第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 素养·目标定位 目标素养 知识概览 空间向量的 有关概念 空间向量的加法运算 1.了解空间向量的概念 空间向 空间向量的 线性运算 空间向量的减法运算 2.理解空间向量的线性运算及运算律」 量的概 3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用. 念及线 空间向量的数乘运算 性运算 空间向量共线的充要条件 空间向量共面的充要条件 课前·基础认知 1.空间向量的有关概念 续表 (1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 名称 定义 表示法 空间向量 与向量a长度相等而方向 (2)长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的长度 相反 或模。 向量 相反的向量，叫做a的相 -a 反向量 字母表示法：空间向量用字母a,b,c,…表示. 几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段 如果表示若干空间向量的有 表 (3) 的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终 向线段所在的直线互相平行 法 或重合，那么这些向量叫做 a//b 点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为 共线 al或AB1 向量 共线向量或平行向量 微思考空间向量的定义及表示方法与平面向量的 规定：零向量与任意向量 0/a 定义及表示方法有区别吗？ 平行 提示室间向量与平面向量的定义没有本质区别，表示 相等 方向相同且模相等的向 方法都一样 向量 量叫做相等向量 a=b或AB=CD 2.几类特殊的空间向量 3.空间向量的线性运算 名称 定义 表示法 (1)空间向量的加法、减法以及数乘运算 长度为0的向量叫做零 C 零向量 向量 0 单位 模为1的向量叫做单位 向量 向量 lal=1或AB1=1 ①
第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.了解空间向量的概念. 2.理解空间向量的线性运算及运算律. 3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用. 课前·基础认知 1.空间向量的有关概念 (1)定义:在空间,我们把具有 大小 和 方向 的量叫做 空间向量. (2)长度或模:空间向量的 大小 叫做空间向量的长度 或模. (3) 表 示 法 字母表示法:空间向量用字母 a,b,c,… 表示. 几何表示法:空间向量用 有向线段 表示,有向线段 的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终 点是B,则向量a 也可以记作 A→B ,其模记为 |a| 或 |A→B| . 微思考 空间向量的定义及表示方法与平面向量的 定义及表示方法有区别吗? 提示 空间向量与平面向量的定义没有本质区别,表示 方法都一样. 2.几类特殊的空间向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为 0 的向 量 叫 做 零 向量 0 单位 向量 模为 1 的向量 叫 做 单 位 向量 |a|=1或|A→B|=1 续 表 名称 定义 表示法 相反 向量 与向量a长度 相等 而方向 相反 的向量,叫做a 的相 反向量 -a 共线 向量 如果表示若干空间向量的有 向线段所在的直线互相平行 或重合,那么这些向量叫做 共线向量或平行向量 a∥b 规 定:零 向 量 与 任 意 向 量 平行 0∥a 相等 向量 方向 相同 且模 相等 的向 量叫做相等向量 a=b或A→B=C→D 3.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法以及数乘运算 ① 1
数学 选择性必修 第一册 配人教A版 Q IM 使得O币=a·我们把与向量a平行的非零向量称为直 1a(>0) 1a(10时，Aa=aOi=P0:当入<0时，a= 有向线段OA所在的直线OA与直线1平行或重合，那 AOA=MN: 么称向量a平行于直线L.如果直线OA平行于平面a或 当A=0时，a=0 在平面a内，那么称向量a平行于平面a. (2)空间向量的线性运算满足以下运算律（其中入， a a∈R): A 交换律：a十b=b十a; a 结合律：a+(b+c)=(a+b)十c,A(a)=(r)a: 分配律：(A十4)a=λa十0，λ(a十b)=λa十Ab. Q 微训练化简：5(3a-2b)+4(2b-3a)=3a-2b (4)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面 4.共线向量与共面向量 (1)两个向量共线（平行）的充要条件：对任意两个空间向 向量 量a,b(b≠0)，a仍的充要条件是存在实数入，使a=b· (5)三个向量共面的充要条件：如果两个向量a,b不共 (2)直线的方向向量：如图，O是直线1上一点，在直线1 线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的 上取非零向量a,则对于直线1上任意一点P,存在实数入， 有序实数对(x,y),使p=xa土yb 课堂·重难突破 空间向量的有关概念 a=一b时，也有|a|=|b|,故③不正确：只要模相等、方向相 同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，故④ 典例剖析 不正确.故选B 1.下列说法正确的是() 二 空间向量的线性运算的应用 A.若la=lbl,则a,b的模相等，方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|=|b 典例剖析 C不相等的两个空间向量的模必不相等 2.如图，在平行六面体ABCD- D D.在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC A1B1CD1中，设AA1=a,AB=b, 答案B A=c,M,N,P分别是AA1,BC, 解析对于A,由a=b|,可知a,b的模相等，但方向 CD的中点，试用a,b,c表示以下各 不确定，故A错误：对于B,因为a=一b,所以a=|b|,故 向量： B正确：C显然错误；对于D,只有当四边形ABCD为平行 (1)AP;(2)A1:(3)M亦+NC 四边形时，才有AB+AD=AC,故D错误.故选B. 解(1)A市=AD,+D产=(AA+A)+A店=a十 学以致用 1.下列关于空间向量的说法中，正确的个数是( ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量： (2)AN=AA+AB+BN=-AA+AB+ ②平行且模相等的两个向量是相等向量： ③若a≠b,则|al≠|b|: 2d=-a+b+2c ④若两个向量相等，则它们的起点与终点相同 (3)MP+NCI=(MA+A D+D,P)+(NC+CC) A.0 B.1 =2+++而+ C.2 D.3 答案B +号+动 = 解析根据相等向量的定义知，长度相等、方向相同的 两个向量是相等向量，故①正确：平行且模相等的两个向量 =+b+2 可能是相等向量，也可能是相反向量，故②不正确：当 2
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 ② 由图①②知a+b=O→A+A→B= O→B ;a-b=O→AO→C= C→A . 当λ>0 时,λa=λO→A = P→Q ;当λ<0 时,λa= λO→A= M→N ; 当λ=0时,λa= 0 . (2)空间向量的线性运算满足以下运算律 (其中λ, μ∈R): 交换律:a+b=b+a; 结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a; 分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb. 微训练 化简:5(3a-2b)+4(2b-3a)= 3a-2b . 4.共线向量与共面向量 (1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向 量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 a=λb . (2)直线的方向向量:如图,O 是直线l上一点,在直线l 上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ, 使得O→P= λa .