第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合 1.1.1 集合及其表示方法 第1课时 集合的含义 1.通过实例了解集合的含义及集合相等、空集、有限集、无限集等概念 2.掌握集合的元素的三个特点」 课标定位 素养阐释 3.掌握元素与集合的关系，能用“∈”或“任”表示元素与集合的关系。 4.记住常见的数集的符号. 5.体会数学抽象的过程，加强逻辑推理和数学运算能力的培养， 课前 基础认知 一、集合的有关概念 提示能，有b,a,n三个元素.由于集合中的元素是互 【问题思考】 不相同的，因此三个a只能算一个，2个n只能算一个，（互 阅读下面的语句，并回答问题： 异性) (1)中国的四大名著： 2.分别由2,0,1,9和0,1,2,9组成的集合一样吗？为 (2)方程x2-2x=0的所有解： 什么？ (3)某校园里较高的树： 提示一样.集合中的元素没有顺序.（无序性） (4)直线y=x上的所有点。 3.集合的元素的特点 1.以上各语句中要研究的对象分别是什么？ 特点 含义 提示分别为名著、方程的解、较高的树、点 给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素， 2.哪个语句中的对象不确定？为什么？ 确定性 应该可以明确地判断出来 提示(3)中的对象不确定，因为“较高”无明确的标准。 集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同 3.填空：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起 互异性 的对象归人同一个集合时只能算作集合中的一个 就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的 元素 每个对象都是这个集合的元素 无序性集合中的元素可以任意排列 集合通常用英文大写字母A,B,C,…表示，集合的元 4.做一做 素通常用英文小写字母a,b,c,…表示 若集合M中含有3个元素：0，x2,一x,则实数x满足 4.做一做：下列各组对象的全体不能构成集合的是( 的条件是 A.某校高一的男同学 x2≠-x, B.某校高一的女同学 解析由集合中元素的互异性，可得 一x≠0，解得 C.某校高一性格开朗的女同学 x2≠0， D.某校高一的所有同学 x≠0，且x≠一1. 答案C 答案x≠0，且x≠-1 二、集合的元素的特点 三、元素与集合的关系 【问题思考】 【问题思考】 L.由英文单词“banana”中的所有字母能组成一个集合 1.设集合A是由直线y=2x上的所有点组成的，则 吗？若能，说明集合中有哪些元素；若不能，请说明理由. (1,2)和1与集合A是什么关系？
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第1课时 集合的含义 课标定位 素养阐释 1.通过实例了解集合的含义及集合相等、空集、有限集、无限集等概念. 2.掌握集合的元素的三个特点. 3.掌握元素与集合的关系,能用“∈”或“∉”表示元素与集合的关系. 4.记住常见的数集的符号. 5.体会数学抽象的过程,加强逻辑推理和数学运算能力的培养. 课前 ·基础认知 一、集合的有关概念 【问题思考】 阅读下面的语句,并回答问题: (1)中国的四大名著; (2)方程x2-2x=0的所有解; (3)某校园里较高的树; (4)直线y=x 上的所有点. 1.以上各语句中要研究的对象分别是什么? 提示 分别为名著、方程的解、较高的树、点. 2.哪个语句中的对象不确定? 为什么? 提示 (3)中的对象不确定,因为“较高”无明确的标准. 3.填空:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起, 就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集),组成集合的 每个对象都是这个集合的元素. 集合通常用英文大写字母A,B,C,…表示,集合的元 素通常用英文小写字母a,b,c,…表示. 4.做一做:下列各组对象的全体不能构成集合的是( ) A.某校高一的男同学 B.某校高一的女同学 C.某校高一性格开朗的女同学 D.某校高一的所有同学 答案 C 二、集合的元素的特点 【问题思考】 1.由英文单词“banana”中的所有字母能组成一个集合 吗? 若能,说明集合中有哪些元素;若不能,请说明理由. 提示 能,有b,a,n三个元素.由于集合中的元素是互 不相同的,因此三个a只能算一个,2个n只能算一个.(互 异性) 2.分别由2,0,1,9和0,1,2,9组成的集合一样吗? 为 什么? 提示 一样.集合中的元素没有顺序.(无序性) 3.集合的元素的特点 特点 含 义 确定性 给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素, 应该可以明确地判断出来 互异性 集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同 的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个 元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 4.做一做: 若集合M 中含有3个元素:0,x2,-x,则实数x 满足 的条件是 . 解析 由集合中元素的互异性,可得 x2≠-x, -x≠0, x2 ≠0, 解得 x≠0,且x≠-1. 答案 x≠0,且x≠-1 三、元素与集合的关系 【问题思考】 1.设集合A 是由直线y=2x 上的所有点组成的,则 (1,2)和1与集合A 是什么关系? 1
数学 必修第一册 配人教B版 提示(1,2)是集合A的元素，即(1,2)属于集合A,记 五、集合相等 作(1,2)∈A:1不是集合A的元素，即1不属于集合A,记 【问题思考】 作1任A. 1.设由方程|x|=1的所有解组成集合M,由方程t= 2.填表：元素与集合的关系 t 的所有解组成集合N,请问M,N中都有哪些元素？M 语言描述 记法 读法 与N是什么关系？ a是集合A的元素 a∈A a属于A 提示M,N都只含有元素1和一1.集合M和N相 a不是集合A的元素 aEA a不属于A 等，即M=N. 3.做一做：设集合M是满足y=x2的有序实数对(x, 2.填空：给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完 y)组成的集合，则-1 M,(-1,1) 全相同，就称这两个集合相等，记作A=B, M,(1,-1) M.(用“∈”或“”填空) 3.做一做：在下列几组集合中，相等的是() 答案任∈氏 A.由1,2组成的集合与由0,1,2组成的集合 B.由5,3组成的集合与由(5,3)组成的集合 四、空集和集合的分类 C.由(5,3)组成的集合与由(3,5)组成的集合 【问题思考】 D.由1,2,2,3,6,6组成的集合与由6的正整数因数组 1.由方程x2=一1的所有实数根组成的集合有多少个 成的集合 元素？ 提示0个， 答案D 六、几种常见的数集 2.填空：(1)有限集、无限集与空集 【问题思考】 含有有限个元素的集合.如“方程3x十1=0的解组 有限集 L.填写下表：常见的数集及其表示符号 成的集合” 名称自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 含有无限个元素的集合.如“到平面上两个定点的 无限集 符号 N Nt或N Z Q R 距离相等的所有点组成的集合”“x一1>0的解集” 2.做一做：下列关系正确的个数为( 空集 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作⑦.如 ①π∈R:②5EQ:③0EN+:④l-4|eN+:⑤-2∈N “方程3x2+1=0(x∈R)的解集” A.1 B.2 C.3 D.4 (2)空集是有限集。 答案C 3.