第五章数列 5.1数列基础 5.1.1数列的概念 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法 2.掌握通项公式及其应用 课标定位 3.能根据数列的前项写出数列的一个通项公式 素养阐释 4.通过对数列概念、分类以及数列与函数关系的学习，提高数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心 素养 课前·基础认知 一、数列的有关概念 的每一列数在个数上有什么不同？ 【问题思考】 提示这一列数的个数有限，上述问题中的每一列数的 1.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上 个数都是无限的 研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比 5.填空： 如，若他们将石子摆成三角形形状（如图①所示），则将其所 (1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列. 对应石子个数称为三角形数：若将石子摆成正方形形状（如 (2)数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的项， 图②所示)，则将其所对应石子个数称为正方形数 各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项… (3)数列的分类：组成数列的数的个数称为数列的项数」 一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称 为无穷数列. ① 6.做一做：数列2,4,8,16，…，其中16是这个数列的第 项.这个数列是数列.（填“有穷”或“无穷”） ■■■■ ■■■ ■■■■ 答案4无穷 ■■口 ■■■■ ■■ ■■■ 圆■■■ 二、数列的通项 ② 【问题思考】 你能将三角形数和正方形数所对应的一列数分别写 1.你能写出由正整数1,2,3，…的倒数排成的数列吗？ 出吗？ 当n分别等于1,2,3，…时，写出（一1）"的值排成的数列. 提示①1,3,6,10，…： 提示1分-11-1 ②1,4,9,16，…， 2.若a.表示数列的第n项，你能写出上述两个数列中 2.“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的 a.与其相对应的序号n的关系吗？ 木棍，每天截去一半，永远也截不完.从数学上来说，如果木 1 棍初始长度为1，那么每天截去一半之后木棍剩余的长度对 提示a.=行a.=(-1) 应的一列数是怎样的，你能写出来吗？ 3.填空： 提示分g记 (1)数列的通项：因为数列从首项起，每一项都与正整数 对应，所以数列的一般形式可以写成a1,a2a,am, 3.观察以上例子中所涉及的每一列数，说一说这些数呈 其中a。表示数列的第n项（也称n为am的序号，其中n为 现什么特点 正整数，即n∈N+),称为数列的通项.此时，一般将整个数 提示每一列数中的数字都是按照一定的次序排列的. 列简记为{a。},这里的小写字母a也可以换成其他小写英文 4.这一列数1990,1992.1993.….2020与上述问题中1字母
第五章 数列 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念 课标定位 素养阐释 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握通项公式及其应用. 3.能根据数列的前n项写出数列的一个通项公式. 4.通过对数列概念、分类以及数列与函数关系的学习,提高数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心 素养. 课前·基础认知 一、数列的有关概念 【问题思考】 1.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上 研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比 如,若他们将石子摆成三角形形状(如图①所示),则将其所 对应石子个数称为三角形数;若将石子摆成正方形形状(如 图②所示),则将其所对应石子个数称为正方形数. ① ② 你能将三角形数和正方形数所对应的一列数分别写 出吗? 提示 ①1,3,6,10,…; ②1,4,9,16,…. 2.“一尺之捶,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长的 木棍,每天截去一半,永远也截不完.从数学上来说,如果木 棍初始长度为1,那么每天截去一半之后木棍剩余的长度对 应的一列数是怎样的,你能写出来吗? 提示 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 ,…. 3.观察以上例子中所涉及的每一列数,说一说这些数呈 现什么特点. 提示 每一列数中的数字都是按照一定的次序排列的. 4.这一列数1990,1992,1993,…,2020与上述问题中 的每一列数在个数上有什么不同? 提示 这一列数的个数有限,上述问题中的每一列数的 个数都是无限的. 5.填空: (1)数列的定义:按照一定次序排列的一列数称为数列. (2)数列的项:数列中的每一个数都称为这个数列的项, 各项依次称为这个数列的第1项(或首项),第2项…… (3)数列的分类:组成数列的数的个数称为数列的项数. 一般地,项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称 为无穷数列. 6.做一做:数列2,4,8,16,…,其中16是这个数列的第 项,这个数列是 数列.(填“有穷”或“无穷”) 答案 4 无穷 二、数列的通项 【问题思考】 1.你能写出由正整数1,2,3,…的倒数排成的数列吗? 当n分别等于1,2,3,…时,写出(-1)n 的值排成的数列. 提示 1, 1 2 , 1 3 ,…;-1,1,-1,…. 2.若an 表示数列的第n 项,你能写出上述两个数列中 an 与其相对应的序号n的关系吗? 提示 an= 1 n ;an=(-1)n . 3.填空: (1)数列的通项:因为数列从首项起,每一项都与正整数 对应,所以数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…, 其中an 表示数列的第n项(也称n 为an 的序号,其中n 为 正整数,即n∈N+ ),称为数列的通项.此时,一般将整个数 列简记为{an},这里的小写字母a也可以换成其他小写英文 字母. 1