我们把与向量a 平行的非零向量称为直 线l的 方向向量 . (3)与直线、平面平行的向量:如图,如果表示向量a 的 有向线段O→A 所在的直线OA 与直线l 平行 或 重合 ,那 么称向量a平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α 或 在平面α内 ,那么称向量a平行于平面α. (4)共面向量:平行于 同一个平面 的向量,叫做共面 向量. (5)三个向量共面的充要条件:如果两个向量a,b 不共 线 ,那么向量p 与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的 有序实数对(x,y),使p= xa+yb . 课堂·重难突破 一 空间向量的有关概念 典例剖析 1.下列说法正确的是( ) A.若|a|=|b|,则a,b的模相等,方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b| C.不相等的两个空间向量的模必不相等 D.在四边形ABCD 中,一定有A→B+A→D=A→C 答案 B 解析 对于 A,由|a|=|b|,可知a,b的模相等,但方向 不确定,故 A错误;对于B,因为a=-b,所以|a|=|b|,故 B正确;C显然错误;对于 D,只有当四边形ABCD 为平行 四边形时,才有A→B+A→D=A→C,故D错误.故选B. 学以致用 1.下列关于空间向量的说法中,正确的个数是( ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量; ②平行且模相等的两个向量是相等向量; ③若a≠b,则|a|≠|b|; ④若两个向量相等,则它们的起点与终点相同. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 根据相等向量的定义知,长度相等、方向相同的 两个向量是相等向量,故①正确;平行且模相等的两个向量 可能是 相 等 向 量,也 可 能 是 相 反 向 量,故 ② 不 正 确;当 a=-b时,也有|a|=|b|,故③不正确;只要模相等、方向相 同,两个向量就是相等向量,与向量的起点与终点无关,故④ 不正确.故选B. 二 空间向量的线性运算的应用 典例剖析 2.如图,在 平 行 六 面 体 ABCDA1B1C1D1 中,设 AA1 →=a,A→B =b, A→D=c,M,N,P 分别是AA1,BC, C1D1 的中点,试用a,b,c表示以下各 向量: (1)A→P;(2)A1 →N;(3)M→P+NC1 →. 解 (1)A→P=AD1 →+D1 →P=(AA1 →+A→D)+ 1 2 A→B=a+ c+ 1 2 b. (2)A1 →N =A1 →A +A→B +B→N = -AA1 → +A→B + 1 2 A→D=-a+b+ 1 2 c. (3)M→P+NC1 →=(MA1 →+A1D1 →+D1 →P)+(N→C+CC1 →) = 1 2 AA1 →+A→D+ 1 2 A→B+ 1 2 A→D+AA1 → = 3 2 AA1 →+ 1 2 A→B+ 3 2 A→D = 3 2 a+ 1 2 b+ 3 2 c. 2
第一章空间向量与立体几何 规律总结」用已知向量表示未知向量时要注意两个 学以致用 方面： (1)熟练掌握空间向量的线性运算及运算律： 3.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，E在A1D1 (2)注意数形结合思想的运用」 上，且A正=2ED,F在A,C上且A=号F元.求证：E, 学以致用 F,B三点共线。 2.如图，在平行六面体ABCD D D AB,CD1中，O为AC的中点. E (1)化简：A0-号菇-号市， B (2)设E是棱DD1上的点，且 正=DD,试用A店，亦，A个表 A 示Ei. 证明设AB=a,AD=b,AA1=c. 解(1Ad-店-市=A0-2+市)= 图为A在=2ED.A市-号成 A10-A0=A1A 所以AE=子ADA正=号AC。 (2ò=Aò-A正-号(A花+市)-A市-号AA 诚-号市-. 所以A正-号市-号0， 三空间向量共线问题 AF=名(AC-M)=号A+市-aM=号a+ 典例剖析 3.如图，已知四边形ABCD是空 4 所以=A市-A正=a-0-c=(a 间四边形，E,H分别是边AB,AD的 中点，F,G分别是边CB,CD上的点， 3-e). 且=号.心=c.求证：四 又丽=E+A+A店=0-子b-c, 边形EFGH是梯形. 证明：E,H分别是边AB,AD的中点， 所以萨=弦，所以萨感 应-A-2市。 又E序与E有公共点E,所以E,F,B三点共线 四空间向量共面问题 :=A-A应=A心-A店=励 典例剖析 =2-=(2花-) 4.(1)已知A,B,M三点不共线，O为平面ABM外任 --本)= 意一点，判断在下列条件下，点P是否与点A,B,M共面. ①0M+Oi=30i-OA: Ei∥FG ②0P=40A-Oi-0M 且E=1F心≠F心. (2)已知A,B,C三点不共线，O为空间内任意一点，点 又点F不在直线EH上， M满足O城=Oi+0成+号元 ,四边形EFGH是梯形. ①M,M店，M元是否共面？ 规律总结」1.利用空间向量共线证明线线平行时，应 ②点M是否在平面ABC内？ 注意向量共线与两直线平行的区别. 解(1)①：OM+O店=30币-0i」 2.判断或证明两空间向量a,b(b≠0)共线，就是寻 ..OP=OM+(OA-OP)+(OB-OP)=OM+PA+ 找实数入，使a=λb成立，为此常结合题目图形，运用空 PB. 间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量 :.O币-OMi=PA+P,即M亦=PA+P, 表达a,b M亦，PA,P克共面，∴点P与点A,B,M共面。 ②OP=4OA-OB-OM, ..OP-OA=0A+(OA-OB)+(OA-OM), 3
第一章 空间向量与立体几何 用已知向量表示未知向量时要注意两个 方面: (1)熟练掌握空间向量的线性运算及运算律; (2)注意数形结合思想的运用. 学以致用 2.如图,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,O 为AC 的中点. (1)化简:A1 →O- 1 2 A→B- 1 2 A→D; (2)设 E 是棱DD1 上的点,且 D→E= 2 3 DD1 →,试用A→B,A→D,AA1 → 表 示E→O. 解 (1)A1 →O- 1 2 A→B- 1 2 A→D=A1 →O- 1 2 (A→B+A→D)= A1 →O-A→O=A1 →A. (2)E→O=A→O-A→E= 1 2 (A→B+A→D)-A→D- 2 3 AA1 →= 1 2 A→B- 1 2 A→D- 2 3 AA1 →. 三 空间向量共线问题 典例剖析 3.如图,已知四边形ABCD 是空 间四边形,E,H 分别是边AB,AD 的 中点,F,G 分别是边CB,CD 上的点, 且C→F= 2 3 C→B,C→G= 2 3 C→D.求证:四 边形EFGH 是梯形. 证明 ∵E,H 分别是边AB,AD 的中点, ∴A→E= 1 2 A→B,A→H= 1 2 A→D, ∴E→H=A→H-A→E= 1 2 A→D- 1 2 A→B= 1 2 B→D = 1 2 (C→D-C→B)= 1 2 3 2 C→G- 3 2 C→F = 3 4 (C→G-C→F)= 3 4 F→G. ∴E→H∥F→G, 且|E→H|= 3 4 |F→G|≠|F→G|. 又点F 不在直线EH 上, ∴四边形EFGH 是梯形. 1.利用空间向量共线证明线线平行时,应 注意向量共线与两直线平行的区别. 2.判断或证明两空间向量a,b(b≠0)共线,就是寻 找实数λ,使a=λb 成立,为此常结合题目图形,运用空 间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量 表达a,b. 学以致用 3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 在A1D1 上,且A1 →E=2ED1 →,F 在A1C 上,且A1 →F= 2 3 F→C.求证:E, F,B 三点共线. 证明 设A→B=a,A→D=b,AA1 →=c. 因为A1 →E=2ED1 →,A1 →F= 2 3 F→C, 所以A1 →E= 2 3 A1D1 →,A1 →F= 2 5 A1 →C, 所以A1 →E= 2 3 A→D= 2 3 b, A1 →F= 2 5 (A→C-AA1 →)= 2 5 (A→B+A→D-AA1 →)= 2 5 a+ 2 5 b- 2 5 c, 所以E→F=A1 →F-A1 →E= 2 5 a- 4 15 b- 2 5 c= 2 5 a- 2 3 b-c . 又E→B=EA1 →+A1 →A+A→B=a- 2 3 b-c, 所以E→F= 2 5 E→B,所以E→F∥E→B. 又E→F 与E→B 有公共点E,所以E,F,B 三点共线. 四 空间向量共面问题 典例剖析 4.(1)已知A,B,M 三点不共线,O 为平面ABM 外任 意一点,判断在下列条件下,点P 是否与点A,B,M 共面. ①O→M+O→B=3O→P-O→A; ②O→P=4O→A-O→B-O→M. (2)已知A,B,C 三点不共线,O 为空间内任意一点,点 M 满足O→M= 1 3 O→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C. ①M→A,M→B,M→C 是否共面? ②点M 是否在平面ABC 内? 解 (1)①∵O→M+O→B=3O→P-O→A, ∴O→P=O→M+(O→A-O→P)+(O→B-O→P)=O→M+P→A+ P→B, ∴O→P-O→M=P→A+P→B,即M→P=P→A+P→B, ∴M→P,P→A,P→B 共面,∴点P 与点A,B,M 共面. ②∵O→P=4O→A-O→B-O→M, ∴O→P-O→A=O→A+(O→A-O→B)+(O→A-O→M), 3