做一做：(1)下列描述的对象构成的集合是无限集的 是() 【思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画 A.方程x2一6x-16=0的根 B.大于0，且小于5的实数 “/”,错误的画“X” (1)某次知识竞赛，得分较高的同学可组成集合.(×) C.小于22的质数 D.倒数等于它本身的实数 (2)自然数集是有限集， (×) (2)下列集合是空集的是( 3)由数1.0，号， 1 2 组成的集合含有4个元素. A.平方等于√2的数组成的集合 (×) B.绝对值为一2的数组成的集合 (4)若a∈N,则一a任N (×) C.到线段AB两端点距离相等的点组成的集合 (5)由o,b,k三个字母组成的集合A与由单词“book” D.面积为0.1的三角形组成的集合 中的所有字母组成的集合B相等」 (√) 答案(1)B(2)B 课堂 ·重难突破 探究一集合的概念 ⑤1,05，号，号组成的架合含有4个元素。 其中正确的是( 【例1】下列说法： A.①②④B.②③⑤ C.③④⑤D.②④ ①接近于0的数的全体组成一个集合： ②长方体的全体组成一个集合： 解析①③中的元素不能确定，⑤组成的集合含有3个 ③高科技产品组成一个集合； 元素，②④中的元素是确定的，所以②④中的对象能组成 ④不大于3的所有自然数组成一个集合： 集合 答案D
数 学 必修 第一册 配人教B版 提示 (1,2)是集合A 的元素,即(1,2)属于集合A,记 作(1,2)∈A;1不是集合A 的元素,即1不属于集合A,记 作1∉A. 2.填表:元素与集合的关系 语言描述 记 法 读 法 a是集合A 的元素 a∈A a属于A a不是集合A 的元素 a∉A a不属于A 3.做一做:设集合 M 是满足y=x2 的有序实数对(x, y)组成的集合,则-1 M,(-1,1) M,(1,-1) M.(用“∈”或“∉”填空) 答案 ∉ ∈ ∉ 四、空集和集合的分类 【问题思考】 1.由方程x2=-1的所有实数根组成的集合有多少个 元素? 提示 0个. 2.填空:(1)有限集、无限集与空集 有限集 含有有限个元素的集合.如“方程3x+1=0的解组 成的集合” 无限集 含有无限个元素的集合.如“到平面上两个定点的 距离相等的所有点组成的集合”“x-1>0的解集” 空集 我们把不含任何元素的集合称为空集,记作⌀.如 “方程3x 2+1=0(x∈R)的解集” (2)空集是有限集. 3.做一做:(1)下列描述的对象构成的集合是无限集的 是( ) A.方程x2-6x-16=0的根 B.大于0,且小于5的实数 C.小于22的质数 D.倒数等于它本身的实数 (2)下列集合是空集的是( ) A.平方等于 2的数组成的集合 B.绝对值为-2的数组成的集合 C.到线段AB 两端点距离相等的点组成的集合 D.面积为0.1的三角形组成的集合 答案 (1)B (2)B 五、集合相等 【问题思考】 1.设由方程|x|=1的所有解组成集合 M,由方程t= 1 t 的所有解组成集合N.请问 M,N 中都有哪些元素? M 与N 是什么关系? 提示 M,N 都只含有元素1和-1.集合 M 和N 相 等,即M=N. 2.填空:给定两个集合A 和B,如果组成它们的元素完 全相同,就称这两个集合相等,记作A=B. 3.做一做:在下列几组集合中,相等的是( ) A.由1,2组成的集合与由0,1,2组成的集合 B.由5,3组成的集合与由(5,3)组成的集合 C.由(5,3)组成的集合与由(3,5)组成的集合 D.由1,2,2,3,6,6组成的集合与由6的正整数因数组 成的集合 答案 D 六、几种常见的数集 【问题思考】 1.填写下表:常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N+ 或N * Z Q R 2.做一做:下列关系正确的个数为( ) ①π∈R;② 3∉Q;③0∉N+ ;④|-4|∉N+ ;⑤-2∈N. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)某次知识竞赛,得分较高的同学可组成集合. (×) (2)自然数集是有限集. (×) (3)由数1,0, 1 2 , - 1 2 组成的集合含有4个元素. (×) (4)若a∈N,则-a∉N. (×) (5)由o,b,k三个字母组成的集合A 与由单词“book” 中的所有字母组成的集合B 相等. (√) 课堂 ·重难突破 探究一 集合的概念 【例1】下列说法: ①接近于0的数的全体组成一个集合; ②长方体的全体组成一个集合; ③高科技产品组成一个集合; ④不大于3的所有自然数组成一个集合; ⑤1,0.5, 3 2 , 1 2 组成的集合含有4个元素. 其中正确的是( ) A.①②④ B.②③⑤ C.③④⑤ D.②④ 解析 ①③中的元素不能确定,⑤组成的集合含有3个 元素,②④中的元素是确定的,所以②④中的对象能组成 集合. 答案 D 2
第一章集合与常用逻辑用语 ①反思感悟 集合中的元素是确定的，即对任何一个对象，我们 探究三集合中元素的特点及应用 都能判断它是不是某个集合中的元素，并且两者必居 【例3】已知一3∈A,且集合A中含有的元素有a一3， 其一，因此它是判断一组对象能否组成集合的一个标 2a一1，a2+1,求实数a的值 准.若这组对象是明确的、具体的，则它们可以组成一 个集合：若是模棱两可的，则它们不能组成一个集合 解由-3∈A,且a2+1≥1，可知a-3=-3或2a- 1=-3. 【变式训练1】判断下列每组对象能否组成一个集合 当a一3=一3时，a=0: (1)不超过20的非负数： 当2a-1=-3时，a=-1. (2)直角坐标平面内第一象限的一些点： 经检验，a=0与a=一1都符合互异性。 (3)√3的近似值的全体」 故a=0或一1. 解(1)任给一个实数工，都可以明确地判断是不是“不 反思感悟 超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x0的所有解组成的集 1.下列对象不能组成集合的是( 合为M,则下列关系正确的是( ①我国近代著名的数学家：②所有的等腰直角三角形： A.0∈M,2∈M B.0tM,2∈M ③空气中密度大的气体， C.0∈M,2EM D.0在M,2在M A.①② B.②③ C.①②③D.①③ 答案B 答案D 33
第一章 集合与常用逻辑用语 集合中的元素是确定的,即对任何一个对象,我们 都能判断它是不是某个集合中的元素,并且两者必居 其一,因此它是判断一组对象能否组成集合的一个标 准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以组成一 个集合;若是模棱两可的,则它们不能组成一个集合. 【变式训练1】判断下列每组对象能否组成一个集合. (1)不超过20的非负数; (2)直角坐标平面内第一象限的一些点; (3)3的近似值的全体. 解 (1)任给一个实数x,都可以明确地判断是不是“不 超过20的非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20或x0的所有解组成的集 合为M,则下列关系正确的是( ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M 答案 B 探究三 集合中元素的特点及应用 【例3】已知-3∈A,且集合A 中含有的元素有a-3, 2a-1,a2+1,求实数a的值. 解 由-3∈A,且a2+1≥1,可知a-3=-3或2a- 1=-3. 当a-3=-3时,a=0; 当2a-1=-3时,a=-1. 经检验,a=0与a=-1都符合互异性. 故a=0或-1. 1.先根据集合中元素的确定性可以解出集合中字 母的所有可能的值或范围,再对集合中的元素进行检 验从而判断是否满足集合中元素的互异性. 2.在利用集合中元素的特点解题时,要注意分类 讨论思想的运用. 【变式训练3】若集合中的三个元素分别为2,x,x2- x,则元素x 应满足的条件是 . 解析 由集合中元素的互异性可知x≠2,且x2-x≠2, 且x2-x≠x,即 x≠2, x2-x≠2, x2-x≠x, 解得x≠2,且x≠-1,且x≠0. 答案 x≠2,且x≠-1,且x≠0 易 错 辨 析 因忽视集合中元素的互异性致错 【典例】设由关于x 的方程x2-(a+1)x+a=0的所 有解组成的集合为A,试写出集合A 中的所有元素. 错解 由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0, 所以方程的解为x1=1,x2=a. 故集合A 中的元素为1和a. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错解中未注意到字母a的取值的不确定性. 当a=1时,不满足集合中元素的互异性. 正解 解方程x2-(a+1)x+a=0,得x1=1,x2=a. 当a=1时,集合A 中只有一个元素1; 当a≠1时,集合A 中有两个元素1和a. 根据集合的元素求参数的值时,求得的参数值必 须代入验证,满足集合中元素的互异性. 随堂训练 1.下列对象不能组成集合的是( ) ①我国近代著名的数学家;②所有的等腰直角三角形; ③空气中密度大的气体. A.①② B.②③ C.①②③ D.①③ 答案 D 3
