第六章平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 课前·基础认知 1.向量与数量 续表 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 平行向量 方向相同或相反的非零向量， (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. (共线向量 向量a与b平行，记作a仍 2.向量的几何表示 规定：零向量与任意向量平行 (1)具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素： 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a=b 起点、方向、长度 (2)向量可以用有向线段AB来表示.向量AB的大 微思考两个相等的非零向量的起点与终点是否都 小称为向量AB的长度（或称模），记作AB1.向量也可以 分别重合？ 用字母a,b,c,…表示. 提示不一定，只要长度相等且方向相同的向量就是相 微挪究D(1)向量可以比较大小吗？ 等向量，与起点和终点的位置无关， (2)有向线段就是向量吗？ 微擦究2若AB∥C市，则从直线AB与CD的位置 提示(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较 关系和向量AB与C方的方向关系两个方面考虑有哪几种 大小 情况？ (2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是 提示分四种情况 向量 (I)直线AB和CD重合，AB与CD同向： 3.向量的有关概念 (2)直线AB和CD重合，AB与CD反向： 零向量 长度为0的向量，记作0 (3)直线ABCD,AB与CD同向： 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 (4)直线ABCD,AB与CD反向. 课堂·重难突破 向量的有关概念 规律总结1正确理解零向量和单位向量 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等】 典例剖析 (2)单位向量不一定相等，不要忽路其方向 1.判断下列说法是否正确，并说明理由. 2.正确理解共线向量与平行向量 (1)若向量a与b同向，且lal>lbl,则a>b: (1)平行向量也称为共线向量，两个说法没有区别， (2)若向量a与b满足|a=|b|,则a与b的长度相等 (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的直 且方向相同或相反： 线共线不同。 (3)对于任意向量a与b,la|=|b|,若a与b的方向相 (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行 同，则a=b: 不同 (4)由于0的方向不确定，故0不与任意向量平行： 提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量 (5)若向量a与b平行，则向量a与b方向相同或相反 的核心 方向和长度. 解(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和 二 向量的几何表示 方向，所以两个向量不能比较大小. (2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量的长度相等， 典例剖析 不能确定它们的方向关系. 2.如图，在坐标纸（每个小方格的边长为1）中，用直尺 (3)正确.因为|a|=|b|,且a与b同向，所以由两向量 和圆规画出下列向量： 相等的条件，可得a=b. (1)OA,使1OA1=42,点A在点0北偏东45方向： (4)不正确.依据规定：0与任意向量平行 (2)AB,使|AB|=4,点B在点A正东方向： (5)不正确.若向量a与向量b有一个是零向量，则其方 (3)BC,使|BC1=6,点C在点B北偏东30°方向. 向不确定
第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 课前·基础认知 1.向量与数量 (1)向量:既有 大小 又有 方向 的量叫做向量. (2)数量:只有 大小 没有 方向 的量称为数量. 2.向量的几何表示 (1)具有方向 的线段叫做有向线段.它包含三个要素: 起点 、方向 、长度 . (2)向量可以用 有向线段 A→B 来表示.向量A→B 的大 小称为向量A→B 的 长度 (或称模),记作|A→B|.向量也可以 用字母a,b,c,…表示. 微探究 1 (1)向量可以比较大小吗? (2)有向线段就是向量吗? 提示 (1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较 大小. (2)有向线段只是表示向量的一个图形工具,它不是 向量. 3.向量的有关概念 零向量 长度为0的向量,记作0 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 续 表 平行向量 (共线向量) 方向 相同或相反 的非零向量. 向量a与b平行,记作 a∥b . 规定:零向量与任意向量 平行 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量. 向量a与b相等,记作 a=b 微思考 两个相等的非零向量的起点与终点是否都 分别重合? 提示 不一定.只要长度相等且方向相同的向量就是相 等向量,与起点和终点的位置无关. 微探究 2 若A→B∥C→D,则从直线AB 与CD 的位置 关系和向量A→B 与C→D 的方向关系两个方面考虑有哪几种 情况? 提示 分四种情况 (1)直线AB 和CD 重合,A→B 与C→D 同向; (2)直线AB 和CD 重合,A→B 与C→D 反向; (3)直线AB∥CD,A→B 与C→D 同向; (4)直线AB∥CD,A→B 与C→D 反向. 课堂·重难突破 一 向量的有关概念 典例剖析 1.判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; (2)若向量a与b满足|a|=|b|,则a与b的长度相等 且方向相同或相反; (3)对于任意向量a与b,|a|=|b|,若a与b的方向相 同,则a=b; (4)由于0的方向不确定,故0不与任意向量平行; (5)若向量a与b平行,则向量a与b方向相同或相反. 解 (1)不正确.因为向量由两个因素来确定,即大小和 方向,所以两个向量不能比较大小. (2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量的长度相等, 不能确定它们的方向关系. (3)正确.因为|a|=|b|,且a与b同向,所以由两向量 相等的条件,可得a=b. (4)不正确.依据规定:0与任意向量平行. (5)不正确.若向量a与向量b有一个是零向量,则其方 向不确定. 1.正确理解零向量和单位向量 (1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等. (2)单位向量不一定相等,不要忽略其方向. 2.正确理解共线向量与平行向量 (1)平行向量也称为共线向量,两个说法没有区别. (2)共线向量所在直线可以平行,与平面几何中的直 线共线不同. (3)平行向量可以共线,与平面几何中的直线平行 不同. 提醒:解决与向量概念有关题目的关键是突出向量 的核心———方向和长度. 二 向量的几何表示 典例剖析 2.如图,在坐标纸(每个小方格的边长为1)中,用直尺 和圆规画出下列向量: (1)O→A,使|O→A|=42,点A 在点O 北偏东45°方向; (2)A→B,使|A→B|=4,点B 在点A 正东方向; (3)B→C,使|B→C|=6,点C 在点B 北偏东30°方向. 1
数学必修第二册 配人教A版 规律总结」向量表示的两种方法 (1)有向线段表示法：把以A为起点、B为终点的有 向线段记作AB,即向量AB.有向线段AB的长度为向 量A店的大小，箭头所指的方向为向量的方向. (2)字母表示法：可用字母a,b,c,…表示】 三 相等向量与共线向量 0 东 解(1)由于点A在点O北偏东45°方向，故在坐标纸中 典例剖析 点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等 3.如图所示，O是正六边形 又|OA1=42,小方格边长为1，故点A距点0的横向 ABCDEF的中心，且OA=a,OB= 小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确 b,OC=c. 定，画出向量OA如图所示 (1)写出图中与a长度相等、方 (2)由于点B在点A正东方向，且|AB|=4,故在坐 向相反的向量： 标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数 (2)写出图中与a共线的向量： 为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB如图 (3)请一一列出图中分别与a,b,c相等的向量. 所示。 解(1)与a长度相等、方向相反的向量有O心，BC (3)由于点C在，点B北偏东30°方向，且|BC|=6.故依 Aò，F2. 据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数 (2)与a共线的向量有E苹，B元.Oi,F正，C,Dò，Aò 为3.以点B为圆心，以6个小方格的长度为半径画弧，在弧 DA,AD. 上找到与点B横向距离为3个小方格的点，即为点C,于是 (3)与a相等的向量有E萨，D0,CB:与b相等的向量 点C的位置可以确定，画出向量B配如图所示 有DC,E可，Fi:与c相等的向量有F而，ED,AB 北 规律总结」相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段 长度相等的向量，再确定哪些同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段 平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要 漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为 终点的向量 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量。 课后·训练提升 B 基础·巩固 1.下列说法不正确的是( ) A.向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 答案C 答案D 解析由题意可知，每个小正方形的边长均为1，则其对角 解析根据向量的有关概念易判断，D项说法错误. 线长为√瓦，每个小正方形中存在两个与AB平行且模为 2.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一 点，这些向量的终点形成的轨迹是( √2的向量，一共有12个小正方形，故共有24个所求向量 ). 4.如图所示，在等边三角形ABC中，P. A.单位圆B.一段弧C.线段 D.直线 Q,R分别是线段AB,BC,AC的中点 答案A 则与向量PQ相等的向量是( ). 解析平面内到定，点距离等于定长的点的轨迹是圆 A.PR与QR 3.如图，在3×4的格点图（每个小方格都是单位正方形）中， B.A成与RC 若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB平行且模为 CRA与CR √2的向量共有(）. D.PA与Q求