数学 选择性必修第一册 配人教A版 即A=Oi+Bi+M瓜」 G,B,P,D四点共面，求m的值 由空间向量共面的充要条件可知，若点P与点A,B,M 共面， 则AP=xBA+yMi,x,y∈R,又AP=OA+BA+ M,故点P与点A,B,M不共面. (2)①由已知得，Oi+Oi+O0元=30M, 则OA-OM=(OM-OB)+(OM-O元). B 即Mi=BM+CM=-Mi-M心 故i,M店，M心共面. 解因为AB=P形-PA,A店=D元 ②由①知，向量Mi,M店，M心共面， 所以DC=PB-PA 又M,M,M心有共同的起点M, 因为P元=Pi+D元 所以P心=P币+PB-PA=-Pi+PB+Pi. 且A,B,C三点不共线， 故M,A,B,C四点共面， 周为器=号 即点M在平面ABC内. 规律总结」利用向量证明空间四点P,A,B,M共面 所以殖=武=-成+丽+元， 的常用方法： 所以=丽-成=-耐+成+成】 (1)证明M=xMi+M (2)对于空间任意一点O,证明O=OM+xM+ 周为将 yMB. 所以店=mAi=一+罗+罗币 (3)对于空间任意一点O,证明O户=xOA+O+ OM,x十y十z=1 所以店=P+AG=(1-)Pi+贺P+婴P币. 学以致用 又G,B,P,D四点共面， 4.如图，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H 所以1-智=0，即m=子 3 为心上的点，且是-宁点G在AH上，且普=若 故m的值为4 随堂训练 1.如图，在正方体ABCD- 0 答案A ABCD1中，下列各式的运算 解析，G为CD的中点， 结果为AC:的共有( A ) B ①AB+BC+CC: 店+（励+武）=店+成=底 D ②AA+AD,+D,C: 4.已知点A,B,C不共线，对空间任意一点O,若O币= ③AB+BB1+BCi: +Oi+号父.则PAB.C四点(） ④AA,+A,B,+BC A.不共面 A1个 B.2个 C.3个 D.4个 B.共面 答案D C.不一定共面 2.已知向量a,b互为相反向量，|b|=3,则下列结论正确的 D.无法判断是否共面 是() 答案B A.a=b B.a十b=0 C.a与b方向相同 D.|a|=3 解析：0-oi+i+6心-ai+gai+ 答案D 解析因为向量a,b互为相反向量，所以a=一b,a十b= )+号Oi+0)=0i+号a+日AC, 0,a与b方向相反，la=3.故选D. 3.在空间四边形ABCD中，已知G为CD的中点，则AB+ 0市-i=+日花， 励+就)等于() 即=号专+号， C.BC A市，AB,A心共面. A.AG B.C店 D.7BC 又A户，AB,AC有公共点A
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 即A→P=O→A+B→A+M→A. 由空间向量共面的充要条件可知,若点P 与点A,B,M 共面, 则A→P=xB→A+yM→A,x,y∈R,又A→P=O→A+B→A+ M→A,故点P 与点A,B,M 不共面. (2)①由已知得,O→A+O→B+O→C=3O→M, 则O→A-O→M=(O→M-O→B)+(O→M-O→C), 即M→A=B→M+C→M=-M→B-M→C, 故M→A,M→B,M→C 共面. ②由①知,向量M→A,M→B,M→C 共面, 又M→A,M→B,M→C 有共同的起点M, 且A,B,C 三点不共线, 故M,A,B,C 四点共面, 即点M 在平面ABC 内. 利用向量证明空间四点P,A,B,M 共面 的常用方法: (1)证明M→P=xM→A+yM→B. (2)对于空间任意一点O,证明O→P=O→M+xM→A+ yM→B. (3)对于空间任意一点O,证明O→P=xO→A+yO→B+ zO→M,x+y+z=1. 学以致用 4.如图,若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,H 为PC 上的点,且 PH HC = 1 2 ,点G 在AH 上,且 AG AH =m,若 G,B,P,D 四点共面,求m 的值. 解 因为A→B=P→B-P→A,A→B=D→C, 所以D→C=P→B-P→A. 因为P→C=P→D+D→C, 所以P→C=P→D+P→B-P→A=-P→A+P→B+P→D. 因为 PH HC = 1 2 , 所以P→H= 1 3 P→C=- 1 3 P→A+ 1 3 P→B+ 1 3 P→D, 所以A→H=P→H-P→A=- 4 3 P→A+ 1 3 P→B+ 1 3 P→D. 因为 AG AH =m, 所以A→G=mA→H=- 4m 3 P→A+ m 3 P→B+ m 3 P→D, 所以P→G=P→A+A→G= 1- 4m 3 P→A+ m 3 P→B+ m 3 P→D. 又G,B,P,D 四点共面, 所以1- 4m 3 =0,即m= 3 4 . 故m 的值为 3 4 . 随堂训练 1.如 图, 在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 中,下列各式的运算 结果为AC1 → 的共有( ) ①A→B+B→C+CC1 →; ②AA1 →+A1D1 →+D1C1 →; ③A→B+BB1 →+B1C1 →; ④AA1 →+A1B1 →+B1C1 →. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 D 2.已知向量a,b互为相反向量,|b|=3,则下列结论正确的 是( ) A.a=b B.a+b=0 C.a与b方向相同 D.|a|=3 答案 D 解析 因为向量a,b互为相反向量,所以a=-b,a+b= 0,a与b方向相反,|a|=3.故选D. 3.在空间四边形ABCD 中,已知G 为CD 的中点,则A→B+ 1 2 (B→D+B→C)等于( ) A.A→G B.C→G C.B→C D. 1 2 B→C 答案 A 解析 ∵G 为CD 的中点, ∴A→B+ 1 2 (B→D+B→C)=A→B+B→G=A→G. 4.已知点 A,B,C 不共线,对空间任意一点 O,若 O→P= 3 4 O→A+ 1 8 O→B+ 1 8 O→C,则P,A,B,C 四点( ) A.不共面 B.共面 C.不一定共面 D.无法判断是否共面 答案 B 解析 ∵O→P= 3 4 O→A+ 1 8 O→B+ 1 8 O→C= 3 4 O→A+ 1 8 (O→A+ A→B)+ 1 8 (O→A+A→C)=O→A+ 1 8 A→B+ 1 8 A→C, ∴O→P-O→A= 1 8 A→B+ 1 8 A→C, 即A→P= 1 8 A→B+ 1 8 A→C, ∴A→P,A→B,A→C 共面. 又A→P,A→B,A→C 有公共点A, 4