数学 必修第一册 配人教B版 2.已知集合A中只有一个元素1，若b∈A,则b等于( 数x组成的集合，则3 C,5 C A.1 B.-1 解析(1)25=√12>√T. C.±1 D.0 因为(1+√2)2=3+2√20时，关于x的方程x2十ax十b=0的所 B,1+√2 B: 有解组成的集合含有两个元素 (2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实 课后 ·训练提升 1.下列对象能组成集合的是( 4.已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，6一a日 ①某商店中所有漂亮的水杯：②所有的钝角三角形： A,则a的值为( ③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数： A.2 B.2或4 ⑤某中学所有长头发的学生. C.4 D.0 A.①②④ B.②⑤ 解析若a=2∈A,则6一a=4∈A:若a=4∈A,则6 C.③④⑤ D.②③④ a=2∈A:若a=6∈A,则6-a=0任A.故选B. 解析由集合中元素的确定性知，①中“漂亮的水杯”和⑤ 答案B 中“长头发的学生”标准不确定，所以①⑤不能组成集合 答案D 5.已知，y都是非零实数=舌十六十岛可能的取 y 2.下面三个命题：①集合N中最小的数是1：②若-a任N, 值组成的集合为A,则下列判断正确的是() 则a∈N:③若a∈N,b∈N,则a十b的最小值是2. A.3∈A,-1任A B.3∈A,-1∈A 其中正确命题的个数是() C.3tA,-1∈A D.3tA,-1旺A A.0 B.1 C.2 D.3 解析当x,y均为正数时，z=3:当x,y均为负数时，z= 解析因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以① 一1：当x,y为一正一负时，z=一1. 错：对于②，取a=√2，则一√2任N,2N,所以②错：对 所以3∈A,-1∈A,故选B 于③，当a=0,b=0时，a十b取得最小值是0，而不是2， 答案B 所以③错」 6.由实数t,|t|,t2,一t,t3所构成的集合M中最多含有 答案A 个元素 3.下列正确结论的个数是( 解析由于|t|至少与t和一t中的一个相等，因此集合M D1∈N,@E∈N:o时∈Q.©2+eR⑤2ez 中至多含有4个元素】 答案4 A.1 B.2 7.已知集合P中的元素x满足：x∈N,且2<x<a,又集合 C.3 D.4 P中恰有三个元素，则整数a= 解析1是自然数，∴.1∈N,故①正确： 解析，x∈N,且2<x<a,∴.结合数轴（略）知a=6. 厄不是正整数，2N”,故②不正确； 答案6 :是有理数∴0，故③正确： 8.已知集合A中的元素y∈N,且y=一x2+1,若t∈A,则 2十√2是实数，2十√反∈R,所以④不正确； t的值为 :号=2是整数…心号∈Z,故⑤不正确 解析，y∈N,且y=-x2+1,∴y=0或y=1. 又t∈A,.t=0或t=1. 答案B 答案0或1
数 学 必修 第一册 配人教B版 2.已知集合A 中只有一个元素1,若|b|∈A,则b等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.0 解析 由题意,得|b|=1,解得b=±1. 答案 C 3.若集合 A 中有两个元素x 与x2,则x 的值不可以是 . 解析 由集合中元素的互异性知,x2 ≠x,解得x≠0,且 x≠1. 答案 0,1 4.用符号“∈”或“∉”填空: (1)设集合B 是小于 11的所有实数组成的集合,则23 B,1+ 2 B; (2)设集合C 是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实 数x组成的集合,则3 C,5 C. 解析 (1)23= 12> 11. 因为(1+ 2)2=3+220时,关于x 的方程x2+ax+b=0的所 有解组成的集合含有两个元素. 课后 ·训练提升 1.下列对象能组成集合的是( ) ①某商店中所有漂亮的水杯;② 所有的钝角三角形; ③2015年诺贝尔经济学奖得主;④大于等于0的整数; ⑤某中学所有长头发的学生. A.①②④ B.②⑤ C.③④⑤ D.②③④ 解析 由集合中元素的确定性知,①中“漂亮的水杯”和⑤ 中“长头发的学生”标准不确定,所以①⑤不能组成集合. 答案 D 2.下面三个命题:①集合 N中最小的数是1;②若-a∉N, 则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 因为自然数集中最小的数是0,而不是1,所以① 错;对于②,取a= 2,则- 2∉N,2∉N,所以②错;对 于③,当a=0,b=0时,a+b取得最小值是0,而不是2, 所以③错. 答案 A 3.下列正确结论的个数是( ) ①1∈N;② 2∈N* ;③ 1 2 ∈Q;④2+ 2∉R;⑤ 4 2 ∉Z. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵1是自然数,∴1∈N,故①正确; ∵ 2不是正整数,∴ 2∉N* ,故②不正确; ∵ 1 2 是有理数,∴ 1 2 ∈Q,故③正确; ∵2+ 2是实数,∴2+ 2∈R,所以④不正确; ∵ 4 2 =2是整数,∴ 4 2 ∈Z,故⑤不正确. 答案 B 4.已知集合A 含有三个元素2,4,6,且当a∈A 时,6-a∈ A,则a的值为( ) A.2 B.2或4 C.4 D.0 解析 若a=2∈A,则6-a=4∈A;若a=4∈A,则6- a=2∈A;若a=6∈A,则6-a=0∉A.故选B. 答案 B 5.已知x,y 都是非零实数,z= x |x| + y |y| + xy |xy| 可能的取 值组成的集合为A,则下列判断正确的是( ) A.3∈A,-1∉A B.3∈A,-1∈A C.3∉A,-1∈A D.3∉A,-1∉A 解析 当x,y均为正数时,z=3;当x,y均为负数时,z= -1;当x,y为一正一负时,z=-1. 所以3∈A,-1∈A,故选B. 答案 B 6.由实数t,|t|,t2,-t,t3 所构成的集合 M 中最多含有 个元素. 解析 由于|t|至少与t和-t中的一个相等,因此集合 M 中至多含有4个元素. 答案 4 7.已知集合P 中的元素x 满足:x∈N,且2<x<a,又集合 P 中恰有三个元素,则整数a= . 解析 ∵x∈N,且2<x<a,∴结合数轴(略)知a=6. 答案 6 8.已知集合A 中的元素y∈N,且y=-x2+1,若t∈A,则 t的值为 . 解析 ∵y∈N,且y=-x2+1,∴y=0或y=1. 又t∈A,∴t=0或t=1. 答案 0或1 4
