第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.1指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 课前·基础认知 一、整数指数幂 一a,而(a)2无意义. 【问题思考】 2.填空:(1)一般地,给定大于1的正整数n和实数a, 1.(1)“3×3×3×3”用幂的形式可表示为什么? 如果存在实数x,使得x“=a,则x称为a的n次方根. a·a·…·g如何表示? (2)当a有意义的时候,迈称为根式,n称为根指数,@ 个 学是香等于3 称为被开方数。 (3)一般地,根式具有以下性质: 提示(1)3,a" ①(a)=a. 33 (2)3=3-2=3. ②当n为奇数时,a”=a;当n为偶数时,a=la 3.开方运算和乘方运算是什么关系? 2.填空:(1)正整数指数幂 提示互逆的运算 a”=a·a·…·g,a”叫做a的n次幂,a叫做幂的底 4.若式子a(n>1,且n∈N+)有意义,则a的取值范 数,n叫做幂的指数,并规定a=a. 围如何? (2)零指数幂与负整数指数幂 提示当n为奇数时,a∈R: 规定:a°=1(a≠0), 当n为偶数时,a∈[0,十∞). a= 。(a0,n∈N) 5.(a)”与a有何区别? (3)整数指数幂的运算法则 提示(1)(版)”是实数a的n次方根的n次幂,其中 正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然 实数a的取值由n的奇偶决定,其算法是对a先开方,后乘 成立 方(都是n次),结果恒等于a ①aa"=a"t"(m,n∈Z): (2)a是实数a”的n次方根,是一个恒有意义的式子, ②(a")"=a(m,n∈Z); 不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法 ③(ab)"=a"b"(m∈Z). 是对a先乘方,再开方(都是n次),结果不一定等于a,当n为 3.a°=1对于任意a∈R成立吗? 提示不都成立,当a=0时,a°无意义. 奇数时,面=a:当n为偶数时,Va=lal=a<0 4.做一做:下列各式错误的是() 6.做一做:下列说法正确的有 ,(填序号) A.(-a2b)2.(-ab2)3=-a7b8 ①一27=3:②16的4次方根是士2: B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3 ③81=±3:④√x+y)z=|x+yl C.(-a3)2.(-b2)3=ab6 答案②④ D.[-(a2)2.(-b2)3]2=a18b18 三、分数指数幂 答案C 【问题思考】 二、根式 1.(1)厅与a如何用幂的形式表示? 【问题思考】 1.(1)在实数范围内,x‘=16的解是什么? (2a子与a主一定相等吗? (2)(a)2与√a2一定相等吗? 提示(1)a=a,a=a是 提示(1)2和-2; (2)不一定 (2)当a≥0时,(a)=√a=a,当a<0时,a= 2.填空:(1)一般地,如果n是正整数,那么当a有意义
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.1 实数指数幂及其运算 课前·基础认知 一、整数指数幂 【问题思考】 1.(1)“3×3×3×3”用 幂 的 形 式 可 表 示 为 什 么? a·a·…·a n个 如何表示? (2) 33 32是否等于33-2? 提示 (1)34,an . (2) 33 32=33-2=3. 2.填空:(1)正整数指数幂 an =a·a·…·a n个 ,an 叫做a 的n 次幂,a 叫做幂的底 数,n叫做幂的指数,并规定a1=a. (2)零指数幂与负整数指数幂 规定:a0=1(a≠0), a-n = 1 an(a≠0,n∈N+ ). (3)整数指数幂的运算法则 正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然 成立. ①aman =am+n(m,n∈Z); ②(am )n =amn(m,n∈Z); ③(ab)m =ambm (m∈Z). 3.a0=1对于任意a∈R成立吗? 提示 不都成立,当a=0时,a0 无意义. 4.做一做:下列各式错误的是( ) A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8 B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3 C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6 D.[-(a3)2·(-b2)3]3=a18b18 答案 C 二、根式 【问题思考】 1.(1)在实数范围内,x4=16的解是什么? (2)(a)2 与 a2 一定相等吗? 提示 (1)2和-2; (2)当a≥0时,(a)2= a2 =a,当a1,且n∈N+ )有意义,则a 的取值范 围如何? 提示 当n为奇数时,a∈R; 当n为偶数时,a∈[0,+∞). 5.( na)n 与 n an 有何区别? 提示 (1)( na)n 是实数a 的n 次方根的n 次幂,其中 实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a 先开方,后乘 方(都是n次),结果恒等于a. (2) n an 是实数an 的n次方根,是一个恒有意义的式子, 不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法 是对a先乘方,再开方(都是n次),结果不一定等于a,当n为 奇数时, n an =a;当n为偶数时, n an =|a|= a,a≥0, -a,a<0. 6.做一做:下列说法正确的有 .(填序号) ① 3 -27=3;②16的4次方根是±2; ③ 481=±3;④ (x+y)2 =|x+y|. 答案 ②④ 三、分数指数幂 【问题思考】 1.(1) 3 a4 与 4 a3 如何用幂的形式表示? (2)a 2 4 与a 1 2 一定相等吗? 提示 (1) 3 a4 =a 4 3 , 4 a3 =a 3 4 . (2)不一定. 2.填空:(1)一般地,如果n是正整数,那么当 na有意义 1