数学 选择性必修 第三册 配人教B版 (2)数列的通项公式：一般地，如果数列的第n项a。与 整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次 n之间的关系可以用am=f(n)来表示，其中f(n)是关于n 取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应 的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的 函数的解析式。 一个通项公式 (2)数列的单调性 4.做一做：已知数列{an}的通项公式为an=n(n-l), 类别 含义 则a= ,30是该数列的第 项 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的 答案66 数列 解析a.=n(n-1),∴a3=3X(3-1)=6. 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的 数列 令an=n(n-1)=30,解得n=6或n=-5(舍去). 常数数列（简称 三、数列与函数的关系 为常数列) 各项都相等的数列 【问题思考】 1.已知函数fx)=x,g()=上，在这两个函数中，分 4做-做：已知函数f(x)=二 ,设a.=f(n)(n∈ N+),则数列{an}是 数列.（填“递增”或 别令x=1,2,3,·,n,…,可得到哪两个数列？它们的通项 “递减”) 公式分别是什么？ 提示数列{an}:l,2,3,…,n,…,其通项公式为an= 答案递增 【思考辨析】 :载到列队1，号行……头通项公式为6，= 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 2.上述两个数列的项随着项数的变化分别有什么变化 “、/”,错误的画“×”. 规律？ (1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7. (X) (2){an}与a。是一样的，都表示数列. (X) 提示数列{a.}的项随着项数n的增大而增大，数列 (3)数列中的数由它的位置序号唯一确定 (W) {b。}的项随着项数n的增大而减小。 (4)同一个数在数列中不可重复出现 (×) 3.填空： (1)数列与函数的关系：数列{a.}可以看成定义域为正 (5)数列1，-1.2，- 3,是递增数列 (×) 课堂 重难突破 色反思感悟 探究一 数列的概念及分类 1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性 【例1】已知下列数列： 质具有以下特点. (1)0,0.0,0.0,0 (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确 (2)0,-1,2,-3,4,-5, 定的，集合中的元素也具有确定性. 12 .n-1 (3)0,23 (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的 ,; n 元素不能重复出现（即互异性） (4)1,0.2,0.22,0.23,… (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有 (5)0,-1.0,082元 关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没 有顺序（即无序性）. 其中， 是有穷数列， 是无穷数列， (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可 是递增数列， 是递减数列， 是常 以是除数字外的其他事物. 数列.（填序号） 2.在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣数列 分析观察数列的项的变化趋势与规律，由数列的分类 的概念及数列的特点.判断数列是递增数列、递减数列 来判断. 还是常数列时要从项的变化趋势来分析；而判断数列 答案(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1) 是有穷数列还是无穷数列时则需看项的个数有限还是 解析(1)是常数列且是有穷数列； 无限. (2)是无穷数列： 【变式训练1】下列说法正确的是 .(填写 (3)是无穷递增数到（国为”一=1-日》： 序号) ①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列： (4)是无穷递减数列： ②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增 (5)是无穷数列
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 (2)数列的通项公式:一般地,如果数列的第n 项an 与 n之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n 的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的 一个通项公式. 4.做一做:已知数列{an}的通项公式为an=n(n-1), 则a3= ,30是该数列的第 项. 答案 6 6 解析 ∵an=n(n-1),∴a3=3×(3-1)=6. 令an=n(n-1)=30,解得n=6或n=-5(舍去). 三、数列与函数的关系 【问题思考】 1.已知函数f(x)=x,g(x)= 1 x ,在这两个函数中,分 别令x=1,2,3,…,n,…,可得到哪两个数列? 它们的通项 公式分别是什么? 提示 数列{an}:1,2,3,…,n,…,其通项公式为an= n;数列{bn}:1, 1 2 , 1 3 ,…, 1 n ,…,其通项公式为bn= 1 n . 2.上述两个数列的项随着项数的变化分别有什么变化 规律? 提示 数列{an}的项随着项数n 的增大而增大,数列 {bn}的项随着项数n的增大而减小. 3.