为真命题的是( A.存在一个实数大于3 B.菱形的对角线不相等 C有些小数不是实数 D.圆是中心对称图形 答案：D 6.下列命题是存在量词命题且为假命题的是( A.存在两个全等三角形，它们的周长不相等
1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 基础巩固 1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是( ) A.一次函数的图象都是上升的或下降的 B.对任意 x∈R,x+10 C.任意自然数的平方必大于 0 D.存在一个负数 x,使 1 𝑥 >2 答案:A 解析:只有 A,C 两个选项中的命题是全称量词命题,且 A 中命题显然为真命题.因为 0 是自然 数,而 0 2=0 不大于 0,所以 C 中命题为假命题. 3.下列命题是假命题的是( ) A.对任意的实数 a,b,都有 a 2+b2 -2ab≥0 B.∃x∈Z,x 2=2 C.二次函数 y=x2 -ax-1 的图象与 x 轴恒有交点 D.偶数的平方还是偶数 答案:B 解析:对于 A,因为 a 2+b2 -2ab=(a-b) 2≥0,故 A 为真命题;对于 B,当 x 2=2 时,x=±√2为无理数,故 B 为假命题;对于 C,因为方程 x 2 -ax-1=0 的判别式 Δ=a2+4>0 恒成立,所以函数 y=x2 -ax-1 的 图象与 x 轴恒有交点,故 C 为真命题;易知 D 为真命题. 4.下列命题是真命题的是( ) A.有一个实数 x,使√𝑥<0 B.存在一个不能被 2 整除的偶数 C.有些三角形是等边三角形 D.存在一个三角形,没有外接圆 答案:C 5.下列命题是全称量词命题且为真命题的是( ) A.存在一个实数大于 3 B.菱形的对角线不相等 C.有些小数不是实数 D.圆是中心对称图形 答案:D 6.下列命题是存在量词命题且为假命题的是( ) A.存在两个全等三角形,它们的周长不相等
B.所有的三角形都不是钝角三角形 C.存在一个四边形.其四个顶点不共圆 D.3m∈R,使方程nx2+r+1=0无实根 答案：A 7.若命题“二次函数y=(a-1)2+x1的图象开口向上”是真命题，则a的取值范围是( Aal 答案D 8.给出下列说法：①有些不相似的三角形的面积相等，是真命题，②3a∈R,b∈R,使函数y=r+b 的图象经过第一、第二、第三象限，是假命题：③正数的平方根不等于0，是真命题：④对任意 的两个非空集合，A∩B≠知，是假命题其中正确说法的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 9.已知命题p:3x∈R-x2+1>a,若p是真命题，则实数a的取值范围是() Aa-1 答案：A 解析：因为x∈R 所以-x2+1的最大值为1. 所以a的取值范围是a0成立，求实数m的取值范围. 解：不等式m-y>0可化为m>y,若至少存在一个实数x,使不等式m>y成立，只需m>mim.因为 y=x2-2x+5=(x-1)2+4,所以mn=4,所以m>4.所以实数m的取值范围是m>4. 拓展提高 1.下列命题中的真命题是( A.Vx∈R.x2+2x+1>0 B.x∈Rx2+1>0 C.3r∈N,2x2-7 D.3x∈R.x2.10,则0满足关于x的方程ax=b的充要条件是() A3r∈R2ar2-b2ax6-bxo B.3xER.jax2-bxs-axg-bxo C.VxER.jar-bxzjax-bxo