数学 必修第二册 配人教B版 时,规定a-=返;当a没有意义时,称a产没有意义. (2)将 (a>0,b>0)化为分数指数幂的形式为 (2)对于一般的正分数只,也可作类似规定,即。- (版)m=a, 四、无理指数幂 (3)负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似,即若s 【问题思考】 是正分数a有意义且a≠0时,规定a=】 12严是一个确定的实数吗? 提示是 (4)一般情况下,当s与t都是有理数时,有运算法则: 2.填空:一般地,当a>0且t是无理数时,a‘都是一个 ①a'a'=at ②(a')'=a, 确定的实数,我们可以找出它的任意精度的近似值.因此,当 a>0,t为任意实数时,可以认为实数指数幂a都有意义. ③(ab)'=ab 3.对任意m∈R,是否有1“=1恒成立? 3.做一做:(1)a号(a>0)用根式的形式可表示为 提示是 课堂·重难突破 探究一 根式的化简与求值 3(6)(6>0. 【例1】化简: 分析先把根式化为分数指数幂,再利用运算性质求解 (1)1+2)3+√1-√2): 解)原式=√a·a=√a=a)立=a是 (2)a-a+T(a0:(2)a6(a>0:(3)a a.a 需化成假分数:(3)被开方数中不能含有分母:若使用 (a>0). √ab=√a·√B(a≥0,b≥0)化简时,被开方数若不是 乘积形式,则须先化成乘积形式。 a= 1 【变式训练1】求值:√3-2√反+(√-反) (2)a=a.ai=a (3)原式=a3a克.a立=a含=a品 解析√3-22+(√-2)=√W2-1)2+(1 探究三指数幂的运算 2)=2-1+1-√2=0. 答案0 【例3】对下列各式化简或求值: 探究二根式与分数指数幂的互化 (1(2a6)(-6a6)÷(-3ab: 2+y2-y 【例2】将下列根式化成分数指数幂的形式: (1)√aa(a>0):(2) 1 (x>0): V) 8g)”+01r+e9-3+器 2
数 学 必修 第二册 配人教B版 时,规定a 1 n = na;当 na没有意义时,称a 1 n 没有意义. (2)对于一般的正分数 m n ,也可作类似规定,即a m n = ( na)m = n am . (3)负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似,即若s 是正分数,as 有意义且a≠0时,规定a-s= 1 as. (4)一般情况下,当s与t都是有理数时,有运算法则: ①asat=as+t, ②(as)t=ast, ③(ab)s=asbs. 3.做一做:(1)a - 3 5 (a>0)用根式的形式可表示为 1 5 a3 . (2)将 4 b3 a2 (a>0,b>0)化为分数指数幂的形式为 b 3 4a - 1 2 . 四、无理指数幂 【问题思考】 1.22是一个确定的实数吗? 提示 是. 2.填空:一般地,当a>0且t是无理数时,at 都是一个 确定的实数,我们可以找出它的任意精度的近似值.因此,当 a>0,t为任意实数时,可以认为实数指数幂at 都有意义. 3.对任意m∈R,是否有1m =1恒成立? 提示 是. 课堂·重难突破 探究一 根式的化简与求值 【例1】化简: (1) 3 (1+ 2)3 + 4 (1- 2)4 ; (2) 6 4a2-4a+1a≤ 1 2 . 解 (1)原式=1+ 2+|1- 2|=1+ 2+ 2-1=22. (2)原式= 6 (2a-1)2 = 31-2a. 例1(2)变为 4 (4a2-4a+1)2 ,化简结果如何? 解 4 (4a2-4a+1)2 = 4 (2a-1)4 =|2a-1|= 2a-1,a≥ 1 2 , 1-2a,a0);(2) 1 3 x( 5 x2 )2 (x>0); (3) 4 b - 2 3 - 2 3 (b>0). 分析 先把根式化为分数指数幂,再利用运算性质求解. 解 (1)原式= a·a 1 2 = a 3 2 = a 3 2 1 2 =a 3 4 . (2)原式= 1 3 x· x 2 5 2 = 1 3 x·x 4 5 = 1 3 x 9 5 = 1 x 9 5 1 3 = 1 x 3 5 =x - 3 5 . (3)原式= b - 2 3 1 4 - 2 3 =b - 2 3× 1 4× - 2 3 =b 1 9 . 当所要化简的根式含有多重根号时,要搞清被开 方数,由里而外用分数指数幂写出,然后用性质进行化 简.特别注意:分数指数幂和根式在化简结果中不能同 时存在. 【变式训练2】将下列根式与分数指数幂进行互化: (1)a - 3 4 (a>0);(2) 3 aa (a>0);(3) a3 a· 5 a4 (a>0). 解 (1)a - 3 4 = 1 4 a3 . (2) 3 aa =a 1 3 ·a 1 6 =a 1 2 . (3)原式=a3·a - 1 2 ·a - 4 5 =a 3- 1 2- 4 5 =a 17 10. 探究三 指数幂的运算 【例3】对下列各式化简或求值: (1)(2a 4 3b 1 4 )(-6a 1 2b 1 3 )÷(-3a 1 6b 1 6 ); (2) x-2+y -2 x - 2 3 +y - 2 3 - x-2-y -2 x - 2 3 -y - 2 3 ; (3)2 7 9 0.5 +0.1-2+ 2 10 27 - 2 3 -3π0+ 37 48 . 2
第四章指数函数、对数函数与幂函数 分析利用分数指数幂的运算法则进行化简、求值, 2原=a+6u-_a-y- 解(1)(2a6)(-6a6)÷(-3a6)=[2× a支+b a-b (-6÷(-3],情-+时-t=a6通 b章-(a±-b)=0. 02)+-y=x+y (3③原式=(2)+6)+(3+2)y-4×日× x+-y号+y月 6是=24+6克+5十2X6-3X6=21 红)-(y) =[x)-x.y+y)] x-y 易错辨析 [x+x号.y音+0y]=-2z音y量 因忽略隐含条件致误 (3)原-()+10+(》9-3+照-号 【典例】化简1-x)[x-1)(一x)]】 错解(1-x)[(x-1)2(-x)]=(1一x)(x 100+9 3=100. 3+ 1)-(-x)=-(-x) 飞反思感悟 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么? 利用分数指数暴的运算法则运算、化简时,应在 你如何改正?你如何防范? 准确应用运算法则的基础上,结合问题进行灵活运 提示本题在求解过程中,因为式子中含有(一工)立,所 算.另外,要注意完全平方公式及立方和(差)公式的 以易忽略一x≥0,即x≤0这个隐含条件. 运用, 正解由(一x)可知一x≥0,即x≤0,所以原式= 【变式训练3】计算下列各式: a)006-(←8)°+[(-2]+16m+ 1-x)1-x)1(-x)=(-x) 防范措施〉 1-0.01l: 在指数运算过程中,必须时刻注意题中隐含的一 些特殊条件,只有充分挖掘这些隐含条件,才能保证解 (2)a6 -a+b-2a6是 题的正确性。 a主-b 【变式训练】化简(√x-7)2+(2-x)了= ®()+(6)+++x(- 3-2 解1)原式=0.4(-)-1十(-2)十2十 解析由题意知x一7>0,∴x≥7, ∴.原式=x-7+|2-x|=x-7+x-2=2x-9. 1+ 0.12x对=0.41-1+16+8 1143 答案2x-9 +10 80 课后 ·训练提升 基础·巩固 ()-j☒正璃:=(-(y<0 1.下列各式正确的是( ) 答案C A.(a)3=a B.(7)=-7 C.(a)5=lal D.Va=a 3.将(a+b产)表示成根式的形式是( 答案A A.a+6 B.(版+6)量 2.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( C.a+万 n+6 A.-匠=(-x)立(x≠0) 解析a=a,b÷=6(a+b)=a+6】 Bx=-折 答案C c(传)-j2wo, 4.如果x=1十2,y=1十2b,那么用x表示y等于() D.=y(y<0) 4+1 x-1 B.2+1 x c 3