填空: (1)数列与函数的关系:数列{an}可以看成定义域为正 整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次 取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应 函数的解析式. (2)数列的单调性 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的 数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的 数列 常数数列(简称 为常数列) 各项都相等的数列 4.做一做:已知函数f(x)= x-1 x ,设an=f(n)(n∈ N+ ),则 数 列 {an}是 数 列.(填 “递 增”或 “递减”) 答案 递增 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}. (×) (2){an}与an 是一样的,都表示数列. (×) (3)数列中的数由它的位置序号唯一确定. (√) (4)同一个数在数列中不可重复出现. (×) (5)数列1,-1,2,- 1 2 ,3,- 1 3 是递增数列. (×) 课堂·重难突破 探究一 数列的概念及分类 【例1】已知下列数列: (1)0,0,0,0,0,0; (2)0,-1,2,-3,4,-5,…; (3)0, 1 2 , 2 3 ,…, n-1 n ,…; (4)1,0.2,0.22,0.23,…; (5)0,-1,0,…,cos n 2 π,…. 其中, 是 有 穷 数 列, 是 无 穷 数 列, 是递增数列, 是递减数列, 是常 数列.(填序号) 分析 观察数列的项的变化趋势与规律,由数列的分类 来判断. 答案 (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) 解析 (1)是常数列且是有穷数列; (2)是无穷数列; (3)是无穷递增数列 因为 n-1 n =1- 1 n ; (4)是无穷递减数列; (5)是无穷数列. 1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性 质具有以下特点. (1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确 定的,集合中的元素也具有确定性. (2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的 元素不能重复出现(即互异性). (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有 关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没 有顺序(即无序性). (4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可 以是除数字外的其他事物. 2.在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣数列 的概念及数列的特点.判断数列是递增数列、递减数列 还是常数列时要从项的变化趋势来分析;而判断数列 是有穷数列还是无穷数列时则需看项的个数有限还是 无限. 【变式训练1】下列说法正确的是 .(填写 序号) ①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列; ②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增 2
第五章 数列 数列： ③-2，一1,1,3，一2,4,3是一个项数为5的数列； (1)统一项的结构，如都化成分数、根式等 ④数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探 答案② 索变化部分的规律与对应序号间的关系. 解析紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合 (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对 条件.{0,1,2,3,4,5}是集合，而不是数列，故①错误.按从小 值，再用(-1)”处理符号. 到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列，故②正确. (4)对于周期出现的数列，考虑拆成几个简单数列 同一个数在数列中可以重复出现，此数列共有7项，故③错 和的形式或者利用周期函数的知识解答 误.数列1,2,3,4，，2，共有2项，是有穷数列，故④ 2.熟记一些常见数列的通项公式， 错误」 (1)数列-1,1，-1,1，…的一个通项公式是a.= (-1),数列1，一1,1，-1，…的一个通项公式是am 探究二根据数列的前几项写出通项公式 (-1)+1或an=(-1)-1 【例2】写出以下各数列的一个通项公式： (2)数列1,2,3,4，…的一个通项公式是am=n, 25 (3)数列1,3,5,7，·的一个通项公式是 am=2n-1. (2)1,-3,5,-7,9,: (4)数列2,4,6,8，…的一个通项公式是a。=2n. (3)9,99,999,9999,…; (5)数列1,2,4,8，…的一个通项公式是an=2- 与 (6)数列1,4,9,16，…的一个通项公式是a.=n2 (7)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是 11 (5)1X22X33X44X5… a,=nn+1) 2 分析经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一 111 规律」 (8)数列1,2,3,4，…的一个通项公式是 解(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都 a= 统-成分数再观察宁号号只空…，它的一个通项公 【变式训练2】写出下列数列的一个通项公式。 或方a,- 137 1)0,248 (2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的 正奇数，其一个通项公式为2一1：考虑（一1）+1具有转换 (2)-5,3,-√15，√21，-35，： 符号的作用，因此数列的一个通项公式为am=(一1)+1· 81宁2号3 (2n-1). 