第一章空间向量与立体几何 .P,A,BC四点共面」 解析由2ke1十2e2与e1十ke2共线， 5.若非零空间向量e1,e2不共线，则使2ke1十2e2与e1十ke2 共线的k的值为」 得2e1十2e2=入(e1十ke2),即 2k=入，故k=士1. 2=λk, 答案士1 课后·训练提升 基础·巩固 解析：0成=0耐+号成+号元， 1.在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，向量D1A,DC, 且，点M在平面ABC内， AC是() x+1 A有相同起点的向量 3+3=1. B.模相等的向量 3故选D C.共面向量 D.不共面向量 5.在长方体ABCD-A1BC1D1中，E是AC1的中点，F是 答案C AE的三等分点，且AF=EF,则=(） 解析因为DC-DA=AC,且AC-A1C, 所以D1C-DA=A1C1 AA+号+号 又D1A与D1C不共线， B瓜+2店+号市 所以D1A,D1C,AC1是共面向量. 2.如图，在平行六面体ABCD-AB1CD1中，E,F,G,H, c号m++ P,Q分别是AA,AB,BC,CC1,CD1,D1A1的中点，则 () D号A+名+动 D 答案D A 解析由题意可知，A疗=子A正- 号网+a正)-号+号× A.E序+Gi+P戒=0 A,C=+合A,瓜+ B.EF-GH-PQ=0 CE乎+Gi-P=0 A可)=号d+日应+应， D.EF-GH+PQ=0 6如图，已知四面体ABCD,E,F,G分别为BC,CD,DB的 答案A 中点，则AB+G币+E元= 3.(多选题)给出下列四个说法，其中错误的是( A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.空间中任意两个单位向量必相等 答案ABD 答案A市 解析有向线段可以表示向量，但向量不是有向线段，向 解析E,F,G分别为BC,CD,DB的中点， 量的起，点和终点不确定，A错误；相等向量大小相等，方向 ∴Gi=E,Bi=E式， 相同，不相等的两个向量可能模相等，方向不同，B错误：C ..AB+GD+EC=AB+EF+BE=AF. 正确：空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一 7.已知A,B,P三点共线，O为空间任意一点，且点O与点 定相同，故不一定相等，D错误 4.已知点M在平面ABC内，点O在平面ABC外，若OM= A,B,P不共线，若O币=号O+日O.则日 0i+苑+号心则x的值为() A.1 B.0 C.3 答案号 解析A,B,P三点共线， 答案D ..AP=AB,..OP-OA=(OB-0A)
第一章 空间向量与立体几何 ∴P,A,B,C 四点共面. 5.若非零空间向量e1,e2 不共线,则使2ke1+2e2 与e1+ke2 共线的k的值为 . 答案 ±1 解析 由2ke1+2e2 与e1+ke2 共线, 得2ke1+2e2=λ(e1+ke2),即 2k=λ, 2=λk, 故k=±1. 课后·训练提升 基础 巩固 1.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 →A,D1 →C, A1C1 → 是( ) A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.共面向量 D.不共面向量 答案 C 解析 因为D1 →C-D1 →A=A→C,且A→C=A1C1 →, 所以D1 →C-D1 →A=A1C1 →. 又D1 →A 与D1 →C 不共线, 所以D1 →A,D1 →C,A1C1 → 是共面向量. 2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H, P,Q 分别是A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1 的中点,则 ( ) A.E→F+G→H+P→Q=0 B.E→F-G→H-P→Q=0 C.E→F+G→H-P→Q=0 D.E→F-G→H+P→Q=0 答案 A 3.(多选题)给出下列四个说法,其中错误的是( ) A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p D.空间中任意两个单位向量必相等 答案 ABD 解析 有向线段可以表示向量,但向量不是有向线段,向 量的起点和终点不确定,A错误;相等向量大小相等,方向 相同,不相等的两个向量可能模相等,方向不同,B错误;C 正确;空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一 定相同,故不一定相等,D错误. 4.已知点M 在平面ABC 内,点O 在平面ABC 外,若O→M= xO→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C,则x 的值为( ) A.1 B.0 C.3 D. 1 3 答案 D 解析 ∵O→M=xO→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C, 且点M 在平面ABC 内, ∴x+ 1 3 + 1 3 =1, ∴x= 1 3 .故选D. 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 是A1C1 的中点,F 是 AE 的三等分点,且AF= 1 2 EF,则A→F=( ) A.AA1 →+ 1 2 A→B+ 1 2 A→D B. 1 2 AA1 →+ 1 2 A→B+ 1 2 A→D C. 1 2 AA1 →+ 1 6 A→B+ 1 6 A→D D. 1 3 AA1 →+ 1 6 A→B+ 1 6 A→D 答案 D 解析 由题意可知,A→F= 1 3 A→E= 1 3 (AA1 →+A1 →E)= 1 3 AA1 →+ 1 3 × 1 2 A1C1 →= 1 3 AA1 →+ 1 6 (A1B1 →+ A1D1 →)= 1 3 AA1 →+ 1 6 A→B+ 1 6 A→D. 6.如图,已知四面体ABCD,E,F,G 分别为BC,CD,DB 的 中点,则A→B+G→D+E→C= . 答案 A→F 解析 ∵E,F,G 分别为BC,CD,DB 的中点, ∴G→D=E→F,B→E=E→C, ∴A→B+G→D+E→C=A→B+E→F+B→E=A→F. 7.已知A,B,P 三点共线,O 为空间任意一点,且点O 与点 A,B,P 不 共 线,若 O→P= 1 3 O→A +β O→B,则 β = . 答案 2 3 解析 ∵A,B,P 三点共线, ∴A→P=λA→B,∴O→P-O→A=λ(O→B-O→A), 5
数学 选择性必修第一册 配人教A版 :0=(1-X00+0成又0i=oi+80成。 ④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若O币= xOA+O+O元（其中xyz∈R),则P,A,B,C四点 1-以-分解得9=1=号 共面. 其中不正确的个数是( =B, A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点P 答案C 满足O亦=号+号0成+0元.且点P与点A,B,C共 解析显然①正确：若a,b共线，则|a十b1=|a|+|bl或 面，则1= la十b=|la-|b1川，故②错误：若AB,Ci共线，则直 答案局 线AB,CD可能重合，也可能平行，故③错误：当OP= xOi+Oi+OC,x十y十x=1时，P,A,B,C四点共 1.2 2 解析由题意可知，5十3十入=1，解得入= 面，故④错误.故选C 3.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若有 9.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面 OP=xOA+3Oi+OC,则“x十y十z=1”是“P,A,B,C 外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD 四点共面”的() 的中心O,Q是CD的中点.求下列各式中x,y的值 A.必要不充分条件 (1)OQ=PQ+xPC+yPA: B.充分不必要条件 (2)PA=xPδ+yPi+Pi, C.充要条件 解(1)Od=P+xP心+yPA, D.既不充分也不必要条件 ∴.O-P=xP元+yPi, 答案B 即OP=xP心+yPA 解析若x十y十z=1,则O=(1-y-z)Oi十O成十 又0亦=-市=成-成， O心，即AP=yAB十：AC,由空间向量共面的充要条件 可知，向量AP,Ai,A心共面，所以P,A,B,C四点共面： ==- 反之，若P,A,B,C四点共面，当点O与点A重合时， (2).PA=xPO+yPQ+PD. OA=0,x可取任意值，不一定有x十y十x=1,故“x十 ∴.PA-Pi=xPO+yP y十z=1”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件. 即DA=xPO+yPd. 4.已知在正方体ABCD-A,B,C1D1中，P,M为空间任意 又DA=CA-Ci=2dò-2Ci=2Q0=2P0 两点，如果有PM=PB1+7BA+6AA,-4AD,那么点 2P,∴x=2y=-2. M必在() 拓展：提高 A.平面BAD1内 B.平面BAD内 1.(多选题)下列四个命题是真命题的是( C.平面BA1D1内 A若ABC方，则A,B,C,D四点共线 D.平面AB,C1内 B.若ABAC,则A,B,C三点共线 答案C C.若e1,e2为不共线的非零向量，a=4e1一 5e2,b= 解析因为PM-PB,+7BA+6AA-4A1D1=PB1+ BA+6BA:-4A D:=PB:+BA:+6BA:-4A D= -e,+c,则am PA1+6(PA1-Pi)-4(PD,-PA)=11PA1- D.若向量e1,e2,ea是三个不共面的向量，且满足等式 6P克-4PD1,且11-6-4=1，所以M,A1,B,D1四点共 k1e1十k2e2十k3ea=0,则k1=k2=kg=0 面.故选C 答案BCD 5.在平行六面体ABCD-A'B'C'D中，若AC=xAB+ 解析根据共线向量的定义，若ABC,则AB∥CD或 A,B,C,D四点共线，故A是假命题：ABAC且AB. 心+0C,则x十y+= AC有公共起点A,故B是真命题；由于a=4e1 答案6 弓e,=-4(-e:+e,)=-4b,故aa,故C是真命题： 2 解析在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AC=AB+ 易知D也是真命题 武+心，又AC=x店+兰武+C元，所以店+ 2.给出下列说法： ①若A,B,C,D是空间任意四点，则有AB+BC+Ci+ BC+CC-AB+BC+C DA=0: ②“la|-lb1=la十b|”是“a,b共线”的充要条件； 所以1-x)A+(1-之)B心+(1-)C=0 ③若AB,CD共线，则ABCD: 又AB,B元，CC不共面