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 分析 利用分数指数幂的运算法则进行化简、求值. 解 (1)(2a 4 3b 1 4 )(-6a 1 2b 1 3 )÷(-3a 1 6b 1 6 )=[2× (-6)÷(-3)]a 4 3+ 1 2- 1 6b 1 4+ 1 3- 1 6 =4a 5 3b 5 12. (2) x-2+y -2 x - 2 3 +y - 2 3 - x-2-y -2 x - 2 3 -y - 2 3 = (x - 2 3 )3+(y - 2 3 )3 x - 2 3 +y - 2 3 - (x - 2 3 )3-(y - 2 3 )3 x - 2 3 -y - 2 3 =[(x - 2 3 )2 -x - 2 3 ·y - 2 3 +(y - 2 3 )2]- [(x - 2 3 )2+x - 2 3 ·y - 2 3 +(y - 2 3 )2]=-2x - 2 3y - 2 3 . (3)原式 = 25 9 1 2 +102 + 64 27 - 2 3 -3+ 37 48 = 5 3 + 100+ 9 16 -3+ 37 48 =100. 利用分数指数幂的运算法则运算、化简时,应在 准确应用运算法则的基础上,结合问题进行灵活运 算.另外,要注意完全平方公式及立方和(差)公式的 运用. 【变式训练3】计算下列各式: (1)0.064 - 1 3 - - 7 8 0 + [(-2)3] - 4 3 +16-0.75 + |-0.01| 1 2 ; (2) a-b a 1 2 +b 1 2 - a+b-2a 1 2b 1 2 a 1 2 -b 1 2 ; (3)1 4 -2 + 1 66 - 1 3 + 3+ 2 3- 2 +4× - 6 2 3 . 解 (1)原 式 =0.4 3× - 1 3 -1+ (-2)-4 +2-3 + 0.1 2× 1 2 =0.4-1-1+ 1 16 + 1 8 + 1 10 = 143 80 . (2)原式= (a 1 2 +b 1 2 )(a 1 2 -b 1 2 ) a 1 2 +b 1 2 - (a 1 2 -b 1 2 )2 a 1 2 -b 1 2 =a 1 2 - b 1 2 -(a 1 2 -b 1 2 )=0. (3)原式=(2-2)-2+(6 - 3 2 ) - 1 3 +(3 1 2 +2 1 2 )2-4× 1 8 × 6 3 2 =24+6 1 2 +5+2×6 1 2 -3×6 1 2 =21. 易 错 辨 析 因忽略隐含条件致误 【典例】化简(1-x)[(x-1)-2(-x) 1 2 ] 1 2 . 错解 (1-x)[(x-1)-2(-x) 1 2 ] 1 2 =(1-x)(x- 1)-1(-x) 1 4 =-(-x) 1 4 . 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 本题在求解过程中,因为式子中含有(-x) 1 2 ,所 以易忽略-x≥0,即x≤0这个隐含条件. 正解 由(-x) 1 2 可知-x≥0,即x≤0,所以原式= (1-x)(1-x)-1(-x) 1 4 =(-x) 1 4 . 在指数运算过程中,必须时刻注意题中隐含的一 些特殊条件,只有充分挖掘这些隐含条件,才能保证解 题的正确性. 【变 式 训 练 】 化 简 ( x-7)2 + 4 (2-x)4 = . 解析 由题意知x-7≥0,∴x≥7. ∴原式=x-7+|2-x|=x-7+x-2=2x-9. 答案 2x-9 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列各式正确的是( ) A.( 3a)3=a B.( 47)4=-7 C.( 5a)5=|a| D. 6 a6 =a 答案 A 2.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( ) A.- x=(-x) - 1 2 (x≠0) B.x - 1 3 =- 3x C. x y - 3 4 = 4 y x 3 (xy≠0) D. 4 y 2 =y 1 2 (y<0) 解析 A:- x = -x 1 2 ;B:x - 1 3 = 1 3x ;C: x y - 3 4 = y x 3 4 = 4 y x 3 ,正确;D: 4 y 2 =(-y) 1 2 (y<0). 答案 C 3.将(a 1 n +b 1 n ) 1 3 表示成根式的形式是( ) A. 3 na+b B.( na+ nb) 1 3 C. 3na+ nb D. 3 a 1 3 +b 1 3 解析 ∵a 1 n = na,b 1 n = nb,∴(a 1 n +b 1 n ) 1 3 = 3na+ nb . 答案 C 4.如果x=1+2b,y=1+2-b,那么用x 表示y等于( ) A. x+1 x-1 B. x+1 x C. x-1 x+1 D. x x-1 3