44 5… (3)各项加1后，分别变为10,100,1000,10000，…，此 解(1)数列各项的分母可视为1,2,4,8，…，通项可为 数列的一个通项公式为10"，可得原数列的一个通项公式为 2-1(n∈N+):各项的分子比分母小1，即为2-1-1.故数列 an=10"-1. (4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的 的-个通项公式为a,=21一」 2-1 奇数列，其一个通项公式为2一1：分子的前一部分是从2 (2)各项化为根式：一5，，一5，√2，一√27，…， 开始的自然数的平方，其一个通项公式为（十1）2，分子的后 符号规律为（一1）“，被开方数分别为3×1,3×3,3×5,3×7， 一部分是减去一个自然数，其一个通项公式为，综合得原 3×9,…,故第n项的被开方数为3×(21一1).因此数列的 数列的-个通项公式为a,=01)-”=n2十n十 2m-1 2n-1 一个通项公式为a.=(-1)"·√3(2m-1)】 (5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1 (3)这个数列的整数部分：1,2,3，·，通项可为n,分数 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，因此它的一个通项 事分宁号子…与序号阳的关系是 十，因此其一个通项 公式是am=(-1)” 1 n(n十1) 公式为am=n十 n2+2m ①反思感悟 十1n+1 1.数列的通项公式表示的是项与项数之间的关 探究三数列通项公式的应用 系.根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一 般的规律，解题时，一定要注意观察项与项数的关系和 【例3】已知数列a,的通项公式为a.=咖-9m十 相邻项之间的关系，具体思路如下 9mn2-1 (1)求这个数列的第10项； 3
第五章 数列 数列; ③-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列; ④数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. 答案 ② 解析 紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否符合 条件.{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,故①错误.按从小 到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列,故②正确. 同一个数在数列中可以重复出现,此数列共有7项,故③错 误.数列1,2,3,4,…,2n,共有2n 项,是有穷数列,故④ 错误. 探究二 根据数列的前几项写出通项公式 【例2】写出以下各数列的一个通项公式: (1) 1 2 ,2, 9 2 ,8, 25 2 ,…; (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)9,99,999,9999,…; (4) 22-1 1 , 32-2 3 , 42-3 5 , 52-4 7 ,…; (5)- 1 1×2 , 1 2×3 ,- 1 3×4 , 1 4×5 ,…. 分析 经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一 规律. 解 (1)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都 统一成分数再观察: 1 2 , 4 2 , 9 2 , 16 2 , 25 2 ,…,它的一个通项公 式为an= n2 2 . (2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的 正奇数,其一个通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1 具有转换 符号的作用,因此数列的一个通项公式为an=(-1)n+1· (2n-1). (3)各项加1后,分别变为10,100,1000,10000,…,此 数列的一个通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为 an=10n -1. (4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的 奇数列,其一个通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2 开始的自然数的平方,其一个通项公式为(n+1)2,分子的后 一部分是减去一个自然数,其一个通项公式为n,综合得原 数列的一个通项公式为an= (n+1)2-n 2n-1 = n2+n+1 2n-1 . (5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1 的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,因此它的一个通项 公式是an=(-1)n 1 n(n+1). 1.数列的通项公式表示的是项与项数之间的关 系.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一 般的规律.解题时,一定要注意观察项与项数的关系和 相邻项之间的关系.具体思路如下. (1)统一项的结构,如都化成分数、根式等. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探 索变化部分的规律与对应序号间的关系. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对 值,再用(-1)n 处理符号. (4)对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列 和的形式或者利用周期函数的知识解答. 2.