数 学 必修 第二册 配人教 A版 O ! " 解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向,故在坐标纸中 点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等. 又|O→A|=42,小方格边长为1,故点A 距点O 的横向 小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A 的位置可以确 定,画出向量O→A 如图所示. (2)由于点B 在点A 正东方向,且|A→B|=4,故在坐 标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4,纵向小方格数 为0,于 是 点 B 的 位 置 可 以 确 定,画 出 向 量 A→B 如 图 所示. (3)由于点C 在点B 北偏东30°方向,且|B→C|=6,故依 据勾股定理可得:在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数 为3.以点B 为圆心,以6个小方格的长度为半径画弧,在弧 上找到与点B 横向距离为3个小方格的点,即为点C,于是 点C 的位置可以确定,画出向量B→C 如图所示. 向量表示的两种方法 (1)有向线段表示法:把以A 为起点、B 为终点的有 向线段记作A→B,即向量A→B.有向线段A→B 的长度为向 量A→B 的大小,箭头所指的方向为向量的方向. (2)字母表示法:可用字母a,b,c,…表示. 三 相等向量与共线向量 A B C E D O a b c F 典例剖析 3.如 图 所 示,O 是 正 六 边 形 ABCDEF 的中心,且O→A=a,O→B= b,O→C=c. (1)写出图中与a 长度相等、方 向相反的向量; (2)写出图中与a共线的向量; (3)请一一列出图中分别与a,b,c相等的向量. 解 (1)与a 长度相等、方向相反的向量有 O→D,B→C, A→O,F→E. (2)与a共线的向量有E→F,B→C,O→D,F→E,C→B,D→O,A→O, D→A,A→D. (3)与a 相等的向量有E→F,D→O,C→B;与b 相等的向量 有D→C,E→O,F→A;与c相等的向量有F→O,E→D,A→B. 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段 长度相等的向量,再确定哪些同向共线. (2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段 平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要 漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为 终点的向量. 提醒:与向量平行相关的问题中,不要忽视零向量. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列说法不正确的是( ). A.向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 答案 D 解析 根据向量的有关概念易判断,D项说法错误. 2.在同一平面内,把所有长度为1的向量的起点固定在同一 点,这些向量的终点形成的轨迹是( ). A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 答案 A 解析 平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆. 3.如图,在3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)中, 若起点和终点都在方格的顶点处,则与A→B 平行且模为 2的向量共有( ). A B A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 答案 C 解析 由题意可知,每个小正方形的边长均为1,则其对角 线长为 2,每个小正方形中存在两个与A→B 平行且模为 2的向量,一共有12个小正方形,故共有24个所求向量. P Q A B C R 4.如图所示,在等边三角形 ABC 中,P, Q,R 分别是线段AB,BC,AC 的中点, 则与向量P→Q 相等的向量是( ). A.P→R 与Q→R B.A→R 与R→C C.R→A 与C→R D.P→A 与Q→R 2
第六章平面向量及其应用 答案B (2)与Aò共线的向量有B萨，，D正】 解析向量相等要求模相等且方向相同，因此A应与R己 (3)与A0模相等的向量有Cd,D0,B0,BF,C下， 都是和P反相等的向量， AE,DE. 5.(多选题)下列条件中，能使a仍成立的有( (4)向量A0与C0不相等，因为它们的方向不相同. A.a=b B.la=b 11.已知一架飞机从A地沿北偏东30°方向飞行2000km后 C.a与b方向相反 D.la=0或lbl=0 到达B地，再从B地沿南偏东30°方向飞行2000km到 答案ACD 达C地，再从C地沿西南方向飞行1000√2km到达D 解析若a=b,则a与b长度相等且方向相同，所以a∥ 地.作出向量AB,B武，C方，并求出向量AD的模和方向. b:若|a|=|b|,则a与b的长度相等，方向不确定，因此 解以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y 不一定有α仍：方向相同或相反的向量都是平行向量，若 轴正方向建立直角坐标系」 a与b方向相反，则有a仍：零向量与任意向量都平行，所 据题设，B点在第一象限，C y北) 以若|a=0或|b|=0,则ah. 点在x轴正半轴上，D点在第四象 6.下列说法中，正确的是(). 限，向量AB,BC,Ci如图所示， A若a|=1,则a=士1 由已知可得，△ABC为正三 B.若|a|=|bl且ab,则a=b 角形，所以AC=2000km Cx(东) C.若a=b,则a仍 又∠ACD=45°，CD=10002km, D.若a0,则|a=0 所以△ADC为等腰直角三角 答案C 形，所以AD=1000反km,∠CAD=45°， 解析选项A中说法显然错误：两个向量的模相等且平 故向量AD的模为1000√2km,方向为东南方向. 行，但这两个向量的方向不一定相同，故选项B中说法错 误：a=b→向量a与b的方向相同→a仍，故选项C中说 拓展·提高 法正确：0与任一向量平行，故a0中|a|=0,选项D中说 1.若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①引a> 法错误」 1bl:②ah:③la>0:④lbl=±1，其中正确的是(). 7.已知|AB|=1,|AC|=2,若∠ABC=90°，则1BC1= A.①④ B.③ C.①② D.②③ 答案5 答案B 解析在R△ABC中，由勾股定理可知，BC=√AC2一AB= 解析因为a为任一非零向量，所以a>0. 5,故|BC1=√5. 2.(多选题)已知A={xx是与a共线的向量}，B={yly是与 8.设ao,b。是两个单位向量，则下列结论正确的是 a长度相等的向量}，C={zz是与a长度相等、方向相反的 (填序号). 向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是( A.C二A B.A∩B={a} ①ao=bo:②ao=-bo;③lao|+lbo=2;④aoha C.CCB D.(A∩B)2{a} 答案③ 答案ACD 解析因为ao,b。是单位向量，所以aol=1,lb|=l. 所以a。|+|b|=2. 解析因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向 9.将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当M正与 量，所以B中的关系错误 3.如图，在梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P,点 E萨是平行向量，且|M症|=21E苹1=2时，1M亦|= E,F分别在两腰AD,BC上，EF过点P,且EF∥AB,则 下列等式中成立的是( 答案3或1 解析当M庀与E萨同向时，M1=M正1+EF1=3: 当M正与E苹反向时，1M亦1=M正1-1E序1=1. 10.O是正方形ABCD对角线的交 点，四边形OAED,四边形 OCFB都是正方形，如图所示，在 A.AD=BC B.AC=BD 右图的向量中： C.PE=PF D.EP=PF (1)分别找出与AO,B0相等的向量： 答案D (2)找出与AO共线的向量： 解析根据相等向量的定义，分析可得，选项A,B中的等 (3)找出与AO模相等的向量： (4)向量Aò与C方是否相等？ 式不成立；选项C中，P它与P方向相反，故P序=P 解(1)Aò=B,Bò=A. 不成立：选项D中，EP与P下方向相同，且长度都等于线 段EF长度的一半，故E=P下成立