数学必修 第二册 配人教B版 解析由x=1+2得2=x-1=1+2=1+ =a生÷a=ati=a寺 +马 拓展:提高 答案D 1.下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是() 5.当√2-x有意义时,化简√2-4x+4-V√2-6r十9 A.(-1)和(-1)是 B02和0 的结果是( C.2和4 D4和() A.2x-5 B.-2x-1 C.-1 D.5-2x 解析选项A中,(一1)宁和(一1)均符合分数指数幂的 解析,√2一x有意义, 定义,但(-1)=-=-1,(-1)=-=1,故 2-x≥0,即x≤2. A不满足题意:选项B中,0的负分数指数幂没有意义,故 √x2-4x+4-√x2-6x+9=√x-2) √/x-3)=|x-2|-|x-3|=2-x-(3-x)=2-x- B不两是题意:选预D中4不(份》厂虽特合分数指载 3十x=-1. 幂的定义,但值不相等,故D不满足题意:选项C中,2产= 答案C 2,4京=2=2主=2,满足题意,故选C 6.已知3=2,3=5,则32-= 答案C 解析30=3之-3)2 2.已知n∈N,n>1,那么(-5)西等于() 36 30 =20. A.5 B.-5 5 C.-5或5 D.不能确定 答案20 解析,n∈N,n>l, 7.-6)F+(5-4)+5-4)3= ∴.2n为偶数, 解析:-6)=-6,√W5-4)=5-4=4-5, ./-5)=5=5. 答案A 5-4)3=5-4, .原式=-6十4-5+5-4=-6. 3.设a主-a生=m,则+1-( a 答案-6 A.m2-2 B.2-m2 8.若r>0,则(2+3)(2÷-3)-4z生.工-x)= C.m2+2 D.m2 解析将a主-a生=m平方得(a幸-a主)=m,即a 解析原式=4x立-3-4立+4=一23. 2+a1=m2,所以a+a1=m2+2,即a十日=m2+2 答案一23 a2+1=m2+2 a 9.求值:12-1+(得)+), 答案C (20.027-(←-8)+256-3+(g)月 4已知a=3,则1 +2 ,,寸十,÷1+专1十a的值为 解-1+()+()=1++=2 1 4 20.027片-(←若)'+2568-3+(日)°- 解析1 2 4 9-36+64-号+1=2 +2 (1t(-aaa = 10.化简NaV÷aa÷Wa示 2 4 解原式=0。。。÷。。 4 4 -a÷√a÷3a可 1-ai)1+a1+a =a音÷a)量÷a =ai÷a:ai-a子÷a 答案一1 4
数 学 必修 第二册 配人教B版 解析 由x=1+2b 得2b =x-1,y=1+2-b =1+ 1 2b = 1+ 1 x-1 = x x-1 . 答案 D 5.当 2-x 有意义时,化简 x2-4x+4- x2-6x+9 的结果是( ) A.2x-5 B.-2x-1 C.-1 D.5-2x 解析 ∵ 2-x有意义, ∴2-x≥0,即x≤2. x2-4x+4 - x2-6x+9 = (x-2)2 - (x-3)2 =|x-2|-|x-3|=2-x-(3-x)=2-x- 3+x=-1. 答案 C 6.已知3a =2,3b= 1 5 ,则32a-b= . 解析 32a-b= 32a 3b = (3a)2 3b = 22 1 5 =20. 答案 20 7. 3 (-6)3 + 4 (5-4)4 + 3 (5-4)3 = . 解析 ∵ 3 (-6)3 =-6, 4 (5-4)4 =|5-4|=4- 5, 3 (5-4)3 = 5-4, ∴原式=-6+4- 5+ 5-4=-6. 答案 -6 8.若x>0,则(2x 1 4 +3 3 2 )2x 1 4 -3 3 2 -4x - 1 2 ·(x-x 1 2 )= . 解析 原式=4x 1 2 -33-4x 1 2 +4=-23. 答案 -23 9.求值:(1)(2-1)0+ 16 9 - 1 2 +(8) - 4 3 ; (2)0.027 - 1 3 - - 1 6 -2 +2560.75- 1 3 + 1 9 0 . 解 (1)(2-1)0+ 16 9 - 1 2 +(8) - 4 3 =1+ 3 4 + 1 4 =2. (2)0.027 - 1 3 - - 1 6 -2 +2560.75 - 1 3 + 1 9 0 = 10 3 -36+64- 1 3 +1=32. 10.化简: 3 a 7 2 a-3 ÷ 3 a-8 3 a15 ÷ 3 a-3 a-1 . 解 原式= 3 a 7 2a - 3 2 ÷ a - 8 3a 15 3 ÷ 3 a - 3 2a - 1 2 = 3 a2 ÷ a 7 3 ÷ 3 a-2 =a 2 3 ÷(a 7 3 ) 1 2 ÷(a-2) 1 3 =a 2 3 ÷a 7 6 ÷a - 2 3 =a 2 3- 7 6 ÷a - 2 3 =a - 1 2 ÷a - 2 3 =a - 1 2+ 2 3 =a 1 6 . 拓展 提高 1.下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( ) A.(-1) 1 3 和(-1) 2 6 B.0-2 和0 1 2 C.2 1 2 和4 1 4 D.4 - 3 2 和 1 2 -3 解析 选项 A中,(-1) 1 3 和(-1) 2 6 均符合分数指数幂的 定义,但(-1) 1 3 = 3 -1=-1,(-1) 2 6 = 6 (-1)2 =1,故 A不满足题意;选项B中,0的负分数指数幂没有意义,故 B不满足题意;选项D中,4 - 3 2 和 1 2 -3 虽符合分数指数 幂的定义,但值不相等,故D不满足题意;选项C中,2 1 2 = 2,4 1 4 = 4 22 =2 1 2 = 2,满足题意,故选C. 答案 C 2.已知n∈N,n>1,那么 2n (-5)2n 等于( ) A.5 B.-5 C.-5或5 D.不能确定 解析 ∵n∈N,n>1, ∴2n为偶数, ∴ 2n (-5)2n = 2n 52n =5. 答案 A 3.设a 1 2 -a - 1 2 =m,则 a2+1 a =( ) A.m2-2 B.2-m2 C.m2+2 D.m2 解析 将a 1 2 -a - 1 2 =m 平方得(a 1 2 -a - 1 2 )2=m2,即a- 2+a-1=m2,所以a+a-1=m2+2,即a+ 1 a =m2+2⇒ a2+1 a =m2+2. 答案 C 4.已知a=3,则 1 1+a 1 4 + 1 1-a 1 4 + 2 1+a 1 2 + 4 1+a 的值为 . 解析 1 1+a 1 4 + 1 1-a 1 4 + 2 1+a 1 2 + 4 1+a = 2 (1+a 1 4 )(1-a 1 4 ) + 2 1+a 1 2 + 4 1+a = 2 1-a 1 2 + 2 1+a 1 2 + 4 1+a = 4 (1-a 1 2 )(1+a 1 2 ) + 4 1+a = 4 1-a + 4 1+a = 8 1-a2=-1. 答案 -1 4