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 ∴O→P=(1-λ)O→A+λO→B.又O→P= 1 3 O→A+βO→B, ∴ 1-λ= 1 3 , λ=β, 解得β=λ= 2 3 . 8.已知A,B,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点,若点P 满足O→P= 1 5 O→A+ 2 3 O→B+λO→C,且点P 与点A,B,C 共 面,则λ= . 答案 2 15 解析 由题意可知, 1 5 + 2 3 +λ=1,解得λ= 2 15 . 9.已知四边形ABCD 为正方形,P 是四边形ABCD 所在平面 外一点,P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O,Q 是CD 的中点.求下列各式中x,y的值. (1)O→Q=P→Q+xP→C+yP→A; (2)P→A=xP→O+yP→Q+P→D. 解 (1)∵O→Q=P→Q+xP→C+yP→A, ∴O→Q-P→Q=xP→C+yP→A, 即O→P=xP→C+yP→A. 又O→P=-P→O=- 1 2 P→C- 1 2 P→A, ∴x=- 1 2 ,y=- 1 2 . (2)∵P→A=xP→O+yP→Q+P→D, ∴P→A-P→D=xP→O+yP→Q, 即D→A=xP→O+yP→Q. 又D→A=C→A-C→D =2C→O-2C→Q=2Q→O=2P→O- 2P→Q,∴x=2,y=-2. 拓展 提高 1.(多选题)下列四个命题是真命题的是( ) A.若A→B∥C→D,则A,B,C,D 四点共线 B.若A→B∥A→C,则A,B,C 三点共线 C.若e1,e2 为不共线的非零向量,a=4e1- 2 5 e2,b= -e1+ 1 10 e2,则a∥b D.若向量e1,e2,e3 是三个不共面的向量,且满足等式 k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0 答案 BCD 解析 根据共线向量的定义,若A→B∥C→D,则AB∥CD 或 A,B,C,D 四点共线,故 A 是假命题;A→B∥A→C 且A→B, A→C 有 公 共 起 点 A,故 B 是 真 命 题;由 于 a=4e1 - 2 5 e2=-4 -e1+ 1 10 e2 =-4b,故a∥b,故C是真命题; 易知D也是真命题. 2.给出下列说法: ①若A,B,C,D 是空间任意四点,则有A→B+B→C+C→D+ D→A=0; ②“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件; ③若A→B,C→D 共线,则AB∥CD; ④对空间任意一点O 与不共线的三点A,B,C,若O→P= xO→A+yO→B+zO→C(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C 四点 共面. 其中不正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 显然①正确;若a,b共线,则|a+b|=|a|+|b|或 |a+b|=||a|-|b||,故②错误;若A→B,C→D 共线,则直 线AB,CD 可能重合,也可能平行,故③错误;当O→P= xO→A+yO→B+zO→C,x+y+z=1时,P,A,B,C 四点共 面,故④错误.故选C. 3.对于空间任意一点 O 和不共线的三点A,B,C,若有 O→P=xO→A+yO→B+zO→C,则“x+y+z=1”是“P,A,B,C 四点共面”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若x+y+z=1,则O→P=(1-y-z)O→A+yO→B+ zO→C,即A→P=yA→B+zA→C,由空间向量共面的充要条件 可知,向量A→P,A→B,A→C 共面,所以P,A,B,C 四点共面; 反之,若P,A,B,C 四点共面,当点O 与点A 重合时, O→A=0,x 可取任意值,不一定有x+y+z=1,故“x+ y+z=1”是“P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件. 4.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,P,M 为空间任意 两点,如果有P→M=PB1 →+7B→A+6AA1 →-4A1D1 →,那么点 M 必在( ) A.平面BAD1 内 B.平面BA1D 内 C.平面BA1D1 内 D.平面AB1C1 内 答案 C 解析 因为P→M=PB1 →+7B→A+6AA1 →-4A1D1 →=PB1 →+ B→A+6BA1 →-4A1D1 →=PB1 →+B1A1 →+6BA1 →-4A1D1 →= PA1 → +6(PA1 → -P→B)-4(PD1 → -PA1 →)=11PA1 → - 6P→B-4PD1 →,且11-6-4=1,所以 M,A1,B,D1 四点共 面.故选C. 5.在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中,若 AC→'=xA→B+ y 2 B→C+ z 3 CC→',则x+y+z= . 答案 6 解析 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AC→'=A→B+ B→C+CC→',又AC→'=xA→B+ y 2 B→C+ z 3 CC→',所以 A→B+ B→C+CC→'=xA→B+ y 2 B→C+ z 3 CC→', 所以(1-x)A→B+ 1- y 2 B→C+ 1- z 3 CC→'=0. 又A→B,B→C,CC→'不共面, 6
第一章空间向量与立体几何 1一x=0, x=1, 解得 所以 解得 y=2,所以x十y十=6 2 z=3. 5 1-3=0, 6.设e1,e2是空间中不共线的向量，已知AB=2e1十ke2, 应=c+, C=e1十3e2,Ci=2e1-e2,若A,B,D三点共线，则实 由向量共面的充要条件知，AB,AC,AD共面.又向 数k为 量AB,AC,AD有一个公共的起点A,所以A,B,C,D四 答案一8 点共面 解析由已知得，Bi=Ci-CB=e1-4e2, 挑战·创新 因为A,B,D三点共线，所以AB=入BD(a∈R), 已知e1,e2,ea三个向量不共面，AB=e1十2e2十3ea, 即2e1十ke2=ae1-4ae2 BC=2e1十ae2十uea,Ci=3xe1-e2-2uea,若A,B,D三 所以2=入，。所以=一8. k=一4入， 点共线，试求入，：的值， 7.已知e1e2为空间中两个不共线的向量，且AB=e1十e2, BD=BC+CD=(2e +e2 +uea)+(3e -e2- AC-2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证：A,B,C,D四点 2ue3)=(2+3x)e1+(a-1)e2-ea· A,B,D三点共线， 共面。 ∴AB与B币共线， 证明假设存在实数入，4，使得AB=入AC十uAD, .存在实数k,使得AB=kB,即 即e1+e2=A(2e1+8e2)十u(3e1-3ez）=(2x+ e1十2ez十3ea=k[(2+3x)e1+(-1)e2-ea], 3r)e1+(8-34)e2. .(1-2k-3kλ)e1+(2-b入+k)e2十(3+k4)ea=0. ,e1,e2为两个不共线的向量， ,e1,e2,ea三个向量不共面， 服 .1-2k-3k入=0,2-k以十k=0,3十kμ=0， 解得入=一14=3，k=-1. 故入的值为-1，的值为3. 1.1.2空间向量的数量积运算 素养·目标定位 目标素养 知识概览 1.了解空间向量的夹角的概念及表示方法」 空间向量的夹角 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律。 空间向量的 3.能用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等 数量积运算 空间向量的数量积及其性质 问题 数量积的应用 课前·基础认知 1,空间向量的夹角 ,那么向量 (1)如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O, 唯一确定的，且(a,b)=(,a).如果(a,b)=受 作O月=a,O=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作 a,b互相垂直，记作a⊥b. (a,b〉. 2.空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a,b,则|allblcos(a,b) 叫做a,b的数量积，记作a·b.即a·b=a|bcos(a,b〉， 特别地，零向量与任意向量的数量积为0， B (2)性质： b ①a⊥b台a·b=0; (2)通常规定，0(a,b》≤元.这样，两个向量的夹角是 ②a·a=lallalcos(a,a)=lal2