第六章 平面向量及其应用 答案 B 解析 向量相等要求模相等且方向相同,因此A→R 与R→C 都是和P→Q 相等的向量. 5.(多选题)下列条件中,能使a∥b成立的有( ). A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 答案 ACD 解析 若a=b,则a 与b 长度相等且方向相同,所以a∥ b;若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,方向不确定,因此 不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,若 a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量都平行,所 以若|a|=0或|b|=0,则a∥b. 6.下列说法中,正确的是( ). A.若|a|=1,则a=±1 B.若|a|=|b|且a∥b,则a=b C.若a=b,则a∥b D.若a∥0,则|a|=0 答案 C 解析 选项 A 中说法显然错误;两个向量的模相等且平 行,但这两个向量的方向不一定相同,故选项B中说法错 误;a=b⇒向量a与b的方向相同⇒a∥b,故选项C中说 法正确;0与任一向量平行,故a∥0⇒/|a|=0,选项D中说 法错误. 7.已知|A→B|=1,|A→C|=2,若∠ABC=90°,则|B→C|= . 答案 3 解析 在Rt△ABC中,由勾股定理可知,BC= AC2-AB2= 3,故|B→C|= 3. 8.设 a0,b0 是 两 个 单 位 向 量,则 下 列 结 论 正 确 的 是 (填序号). ①a0=b0;②a0=-b0;③|a0|+|b0|=2;④a0∥b0. 答案 ③ 解析 因为a0,b0 是单位向量,所以|a0|=1,|b0|=1. 所以|a0|+|b0|=2. 9.将向量用具有同一起点 M 的有向线段表示,当 M→E 与 E→F 是平行向量,且|M→E|=2|E→F|=2 时,|M→F|= . 答案 3或1 解析 当M→E 与E→F 同向时,|M→F|=|M→E|+|E→F|=3; 当M→E 与E→F 反向时,|M→F|=|M→E|-|E→F|=1. A B D C E F O 10.O 是正方形ABCD 对角线的交 点,四 边 形 OAED,四 边 形 OCFB 都是正方形,如图所示,在 右图的向量中: (1)分别找出与A→O,B→O 相等的向量; (2)找出与A→O 共线的向量; (3)找出与A→O 模相等的向量; (4)向量A→O 与C→O 是否相等? 解 (1)A→O=B→F,B→O=A→E. (2)与A→O 共线的向量有B→F,C→O,D→E. (3)与A→O 模相等的向量有C→O,D→O,B→O,B→F,C→F, A→E,D→E. (4)向量A→O 与C→O 不相等,因为它们的方向不相同. 11.已知一架飞机从A 地沿北偏东30°方向飞行2000km后 到达B 地,再从B 地沿南偏东30°方向飞行2000km到 达C 地,再从C 地沿西南方向飞行10002km 到达D 地.作出向量A→B,B→C,C→D,并求出向量A→D 的模和方向. 解 以A 为原点,正东方向为x 轴正方向,正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系. 据题设,B 点在第一象限,C 点在x 轴正半轴上,D 点在第四象 限,向量A→B,B→C,C→D 如图所示, 由已知可得,△ABC 为正三 角形,所以AC=2000km. 又∠ACD=45°,CD=10002km, 所以△ADC 为等腰直角三角 形,所以AD=10002km,∠CAD=45°. 故向量A→D 的模为10002km,方向为东南方向. 拓展 提高 1.若a为任一非零向量,b为模为1的向量,下列各式:①|a|> |b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1,其中正确的是( ). A.①④ B.③ C.①②③ D.②③ 答案 B 解析 因为a为任一非零向量,所以|a|>0. 2.(多选题)已知A={x|x是与a共线的向量},B={y|y是与 a长度相等的向量},C={z|z是与a长度相等、方向相反的 向量},其中a为非零向量,下列关系中正确的是( ). A.C⊆A B.A∩B={a} C.C⊆B D.(A∩B)⊇{a} 答案 ACD 解析 因为A∩B 中包含与a 长度相等且方向相反的向 量,所以B中的关系错误. 3.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点 E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF∥AB,则 下列等式中成立的是( ). A B D C E F P A.A→D=B→C B.A→C=B→D C.P→E=P→F D.E→P=P→F 答案 D 解析 根据相等向量的定义,分析可得,选项 A,B中的等 式不成立;选项 C中,P→E 与P→F 方向相反,故P→E=P→F 不成立;选项D中,E→P 与P→F 方向相同,且长度都等于线 段EF 长度的一半,故E→P=P→F 成立. 3
数学必修 第二册 配人教A版 4.若四边形ABCD满足AD=B元，且AC1=B可1，则四边 解析根据题意知，由点O,A,B,C,D可以构成20个向 形ABCD是 (填四边形ABCD的形状). 量，且它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T 答案矩形 中有12个元素. 解析AD=B式 7.如图，四边形ABCD和四边形ABDE都 ∴ADBC,且AD1=1BC1, 是平行四边形 .四边形ABCD是平行四边形. (1)与向量ED相等的向量有 又由AC|=B币1，知该平行四边形的对角线相等， (2)若AB1=3,则E元1=」 故四边形ABCD是矩形. 答案(1)AB,D心(2)6 5.已知A,B,C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行 解析(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和 向量，与BC是共线向量，则m= ABDE都是平行四边形，可知与向量E可相等的向量有 答案0 AB.D元. 解析平行向量又叫共线向量，因为A,B,C是不共线的 (2)因为1AB1=3,1EC1=21AB1,所以EC1=6. 三，点，所以AB与B武不共线，而与不共线向量A店，B 挑战·创新 都共线的向量只能是零向量， 6.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与 在平行四边形ABCD中，E, BD的交点，设点集M={O,A,B,C,D},向量的集合 F分别是CD,AB的中点， T={PIP,Q∈M,且P,Q不重合》，则集合T有 如图所示 个元素 (1)写出与向量F元共线的 向量； (2)求证：B=F (1)解与向量F元共线的向量有C萨，A它，E (2)证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥ CD,且AB=CD.又点E,F分别是CD,AB的中点，所以 答案12 EDBF,且ED=BF. 所以四边形BFDE是平行四边形，故B正=F市 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 课前·基础认知 1.向量加法的定义 ·徽拓展三角形法则与平行四边形法则的区别与 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 联系 (2)对于零向量与任意向量a,规定a十0=0叶a=a 向量求和法则 三角形法则 平行四边形法则 2.向量求和的法则 满足条件 两向量“首尾相接” 两向量“共起点” 已知非零向量a,b,在平面内取 区别 任意一点A,作AB=a,B武= 适用范围 所有向量 不共线的两向量 角形法则 +0 b,则向量AC叫做a与b的和， 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这 记作a十b,即a+b=AB+ a 联系 两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解 BC=AC 决具体问题时视情况而定 ·微思考两个向量相加就是这两个向量的模相 平 a+b 加吗？ 提示不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加只 形 是数量的加法. 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为 3.a十b|与al,Ib|之间的关系 邻边作☐OACB,则以O为起点的向量O元就是向 一般地，我们有|a+bl≤1a|十|b1,当且仅当a,b 量a与b的和 方向相同时等号成立
数 学 必修 第二册 配人教 A版 4.若四边形ABCD 满足A→D=B→C,且|A→C|=|B→D|,则四边 形ABCD 是 (填四边形ABCD 的形状). 答案 矩形 解析 ∵A→D=B→C, ∴AD∥BC,且|A→D|=|B→C|, ∴四边形ABCD 是平行四边形. 又由|A→C|=|B→D|,知该平行四边形的对角线相等, 故四边形ABCD 是矩形. 5.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量A→B 是平行 向量,与B→C 是共线向量,则m= . 答案 0 解析 平行向量又叫共线向量,因为A,B,C 是不共线的 三点,所以A→B 与B→C 不共线,而与不共线向量A→B,B→C 都共线的向量只能是零向量. 6.如图所示,已知四边形ABCD 是矩形,O 为对角线AC 与 BD 的交点,设点集 M ={O,A,B,C,D},向量的集合 T={P→Q|P,Q ∈M,且 P,Q 不重 合},则 集 合 T 有 个元素. A B D C O 答案 12 解析 根据题意知,由点O,A,B,C,D 可以构成20个向 量,且它们有12个向量各不相等,由元素的互异性知T 中有12个元素. A B E D C 7.如图,四边形ABCD 和四边形ABDE 都 是平行四边形. (1)与向量E→D 相等的向量有 ; (2)若|A→B|=3,则|E→C|= . 答案 (1)A→B,D→C (2)6 解析 (1)根据向量相等的定义以及四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形,可知与向量E→D 相等的向量有 A→B,D→C. (2)因为|A→B|=3,|E→C|=2|A→B|,所以|E→C|=6. 