第四章指数函数、对数函数与幂函数 5.设a2=b=m(a>0.b>0),且a十b=6,则m= 因为上++=1,所以++=1, 解析a2=b=m(a>0,b>0). xy y z a=m兰,h=m,a=b. 即ax2+by2+cz2=t. 由a十b=6,得b2+b-6=0, 所以0ar+n2+),=-(侵+号+)- 解得b=2或b=-3(舍去). m=2,m=2=16. ary+y+e-a+6i+ 答案16 挑战·创新 6.已知a,b是方程x2-6x十4=0的两实数根,且a>b>0, 求石一的值 计算:(1+点)(1+知)(1+)(1+)(1+)(1+2) a+/b 解ab是方程2-6缸十4=0的两实教根,:十6=6, 解原式=(1+定)(1+)(1+)(1+六)(1+ ab=4. a>b>0,∴.a>万 )(1+2(1-2)×2 又6-6 =a十b-2√6_6-2A1 a+b+2va66+2F5' =(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)× a+6 :a-6 工_⑤ (1-)×2=(1+)(1+)(1+)(1+)(1- a+6 -√5=5 7.已知ar2=y2=c,且}+1 =1,求证:(ax2+ )×2=(1+)(1+)(1+0)(1-)×2 y by+c)=a+bici (1+)(1+)(1-)×2 证明令ax3=by3=cz3=t, =(1+a)(1-2a)×2=(1-a)×2=2-0 4.1.2指数函数的性质与图象 第1课时 指数函数的性质与图象 课前·基础认知 一、指数函数的概念 实数范围内函数值不存在;如果a=1,那么y=1Ψ=1,是一 【问题思考】 个常量,没有研究的必要性。 1.(1)细胞分裂时,经过一次分裂,一个细胞变为两个 为了避免上述各种情况出现,故规定a>0,a≠1. 细胞:经过两次分裂,变为四个细胞:经过三次分裂,变为八 5.指数函数解析式y=a(a>0,a≠1)有何结构 个细胞…若开始时只有一个细胞,经过x次分裂,细胞个 特征? 数为y,则x与y的关系式是怎样的? (2)y=x2和y=2都是指数函数吗? 提示(1)a的系数是1:(2)指数上只有自变量x: 提示(1)y=2,x∈N+.(2)y=2是指数函数. (3)底数a是大于0且不等于1的常数。 2.填空:一般地,函数y=a称为指数函数,其中a是 二、指数函数的图象和性质 常数,a>0且a≠1. 【问题思考】 3.指数函数y=a(a>0,a≠1)的定义域是什么? 1.怎样作出函数y=2的图象? 提示当a>0时,x是任意一个实数时,a2都是一个 提示描,点法 确定的实数,故函数的定义域为实数集R 4.为何规定底数a大于0且不等于1? 2函数y=a与y=((日)广(a>0.且a≠1)的图象有 提示如果a=0,当x>0时,a恒等于0,当x≤0时,a 何关系? 无意义如果a<0,例知y=(一,时于==了…在 提示关于y轴对称. 5
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 5.设a2=b4=m(a>0,b>0),且a+b=6,则m= . 解析 ∵a2=b4=m(a>0,b>0), ∴a=m 1 2 ,b=m 1 4 ,a=b2. 由a+b=6,得b2+b-6=0, 解得b=2或b=-3(舍去). ∴m 1 4 =2,m=24=16. 答案 16 6.已知a,b是方程x2-6x+4=0的两实数根,且a>b>0, 求 a- b a+ b 的值. 解 ∵a,b是方程x2-6x+4=0的两实数根,∴ a+b=6, ab=4. ∵a>b>0,∴ a> b. 又 a- b a+ b 2 = a+b-2 ab a+b+2 ab = 6-24 6+24 = 1 5 , ∴ a- b a+ b = 1 5 = 5 5 . 7.已知ax3=by 3=cz3,且 1 x + 1 y + 1 z =1,求证:(ax2+ by 2+cz2) 1 3 =a 1 3 +b 1 3 +c 1 3 . 证明 令ax3=by 3=cz3=t, 则ax2= t x ,by 2= t y ,cz2= t z . 因为 1 x + 1 y + 1 z =1,所以 t x + t y + t z =t, 即ax2+by 2+cz2=t. 所以(ax2+by 2+cz2) 1 3 =t 1 3 =t 1 3 1 x + 1 y + 1 z = (ax3) 1 3 x + (by 3) 1 3 y + (cz3) 1 3 z =a 1 3 +b 1 3 +c 1 3 . 挑战 创新 计算: 1+ 1 232 1+ 1 216 1+ 1 28 1+ 1 24 1+ 1 22 1+ 1 2 . 解 原式= 1+ 1 232 1+ 1 216 1+ 1 28 1+ 1 24 1+ 1 22 1+ 1 2 1- 1 2 ×2 = 1+ 1 232 1+ 1 216 1+ 1 28 1+ 1 24 1+ 1 22 × 1- 1 22 ×2= 1+ 1 232 1+ 1 216 1+ 1 28 1+ 1 24 1- 1 24 ×2= 1+ 1 232 1+ 1 216 1+ 1 28 1- 1 28 ×2 = 1+ 1 232 1+ 1 216 1- 1 216 ×2 = 1+ 1 232 1- 1 232 ×2= 1- 1 264 ×2=2- 1 263. 4.1.2 指数函数的性质与图象 第1课时 指数函数的性质与图象 课前·基础认知 一、指数函数的概念 【问题思考】 1.(1)细胞分裂时,经过一次分裂,一个细胞变为两个 细胞;经过两次分裂,变为四个细胞;经过三次分裂,变为八 个细胞……若开始时只有一个细胞,经过x 次分裂,细胞个 数为y,则x 与y的关系式是怎样的? (2)y=x2 和y=2x 都是指数函数吗? 提示 (1)y=2x,x∈N+ . (2)y=2x 是指数函数. 2.填空:一般地,函数y=ax 称为指数函数,其中a 是 常数,a>0且a≠1. 3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域是什么? 提示 当a>0时,x 是任意一个实数时,ax 都是一个 确定的实数,故函数的定义域为实数集R. 4.为何规定底数a大于0且不等于1? 提示 如果a=0,当x>0时,ax 恒等于0,当x≤0时,ax 无意义;如果a0,a≠1. 5.指数函数 解 析 式y=ax (a>0,a≠1)有 何 结 构 特征? 提示 (1)ax 的系数是1;(2)指数上只有自变量x; (3)底数a是大于0且不等于1的常数. 二、指数函数的图象和性质 【问题思考】 1.怎样作出函数y=2x 的图象? 提示 描点法. 2.函数y=ax 与y= 1 a x (a>0,且a≠1)的图象有 何关系? 提示 关于y轴对称. 5