第一章 空间向量与立体几何 所以 1-x=0, 1- y 2 =0, 1- z 3 =0, 解得 x=1, y=2, z=3. 所以x+y+z=6. 6.设e1,e2 是空间中不共线的向量,已知A→B=2e1+ke2, C→B=e1+3e2,C→D=2e1-e2,若A,B,D 三点共线,则实 数k为 . 答案 -8 解析 由已知得,B→D=C→D-C→B=e1-4e2, 因为A,B,D 三点共线,所以A→B=λB→D(λ∈R), 即2e1+ke2=λe1-4λe2, 所以 2=λ, k=-4λ, 所以k=-8. 7.已知e1,e2 为空间中两个不共线的向量,且A→B=e1+e2, A→C=2e1+8e2,A→D=3e1-3e2,求证:A,B,C,D 四点 共面. 证明 假设存在实数λ,μ,使得A→B=λA→C+μA→D, 即e1+e2 =λ(2e1 +8e2)+μ(3e1 -3e2)=(2λ+ 3μ)e1+(8λ-3μ)e2. ∵e1,e2 为两个不共线的向量, ∴ 2λ+3μ=1, 8λ-3μ=1, 解得 λ= 1 5 , μ= 1 5 . ∴A→B= 1 5 A→C+ 1 5 A→D. 由向量共面的充要条件知,A→B,A→C,A→D 共面.又向 量A→B,A→C,A→D 有一个公共的起点A,所以A,B,C,D 四 点共面. 挑战 创新 已知e1,e2,e3 三个向量不共面,A→B=e1 +2e2 +3e3, B→C=2e1+λe2+μe3,C→D=3λe1-e2-2μe3,若A,B,D 三 点共线,试求λ,μ的值. 解 B→D=B→C+C→D =(2e1 +λe2 +μe3)+(3λe1 -e2- 2μe3)=(2+3λ)e1+(λ-1)e2-μe3. ∵A,B,D 三点共线, ∴A→B 与B→D 共线, ∴存在实数k,使得A→B=kB→D,即 e1+2e2+3e3=k[(2+3λ)e1+(λ-1)e2-μe3], ∴(1-2k-3kλ)e1+(2-kλ+k)e2+(3+kμ)e3=0. ∵e1,e2,e3 三个向量不共面, ∴1-2k-3kλ=0,2-kλ+k=0,3+kμ=0, 解得λ=-1,μ=3,k=-1. 故λ的值为-1,μ的值为3. 1.1.2 空间向量的数量积运算 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.了解空间向量的夹角的概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律. 3.能用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等 问题. 课前·基础认知 1.空间向量的夹角 (1)如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O, 作O→A=a,O→B=b,则 ∠AOB 叫做向量a,b的夹角,记作 . (2)通常规定,0≤≤π.这样,两个向量的夹角是 唯一确定的,且=.如果= π 2 ,那么向量 a,b互相垂直,记作a⊥b. 2.空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cos 叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b= |a||b|cos. 特别地,零向量与任意向量的数量积为 0 . (2)性质: ①a⊥b⇔ a·b=0 ; ②a·a=|a||a|cos= |a|2 . 7
数学 选择性必修第一册 配人教A版 (3)运算律： 微思考数量积运算满足结合律吗？ ①(aa)·b=λ(a·b),A∈R: 提示数量积运算不满足结合律， ②a·b=b·a(交换律)： 即(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立. ③a·(b十c)=a·b十a·c(分配律). 课堂·重难突破 空间向量的数量积的基本运算 学以致用 典例剖析 1.已知空间向量a,b满足|a|=4,1b|=8,a与b的夹 角为150°，求下列各式的值 1.如图，已知空间四边形ABCD的 每条边和对角线的长都为1，E,F分别 (1)a·b: 为AB,AD的中点，计算： (2)(a十2b)·(2a-3b). (1)E萨.BA: 解(1)a·b=|a|1b|cos(a,b)=4×8Xcos150°= (2)E序.B -165. (3)E.D元： (2)(a+2b)·(2a-3b)=2a2+a·b-6b2=2la|2+ (4B萨.C 1 a llblcos150°-6lb12=2X42-165-6×82=-352-165. 解1)萨.耐=号币.耐 二证明空间中的垂直关系 =励1B1s(B励.威) 典例剖析 2.如图，在正方体ABCD- D =2×1X1Xc0s60°=子 A1B1CD1中，E,F分别是BB1, D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC, A 故序.耐= 证明由题意可知，E序= 2成.肺=市.动-号= B市-B正-2（威+就+那. 故成助= A心-B元-BA, BA·BC=0,BA·BB1=0,BC.BB1=0,|BA|= (3)E序.D心=号BD.D元=号1B币1·1D心1· IBCI=IBB1. cosB励.心)=2×1X1Xos120°=- 则成，心=(B+武+B孤前·（成-函）= 故序.心- 2(B武-1B3)=0. (④B萨.C座=之(B+B)·(B-B驼) 故E序⊥AC,即EF⊥AC.同理EF⊥AB1 图为AC∩AB1=A,所以EF⊥平面B1AC =:-武+励.Bi-励.武 规律总结」利用向量证明线线垂直，先将线线垂直转 =+g 化为向量垂直，进而转化为向量的数量积为0，再根据已 知条件，通过向量的线性运算及数量积运算，得到所求向 量的数量积为0即可 故B晾.CE=-】 学以致用 81 2.如图，在正方体ABCD 规律总结1，在几何体中进行向量的数量积运算时， A'B'C'D'中，CD'与DC'相交于点 要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模 O,连接AO,求证： B 的向量表示后再进行运算.在解题过程中要注意两向量 (1)AO⊥CD': 的夹角，正确运用两向量夹角的定义， (2)AC'⊥平面B'CD 2.有关数量积的运算应注意的问题： 证明(1)因为Aò=AD+ (1)与向量的数乘运算区分开，向量的数乘运算的结 果仍是向量，数量积的结果为数量 Dò=A市+号(DD+D心)， (2)注意书写规范：不能写成aXb,也不能写成ab. CD'=DD'-DC