挑战 创新 A B D E C F 在平行四边形ABCD 中,E, F 分别是CD,AB 的中点, 如图所示. (1)写出与向量F→C 共线的 向量; (2)求证:B→E=F→D. (1)解 与向量F→C 共线的向量有C→F,A→E,E→A. (2)证明 因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB∥ CD,且AB=CD.又点E,F 分别是CD,AB 的中点,所以 ED∥BF,且ED=BF. 所以四边形BFDE 是平行四边形,故B→E=F→D. 6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 课前·基础认知 1.向量加法的定义 (1)定义:求 两个向量和 的运算,叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a,规定a+ 0 =0+a=a . 2.向量求和的法则 三 角 形 法 则 已知非零向量a,b,在平面内取 任意一点 A,作 A→B=a,B→C= b,则向量A→C 叫做a与b的和, 记作 a+b ,即a+b=A→B+ B→C= A→C 平 行 四 边 形 法 则 以同一点O 为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB 为 邻边作▱OACB,则以O 为起点的向量 O→C 就是向 量a与b的和 微拓展 三角形法则与平行四边形法则的区别与 联系 向量求和法则 三角形法则 平行四边形法则 区别 满足条件 两向量“首尾相接” 两向量“共起点” 适用范围 所有向量 不共线的两向量 联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这 两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解 决具体问题时视情况而定 微思考 1 两个向量相加就是这两个向量的模相 加吗? 提示 不是,向量相加要考虑大小及方向,而模相加只 是数量的加法. 3.|a+b|与|a|,|b|之间的关系 一般地,我们有|a+b| ≤ |a|+|b|,当且仅当a,b 方向相同 时等号成立. 4
第六章平面向量及其应用 4.向量加法的运算律 微思考2向量加法的运算律与实数加法的运算律 (1)交换律：a十b=b十a 相同吗？ (2)结合律：(a十b)十c=a十(b十c) 提示相同. 课堂 重难突破 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相 连”，其向量的和为“起点指向终点”的向量：利用平行四 典例剖析 边形法则要注意两向量“共起点”，其向量的和为共起点 1.(1)如图，在△ABC中，D,E分 的“对角线”向量. 别是AB,AC上的点，F为线段DE延 提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形 长线上的点，DE∥BC,AB∥CF,连接 法则和平行四边形法则是统一的：(2)三角形法则作出的 CD,那么（在横线上只填一个向量）： 图形是平行四边形法则作出的图形的一半。 ①AB+DF= ②AD+F元= 二 向量的加法运算 ③AD+BC+F元= 典例剖析 答案①AC②AB③Ad 解析根据题图及已知可得四边形DFCB为平行四边 2.(1)化简： ①B武+AB:@Di+Ci+B元： 形，由向量加法的运算法则可知： ③AB+DF+CD+BC+FA. ①AB+DF=AB+BC=AC (2)如图，E,F,G,H分别是梯形 ②AD+F元=AD+Di=AB ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点， ③AD+BC+F元-AD+DF+F元-AC 化简下列各式： (2)①已知向量a,b,如图甲所示，求作向量a十b: ①DG+EA+CB: ②已知向量a,b,c,如图乙所示，求作向量a十b十c ②E元+d元+DA+EB (1)解DBC+AB=Ai+B元=AC: DB+CD+BC=BC+CD+DB-0; AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+ 甲 FA=0. 解①首先作向量OA=a,然后作向量AB=b,则向量 (2)解①D心+Ei+C=G元+B酝+C=G元+CB+ OB=a十b,如图所示. BE=GB+BE=GE; ②EG+C元+DA+E第=EG+Gi+DA+AE=Ei+ 6 0 A B DA+AE=EA+AE=0. ②方法一（三角形法则）：如图所示，首 先在平面内任取一点O,作向量OA=a, 规律总结☐向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形 再作向量AB=b,则向量O店=a十b,然后 的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的，实际 作向量BC=c,则向量OC=(a+b)十c= 上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的 a十b十c,即为所求. 方法二（平行四边形法则）：如图所 加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 示，首先在平面内任取一点O,作向量 (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换 Oi=a,Oi=b,O元=c,以OA,OB为邻 律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向 边作□OADB,连接OD,则OD=OA+ 量相加的顺序 Oi=a十b.再以OD,OC为邻边作 三 向量加法的实际应用 □ODEC,连接OE,则O龙=Oi+O元= a十b十c,即为所求， 典例剖析 规律总结1，向量求和的注意点 3.如图，用两根绳子把重10N的物 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. 体W吊在水平杆子AB上，∠ACW= (2)两个向量的和仍是一个向量. 150°，∠BCW=120°，求A处和B处所受150° 120 (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. 力的大小（绳子的质量忽略不计）
第六章 平面向量及其应用 4.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b= b+a . (2)结合律:(a+b)+c= a+(b+c). 微思考 2 向量加法的运算律与实数加法的运算律 相同吗? 提示 相同. 课堂·重难突破 一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 典例剖析 1.(1)如图,在△ABC 中,D,E 分 别是AB,AC 上的点,F 为线段DE 延 长线上的点,DE∥BC,AB∥CF,连接 CD,那么(在横线上只填一个向量): ①A→B+D→F= ; ②A→D+F→C= ; ③A→D+B→C+F→C= . 答案 ①A→C ②A→B ③A→C 解析 根据题图及已知可得四边形DFCB 为平行四边 形,由向量加法的运算法则可知: ①A→B+D→F=A→B+B→C=A→C. ②A→D+F→C=A→D+D→B=A→B. ③A→D+B→C+F→C=A→D+D→F+F→C=A→C. (2)①已知向量a,b,如图甲所示,求作向量a+b; ②已知向量a,b,c,如图乙所示,求作向量a+b+c. ! " 解 ①首先作向量O→A=a,然后作向量A→B=b,则向量 O→B=a+b,如图所示. ②方法一(三角形法则):如图所示,首 先在平面内任取一点O,作向量O→A=a, 再作向量A→B=b,则向量O→B=a+b,然后 作向量B→C=c,则向量O→C=(a+b)+c= a+b+c,即为所求. 方法二(平行四边形法则):如图所 示,首先在平面内任取一点 O,作向量 O→A=a,O→B=b,O→C=c,以OA,OB 为邻 边作▱OADB,连接OD,则O→D=O→A+ O→B =a+b.再 以 OD,OC 为 邻 边 作 ▱ODEC,连接OE,则O→E=O→D+O→C= a+b+c,即为所求. 1.向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. (2)两个向量的和仍是一个向量. (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. 2.利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相 连”,其向量的和为“起点指向终点”的向量;利用平行四 边形法则要注意两向量“共起点”,其向量的和为共起点 的“对角线”向量. 提醒:(1)当两个向量不共线时,向量加法的三角形 法则和平行四边形法则是统一的;(2)三角形法则作出的 图形是平行四边形法则作出的图形的一半. 二 向量的加法运算 典例剖析 2.(1)化简: ①B→C+A→B;②D→B+C→D+B→C; ③A→B+D→F+C→D+B→C+F→A. G H A B D C E F (2)如图,E,F,G,H 分别是梯形 ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点, 化简下列各式: ①D→G+E→A+C→B; ②E→G+C→G+D→A+E→B. (1)解 ①B→C+A→B=A→B+B→C=A→C; ②D→B+C→D+B→C=B→C+C→D+D→B=0; ③A→B+D→F+C→D+B→C+F→A=A→B+B→C+C→D+D→F+ F→A=0. (2)解 ①D→G+E→A+C→B=G→C+B→E+C→B=G→C+C→B+ B→E=G→B+B→E=G→E; ②E→G+C→G+D→A+E→B=E→G+G→D+D→A+A→E=E→D+ D→A+A→E=E→A+A→E=0. 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形 的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际 上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的 加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换 律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向 量相加的顺序. 三 向量加法的实际应用 典例剖析 3.如图,用两根绳子把重10N 的物 体W 吊在水平杆子 AB 上,∠ACW = 150°,∠BCW=120°,求A 处和B 处所受 力的大小(绳子的质量忽略不计). 5