数学 必修第二册 配人教B版 3.填表:指数函数的图象与性质 4做一做: 底数 a>1 00,a≠1)的图象过定点 y=a y=a 图象 (3)若函数g(x)=(2m一1)'是减函数,则实数m的 ----y=1 ---=1 取值范围是 0 0 答案(1)(-1,十∞) 定义域:R (2)(2,3) 值域:(0,+∞),即图象位于x轴上方 过定点(0,1),即x=0时,y=1 3(分 性质 在R上是增函数 在R上是减函数 当x>0时,y>1 当x>0时,01 既不是奇函数,也不是偶函数 课堂·重难突破 C.(-∞,-3)U(-3,0] 探究一指数型函数的定义域、值域 D.(-∞,-3)U(-3,1] 【例1】求下列函数的定义域和值域: (2)函数f(x)=(兮)广-1,x∈[-1,2]的值城为 0=2à,2y=个763y-(》广 分析根据函数解析式有意义可求定义域:由定义域确 解析(1)由题意得,十3>0 1-2≥0, 解得-30,且y≠1},所以y= ()广-1e[-82 2六的值战为{yly>0,且y≠1}. 通数)-(号)广-1[-1,的值线为[-吕可 (2)令1一2≥0,则21, x0,定义域为(一∞,0] 答案(1)A 2[8 2>0,∴.0≤1-2-4, 【例2】若曲线|y=2+1与直线y=b没有公共点, 求实数b的取值范围. 解由y=2+1得,y=2+1或y=-(2+1). 所以=(侵) 而y=2十1的图象与y=一(2十1)的图象关于x轴 的值域为(0,16]. 对称,y=2+1的图象是由y=2的图象向上平移1个单 反思感悟 位得到的,|y|=2十1的图象如图所示. 对于函数y=af(a>0,a≠1),其定义域是使 f(x)有意义的x的取值范围;求其值域时,分两步进 行:(1)由定义域求出u=f(x)的值域:(2)利用指数函 数y=a“的单调性求得原函数的值域。 的 【变式训练】1)函数f(x)=V-2+1 定义域为() A.(-3,0] 故当b∈[-1,1]时,直线y=b与曲线|y|=2+1无 B.(-3,1] 公共点 6
数 学 必修 第二册 配人教B版 3.填表:指数函数的图象与性质 底数 a>1 00时,y>1; 当x0时,01 既不是奇函数,也不是偶函数 4.做一做: (1)函数y=5x -1的值域为 ; (2)函数f(x)=ax-2+2(a>0,a≠1)的图象过定点 ; (3)若函数g(x)=(2m-1)x 是减函数,则实数m 的 取值范围是 . 答案 (1)(-1,+∞) (2)(2,3) (3)1 2 ,1 课堂·重难突破 探究一 指数型函数的定义域、值域 【例1】求下列函数的定义域和值域; (1)y=2 1 x-4;(2)y= 1-2x ;(3)y= 1 2 x 2-2x-3 . 分析 根据函数解析式有意义可求定义域;由定义域确 定值域. 解 (1)由x-4≠0,得x≠4.所以定义域为{x|x∈R, x≠4}.令 1 x-4 =t,则y=2t(t≠0). 因为这个函数的值域为{y|y>0,且y≠1},所以y= 2 1 x-4的值域为{y|y>0,且y≠1}. (2)令1-2x ≥0,则2x ≤1, ∴x≤0,∴定义域为(-∞,0]. ∵2x >0,∴0≤1-2x 0,a≠1),其定义域是使 f(x)有意义的x 的取值范围;求其值域时,分两步进 行:(1)由定义域求出u=f(x)的值域;(2)利用指数函 数y=au 的单调性求得原函数的值域. 【变式训练1】(1)函数f(x)= 1-2x + 1 x+3 的 定义域为( ) A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] (2)函数f(x)= 1 3 x -1,x∈[-1,2]的值域为 . 解析 (1)由题意得, 1-2x ≥0, x+3>0, 解得-3<x≤0.故选A. (2)∵x∈[-1,2], ∴ 1 3 x ∈ 1 9 ,3 , ∴ 1 3 x -1∈ - 8 9 ,2 . ∴函数f(x)= 1 3 x -1,x∈[-1,2]的值域为 - 8 9 ,2 . 答案 (1)A (2) - 8 9 ,2 探究二 指数函数的图象 【例2】若曲线|y|=2x +1与直线y=b没有公共点, 求实数b的取值范围. 解 由|y|=2x +1得,y=2x +1或y=-(2x +1). 而y=2x +1的图象与y=-(2x +1)的图象关于x 轴 对称,y=2x +1的图象是由y=2x 的图象向上平移1个单 位得到的,|y|=2x +1的图象如图所示. 故当b∈[-1,1]时,直线y=b与曲线|y|=2x +1无 公共点. 6
第四章指数函数、对数函数与幂函数 ①反思感悟 求解与函数图象有关的问题的策略: 的最大值比最小值大号,求a的值。 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1). 分析分a>l和01,则f(x)在区间[1,2]上单调递增,最 移、上下平移) 大值为a2,最小值为a. (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性. 【变式训练2】函数y=a-2a>0.a≠1)的图象可 a-a=号 解得a=号或a=0(含去》。 能是() (2)若01,则y=a-是R上的增函教,且过 由于函数f(x)=a「的底数未知,本题在求解时 (0,1-)点,01-日1时,f(x)为增函数, 当00,a≠1),x∈ 答案D [-1,1]的最大值. 解当a>1时,g(x)在区间[-1,1]上为增函数, 思想方法 g(x)mx=g(1)=a:当00,a≠1)在区间[1,2]上 课后·训练提升 1函数y=2尸-1的定义域.值域分别是( 3.函数f(x)=a-6的图象如图所示,其中a,b为常数,则 下列结论正确的是() A.R,(0,十∞) B.{xlx≠0},{yly>-1} C.{xlx≠0},{yly>-1,且y≠1》 D.{xlx≠0},{yly>-1,且y≠0} 解析要使y=2分-1有意义,只需二1有意义,即 x≠0. A.a>1,b1,b>0 若令u=二1-1- -,则可知u≠1,.y≠21一1=1 C.0a0 D.0a0-1=-1函数y=2宁-1的 解析由题图可得函数为减函数, ∴.0-1,且y≠1}. 又图象是由y=a'的图象向左平移所得, 答案C ∴.-b>0,b0,且a≠1 4.函数y=√2一1的定义域是() B.a>2 A.(-∞,0) B.(-,0] C.a<2 C.[0,十∞) D.(0,十∞) D.1<a<2 解析由2-1≥0,得2≥1=2°,故x≥0. 答案D 答案C