第一章集合与常用逻辑用语 9.设非空数集A满足以下条件：若a∈A,则亡。∈A.且 由集合元素的互异性知，P十Q中的元素为1,2,3， 4,6,7,8,11,共8个 1任A. 11.已知集合M是由2，a,b三个元素组成的集合，集合N 若2∈A,你还能求出集合A中哪些元素？ 是由2a,2,b2三个元素组成的集合.若M=N,求实数 解若2EA,则亡2=-1A,于是--D=2∈A, a,b的值. 1 而 解由M与N相等及集合中元素的特点，得=：'① b=2a. 所以集合A中还有-1,7这两个元素。 1 a=1 4 10.设P,Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素， 解①，得=0 0， ②，得 或/a0， Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P十Q中的元素是 b=1b=0: .1 b=0. b2 a十b,其中a∈P,b∈Q,则P十Q中元素的个数是多少？ 解当a=0时，b依次取1,2,6，得a十b的值分别为 当a=0 时，不符合集合中元素的互异性，舍去 b=0 1,2,6: 当a=2时，b依次取1,2,6，得a十b的值分别为3， a= a=0, 或 4,8: 故a,b的值为 b=1 h三 当a=5时，b依次取1,2,6，得a十b的值分别为6， 2 7,11. 第2课时集合的表示 1,掌握集合的两种表示方法—列举法、描述法。 课标定位 2.能够灵活选用集合的表示方法表示相应集合， 素养阐释 3.了解区间的概念，能使用区间表示某些集合 4.体会数学抽象的过程，注重培养数学运算能力 课前 基础认知 一、列举法 4.用列举法表示下列集合： 【问题思考】 (1)小于10的所有自然数组成的集合： 1.下列集合中的元素有哪些？如何表示这些集合？ (2)方程x2=x的所有实数解组成的集合： (I)地球上的四大洋组成的集合： (3)由1一20以内的所有素数组成的集合. (2)方程(x-3)(x-2)=0的所有解组成的集合： 解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,则 (3)正整数集N+· A={0.1,2,3.4,5.6,7,8.9}. 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序 提示(1)元素有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋，集合 无关，因此集合A可以有不同的列举方法.例如A={9,8. 可表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 7,6,5,4.3,2,1,0}. (2)元素有2,3，集合可表示为{2,3}. (2)设方程x2=x的所有实数解组成的集合为B,则 (3)元素有1,2,3，…，集合可表示为{1,2,3，…. B={0,1}. 2.填空：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间 (3)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C,则 用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为 C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 列举法 二、描述法 3.(1)集合{3,9,8}和{9,3,8}是什么关系？ 【问题思考】 (2)a与{a}相同吗？ 1.(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？ (2)不等式x一7<3的所有解组成的集合用列举法表 (3)用列举法只能表示有限集吗？ 示方便吗？ 提示(1){3,9,8}={9,3,8}. 提示(1)能.大于1，且小于9的偶数组成的集合.（答 (2)a是元素，{a}是集合，a∈{a}. 案不唯一) (3)不是.如整数集Z={…,一3，一2，一1,0,1,2， (2)不方便.因为集合是无限集，且元素不方便列举. 3,…}. 2.填空：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都 5
第一章 集合与常用逻辑用语 9.设非空数集A 满足以下条件:若a∈A,则 1 1-a ∈A,且 1∉A. 若2∈A,你还能求出集合A 中哪些元素? 解 若2∈A,则 1 1-2 =-1∈A,于是 1 1-(-1)= 1 2 ∈A, 而 1 1- 1 2 =2. 所以集合A 中还有-1, 1 2 这两个元素. 10.设P,Q 为两个非空实数集合,P 中含有0,2,5三个元素, Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素是 a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q 中元素的个数是多少? 解 ∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为 1,2,6; 当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3, 4,8; 当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6, 7,11. 由集合元素的互异性知,P+Q 中的元素为1,2,3, 4,6,7,8,11,共8个. 11.已知集合 M 是由2,a,b三个元素组成的集合,集合 N 是由2a,2,b2 三个元素组成的集合.若 M =N,求实数 a,b的值. 解 由M 与N 相等及集合中元素的特点,得 a=2a, b=b2 ① 或 a=b2, b=2a. ② 解①,得 a=0, b=1 或 a=0, b=0; 解②,得 a= 1 4 , b= 1 2 或 a=0, b=0. 当 a=0, b=0 时,不符合集合中元素的互异性,舍去. 故a,b的值为 a=0, b=1 或 a= 1 4 , b= 1 2 . 第2课时 集合的表示 课标定位 素养阐释 1.掌握集合的两种表示方法———列举法、描述法. 2.能够灵活选用集合的表示方法表示相应集合. 3.了解区间的概念,能使用区间表示某些集合. 4.体会数学抽象的过程,注重培养数学运算能力. 课前 ·基础认知 一、列举法 【问题思考】 1.下列集合中的元素有哪些? 如何表示这些集合? (1)地球上的四大洋组成的集合; (2)方程(x-3)(x-2)=0的所有解组成的集合; (3)正整数集N+ . 提示 (1)元素有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋,集合 可表示为{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}. (2)元素有2,3,集合可表示为{2,3}. (3)元素有1,2,3,…,集合可表示为{1,2,3,…}. 2.填空:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间 用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为 列举法. 3.(1)集合{3,9,8}和{9,3,8}是什么关系? (2)a与{a}相同吗? (3)用列举法只能表示有限集吗? 提示 (1){3,9,8}={9,3,8}. (2)a是元素,{a}是集合,a∈{a}. (3)不是.如整数集 Z= {…,-3,-2,-1,0,1,2, 3,…}. 4.用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x 的所有实数解组成的集合; (3)由1~20以内的所有素数组成的集合. 解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,则 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序 无关,因此集合A 可以有不同的列举方法.例如A={9,8, 7,6,5,4,3,2,1,0}. (2)设方程x2=x 的所有实数解组成的集合为B,则 B={0,1}. (3)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C,则 C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 二、描述法 【问题思考】 1.(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)不等式x-7<3的所有解组成的集合用列举法表 示方便吗? 提示 (1)能.大于1,且小于9的偶数组成的集合.(答 案不唯一) (2)不方便.因为集合是无限集,且元素不方便列举. 2.填空:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都 5