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 (3)运算律: ①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R; ②a·b=b·a(交换律); ③a·(b+c)=a·b+a·c(分配律). 微思考 数量积运算满足结合律吗? 提示 数量积运算不满足结合律, 即(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立. 课堂·重难突破 一 空间向量的数量积的基本运算 典例剖析 1.如图,已知空间四边形ABCD 的 每条边和对角线的长都为1,E,F 分别 为AB,AD 的中点,计算: (1)E→F·B→A; (2)E→F·B→D; (3)E→F·D→C; (4)B→F·C→E. 解 (1)E→F·B→A= 1 2 B→D·B→A = 1 2 |B→D|·|B→A|·cos = 1 2 ×1×1×cos60°= 1 4 , 故E→F·B→A= 1 4 . (2)E→F·B→D= 1 2 B→D·B→D= 1 2 |B→D|2= 1 2 , 故E→F·B→D= 1 2 . (3)E→F·D→C= 1 2 B→D ·D→C= 1 2 |B→D|·|D→C|· cos= 1 2 ×1×1×cos120°=- 1 4 , 故E→F·D→C=- 1 4 . (4)B→F·C→E= 1 2 (B→A+B→D)· 1 2 B→A-B→C = 1 4 |B→A|2- 1 2 B→A·B→C+ 1 4 B→D·B→A- 1 2 B→D·B→C = 1 4 - 1 4 + 1 8 - 1 4 =- 1 8 , 故B→F·C→E=- 1 8 . 1.在几何体中进行向量的数量积运算时, 要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模 的向量表示后再进行运算.在解题过程中要注意两向量 的夹角,正确运用两向量夹角的定义. 2.有关数量积的运算应注意的问题: (1)与向量的数乘运算区分开,向量的数乘运算的结 果仍是向量,数量积的结果为数量. (2)注意书写规范:不能写成a×b,也不能写成ab. 学以致用 1.已知空间向量a,b满足|a|=4,|b|=8,a 与b的夹 角为150°,求下列各式的值. (1)a·b; (2)(a+2b)·(2a-3b). 解 (1)a·b=|a||b|cos=4×8×cos150°= -163. (2)(a+2b)·(2a-3b)=2a2+a·b-6b2=2|a|2+ |a||b|cos150°-6|b|2=2×42-163-6×82=-352-163. 二 证明空间中的垂直关系 典例剖析 2.如 图,在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分 别 是 BB1, D1B1 的中点,求证:EF⊥平面B1AC. 证明 由 题 意 可 知,E→F = B1 →F-B1 →E= 1 2 (B→A+B→C+BB1 →), A→C=B→C-B→A, B→A·B→C=0,B→A·BB1 →=0,B→C·BB1 →=0,|B→A|= |B→C|=|BB1 →|, 则E→F·A→C= 1 2 (B→A+B→C+BB1 →)·(B→C-B→A)= 1 2 (|B→C|2-|B→A|2)=0, 故E→F⊥A→C,即EF⊥AC.同理EF⊥AB1. 因为AC∩AB1=A,所以EF⊥平面B1AC. 利用向量证明线线垂直,先将线线垂直转 化为向量垂直,进而转化为向量的数量积为0,再根据已 知条件,通过向量的线性运算及数量积运算,得到所求向 量的数量积为0即可. 学以致用 2.如 图,在 正 方 体 ABCDA'B'C'D'中,CD'与DC'相交于点 O,连接AO,求证: (1)AO⊥CD'; (2)AC'⊥平面B'CD'. 证明 (1)因为 A→O =A→D + D→O =A→D + 1 2 (DD→' + D→C), CD→'=DD→'-D→C, 8
第一章空间向量与立体几何 所以A0.C可=2(DD+D心+2A)·(DD 学以致用 C)=2DD:-D币.D+元.D币-c+2d. 3.如图，在空间四边形OABC中， OA=8,AB=6,AC=4.BC=5.OAC= D币-2Ad.DC)=2(1D币1：-1DC)=0. 45°，∠OAB=60°，求向量OA与B武的夹 所以Aò⊥CD 角的余弦值。 所以AO⊥CD 解因为BC=A心-AB,所以Oi· (2)因为AC=AB+AD+AA,B元=B元-BB= BC=OA AC-OA AB=IOAI IACI. B A市-AA, Cos(OA,AC)-OAI AB I.cos (OA,AB)=8x 4X 所以AC.B元=(AB+Ai+A)·(Ai-AA)= cos135°-8X6Xcos120°=-16√2+24. AD1?-1A12=0, 所以cos(Oi,B武)= OA.B武_24-162_3-22 所以AC⊥B元.所以AC'⊥B'C IOABCI 8X5 同理AC'⊥B'D'. 又B'C∩B'D'=B',所以AC'⊥平面B'CD'. 因此，向量O耐与B心的夹角的余孩位为3一2区 5 三求向量的夹角 四求线段的长度或两点间的距离 典例剖析 典例剖析 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求向量BC 4.已知正四面体ABCD的棱长为a,M,N分别是棱 与AC的夹角的大小. AB,CD上的点，且IM|=21Ai1,1C1=号N1,求 D MN的长 解：M不=M店+武+C耐=号A店+(A花-店)十 D 号市-C)=-号店+号a市+号a心， 6 1=(-号蓝+号市+子) 解（方法一）如图，因为AD1= D BC,所以∠DAC即为向量BC =号削-号心.店-号店，心+号A心， 与AC的夹角. 市+号+号A心 又△D1AC为正三角形， a2 gu-g 2 2 4 5 所以∠D1AC=60°， = 9a2+ a2+ 9a2 92 即(BC,AC)=60° 故向量BC,与AC的夹角为60° 3a,即MN的长为5。 MN (方法二)设正方体的棱长为1， 则BC·AC=(BC+CC)·(AB+B武)=(AD+ 规律总结」用向量求线段的长度或两点间的距离的方法： 将要求的线段的长度或两点间的距离转化为某一向 AA)(AB+AD)=AD.AB+AD+AA.AB+ 量的模，用其他已知夹角和模的向量表示该向量，利用 A41.A心=1AD12=1, |a=√a,通过计算求出向量的模，进而得到所要求的 BC=2.IACI=/2 线段的长度或两点间的距离 所以oBC,A衣=B配而2XE 11 学以致用 4.如图，在空间四边形OABC中， 所以(BC,AC)=60° OA,OB,OC两两成60°角，且OA=OB= 故向量BC与AC的夹角为60° OC=2,E为OA的中点，F为BC的中 规律总结」求两个非零向量夹角的两种途径： 点，求点E,F之间的距离. (1)把所求向量平移到同一个起点上，转化为平面几 解因为E萨=O亦-O龙=一号Oi+ 何中的对应角，利用解三角形的知识求解 (2)利用数量积的定义先求向量夹角的余弦值，再求 向量的夹角。 9
第一章 空间向量与立体几何 所以A→O·CD→'= 1 2 (DD→'+D→C+2A→D)·(DD→'- D→C)= 1 2 (DD→'2-DD→'·D→C+D→C·DD→'-D→C2+2A→D· DD→'-2A→D·D→C)= 1 2 (|DD→'|2-|D→C|2)=0. 所以A→O⊥CD→'. 所以AO⊥CD'. (2)因为 AC→'=A→B+A→D+AA→',B'→C=B→C-BB→'= A→D-AA→', 所以AC→'·B'→C=(A→B+A→D+AA→')·(A→D-AA→')= |A→D|2-|AA→'|2=0, 所以AC→'⊥B'→C.所以AC'⊥B'C. 同理AC'⊥B'D'. 又B'C∩B'D'=B',所以AC'⊥平面B'CD'. 三 求向量的夹角 典例剖析 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,求向量BC1 → 与A→C 的夹角的大小. 解 (方法一)如图,因为AD1 →= BC1 →,所以 ∠D1AC 即为 向 量BC1 → 与A→C 的夹角. 又△D1AC 为正三角形, 所以∠D1AC=60°, 即=60°. 故向量BC1 → 与A→C 的夹角为60°. (方法二)设正方体的棱长为1, 则BC1 →·A→C=(B→C+CC1 →)·(A→B+B→C)=(A→D + AA1 →)·(A→B+A→D)=A→D·A→B+|A→D|2+AA1 →·A→B+ AA1 →·A→D=|A→D|2=1, |BC1 →|= 2,|A→C|= 2. 所以cos= BC1 →·A→C |BC1 →||A→C| = 1 2× 2 = 1 2 . 所以=60°. 故向量BC1 → 与A→C 的夹角为60°. 求两个非零向量夹角的两种途径: (1)把所求向量平移到同一个起点上,转化为平面几 何中的对应角,利用解三角形的知识求解. (2)利用数量积的定义先求向量夹角的余弦值,再求 向量的夹角. 学以致用 3.如 图,在 空 间 四 边 形 OABC 中, OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC= 45°,∠OAB=60°,求向量O→A 与B→C 的夹 角的余弦值. 解 因为B→C=A→C-A→B,所以O→A· B→C=O→A·A→C-O→A·A→B=|O→A||A→C|· cos-|O→A||A→B|·cos=8×4× cos135°-8×6×cos120°=-162+24. 所以cos= O→A·B→C |O→A||B→C| = 24-162 8×5 = 3-22 5 . 因此,向量O→A 与B→C 的夹角的余弦值为 3-22 5 . 四 求线段的长度或两点间的距离 典例剖析 4.已知正四面体ABCD 的棱长为a,M,N 分别是棱 AB,CD 上的点,且|M→B|=2|A→M|,|C→N|= 1 2 |N→D|,求 MN 的长. 解 ∵M→N=M→B+B→C+C→N= 2 3 A→B+(A→C-A→B)+ 1 3 (A→D-A→C)=- 1 3 A→B+ 1 3 A→D+ 2 3 A→C, ∴|M→N|2= - 1 3 A→B+ 1 3 A→D+ 2 3 A→C 2 = 1 9 |A→B|2- 2 9 A→D ·A→B- 4 9 A→B·A→C+ 4 9 A→C· A→D+ 1 9 |A→D|2+ 4 9 |A→C|2 = 1 9 a2- 1 9 a2- 2 9 a2+ 2 9 a2+ 1 9 a2+ 4 9 a2= 5 9 a2. ∴|M→N|= 5 3 a,即MN 的长为 5 3 a. 用向量求线段的长度或两点间的距离的方法: 将要求的线段的长度或两点间的距离转化为某一向 量的模,用其他已知夹角和模的向量表示该向量,利用 |a|= a2 ,通过计算求出向量的模,进而得到所要求的 线段的长度或两点间的距离. 学以致用 4.如 图,在 空 间 四 边 形 OABC 中, OA,OB,OC 两两成60°角,且OA=OB= OC=2,E 为OA 的中点,F 为BC 的中 点,求点E,F 之间的距离. 解 因为E→F=O→F-O→E=- 1 2 O→A+ 1 2 O→B+ 1 2 O→C, 9