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 求解与函数图象有关的问题的策略: (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1). (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平 移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性. 【变式训练2】函数y=ax - 1 a (a>0,a≠1)的图象可 能是( ) 解析 若a>1,则y=ax - 1 a 是 R上的增函数,且过 0,1- 1 a 点,00,a≠1)在区间[1,2]上 的最大值比最小值大 a 2 ,求a的值. 分析 分a>1和01,则f(x)在区间[1,2]上单调递增,最 大值为a2,最小值为a. ∴a2-a= a 2 , 解得a= 3 2 或a=0(舍去). (2)若01时,f(x)为增函数, 当00,a≠1),x∈ [-1,1]的最大值. 解 当a>1时,g(x)在区间[-1,1]上为增函数, g(x)max=g(1)=a;当0-1} C.{x|x≠0},{y|y>-1,且y≠1} D.{x|x≠0},{y|y>-1,且y≠0} 解析 要使y=2 x-1 x -1 有意义,只需 x-1 x 有意义,即 x≠0. 若令u= x-1 x =1- 1 x ,则可知u≠1,∴y≠21-1=1. 又y=2 x-1 x -1>0-1=-1,∴函数y=2 x-1 x -1的 定义域为{x|x≠0},值域为{y|y>-1,且y≠1}. 答案 C 2.若函数y=(a-1)x 在R上为减函数,则a的取值范围是 ( ) A.a>0,且a≠1 B.a>2 C.a1,b1,b>0 C.00 D.00,b<0.故选D. 答案 D 4.函数y= 2x -1的定义域是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.(0,+∞) 解析 由2x -1≥0,得2x ≥1=20,故x≥0. 答案 C 7
数学 必修 第二册 配人教B版 5.函数f(x)=π与g(x)= ()广的图象关于( A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=一x对称 (2②)1)知画数为fx)=(号)(x≥0,由x≥ 解析设点(x,y)为函数f(x)=的图象上任意一点, 0,得x-1≥-1. 到点(一)为gu)==(月)广的图象上的点。 于是3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过定点 范围。 的坐标是 解析a>3,a-2>1. 解(1)f(x) (号广-1≥0 令2x十6=0,得x=-3, 3-1,x0,且a≠1 9 (1)求a的值; 则f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, (2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域. 故当t=3,即x=1时,f(x)取得最大值12: 解(①)因为画数图象经过点2,》,所以。=则 当t=9,即x=2时,f(x)取得最小值-24, 第2课时 指数函数及其性质的应用 课前·基础认知 指数函数的图象与性质 续表 【问题思考】 一般形式 y=a(a>0,且a≠1) L填表: 定义域 R 一般形式 y=a(a>0,且a≠1) 值域 (0,+o∞) 过定点 (0,1) '=a(a>1) y=*0<a<1) 图象 单调性 在区间(一∞,十∞)内 在区间(一∞,十∞)内 是增函数 是减函数 6
数 学 必修 第二册 配人教B版 5.函数f(x)=πx 与g(x)= 1 π x 的图象关于( ) A.原点对称 B.x 轴对称 C.y轴对称 D.直线y=-x 对称 解析 设点(x,y)为函数f(x)=πx 的图象上任意一点, 则点(-x,y)为g(x)=π-x = 1 π x 的图象上的点. 因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数 f(x)=πx 与g(x)= 1 π x 的图象关于y轴对称. 答案 C 6.若a>3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过定点 的坐标是 . 解析 ∵a>3,∴a-2>1. 令2x+6=0,得x=-3, 则f(-3)=4(a-2)0-1=3. 故函数f(x)恒过定点的坐标是(-3,3). 答案 (-3,3) 7.函数y= 16-4x 的定义域为 . 解析 由16-4x ≥0,得4x ≤16=42,故x≤2. 答案 (-∞,2] 8.函数g(x)=3x-3(10,且a≠1. (1)求a的值; (2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域. 解 (1)因为函数图象经过点 2, 1 2 ,所以a2-1= 1 2 ,则 a= 1 2 . (2)由(1)知函数为f(x)= 1 2 x-1 (x≥0),由x≥ 0,得x-1≥-1. 于是00,且a≠1) 图 象 续 表 一般形式 y=a x (a>0,且a≠1) 定义域 R 值 域 (0,+∞) 过定点 (0,1) 单调性 在区间(-∞,+∞)内 是增函数 在区间(-∞,+∞)内 是减函数 8
第四章指数函数、对数函数与幂函数 续表 2.做一做:(1)若函数f(x)=a(a>0,且a≠1)在区间 一般形式 y=a'(a>0,且a≠1) [1,3]上是减函数,则实数a的取值范围是」 若x>0,则y=a>1:若x>0,则0 a1 补充性质 在y轴右侧时,底数越大,图象越靠上 课堂 重难突破 ①反思感悟 探究一 比较两个数的大小 比较暴的大小的方法: (1)对于底数相同但指数不同的两个暴的大小的 【例1】比较下列各组数的大小: 比较,可以利用指数函数的单调性来判断 (1)1.525和1.52: (2)对于底数不同,指数相同的两个暴的大小比 @(停》和()》, 较,可利用指数函数的图象的变化规律来判断。 (3)对于底数不同,指数也不同的暴的大小的比 (3)1.702和0.921; 较,则应通过中间值来比较 w(号)“和() 【变式训练1】已知a=0.8a7,b=0.8a.9,c=1.2a8,则 分析根据函数的单调性比较大小,或结合函数图象比 a,b,c的大小关系是( 较大小,或借助中间量比较大小 A.a>b>c B.b>a>c 解(1)1.525,1.5a2可看做函数y=1.5的两个函 C.c>b>a D.c>a>b 数值, 解析考查函数y=0.8, 因为底数1.5>1, 01,函数y=1.2在R上是增函数. 0.8>0,∴1.2a8>1. (2)因为01.7°=1,0.9210,且a≠1,解关于x的不等式a-r> 0.9°=1,故1.702>0.921 (4)作出指数函教y=(号)广与y=()广的图象,如 解当a>1时,函数y=a'(a>l)为R上的增函数, 图所示。 a>g,-3z>x+1,解得xa1, -3x-1 4 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为(一∞, 当x=-05时,由图象观察可得(号)>→(任) ),当0心a0,且a≠1,试比较a2-2+2与a-2的大小 利用指数函数的单调性解不等式需将不等式两边 解,m2-2m十2=(m-1)2+1≥1>-2, 凑成底数相同的指数式并判断底数与1的大小关系, 当a>1时,a2-2m+2>a2; 当a>1时,af>ao→f(x)>g(x):当0am→f(x)<g(x). 9