数学 必修第一册 配人教B版 具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性 (2)其他区间的表示 质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时，集合A 可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.这种表示集合 定义 R {xlx≥a Axlx>aY {xlx≤a} 的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法. 3.集合{x|x3的所有解组 提示(1)不能.(2)m3}. (1){xx0, (2)不等式组 的所有整数解组成的 (2)方程(x-4)2(x-2)=0的解是x1=4,x2=2,所求 1+2x≥3x-5 集合为{4,2} 集合 7 解(1)因为集合中的元素具有互异性，所以lo0k中的 y=x-1, T= 5 (3)方程组 的解是 字母组成的集合为{1,0，k} y=- 3x+3 y 2x-6>0. 5 (2)由 得3<x6. 1+2x≥3x-5, 所求桑合为{（侣，）》。 因为x为整数，所以x的取值为4,5,6，组成的集合为 {4,5,6} 延伸探究 1)例1(3)中的集合可以表示为仔，号}吗： 探究二用描述法表示集合 (2)写出表示函数y=x一1与y=x十3的图象的交点 【例2】用描述法表示下列集合： 组成的集合 (1)被5除余数等于1的整数组成的集合： 解(1)不可以. (任}≠仔》. (2)平面直角坐标系中第三象限内的点组成的集合： (2)0. (3)抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合， 6
数 学 必修 第一册 配人教B版 具有性质p(x),而不属于集合A 的元素都不具有这个性 质,则性质p(x)称为集合A 的一个特征性质.此时,集合A 可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.这种表示集合 的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法. 3.集合{x|x3的所有解组 成的集合. 答案 {x|x+2>3}. 三、区间及其表示 【问题思考】 1.大于3,且不大于5的所有实数组成的集合如何表 示? 你还有其他的表示方法吗? 提示 {x|3a}{x|x≤a}{x|x0, 1+2x≥3x-5 的所有整数解组成的 集合. 解 (1)因为集合中的元素具有互异性,所以look中的 字母组成的集合为{l,o,k}. (2)由 2x-6>0, 1+2x≥3x-5, 得3<x≤6. 因为x 为整数,所以x 的取值为4,5,6,组成的集合为 {4,5,6}. 探究二 用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合: (1)被5除余数等于1的整数组成的集合; (2)平面直角坐标系中第三象限内的点组成的集合; (3)抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合. 6
第一章集合与常用逻辑用语 分析集合中元素的特徊元素满足的条件→写出集合 易错辨析 解(1){xlx=5m+1,n∈Z} 认为集合中的字母具有一致性致错 (2){(x,y)川x3}. 2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A, (2)平面直角坐标系中第二、第四象限内的点组成的集 x-y∈A},则集合B中所含元素的个数为() 合，用描述法可表示为{(x,y)xy5. 3.若集合A={一2,2,3,4}，B={x|x=t2,t∈A},用列举 解(1)(2,8]. 法表示集合B= (2)(5,+∞). 答案{4,9,16 ①反思感悟 4.在区间[一a,3a]上，实数a满足的条件是 在区间(m,n)内，一定有m-a,得a>0. 【变式训练3】用区间表示下列集合： 答案a>0 (1)R:(2){xx≤-3}. 5.用适当的方法表示下列集合： 答案(1)(-∞，十∞) (1)绝对值不大于3的整数组成的集合： (2)(-∞，-3] (2)二次函数y=一3.x2+2x十4的函数值组成的集合：
第一章 集合与常用逻辑用语 分析 集合中元素的特征 → 元素满足的条件 → 写出集合 解 (1){x|x=5n+1,n∈Z}. (2){(x,y)|x3}. (2)平面直角坐标系中第二、第四象限内的点组成的集 合,用描述法可表示为{(x,y)|xy5}. 解 (1)(2,8]. (2)(5,+∞). 在区间(m,n)内,一定有m-a,得a>0. 答案 a>0 5.用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值不大于3的整数组成的集合; (2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值组成的集合; 7
数学 必修 第一册 配人教B版 (3)所有的正方形组成的集合 (2)二次函数y=一3x2十2x十4的函数值有无数个， 解(1)绝对值不大于3的整数是-3，-2，-1,0,1,2,3， 用描述法表示为{yly=-3x2十2x十4. 共有7个，则用列举法表示为{-3，-2，一1,0,1,2,3. (3){x|x是正方形} 课后·训练提升 1.已知集合A={yly=x+1,x∈R},集合B={(x,y) 图为2k+1(k∈Z)是一个奇数，k十2(k∈Z)是一个 y=x十1，x∈R,y∈R,则下列判断正确的是( 整数，所以若xo∈M时，则一定有xo∈N.故选A A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B 答案A C.2∈A,且(3,4)∈B D.(3,4)∈A,且2∈B 5.已知非空数集A={x∈R|x2=a},则实数a的取值范围 解析集合A中的元素y是实数，不是点，故选项B,D错 为」 (用区间表示) 误：集合B中的元素(x,y)是点，而不是实数，2∈B不正 解析，x∈R,∴a=x2≥0. 确，故A错误.故选C ∴a∈「0.十∞). 答案C 答案[0，十∞) 2.下列说法正确的是() 6.若-5∈{xx2-a.x-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0} ①0与{0}表示同一个集合：②由1,2,3组成的集合可表 中所有元素之和为 示为{1,2,3}或{3,2,1}：③方程(x-1)2(x-2)=0的所 解析因为-5∈{xlx2-ax-5=0},所以a=-4,方程 有解的集合可表示为{1,1,2}：④集合{x|4<x<5}可以 x2-4x十4=0的解为x1=x2=2. 用列举法表示. 