数学 选择性必修第一册 配人教A版 所以1萨2=1O1+子1O+子1心- 所以E|=2,即点E,F之间的距离为2 2耐.0-2耐.0+2诚.0心=2 随堂训练 1.对于向量a,b,c和实数入，下列说法正确的是( ∴.|2a-3b|=√6I. A.若a·b=0,则a=0或b=0 B.若Aa=0,则入=0或a=0 4已知a,b为两个非零空间向量，若1a=22,lb1=三 C.若a2=b2,则a=b或a=-b a·b=-√2，则(a,b》= D.若a·b=a·c,则b=c 答案B 答案只 2.已知向量a,b是平面a内的两个不相等的非零向量，非零 向量c是直线l的一个方向向量，则“c·a=0,且c·b= 解析sab-8治-号 0”是“1⊥a”的( A.充分不必要条件 a6= B.必要不充分条件 5.已知正方体ABCD-ABC1D1的棱长为2，E,F分别为 C.充要条件 AB,AD1的中点，则EF的长为 D,既不充分也不必要条件 答案√⑥ 答案B 3.已知la=2,1b|=3,〈a,b〉=60°，则|2a-3b|等于 解析由题意可知，萨=A市-A正=-A店+A心十 A则1萨=(-+2市+) A.√97 B.√133 C.61 D.61 答案C }御+子1市+1不-.市-店： 解析，|2a-3b|2=4a2-12a·b+9b2=4×22-12× AA+A市.AA=6,故|E序1=6，即EF的长为6】 2×3Xc0s60°+9×32=61， 课后·训练提升 基础·巩固 A.a2 C. 1.若a,b均为非零向量，则a·b=a|b|是a与b共线的 答案C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 解析正·=号（店+A心）·市=（店· C.充要条件 D,既不充分又不必要条件 答案A 解析a·b=allbl-→cos(a,b>=1→(a,b)=0°，即a与b 4.已知A,B,C,D是空间中不共面的四点，若(D+ 共线.反之不成立，当a与b反向共线时，a·b=-lallbl. D元-2Di)·(AB-AC)=0,则△ABC一定是() A.直角三角形 B.等腰三角形 2.已知向量a,b满足条件：|a|=2,lb|=2,且a与2b一a C.等腰直角三角形 D.等边三角形 互相垂直，则(a,b)等于() 答案B A.30° B.45° C.60 D.90° 解析：(D店+D心-2DA)·(AB-AC)=(D-Di+ 答案B DC-DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(AB-AC)= 解析由已知得，a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所 AB12-1AC12=0, a·b_2√2 以a…b=2,所以os(a,b)=1ab-2X2 ，所以 ∴.AB1=A心1. 故△ABC为等腰三角形. (a,b》=45°. 5.(多选题)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, 3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于 连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中，数量积 a,点E,F分别是BC,AD的中点，则AE·AF的值为 一定为零的是( ( A.P元与BD B.DA与PB 10
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 所以|E→F|2 = 1 4 |O→A|2 + 1 4 |O→B|2 + 1 4 |O→C|2 - 1 2 O→A·O→B- 1 2 O→A·O→C+ 1 2 O→B·O→C=2. 所以|E→F|= 2,即点E,F 之间的距离为 2. 随堂训练 1.对于向量a,b,c和实数λ,下列说法正确的是( ) A.若a·b=0,则a=0或b=0 B.若λa=0,则λ=0或a=0 C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a·b=a·c,则b=c 答案 B 2.已知向量a,b是平面α内的两个不相等的非零向量,非零 向量c是直线l的一个方向向量,则“c·a=0,且c·b= 0”是“l⊥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 3.已知|a|=2,|b|=3,=60°,则|2a-3b|等于 ( ) A. 97 B. 133 C. 61 D.61 答案 C 解析 ∵|2a-3b|2=4a2-12a·b+9b2=4×22-12× 2×3×cos60°+9×32=61, ∴|2a-3b|= 61. 4.已知a,b 为两个非零空间向量,若|a|=22,|b|= 2 2 , a·b=- 2,则= . 答案 3π 4 解析 ∵cos= a·b |a||b| =- 2 2 , ∴= 3π 4 . 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,E,F 分别为 AB,A1D1 的中点,则EF 的长为 . 答案 6 解析 由题意可知,E→F=A→F-A→E=- 1 2 A→B+ 1 2 A→D+ AA1 →,则 | E→F |2 = - 1 2 A→B+ 1 2 A→D+AA1 → 2 = 1 4 |A→B|2+ 1 4 |A→D|2+|AA1 →|2- 1 2 A→B·A→D-A→B· AA1 →+A→D·AA1 →=6,故|E→F|= 6,即EF 的长为 6. 课后·训练提升 基础 巩固 1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 a·b=|a||b|⇒cos=1⇒=0°,即a与b 共线.反之不成立,当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|. 2.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|= 2,且a与2b-a 互相垂直,则等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 B 解析 由已知得,a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所 以a·b=2,所以cos= a·b |a||b| = 2 2× 2 = 2 2 ,所以 =45°. 3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点E,F 分别是BC,AD 的中点,则A→E·A→F 的值为 ( ) A.a2 B. 1 2 a2 C. 1 4 a2 D. 3 4 a2 答案 C 解析 A→E·A→F= 1 2 (A→B+A→C)· 1 2 A→D = 1 4 (A→B· A→D+A→C·A→D)= 1 4 a×a× 1 2 +a×a× 1 2 = 1 4 a2. 4.已知 A,B,C,D 是 空 间 中 不 共 面 的 四 点,若 (D→B + D→C-2D→A)·(A→B-A→C)=0,则△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案 B 解析 ∵(D→B+D→C-2D→A)·(A→B-A→C)=(D→B-D→A+ D→C-D→A)·(A→B-A→C)=(A→B+A→C)·(A→B-A→C)= |A→B|2-|A→C|2=0, ∴|A→B|=|A→C|, 故△ABC 为等腰三角形. 5.(多选题)已知四边形ABCD 为矩形,PA⊥平面ABCD, 连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积 一定为零的是( ) A.P→C 与B→D B.D→A 与P→B 10