数学必修第二册 配人教A版 解如图所示，设C正，C京分别表示A, 规律总结」利用向量的加法解决实际问题的三个步骤 B处所受的力，10N的重力用C心表示，则 C正+C序=C在.由题意可得∠ECG=180° 表示 用向量表示实际问题中既有大小又有方向 的量 150°=30°，∠F0G=180°-120°=60° .1Ci1=1G·cos30=10× 3 运算 利用平行四边形法则或三角形法则求向量 的和，利用直角三角形等知识解决问题 55,1C1=1花1·c0s60-10×2 =5.A处所受的力 的大小为55N,B处所受的力的大小为5N 作答 根据题意作答 课后·训练提升 基础·巩固 解析：在平行四边形ABCD中，AB十C)=0, B武十DA=0,∴a为零向量，零向量和任意向量都平 1(多选题)下列各式中一定成立的是( ). 行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴.①③中 A.a+b=b+a B.0十a=a 的结论正确，②④中的结论错误， C.AC+C克=AB D.la+bl=lal+lb 6.在平行四边形ABCD中，若1BC+BA1=|BC+AB1,则 答案ABC 四边形ABCD是 解析因为A,B,C项满足运算律及运算法则，所以一定 答案矩形 成立.而D项不一定成立，因为a十b|≤|a|十|b|,只有 解析：IBC+BA1=|B丽1,1BC+AB1=|AC1,且 当a,b同向时等号才成立. IBC+BAI=BC+ABI,..IBDI=IACI. 2.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为BC的 又四边形ABCD是平行四边形， 是(). ,四边形ABCD是矩形. A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC 7.如图所示，若点P为△ABC的外心，且P+P第=P元 C.AB+Bd+D元 D.DC+BA+AD 则∠ACB= 答案C 解析在A中，BA+AD+D元=BD+DC=BC:在B中， BD+DA+AC=BA+AC=BC:在C中，AB+BD+ DC=AD+DC=AC:在D中，DC+BA+AD=DC+ BD=BD+D元=BC 答案120° 3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA+C市+E萨等于( 解析因为PA+PB=P心，所以四边形APBC是平行四 边形.因为点P为△ABC的外心，所以PA=PB=PC 所以四边形PACB是菱形，且△PAC与△PBC是全等 的等边三角形.所以∠ACB=120°， 8.已知在菱形ABCD中，∠DAB=60°，A1=1,则IBC+ CDI= 答案1 A.0 B.BE C.A市 D.CF 解析在△ABD中，AD=AB=1,∠DAB=60°， 答案D 解析BA+C市+E萨=D正+Ci+E序=C+E萨-C序 则BD=1,则|BC+C方1=|B元1=1. 4.(AB+M店)+(Bò+BC)+OM等于( 9.已知正方形ABCD的边长为1，AB=a,AC=b,BC=c 则|a十b+cl= A.BC B.AB C.AC D.A⑦ 答案2瓦 答案C 解析原式=AB+M店+Bò+BC+OM=(AB+BC)+ 解析因为正方形ABCD的边长为1，所以AC=√2，所以 (MB+BO+OM)=AC+0=AC. la+b+c=AB+AC+BCI=AB+BC+ACI= 5.已知平行四边形ABCD,设AB+Ci+BC+DA=a,且 AC+AC1=21AC1=2√2. b是一非零向量，则下列结论：①a%:②a十b=a:③a十 10.如图.在平行四边形ABCD中， D b=b:④la+b|<la+|bl.其中正确的是(). 对角线AC与BD相交于点O, A.①③B.②③C.②④ D.①② P为平面内任意一点. 答案A 求证：P+Pi+P心+Pi=4P
数 学 必修 第二册 配人教 A版 解 如图所示,设C→E,C→F 分别表示A, B 处所受的力,10N的重力用C→G 表示,则 C→E+C→F=C→G.由题意可得∠ECG=180°- 150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°. ∴|C→E|=|C→G|·cos30°=10× 3 2 = 53,|C→F|=|C→G|·cos60°=10× 1 2 =5.∴A 处所受的力 的大小为53N,B 处所受的力的大小为5N. 利用向量的加法解决实际问题的三个步骤 !" #$%!"&'()*+,-./,0$ 1% 23 45)623 78 9#:;?@ABC>?@D$% 1E，9#GCBC>HIJKL() 课后·训练提升 基础 巩固 1.(多选题)下列各式中一定成立的是( ). A.a+b=b+a B.0+a=a C.A→C+C→B=A→B D.|a+b|=|a|+|b| 答案 ABC 解析 因为 A,B,C项满足运算律及运算法则,所以一定 成立.而D项不一定成立,因为|a+b|≤|a|+|b|,只有 当a,b同向时等号才成立. 2.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为B→C 的 是( ). A.B→A+A→D+D→C B.B→D+D→A+A→C C.A→B+B→D+D→C D.D→C+B→A+A→D 答案 C 解析 在A中,B→A+A→D+D→C=B→D+D→C=B→C;在B中, B→D+D→A+A→C=B→A+A→C=B→C;在 C中,A→B+B→D+ D→C=A→D+D→C=A→C;在 D 中,D→C+B→A+A→D=D→C+ B→D=B→D+D→C=B→C. 3.如图,在正六边形ABCDEF 中,B→A+C→D+E→F 等于( ). B A C D E F A.0 B.B→E C.A→D D.C→F 答案 D 解析 B→A+C→D+E→F=D→E+C→D+E→F=C→E+E→F=C→F. 4.(A→B+M→B)+(B→O+B→C)+O→M 等于( ). A.B→C B.A→B C.A→C D.A→M 答案 C 解析 原式=A→B+M→B+B→O+B→C+O→M=(A→B+B→C)+ (M→B+B→O+O→M)=A→C+0=A→C. 5.已知平行四边形ABCD,设A→B+C→D+B→C+D→A=a,且 b是一非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+ b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是( ). A.①③ B.②③ C.②④ D.①② 答案 A 解析 ∵ 在 平 行 四 边 形 ABCD 中,A→B +C→D =0, B→C+D→A=0,∴a 为零向量,∵零向量和任意向量都平 行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,∴①③中 的结论正确,②④中的结论错误. 6.在平行四边形ABCD 中,若|B→C+B→A|=|B→C+A→B|,则 四边形ABCD 是 . 答案 矩形 解析 ∵|B→C+B→A|=|B→D|,|B→C+A→B|=|A→C|,且 |B→C+B→A|=|B→C+A→B|,∴|B→D|=|A→C|. 又四边形ABCD 是平行四边形, ∴四边形ABCD 是矩形. 7.如图所示,若点P 为△ABC 的外心,且P→A+P→B=P→C, 则∠ACB= . 答案 120° 解析 因为P→A+P→B=P→C,所以四边形APBC 是平行四 边形.因为点P 为△ABC 的外心,所以PA=PB=PC. 所以四边形PACB 是菱形,且△PAC 与△PBC 是全等 的等边三角形.所以∠ACB=120°. 8.已知在菱形ABCD 中,∠DAB=60°,|A→B|=1,则|B→C+ C→D|= . 答案 1 解析 在△ABD 中,AD=AB=1,∠DAB=60°, 则BD=1,则|B→C+C→D|=|B→D|=1. 9.已知正方形ABCD 的边长为1,A→B=a,A→C=b,B→C=c, 则|a+b+c|= . 答案 22 解析 因为正方形ABCD 的边长为1,所以AC= 2,所以 |a+b+c|=|A→B+A→C+B→C|=|A→B+B→C+A→C|= |A→C+A→C|=2|A→C|=22. A B D C O P 10.如图,在平行四边形ABCD 中, 对角线AC 与BD 相交于点O, P 为平面内任意一点. 求证:P→A+P→B+P→C+P→D=4P→O. 6
第六章平面向量及其应用 证明：PA+PB+P心+Pi=P6+OA+P心+OB+ 中等式不成立 Pi+O元+Pò+Oi=4Pi+(OA+OB+O元+Oi)= 3.若在△ABC中，AB=a,BC=b,且|a|=|b|=1, 4P0+(OA+O元)+(OB+Oi)=4P0+0+0=4P0. |a十b|=√2，则△ABC的形状是(). ..PA+PB+PC+PD=4PO. A.等边三角形 B.锐角三角形 11.如图(1)(2).已知向量a,b,c,求作向量a+b和a十b+c. C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案D 解析因为1AB1=la|=1,1BC1=|b|=1,AC1=|a+ b|=√2，所以△ABC为等腰直角三角形.故选D. 4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足 (1) (2) PA+P克=P心，则下列结论正确的是(). 解(1)作法：在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b, A.点P在△ABC的内部 B.点P在△ABC的边AB上 则OB=a十b. C.点P在AB边所在的直线上 0 D.点P在△ABC的外部 答案D 解析P+P店=P心，根据平行四 (2)在平面内任意取一点O,作O=b,B武=c, 边形法则，如图所示，可知点P在 Ci=a,则OA=a十b+c. △ABC的外部. 5.已知点G是△ABC的重心，则GA+G+G元= 答案0 解析如图，延长AG交BC于点E, 则点E为BC的中点，延长GE到 点D,使GE=ED,则G第+G元= 拓展·提高 GD,GD+GA=0,故GA+GB+ G元=0. 