故集合{xlx2-4x-a=0}中所有元素之和为2. A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上说法都不对 答案2 解析①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合：根 7设集合B=∈N2=∈N 据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合元素的互异 (1)试判断元素1,2与集合B的关系； 性可知③错误：④不能用列举法表示，原因是该集合有无 (2)用列举法表示集合B. 数个元素，不能一一列举 6 答案C 解(1)当x=1时2十=2eN: 3现定义一种运算⑧，当m,n都是正偶数或都是正奇数时， 63 m⑧m=m十n;当m,n中一个为正奇数，另一个为正偶数 当x=2时2十22N,所以1EB,2EB. 时，m☒m=m.则集合M={(a,b)|ab=16,a∈N+, 2)由22EN,x∈N,得x=0,1,4 b∈N+}中元素的个数为() 故B={0,1,4. A.22 B.20 C.17 D.15 8.已知集合A={a十2，(a+1)2,a2+3a十3}，若1∈A,求 解析①当m,n都是正偶数时，(a,b)可以是(2,14)，(4， 实数a的所有可能取值构成的集合B. 12),(6,10),(8,8),(14,2),(12,4),(10,6),共7个； 解若a十2=1，则a=-1,代入集合A, 当m,n都是正奇数时，(a,b)可以是(1,15)， 得A={1,0,1},与集合元素的互异性矛盾： (3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共 8个： 若(a十1)2=1，则a=0或一2，代入集合A, 得A={2,1,3}或A={0,1,1},后者与集合元素的 ②当m,n中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a,b) 互异性矛盾，故a=0符合要求； 可以是(1,16)，(16,1)，共2个. 若a2+3a十3=1，则a=-1或-2，代入集合A,得 所以集合M中元素的个数为17 A={1,0,1}或{0,1,1}，都与集合元素的互异性矛盾. 答案C 综上可知，只有α=0符合要求，即集合B中只有 4已知集合M=-登+k∈zN== 个元素，故B={0. 9.若集合A={x|x=3m+1,n∈Z},B={x|x=3m十2，n∈ 2k∈2，若∈M,则，与N的关系是( Z},M={x|x=6m+3,n∈Z}.若m∈M,问是否存在 A.xa∈N a∈A,b∈B,使m=a十b? B.roN C.xo∈N或xo任N D.无法判断 解设m=6k+3=(3k+1)+(3k+2)(k∈Z), 解折由题意，得M==2年k∈2N 令a=3k十1，b=3k十2，则m=a十b. 由k∈Z,知a∈A,b∈B. {生e或 故若m∈M,则存在a∈A,b∈B,使m=a十b 8
数 学 必修 第一册 配人教B版 (3)所有的正方形组成的集合. 解 (1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3, 共有7个,则用列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}. (2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值有无数个, 用描述法表示为{y|y=-3x2+2x+4}. (3){x|x 是正方形}. 课后 ·训练提升 1.已知集合A={y|y=x+1,x∈R},集合B={(x,y)| y=x+1,x∈R,y∈R},则下列判断正确的是( ) A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B C.2∈A,且(3,4)∈B D.(3,4)∈A,且2∈B 解析 集合A 中的元素y是实数,不是点,故选项B,D错 误;集合B 中的元素(x,y)是点,而不是实数,2∈B 不正 确,故 A错误.故选C. 答案 C 2.下列说法正确的是( ) ①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表 示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所 有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4<x<5}可以 用列举法表示. A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上说法都不对 解析 ①中“0”不能表示集合,而“{0}”可以表示集合;根 据集合中元素的无序性可知②正确;根据集合元素的互异 性可知③错误;④不能用列举法表示,原因是该集合有无 数个元素,不能一一列举. 答案 C 3.现定义一种运算,当m,n都是正偶数或都是正奇数时, mn=m+n;当m,n中一个为正奇数,另一个为正偶数 时,mn=mn.则集合 M ={(a,b)|ab=16,a∈N+ , b∈N+ }中元素的个数为( ) A.22 B.20 C.17 D.15 解析 ①当m,n都是正偶数时,(a,b)可以是(2,14),(4, 12),(6,10),(8,8),(14,2),(12,4),(10,6),共7个; 当m,n 都 是 正 奇 数 时,(a,b)可 以 是 (1,15), (3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共 8个; ②当m,n中一个为正奇数,一个为正偶数时,(a,b) 可以是(1,16),(16,1),共2个. 所以集合M 中元素的个数为17. 答案 C 4.已知集合M= x x= k 2 + 1 4 ,k∈Z ,N= x x= k 4 + 1 2 ,k∈Z ,若x0∈M,则x0 与N 的关系是( ) A.x0∈N B.x0∉N C.x0∈N 或x0∉N D.无法判断 解析 由 题 意,得 M = x x= 2k+1 4 ,k∈Z ,N = x x= k+2 4 ,k∈Z . 因为2k+1(k∈Z)是一个奇数,k+2(k∈Z)是一个 整数,所以若x0∈M 时,则一定有x0∈N.故选 A. 答案 A 5.已知非空数集A={x∈R|x2=a},则实数a 的取值范围 为 .(用区间表示) 解析 ∵x∈R,∴a=x2≥0. ∴a∈[0,+∞). 答案 [0,+∞) 6.若-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0} 中所有元素之和为 . 解析 因为-5∈{x|x2-ax-5=0},所以a=-4,方程 x2-4x+4=0的解为x1=x2=2. 故集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为2. 答案 2 7.设集合B= x∈N 6 2+x ∈N . (1)试判断元素1,2与集合B 的关系; (2)用列举法表示集合B. 解 (1)当x=1时, 6 2+1 =2∈N; 当x=2时, 6 2+2 = 3 2 ∉N,所以1∈B,2∉B. (2)由 6 2+x ∈N,x∈N,得x=0,1,4. 故B={0,1,4}. 8.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求 实数a的所有可能取值构成的集合B. 解 若a+2=1,则a=-1,代入集合A, 得A={1,0,1},与集合元素的互异性矛盾; 若(a+1)2=1,则a=0或-2,代入集合A, 得A={2,1,3}或A={0,1,1},后者与集合元素的 互异性矛盾,故a=0符合要求; 若a2+3a+3=1,则a=-1或-2,代入集合A,得 A={1,0,1}或{0,1,1},都与集合元素的互异性矛盾. 综上可知,只有a=0符合要求,即集合B 中只有一 个元素,故B={0}. 9.若集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈ Z},M ={x|x=6n+3,n∈Z}.若 m∈M,问是否存在 a∈A,b∈B,使m=a+b? 解 设m=6k+3=(3k+1)+(3k+2)(k∈Z), 令a=3k+1,b=3k+2,则m=a+b. 由k∈Z,知a∈A,b∈B. 故若m∈M,则存在a∈A,b∈B,使m=a+b. 8