B.所有的三角形都不是钝角三角形 C.存在一个四边形,其四个顶点不共圆 D.∃m∈R,使方程 mx2+mx+1=0 无实根 答案:A 7.若命题“二次函数 y=(a-1)x 2+x-1 的图象开口向上”是真命题,则 a 的取值范围是( ) A.a1 答案:D 8.给出下列说法:①有些不相似的三角形的面积相等,是真命题;②∃a∈R,b∈R,使函数 y=ax+b 的图象经过第一、第二、第三象限,是假命题;③正数的平方根不等于 0,是真命题;④对任意 的两个非空集合,A∩B≠⌀,是假命题.其中正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 9.已知命题 p:∃x∈R,-x 2+1>a,若 p 是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a-1 答案:A 解析:因为 x∈R, 所以-x 2+1 的最大值为 1. 所以 a 的取值范围是 a0 成立,求实数 m 的取值范围. 解:不等式 m-y>0 可化为 m>y,若至少存在一个实数 x,使不等式 m>y 成立,只需 m>ymin.因为 y=x2 -2x+5=(x-1)2+4,所以 ymin=4,所以 m>4.所以实数 m 的取值范围是 m>4. 拓展提高 1.下列命题中的真命题是( ) A.∀x∈R,x 2+2x+1>0 B.∀x∈R,x 2+1>0 C.∃x∈N,2x 2=7 D.∃x∈R,x 2 -10,则“x0 满足关于 x 的方程 ax=b”的充要条件是( ) A.∃x∈R, 1 2 ax2 -bx≥ 1 2 𝑎𝑥0 2 -bx0 B.∃x∈R, 1 2 ax2 -bx≤ 1 2 𝑎𝑥0 2 -bx0 C.∀x∈R, 1 2 ax2 -bx≥ 1 2 𝑎𝑥0 2 -bx0
D.Vx∈Rir2-bxs]ax8-bo 答案C 解析由于a0令禹载)如哈会故此画数图象的开口向上，且当之时取得最小 值号而0满足关于x的方程am-b,那么台故vx∈Rrb加时a好-bm故选C 3.已知函数y=x2+br+c,则“c0,4c<b2.所以当c<0时， 一定有4c<b2,即30∈R,使x行+bx0+c<0.反之，只要4c<b2,则o∈R,使x行+b0+c<0,不一定有 c<0. 故选A 4.若Vx∈{x-1sx1},x+1≤m”是真命题，求实数m的最小值 解：由已知得m2x+1)ma 因为-1s≤1 所以(x+1)max=2. 所以m心2，所以m的最小值为2. 5.函数y=x2+x1的图象和x轴恒有公共点，求实数m的取值范围 解：当m=0时，函数y=x-1的图象与x轴有交点.当m时0时，由已知得函数y=m2+x-1对应方 程的判别式△=l+4m≥0，得m心子且m0.综上所述，m的取值范国是m心子 挑战创新 己知命题3x∈{x-3s2;,3a+x-2=0”为真命题，求实数a的取值范围 解由3a+x-2-0,得3-2=x-352,-2-3,∴-23a-23,即0s写 故实数a的取值范国是0sa
D.∀x∈R, 1 2 ax2 -bx≤ 1 2 𝑎𝑥0 2 -bx0 答案:C 解析:由于 a>0,令函数 y= 1 2 ax2 -bx=1 2 a(x- 𝑏 𝑎 ) 2 - 𝑏 2 2𝑎 ,故此函数图象的开口向上,且当 x= 𝑏 𝑎 时,取得最小 值- 𝑏 2 2𝑎 ,而 x0 满足关于 x 的方程 ax=b,那么 x0= 𝑏 𝑎 ,故∀x∈R, 1 2 ax2 -bx≥ 1 2 𝑎𝑥0 2 -bx0.故选 C. 3.已知函数 y=x2+bx+c,则“c0,4c<b2 .所以当 c<0 时, 一定有 4c<b2 ,即∃x0∈R,使𝑥0 2+bx0+c<0.反之,只要 4c<b2 ,则∃x0∈R,使𝑥0 2+bx0+c<0,不一定有 c<0. 故选 A. 4.若“∀x∈{x|-1≤x≤1},x+1≤m”是真命题,求实数 m 的最小值. 解:由已知得 m≥(x+1)max. 因为-1≤x≤1, 所以(x+1)max=2. 所以 m≥2,所以 m 的最小值为 2. 5.函数 y=mx2+x-1 的图象和 x 轴恒有公共点,求实数 m 的取值范围. 解:当 m=0 时,函数 y=x-1 的图象与 x 轴有交点.当 m≠0 时,由已知得函数 y=mx2+x-1 对应方 程的判别式 Δ=1+4m≥0,得 m≥- 1 4 ,且 m≠0.综上所述,m 的取值范围是 m≥- 1 4 . 挑战创新 已知命题“∃x∈{x|-3≤x≤2},3a+x-2=0”为真命题,求实数 a 的取值范围. 解:由 3a+x-2=0,得 3a-2=-x.∵-3≤x≤2,∴-2≤-x≤3,∴-2≤3a-2≤3,即 0≤a≤ 5 3 . 故实数 a 的取值范围是 0≤a≤ 5 3