1.(多选题)向量a,b均为非零向量，下列说法中正确的 6.如图所示，已知电线AO与天花板 是(). 60 的夹角为60°，电线AO所受拉力 A.若向量a与b反向，且|a|>|b|,则向量a十b的方向 |F,|=24N,绳BO与墙壁垂直， 与a的方向相同 所受拉力|F2|=12N.求F1和 B.若向量a与b反向，且|a|<|b|,则向量a十b的方向 F,的合力大小 与a的方向相同 解如图，根据向量加法的平行四 C.若向量a与b同向，则向量a十b的方向与a的方向相同 60 D.若向量a与b同向，则向量a十b的方向与b的方向相同 边形法则，得到合力F=F1十F2= 答案ACD 0元. 解析当向量a与b反向，且|a|<|b|时，向量a十b的方 在△OCA中，1OA1=24. 1〡AC1=12,∠OAC=60°， 向与b的方向相同，只有B项说法错误，A,C,D项中的说 ∴.∠OCA=90°，.|O元1= 法都正确 2.(多选题)如图，D,E,F分别是 125..F1与F2的合力大小为 △ABC的边AB,BC,CA的中点， 125N,方向与F2成90°角竖直向上. 则下列等式成立的是( 挑战·创新 A.FD+DA+DE=0 B.AD+BE+CF=0 如图所示，P,Q是△ABC的边BC上 C.Fi+DE+AD=A店 的两点，且BP=QC.求证：AB+ D.AD+EC+FD=BD AC=A下+A反. 答案ABC 证明AB=A市+P克，AC=A+ 解析FD+DA+DE-FA+DE=0,故A中等式成立： oC. A市+B正+C京=AD+D京+F=0,故B中等式成立： ∴.AB+AC=AP+PB+AQ+QC Fi+D+AD=FE+AD=AD+D成=AB,故C中等 :P克与QC长度相等，方向相反，∴Pi+QC=0, 式成立：AD+E元+Fi=AD+0=AD=Di≠BD,故D *AB+AC=AP+AQ+0=AP+AQ
第六章 平面向量及其应用 证明 ∵P→A+P→B+P→C+P→D=P→O+O→A+P→O+O→B+ P→O+O→C+P→O+O→D=4P→O+(O→A+O→B+O→C+O→D)= 4P→O+(O→A+O→C)+(O→B+O→D)=4P→O+0+0=4P→O, ∴P→A+P→B+P→C+P→D=4P→O. 11.如图(1)(2),已知向量a,b,c,求作向量a+b和a+b+c. 解 (1)作法:在平面内任取一点O,作O→A=a,A→B=b, 则O→B=a+b. (2)在平面内任意取一点 O,作 O→B=b,B→C=c, C→A=a,则O→A=a+b+c. 拓展 提高 1.(多选题)向量a,b 均为非零向量,下列说法中正确的 是( ). A.若向量a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b的方向 与a的方向相同 B.若向量a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b 的方向 与a的方向相同 C.若向量a与b同向,则向量a+b的方向与a的方向相同 D.若向量a与b同向,则向量a+b的方向与b的方向相同 答案 ACD 解析 当向量a与b反向,且|a|<|b|时,向量a+b的方 向与b的方向相同,只有B项说法错误,A,C,D项中的说 法都正确. A B C D F E 2.(多选题)如图,D,E,F 分 别 是 △ABC 的边AB,BC,CA 的中点, 则下列等式成立的是( ). A.F→D+D→A+D→E=0 B.A→D+B→E+C→F=0 C.F→D+D→E+A→D=A→B D.A→D+E→C+F→D=B→D 答案 ABC 解析 F→D+D→A+D→E=F→A+D→E=0,故 A中等式成立; A→D+B→E+C→F=A→D+D→F+F→A=0,故 B中等式成立; F→D+D→E+A→D=F→E+A→D=A→D+D→B=A→B,故C中等 式成立;A→D+E→C+F→D=A→D+0=A→D=D→B≠B→D,故 D 中等式不成立. 3.若在 △ABC 中,A→B =a,B→C =b,且|a|=|b|=1, |a+b|= 2,则△ABC 的形状是( ). A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案 D 解析 因为|A→B|=|a|=1,|B→C|=|b|=1,|A→C|=|a+ b|= 2,所以△ABC 为等腰直角三角形.故选D. 4.已知△ABC 的三个顶点A,B,C 及平面内一点P,满足 P→A+P→B=P→C,则下列结论正确的是( ). A.点P 在△ABC 的内部 B.点P 在△ABC 的边AB 上 C.点P 在AB 边所在的直线上 D.点P 在△ABC 的外部 答案 D C A B P 解析 P→A+P→B=P→C,根据平行四 边形法则,如图所示,可知点 P 在 △ABC 的外部. 5.已知 点 G 是 △ABC 的 重 心,则 G→A +G→B +G→C = . 答案 0 A B C D E G 解析 如图,延长AG 交BC 于点E, 则点E 为BC 的中点,延长GE 到 点D,使GE=ED,则G→B+G→C= G→D,G→D +G→A=0,故 G→A +G→B+ G→C=0. 6.如图所示,已知电线AO 与天花板 的夹角为60°,电线AO 所受拉力 |F1|=24N,绳BO 与墙壁垂直, 所受拉力|F2|=12N.求F1 和 F2 的合力大小. 解 如图,根据向量加法的平行四 边形法则,得到合力F=F1+F2= O→C. 在 △OCA 中,∵|O→A|=24, |A→C|=12,∠OAC=60°, ∴∠OCA =90°,∴|O→C|= 123.∴F1 与 F2 的合力大小为 123N,方向与F2 成90°角竖直向上. 挑战 创新 A B P Q C 如图所示,P,Q 是△ABC 的边BC 上 的两 点,且 BP =QC.求 证:A→B + A→C=A→P+A→Q. 证明 ∵A→B=A→P+P→B,A→C=A→Q+ Q→C, ∴A→B+A→C=A→P+P→B+A→Q+Q→C. ∵P→B 与Q→C 长度相等,方向相反,∴P→B+Q→C=0, 故A→B+A→C=A→P+A→Q+0=A→P+A→Q. 7
数学 必修第二册 配人教A版 6.2.2向量的减法运算 课前·基础认知 1.相反向量 提示如图所示，在平行四边 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫 形ABCD中，AB=a,AD=b,则 做a的相反向量，记作一a· a十b=AC,a-b=DB. A (2)性质：①a与-a互为相反向量，-(-a)=a_, 微思考2已知向量a,b,那么|a|-|b|与la士bl及 ②由两个向量和的定义易知a十（一a)=(一a)十a=0 |a|十|b|三者之间具有什么样的关系？ ③如果a,b互为相反向量，那么a=一bb=一a, 提示它们之间的关系为l川a|一Ib||≤a士b|≤a十 a十b=0. bl. ④零向量的相反向量仍是零向量 (1)当a,b有一个为零向量时，不等式显然成立. 2.向量的减法 (2)当a,b不共线时，作OA=a,AB=b,则a十b= (1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即 O店，如图①所示，根据三角形的性质，有|川a|一|b|1|b,作法同上，如图③所示，此时|a十 bl=lal-1bl. 6 微提醒在用三角形法则作向量减法时，要注意“差 向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”，解题时要结合 aib o a A b B 图形，准确判断，防止混淆 微思考D在什么条件下，la-b|=la|+b|? 图① 图② 提示当向量a,b至少有一者为0或a,b均为非零向 o ab Bb A 量且方向相反时成立， 微探究以向量加法的平行四边形法则为基础，能 图③ 否构造一个图形，使a十b和a一b均在这个图形中？ 综上所述，得不等式Ila|-lbl≤a土b|≤la|+lbl. 课堂·重难突破 向量减法的儿何意义 解法二（定义法）如图②所示，在平面内任取一点O,作 OA=a,AB=b,则O=a十b,再作B武=-c,连接OC,则 典例剖析 QC=a+b-c. 1(1)如图，AB+BC-AD等于(). a+b-c aib a+b a+b-c R A.A市 B.D元 C.DB D.A正 图① 图② 答案B 解析AB+BC-AD=AC-AD=-D元. 规律总结」求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如求作a一b,可 (2)如图所示，已知向量a,b,c不共 线，求作向量a十b一c. 以先作a,一b,然后作a十（一b)即可. 解法一（几何意义法）如图①所示，在 (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量 的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减 平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,则 向量的终点的向量， O=a十b,再作O元=c,则CB=a十b-c