第一章集合与常用逻辑用语 1.1.2集合的基本关系 1,理解集合之间的包含与相等的含义： 课标定位 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合之间的关系， 素养阐释 3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用。 4.注重逻辑推理能力的培养 课前 基础认知 一、子集 示意图通常称为维恩图 【问题思考】 3.(1)集合A是不是其自身的真子集？ 根据给出的每组集合，回答问题 (2)空集0是不是任意集合的真子集？ (1)A={0,1},B={-1,0,1}: (3)若AB,BC,则A与C有什么关系？ (2)A={xx是正方形}，B={x|x是有一个角为直角 提示(1)A不是其自身的真子集. 的菱形}」 (2)⑦是任意非空集合的真子集」 1.以上各组集合中，集合A的元素是否都是集合B的 (3)AC. 元素？ 4.指出下列各组集合之间的关系： 提示是 (1)A={(-1,1)},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1), 2.你认为集合A和集合B之间有怎样的关系？ (1,1)}: 提示A是B的子集，即A二B. (2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三 3.填空：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合 角形}： B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A二B(或 (3)A={x|-1<x<4},B={xlx-5<0}: B已A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).对应地，如果A (4)M={xlx=2n-1,n∈N+},N={xlx=2+1. 不是B的子集，则记作A生B(或B卫A),读作“A不包含于 n∈N+. B”(或“B不包含A”).规定：空集是任意一个集合A的子 解(1)AB. 集，即二A. (2)A全B. 4.(1)任意集合是其自身的子集吗？ (3)AB. (2)若A二B,B二C,则A与C是什么关系？ (4)N至M. 提示(1)是.(2)A二C 三、集合相等与子集的关系 5.做一做：集合{0}的子集有」 【问题思考】 答案0，{0} 1.若集合A={x|(x一5)(x十3)=0}，B={一3.5}，则 二、真子集 A与B是什么关系？ 【问题思考】 提示A={-3,5},A=B. 1.观察下面两个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？ 2.在上题中，集合A是B的子集吗？反之呢？ (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}: 提示A二B,B二A. (2)设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合， 3.填空： B为这个班全体学生组成的集合 一般地，由集合相等以及子集的定义可知： 提示A二B,且B中有些元素不属于A. (1)如果A二B,且B二A,则A=B 2.(1)填表： (2)如果A=B,则A二B,且B二A. 项目 定 义 符号语言图形语言（维恩图） 【思考辨析】 般地，如果集合A是集 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画 真 合B的子集，并且B中至 “√/”，错误的画“X” AB 子 少有一个元耋不属于A B④ (1)“∈”“二”的意义是一样的. (X) (或B军A 集 那么集合A称为集合B (2)若x∈A,一定有x∈B成立，则A二B (N) 的真子集 (3)若A二B,则A中的元素都在B中. (N) (4)0二{01. (2)如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那 (W) (5)若A二B,且B二A,则必有A=B. (√) 么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种 9
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 课标定位 素养阐释 1.理解集合之间的包含与相等的含义. 2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合之间的关系. 3.在具体情境中,了解空集的含义并会应用. 4.注重逻辑推理能力的培养. 课前 ·基础认知 一、子集 【问题思考】 根据给出的每组集合,回答问题. (1)A={0,1},B={-1,0,1}; (2)A={x|x 是正方形},B={x|x 是有一个角为直角 的菱形}. 1.以上各组集合中,集合A 的元素是否都是集合B 的 元素? 提示 是. 2.你认为集合A 和集合B 之间有怎样的关系? 提示 A 是B 的子集,即A⊆B. 3.填空:一般地,如果集合A 的任意一个元素都是集合 B 的元素,那么集合A 称为集合B 的子集,记作A⊆B(或 B⊇A),读作“A 包含于B”(或“B 包含A”).对应地,如果A 不是B 的子集,则记作A⊈B(或B⊉A),读作“A 不包含于 B”(或“B 不包含A”).规定:空集是任意一个集合A 的子 集,即⌀⊆A. 4.(1)任意集合是其自身的子集吗? (2)若A⊆B,B⊆C,则A 与C 是什么关系? 提示 (1)是.(2)A⊆C. 5.做一做:集合{0}的子集有 . 答案 ⌀,{0} 二、真子集 【问题思考】 1.观察下面两个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗? (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; (2)设A 为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合, B 为这个班全体学生组成的集合. 提示 A⊆B,且B 中有些元素不属于A. 2.(1)填表: 项目 定 义 符号语言 图形语言(维恩图) 真 子 集 一般地,如果集合A 是集 合B 的子集,并且B 中至 少有一个元素不属于A, 那么集合 A 称为集合B 的真子集 A⫋B (或B⫌A) (2)如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那 么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种 示意图通常称为维恩图. 3.(1)集合A 是不是其自身的真子集? (2)空集⌀是不是任意集合的真子集? (3)若A⫋B,B⫋C,则A 与C 有什么关系? 提示 (1)A 不是其自身的真子集. (2)⌀是任意非空集合的真子集. (3)A⫋C. 4.指出下列各组集合之间的关系: (1)A={(-1,1)},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1), (1,1)}; (2)A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是等腰三 角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N+ },N={x|x=2n+1, n∈N+ }. 解 (1)A⫋B. (2)A⫋B. (3)A⫋B. (4)N⫋M. 三、集合相等与子集的关系 【问题思考】 1.若集合A={x|(x-5)(x+3)=0},B={-3,5},则 A 与B 是什么关系? 提示 A={-3,5},A=B. 2.在上题中,集合A 是B 的子集吗? 反之呢? 提示 A⊆B,B⊆A. 3.填空: 一般地,由集合相等以及子集的定义可知: (1)如果A⊆B,且B⊆A,则A=B. (2)如果A=B,则A⊆B,且B⊆A. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)“∈”“⊆”的意义是一样的. (×) (2)若x∈A,一定有x∈B 成立,则A⊆B. (√) (3)若A⊆B,则A 中的元素都在B 中. (√) (4)⌀⊆{0}. (√) (5)若A⊆B,且B⊆A,则必有A=B. (√) 9