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 续 表 一般形式 y=a x (a>0,且a≠1) 函数值变 化情况 若x>0,则y=a x >1; 若x0,则 01 补充性质 在y轴右侧时,底数越大,图象越靠上 2.做一做:(1)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间 [1,3]上是减函数,则实数a的取值范围是 . (2)比较大小:0.20.3 0.29. 答案 (1)(0,1) (2)> 课堂·重难突破 探究一 比较两个数的大小 【例1】比较下列各组数的大小: (1)1.52.5 和1.53.2; (2)5 7 -1.8 和 5 7 -2.5 ; (3)1.70.2 和0.92.1; (4)2 3 -0.5 和 3 4 -0.5 . 分析 根据函数的单调性比较大小,或结合函数图象比 较大小,或借助中间量比较大小. 解 (1)1.52.5,1.53.2 可看做函数y=1.5x 的两个函 数值, 因为底数1.5>1, 所以函数y=1.5x 在R上是增函数, 因为2.5-2.5,所以 5 7 -1.8 1.70 =1,0.92.1 0.92.1. (4)作出指数函数y= 2 3 x 与y= 3 4 x 的图象,如 图所示. 当x=-0.5时,由图象观察可得 2 3 -0.5 > 3 4 -0.5 . 已知a>0,且a≠1,试比较am 2-2m+2 与a-2 的大小. 解 ∵m2-2m+2=(m-1)2+1≥1>-2, ∴当a>1时,am 2-2m+2>a-2; 当0b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析 考查函数y=0.8x, ∵01,∴函数y=1.2x 在R上是增函数. ∵0.8>0,∴1.20.8>1. 综上可知,0.80.90,且a≠1,解关于x 的不等式a-3x > ax+1. 解 当a>1时,函数y=ax(a>1)为R上的增函数, ∵a-3x >ax+1,∴-3x>x+1,解得xax+1, ∴-3x- 1 4 . 综上所述,当a>1 时,原不等式的解集为 - ∞, - 1 4 ,当01时,af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x);当0ag(x)⇒f(x)<g(x). 9
数学 必修第二册 配人教B版 【变式训练2】已知3≥(兮)”求实数x的取值范围 又0y=0.脚 =0,1十b≠0,.a=1,.b=1. 解(付)》=3”=3”在R上是增高载 22-1 (2)证明由(1)知f(x)= 22+1 .由3≥3a5可得x≥0.5,∴x∈[0.5,十∞). 2 f(x) 2-11+2)-2=1- 2+11+2 1+29 探究三指数型函数的单调区间 任取x1x2∈R,且x121,即22-21>0. 解西数的定义战为R,由00,1+22>0, (侵)广是减画数.二次函数u=2-6x十17=(-3)十8 f(x2)-f(x1)>0,∴f(x)是R上的增函数. (3)解由(2)知函数f(x)在R上是增函数,且当x∈ 在x∈[3,十∞)内为增函数,在x∈(一∞,3)内为减函数. (-1,1)时,f(x)单调递增,所以f(-1)0,且a≠1)的函数,可利 答题模板第1步,由f(一x)=一f(x),变形整理; 用复合函数的单调性,由指数函数y=a“及函数u= 第2步,比较系数,求得a,b的值: g(x)的单调性求解y=a的单调性. 第3步,设x10,3+1>0,3+1>0, ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)为R上的增函数 b=-1. 10
数 学 必修 第二册 配人教B版 【变式训练2】已知3x≥ 1 3 -0.5 ,求实数x的取值范围. 解 1 3 -0.5 =30.5.∵y=3x 在R上是增函数, ∴由3x ≥30.5 可得x≥0.5,∴x∈[0.5,+∞). 探究三 指数型函数的单调区间 【例3】已知函数y= 1 2 x 2-6x+17 ,求函数的单调 区间. 分析 函数y= 1 2 x 2-6x+17 是由y= 1 2 u ,u=x2- 6x+17复合成的,根据复合函数单调性规律可求单调区间. 解 函数的定义域为R,由00,且a≠1)的函数,可利 用复合函数的单调性,由指数函数y=au 及函数u= g(x)的单调性求解y=ag(x)的单调性. 2.复合函数单调性规律是同增异减. 【变式训练3】求函数y=3x 2-2x 的单调区间. 解 令u=x2-2x,x∈R,∵u=(x-1)2-1,在区间 (-∞,1]上是减函数,在区间(1,+∞)内是增函数,且y= 3u 在其定义域内为增函数, ∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区 间为(-∞,1]. 规 范 解 答 与指数函数有关的综合问题 【典例】已知定义在R上的奇函数f(x)= 2x -a 2x +b . (1)求a,b的值; (2)证明:f(x)在R上是增函数; (3)当x∈(-1,1)时,求该函数的值域. 审题策略 根据奇函数的定义f(-x)=-f(x)可求 a,b的值;利用定义证明f(x)的单调性;结合(2)的结论求 f(x),x∈(-1,1)的值域. 规范展示 (1)解 ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴ 2-x -a 2-x +b =- 2x -a 2x +b . ∴ 1-a·2x 1+b·2x= a-2x 2x +b 对任意x∈R恒成立. ∴ a=1, b=1 或 a=-1, b=-1. 又f(0)=0,即 1-a 1+b =0,1+b≠0,∴a=1,∴b=1. (2)证明 由(1)知f(x)= 2x -1 2x +1 . f(x)= 2x -1 2x +1 = (1+2x)-2 1+2x =1- 2 1+2x. 任取x1,x2∈R,且x12 x1,即2 x2-2 x1>0. 又1+2 x1>0,1+2 x2>0, ∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x)是R上的增函数. (3)解 由(2)知函数f(x)在 R上是增函数,且当x∈ (-1,1)时,f(x)单调递增,所以f(-1)0,3 x1+1>0,3 x2+1>0, ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)为R上的增函数. 10