数 学 必修 第二册 配人教 A版 6.2.2 向量的减法运算 课前·基础认知 1.相反向量 (1)定义:与向量a长度 相等 ,方向 相反 的向量,叫 做a的相反向量,记作 -a . (2)性质:①a与-a互为 相反向量 ,-(-a)= a . ②由两个向量和的定义易知a+(-a)=(-a)+a=0. ③如果a,b互为相反向量,那么a= -b ,b=-a, a+b= 0 . ④零向量的相反向量仍是 零向量 . 2.向量的减法 (1)定义:向量a加上b的 相反向量 ,叫做a与b的差,即 a-b=a+(-b).求 两个向量差 的运算叫做向量的减法. (2)作法:在平面内任取一点O,作O→A=a,O→B=b,则 向量 B→A =a-b,如图所示. O A B b a a-b 微提醒 在用三角形法则作向量减法时,要注意“差 向量连接两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合 图形,准确判断,防止混淆. 微思考 1 在什么条件下,|a-b|=|a|+|b|? 提示 当向量a,b至少有一者为0或a,b 均为非零向 量且方向相反时成立. 微探究1以向量加法的平行四边形法则为基础,能 否构造一个图形,使a+b和a-b均在这个图形中? 提示 如图所示,在平行四边 形ABCD 中,A→B=a,A→D =b,则 a+b=A→C,a-b=D→B. 微思考 2 已知向量a,b,那么|a|-|b|与|a±b|及 |a|+|b|三者之间具有什么样的关系? 提示 它们之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+ |b|. (1)当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立. (2)当a,b 不共线时,作O→A=a,A→B=b,则a+b= O→B,如图①所示,根据三角形的性质,有||a|-|b|||b|,作法同上,如图③所示,此时|a+ b|=|a|-|b|. 综上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 课堂·重难突破 一 向量减法的几何意义 典例剖析 1.(1)如图,A→B+B→C-A→D 等于( ). A.A→D B.D→C C.D→B D.A→B 答案 B 解析 A→B+B→C-A→D=A→C-A→D=D→C. a b c (2)如图所示,已知向量a,b,c 不共 线,求作向量a+b-c. 解法一 (几何意义法)如图①所示,在 平面内任取一点O,作O→A=a,A→B=b,则 O→B=a+b,再作O→C=c,则C→B=a+b-c. 解法二 (定义法)如图②所示,在平面内任取一点O,作 O→A=a,A→B=b,则O→B=a+b,再作B→C=-c,连接OC,则 O→C=a+b-c. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如求作a-b,可 以先作a,-b,然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量 的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减 向量的终点的向量. 8
第六章平面向量及其应用 二向量的减法运算及简单应用 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆 向应用 典例剖析 3.与图形相关的向量运算化简 2.(1)如图所示： 首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分 ①用a,b表示Di 析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助 ②用b,c表示EC 化简运算 (2)化简： 三向量减法的应用 ①AB+BC-Ai: ②(AB-CD)-(AC-Bi)】 典例剖析 解(I)由题意知B武=a,Ci=b,D正=c. 3.(1)在四边形ABCD中，A=D元，若|AD-AB1= DDB=CB-CD=-BC-CD=-a-b. B元-BAI,则四边形ABCD是(). @EC=-CE=-(CD+DE)=-b-c. A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 (2)DAB+BC-AD=AC-AD=DC 答案B ②方法一：原式=AB-Ci-AC+BD=(AB+B丽) (AC+CD)=AD-AD=0: 解析：AB=D元，∴四边形ABCD为平行四边形， 方法二：原式=A店-Ci-AC+B丽=(AB-AC)十 AD-ABI=IBC-BAI...IBDI=IACI. (D元-Di)=Ci+BC=0. ,.四边形ABCD为矩形. (2)已知A1=6,AD1=9,求AB-AD1的取值范围. 规律总结 1,向量减法运算的常用方法 解：1IAB1-AD11≤1A店-AD1≤1AB1+AD1, 可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算 且1AD1=9,1AB1=6,∴3≤1AB-AD1≤15. 当AD与B同向时，AB-AD1=3: 常 运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有 当AD与A店反向时，AB-A心1=15. 方 共同的起点 .AB-AD1的取值范国为[3,15]. 引人点O,逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点 统 规律总结」用向量法解决平面儿何问题的步骤 (1)建立平面儿何与向量的联系，用向量表示问题中 2.向量加减法化简的两种形式 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 (1)首尾相连且为和. (2)通过向量运算，研究几何元素的关系， (2)起点相同且为差. (3)把运算结果“翻译”成儿何关系. 课后·训练提升 基础·巩固 3.(多选题)下列各式中能化简为AD的是( A.(AB-DC)-CB L.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( B.AD-(CD+D元) A.AB-DC=0 B.AD-BA=AC C.-(C第+M元)-(DA+B) C.AB-AD=BD D.AD+C克=0 D.-BM-DA+MB 答案C 答案ABC 解析因为四边形ABCD是平行四边形， 解析选项A中，(AB-D元)-C官=AB+C+B元 所以AB=D心，A店-D元=0，AD-BA=A市+ AB+BC+Ci=AD:选项B中，AD-(Ci+D元)= AB=AC.AB-Ai=D克，AD+CB=AD+DA=0,故 AD-0=AD:选项C中，-(C第+M心)-(DA+BM)= 只有C中结论错误. -CB-M心-DA-BM=BC+CM+AD+M店= 2.在△ABC中，BC=a,CA=b,则AB等于( (M店+B元+CM)+AD=AD:选项D中，-BM-Di+ A.a+b B.-a+(-b) Mi=M店+AD+Mi=2M花+AD C.a-b D.b-a 4.(多选题)若a,b为非零向量，则下列结论正确的是( 答案B A.若|a|+lb|=la十bl,则a与b方向相同 解析如图，A=-C+(-B心)=-b-a. B.若la|+lbl=a-bl,则a与b方向相反 C.若|al+lbl=la-bl,则la|=lbl D.若Ila-lb1=|a-bl,则a与b方向相同 答案ABD 解析对于选项A,若|a|十|b|=|a十b|,则a与b方向 9
第六章 平面向量及其应用 二 向量的减法运算及简单应用 典例剖析 2.(1)如图所示: ①用a,b表示D→B; ②用b,c表示E→C. (2)化简: ①A→B+B→C-A→D; ②(A→B-C→D)-(A→C-B→D). 解 (1)由题意知B→C=a,C→D=b,D→E=c. ①D→B=C→B-C→D=-B→C-C→D=-a-b. ②E→C=-C→E=-(C→D+D→E)=-b-c. (2)①A→B+B→C-A→D=A→C-A→D=D→C. ②方法一:原式=A→B-C→D-A→C+B→D=(A→B+B→D)- (A→C+C→D)=A→D-A→D=0; 方法二:原式=A→B-C→D-A→C+B→D=(A→B-A→C)+ (D→C-D→B)=C→B+B→C=0. 1.向量减法运算的常用方法 ! " # $ %&'()*+,，.+,/$0123456$12 1"+,/$0789$:，;?@A+,=B CD0EF GHF ，I"+,/$0789$:，JK+,EF LM O 2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆 向应用. 3.与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律,其次要分 析图形的性质,通过图形中向量的相等、平行等关系辅助 化简运算. 三 向量减法的应用 典例剖析 3.(1)在四边形ABCD 中,A→B=D→C,若|A→D-A→B|= |B→C-B→A|,则四边形ABCD 是( ). A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 答案 B 解析 ∵A→B=D→C,∴四边形ABCD 为平行四边形, 又|A→D-A→B|=|B→C-B→A|,∴|B→D|=|A→C|. ∴四边形ABCD 为矩形. (2)已知|A→B|=6,|A→D|=9,求|A→B-A→D|的取值范围. 解 ∵||A→B|-|A→D||≤|A→B-A→D|≤|A→B|+|A→D|, 且|A→D|=9,|A→B|=6,∴3≤|A→B-A→D|≤15. 当A→D 与A→B 同向时,|A→B-A→D|=3; 当A→D 与A→B 反向时,|A→B-A→D|=15. ∴|A→B-A→D|的取值范围为[3,15]. 用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中 涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算,研究几何元素的关系. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 课后·训练提升 基础 巩固 1.在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( ). A.A→B-D→C=0 B.A→D-B→A=A→C C.A→B-A→D=B→D D.A→D+C→B=0 答案 C 解析 因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以A→B=D→C,A→B -D→C=0,A→D -B→A =A→D + A→B=A→C,A→B-A→D=D→B,A→D+C→B=A→D+D→A=0,故 只有C中结论错误. 2.在△ABC 中,B→C=a,C→A=b,则A→B 等于( ). A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 答案 B 解析 如图,A→B=-C→A+(-B→C)=-b-a. 3.(多选题)下列各式中能化简为A→D 的是( ). A.(A→B-D→C)-C→B B.A→D-(C→D+D→C) C.-(C→B+M→C)-(D→A+B→M) D.-B→M-D→A+M→B 答案 ABC 解析 选项 A 中,(A→B-D→C)-C→B=A→B+C→D+B→C= A→B+B→C+C→D=A→D;选项 B 中,A→D-(C→D +D→C)= A→D-0=A→D;选项C中,-(C→B+M→C)-(D→A+B→M)= -C→B -M→C -D→A -B→M =B→C +C→M +A→D +M→B = (M→B+B→C+C→M)+A→D=A→D;选项 D中,-B→M-D→A+ M→B=M→B+A→D+M→B=2M→B+A→D. 4.(多选题)若a,b为非零向量,则下列结论正确的是( ). A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同 B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反 C.若|a|+|b|=|a-b|,则|a|=|b| D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同 答案 ABD 解析 对于选项 A,若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向 9