数学 必修第一册 配人教B版 课堂 ·重难突破 解析因为A={4,a},B={2,ab},A=B, 探究一 子集、真子集 4=ab, a=2, 所以 所以a十b=4. 【例1】写出集合{0,1}的所有子集和真子集】 a=2. 解得b=2, 分析根据子集、真子集的定义求解。 答案4 解子集有0，{0}，{1}，{0,1}，其中真子集有0，{0}，{1. 探究三由集合间的关系求参数 延伸探究 (1)若集合A={x|x二{0,1}，试用列举法表示集合A. 【例3】已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m 解A={0,{0},{1},{0,1. 1<x<m十1}，且B二A,求实数m的取值范围. (2)0 {⑦，{0}，{1}，{0,1}，在横线上不可 解分两种情况讨论： 以填的符号是( (1)当B=⑦时，m十12m一1，解得m≥2. A.∈ B. C D.= -32m-1, 答案D (2)当B≠0时，有{m十1≤4， ①反思感悟 2m-1m+1. 1.判断集合间关系的方法 解得一1≤m<2. (1)用定义判断.判断一个集合A中的元素是否 综上得，实数m的取值范围为m≥一1 全部属于另一个集合B,若是，则A二B,否则A生B. 反思感悟 (2)数形结合判断.利用数轴或维恩图判断. 1.解决此类问题通常先化简所给集合，再用数轴 2.写有限集的子集时，要注意两个特殊的子 表示所给集合，然后列出不等式（组），求出参数的取值 集—和自身，并按照元素的个数分类写出，避免重 范围 复或遗漏 2.列不等式（组）时，要根据具体的题目条件确定 3.若集合A有n个元素，则A有2"个子集，有 不等号中是否含有“等号”， 2-1个真子集. 3.对集合B分类讨论是解决此类题目的关键，注 意不要忽视对B=0的讨论. 【变式训练1】写出满足条件必军M{0,1,2}的所有 集合M. 【变式训练3】已知集合P={x|x2=1},集合Q= {xax=l}.若Q二P,则实数a的取值集合是 解满足条件的M有0}，1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}. 解析由题意，得P={-1,1}. 探究二集合相等及应用 因为Q二P,若Q=☑，则a=0,此时满足Q二P: 【例2】若集合1.e,合}=0，aa+6,则am+ 若Q≠g则0=女=日} b2019= 由题意知，上=1或上=一1，解得a=士1 分析集合相等→求出a,b→求值 综上可知，a的取值是0，士1 解折：h.a经}-0a2。十6 答案{-1,0,1} 又a≠0，点=0,6=0 易错辨析 因忽视空集致错 a2=1,a=士1. 【典例】已知集合P={x|x2+x-6=0},Q= 又a≠1，a=-1, ∴a2620+b2019=(-1)202w+02o19=1. {xmx-1=0.若Q二P,求实数m的值. 答案1 错解由P={x|x2+x-6=0},得P={-3,2}. ①反思感悟 品-32解得m=或m- 1.若两个集合相等，则两集合中的元素完全相同. 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 2.解含有字母的集合问题时，要注意检验集合中 你如何改正？你如何防范？ 元素的互异性。 提示错解中遗漏一解解含有参数的方程时，一定要 【变式训练2】设集合A={4,a},B={2,ab},若A= 对参数进行分类讨论.在错解的基础上，再讨论当Q=⑦时， B,则a十b= 进而求出m的值即可. 10
数 学 必修 第一册 配人教B版 课堂 ·重难突破 探究一 子集、真子集 【例1】写出集合{0,1}的所有子集和真子集. 分析 根据子集、真子集的定义求解. 解 子集有⌀,{0},{1},{0,1},其中真子集有⌀,{0},{1}. (1)若集合A={x|x⊆{0,1}},试用列举法表示集合A. 解 A={⌀,{0},{1},{0,1}}. (2)⌀ {⌀,{0},{1},{0,1}},在横线上不可 以填的符号是( ) A.∈ B.⊆ C.⫋ D.= 答案 D 1.判断集合间关系的方法 (1)用定义判断.判断一个集合A 中的元素是否 全部属于另一个集合B,若是,则A⊆B,否则A⊈B. (2)数形结合判断.利用数轴或维恩图判断. 2.写有 限 集 的 子 集 时,要 注 意 两 个 特 殊 的 子 集———⌀和自身,并按照元素的个数分类写出,避免重 复或遗漏. 3.若集合A 有n 个元素,则A 有2n 个子集,有 2n -1个真子集. 【变式训练1】写出满足条件⌀⫋M⫋{0,1,2}的所有 集合M. 解 满足条件的M 有{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}. 探究二 集合相等及应用 【例2】若集合 1,a, b a ={0,a2,a+b},则a2020+ b2019= . 分析 集合相等 → 求出a,b→ 求值 解析 ∵ 1,a, b a ={0,a2,a+b}, 又a≠0,∴ b a =0,∴b=0. ∴a2=1,∴a=±1. 又a≠1,∴a=-1, ∴a2020+b2019=(-1)2020+02019=1. 答案 1 1.若两个集合相等,则两集合中的元素完全相同. 2.解含有字母的集合问题时,要注意检验集合中 元素的互异性. 【变式训练2】设集合A={4,a},B={2,ab},若A= B,则a+b= . 解析 因为A={4,a},B={2,ab},A=B, 所以 4=ab, a=2, 解得 a=2, b=2, 所以a+b=4. 答案 4 探究三 由集合间的关系求参数 【例3】已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m- 1<x<m+1},且B⊆A,求实数m 的取值范围. 解 分两种情况讨论: (1)当B=⌀时,m+1≤2m-1,解得m≥2. (2)当B≠⌀时,有 -3≤2m-1, m+1≤4, 2m-1<m+1, 解得-1≤m<2. 综上得,实数m 的取值范围为m≥-1. 1.解决此类问题通常先化简所给集合,再用数轴 表示所给集合,然后列出不等式(组),求出参数的取值 范围. 2.列不等式(组)时,要根据具体的题目条件确定 不等号中是否含有“等号”. 3.对集合B 分类讨论是解决此类题目的关键,注 意不要忽视对B=⌀的讨论. 【变式训练3】已知集合P={x|x2=1},集合Q= {x|ax=1}.若Q⊆P,则实数a的取值集合是 . 解析 由题意,得P={-1,1}. 因为Q⊆P,若Q=⌀,则a=0,此时满足Q⊆P; 若Q≠⌀,则Q= x x= 1 a . 由题意知, 1 a =1或 1 a =-1,解得a=±1. 综上可知,a的取值是0,±1. 答案 {-1,0,1} 易 错 辨 析 因忽视空集致错 【典例】已 知 集 合 P = {x|x2 +x-6=0},Q = {x|mx-1=0}.若Q⊆P,求实数m 的值. 错解 由P={x|x2+x-6=0},得P={-3,2}. 令 1 m =-3或 1 m =2,解得m=- 1 3 或m= 1 2 . 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错解中遗漏一解.解含有参数的方程时,一定要 对参数进行分类讨论.在错解的基础上,再讨论当Q=⌀时, 进而求出m 的值即可. 10