数学必修第二册 配人教A版 相同，结论正确：对于选项B,若|a|十|b|=|a一b|,则a 与b方向相反，结论正确：对于选项C,若|a十|b|=a一 b|,则a与b方向相反，但a与b的模不一定相等，结论错 误；对于选项D,若1la|-|b|=la-bl,则a与b方向 a-b 相同，结论正确. 5.如图，在四边形ABCD中，设AB=a, AD=b,BC=c,则DC等于( ① Aa-b十c 方法二：先作一b,一c,再作a十（一b)十（一c),如图② B.b-(a十c) 作AB=-b,BC=-c; C.a+b+c 作O=a,连接OC,则OC=a-b-c. D.b-a+c 10.设O是△ABC内一点，且Oi=a,O克=b,O心=c,若以 答案A 线段OA,OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D,再 解析由题意可知，DC=DA+AB+BC=一b十a十c.故 以线段OC,OD为邻边作平行四边形，第四个顶点为H. 选A. 试用a,b,c表示D心，Oi,Bi. 6.如图，在△ABC中，若D是边BC的 解由题意可知四边形OADB为平行四边形， 中点，E是边AB上一点，则BE ∴.O元=OA+OB=a+b, DC+ED= ∴.DC=O元-Oi=c-(a+b)=c-a-b. 答案0 B4 又四边形ODHC为平行四边形， 解析图为D是边BC的中点，所以B正-D元+E市= ∴.Oi=O元+Od=c+a+b, Bi+ED-D元=Bd-DC=0. ..BH=OH-OB=c+a+b-b=a+c. 7.已知Oi=a,Oi=b,若|OA1=12,|O形1=5，且 ∠AOB=90°，则|a-b1= 拓展·提高 答案13 1.平面内有四边形ABCD和点O,若OA+O心=O克+O市 解析：1OA1=12,1OB1=5,∠AOB=90°， 则四边形ABCD的形状是(). .1OA12+1OB12=AB12, A.梯形 B.平行四边形 .1AB1=13. C.矩形 D.菱形 .OA=a,OB=b, 答案B ∴.a-b=OA-OB=Bi 解析因为OA+O心=O店+O心，所以Oi-O店=O市- .la-b1=|BA1=13. O心，即BA=CD,所以AB LCD,故四边形ABCD是平 8.设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且IBC1= 行四边形 4,AB+AC1=1AB-AC1,则1AM=」 2.若AB1=5,AC1=8,则1BC1的取值范围是(). 答案2 A.[3,8] B.(3,8) 解析以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由向 C.[3,13] D.(3,13) 量加减法几何意义可知，AD=A店+AC,C克=A店-A心 答案C .AB+ACI=IAB-ACI, 解析：1BC1=|AC-AB1,且|1AC1一|AB1川≤ ∴AD1=CB1. AC-AB1≤IAC1+1AB1. 又|BC|=4,M是线段BC的中点， ∴.3≤1AC-AB1≤13，即3≤1BC1≤13. 1Ai=21=21BC1=2 3.已知平面上有三点A,B,C,设m=AB+B元，n= AB-BC,若m,n的长度恰好相等，则有(）. 9.如图，已知向量a,b,c,求作向量a一b-c. A.A,B,C三点必在同一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形，且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形，且∠B=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 答案C 解析：m=AB+BC,n=A店-BC,m与n的长度相等， 解方法一：先作a一b,再作a一b一c即可. ..IAB+BCI=IAB-BCI. 如图①所示，以A为起点分别作向量AB和AC,使 以AB,BC为邻边作平行四边形ABCD(图略)，则 AB=a,AC=b.连接CB,得向量CB=a-b,再以C为 AB+BC=AC.AB-BC=AB-AD=DB, 起点作向量CD,使CD=c,连接DB,得向量DB.则向量 ∴AC=DB,平行四边形ABCD为矩形，则△ABC DB即为所求作的向量a一b一c. 为直角三角形，∠ABC=90° 10
数 学 必修 第二册 配人教 A版 相同,结论正确;对于选项B,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b方向相反,结论正确;对于选项C,若|a|+|b|=|ab|,则a与b方向相反,但a与b的模不一定相等,结论错 误;对于选项D,若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向 相同,结论正确. 5.如图,在四边形ABCD 中,设A→B=a, A→D=b,B→C=c,则D→C 等于( ). A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 答案 A 解析 由题意可知,D→C=D→A+A→B+B→C=-b+a+c.故 选 A. 6.如图,在△ABC 中,若D 是边BC 的 中点,E 是边AB 上一点,则 B→ED→C+E→D= . 答案 0 解析 因为 D 是边BC 的中点,所以B→E-D→C+E→D= B→E+E→D-D→C=B→D-D→C=0. 7.已 知 O→A =a,O→B =b,若|O→A|=12,|O→B|=5,且 ∠AOB=90°,则|a-b|= . 答案 13 解析 ∵|O→A|=12,|O→B|=5,∠AOB=90°, ∴|O→A|2+|O→B|2=|A→B|2, ∴|A→B|=13. ∵O→A=a,O→B=b, ∴a-b=O→A-O→B=B→A, ∴|a-b|=|B→A|=13. 8.设M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,且|B→C|= 4,|A→B+A→C|=|A→B-A→C|,则|A→M|= . 答案 2 解析 以AB,AC 为邻边作平行四边形ACDB(图略),由向 量加减法几何意义可知,A→D=A→B+A→C,C→B=A→B-A→C. ∵|A→B+A→C|=|A→B-A→C|, ∴|A→D|=|C→B|. 又|B→C|=4,M 是线段BC 的中点, ∴|A→M|= 1 2 |A→D|= 1 2 |B→C|=2. 9.如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c. a b c 解 方法一:先作a-b,再作a-b-c即可. 如图①所示,以A 为起点分别作向量A→B 和A→C,使 A→B=a,A→C=b.连接CB,得向量C→B=a-b,再以C 为 起点作向量C→D,使C→D=c,连接DB,得向量D→B.则向量 D→B 即为所求作的向量a-b-c. a b c a-b a b c - - -b -c A B C D O C A B a a b c - - ① ② 方法二:先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②. 作A→B=-b,B→C=-c; 作O→A=a,连接OC,则O→C=a-b-c. 10.设O 是△ABC 内一点,且O→A=a,O→B=b,O→C=c,若以 线段OA,OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再 以线段OC,OD 为邻边作平行四边形,第四个顶点为H. 试用a,b,c表示D→C,O→H,B→H. 解 由题意可知四边形OADB 为平行四边形, ∴O→D=O→A+O→B=a+b, ∴D→C=O→C-O→D=c-(a+b)=c-a-b. 又四边形ODHC 为平行四边形, ∴O→H=O→C+O→D=c+a+b, ∴B→H=O→H-O→B=c+a+b-b=a+c. 拓展 提高 1.平面内有四边形ABCD 和点O,若O→A+O→C=O→B+O→D, 则四边形ABCD 的形状是( ). A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 答案 B 解析 因为O→A+O→C=O→B+O→D,所以O→A-O→B=O→DO→C,即B→A=C→D,所以ABCD,故四边形ABCD 是平 行四边形. 2.若|A→B|=5,|A→C|=8,则|B→C|的取值范围是( ). A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 答案 C 解析 ∵|B→C|=|A→C-A→B|,且||A→C|-|A→B||≤ |A→C-A→B|≤|A→C|+|A→B|. ∴3≤|A→C-A→B|≤13,即3≤|B→C|≤13. 3.已 知 平 面 上 有 三 点 A,B,C,设 m =A→B +B→C,n= A→B-B→C,若m,n的长度恰好相等,则有( ). A.A,B,C 三点必在同一条直线上 B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角 C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90° D.△ABC 必为等腰直角三角形 答案 C 解析 ∵m=A→B+B→C,n=A→B-B→C,m 与n的长度相等, ∴|A→B+B→C|=|A→B-B→C|. 以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD(图略),则 A→B+B→C=A→C,A→B-B→C=A→B-A→D=D→B, ∴A→C=D→B,平行四边形 ABCD 为矩形,则△ABC 为直角三角形,∠ABC=90°. 10