熟记一些常见数列的通项公式. (1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an= (-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an= (-1)n+1 或an=(-1)n-1. (2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n. (3)数 列 1,3,5,7,… 的 一 个 通 项 公 式 是 an=2n-1. (4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n. (5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1. (6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2. (7)数 列 1,3,6,10,… 的 一 个 通 项 公 式 是 an= n(n+1) 2 . (8)数 列 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,… 的 一 个 通 项 公 式 是 an= 1 n . 【变式训练2】写出下列数列的一个通项公式. (1)0, 1 2 , 3 4 , 7 8 ,…; (2)- 3,3,- 15, 21,-33,…; (3)1 1 2 ,2 2 3 ,3 3 4 ,4 4 5 ,…. 解 (1)数列各项的分母可视为1,2,4,8,…,通项可为 2n-1(n∈N+ );各项的分子比分母小1,即为2n-1-1.故数列 的一个通项公式为an= 2n-1-1 2n-1 . (2)各项化为根式:- 3,9,- 15, 21,- 27,…, 符号规律为(-1)n,被开方数分别为3×1,3×3,3×5,3×7, 3×9,…,故第n项的被开方数为3×(2n-1).因此数列的 一个通项公式为an=(-1)n· 3(2n-1). (3)这个数列的整数部分:1,2,3,…,通项可为n,分数 部分 1 2 , 2 3 , 3 4 ,…与序号n的关系是 n n+1 ,因此其一个通项 公式为an=n+ n n+1 = n2+2n n+1 . 探究三 数列通项公式的应用 【例3】已知数列{an}的通项公式为an= 9n2-9n+2 9n2-1 . (1)求这个数列的第10项; 3
数学 选择性必修第三册 配人教B版 (2册是不是该数列中的项，为什么： 探究四数列的性质 (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内. 【例4】已知数列{an}的通项公式am满足1og2(a.十 分析对于(1)(2)，将n代入或列方程求解：对于(3)， n)=n.试判断数列{an}的单调性， 将通项化简，根据n∈N+求出项的取值范围 解a,=m二n十2_3m-1)(3n-2_3-2 分析用作差比较法，即判断am+1一am的符号. (3n-1)(3n+1)3n+1 解由log2(a.十n)=n得a。十n=2", 9m2-1 3×10-228 即am=2"-1. (1)令n=10,得第10项a0-3X10+i37 则a+1-a.=2+1-(n十1)-(2-n)=21-2"-1= (2)令3m-2_98 2(2-1)-1=2m-1. 3m+i10,得3m=10. :n∈N+,∴2-1>0.amt1>am 98 ∴.数列{an}是递增数列. 此方程无正整数解，故0不是该数列中的项。 飞反思感悟… 3m-2_3m+13=1-3m千 (3)证明：a,=3n+1于3n+1 3 解决数列的单调性问题常用的方法。 (I)作差比较法：根据an+1一an的符号判断数列 3 又n∈N+,.0 3m+0或a.an成立，求实数k的取值范围. 2.判断给定的项是不是数列中的项，实质就是一 解由am+1>am知该数列是一个递增数列，又通项公 个解方程的过程.若解得的是正整数，则该项是此数 式am=n2十kn十4， 列中的项；否则，就不是该数列中的项. .(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4, 即k>-1-2n,又n∈N+,∴.k>-3, 【变式训l练3】已知数列{am}的通项公式为a.= 即实数k的取值范围是（一3，十∞）. 4 n2+3m 易错辨析 (1)写出数列的前三项： 混淆数列中项的有序性而致误 116 (2)试问。和2是不是它的项？如果是，是第几项？ 【典例】写出由集合{x|x∈N+,且x≤4}中的所有元素 构成的数列（要求首项为1，且集合中的元素只出现一次）. 解(1)数列{am}的前三项： 错解集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4}， a1=+3X=1, 因此所求数列为1,2,3,4， 4 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 42 a2-22+3X2-10-5, 你如何改正？你如何防范？ 4 42 提示本题由集合求出构成数列的每一项后，误把数列 aa-32+3X3-18-9 当成了集合，认为各项不用考虑顺序而导致写出的答案不 4 1 全面 (2)令n+3n=i0则n+3m-40=0, 正解集合可表示为{1,2,3,4}，由集合中的元素组成 解得n=5或n=一8， 的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求 因为n∈N+,所以n=一8舍去， 数列有6个： 所以是数列的第5项 1,2,3,4:1,3,2,4;1,2,4,3； 1,3,4,2;1,4,2,3:1,4,3,2. 令n3n=号对+12-27=0 金防范措施〉 3 9 数列中的项是有顺序的，不同的顺序对应着不同 解得=2或n=一2 的数列 因为n∈N+,所以 不是此数列中的项
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 (2) 98 101 是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内. 分析 对于(1)(2),将n 代入或列方程求解;对于(3), 将通项化简,根据n∈N+ 求出项的取值范围. 解 an= 9n2-9n+2 9n2-1 = (3n-1)(3n-2) (3n-1)(3n+1)= 3n-2 3n+1 . (1)令n=10,得第10项a10= 3×10-2 3×10+1 = 28 31 . (2)令 3n-2 3n+1 = 98 101 ,得3n=100. 此方程无正整数解,故 98 101 不是该数列中的项. (3)证明:∵an= 3n-2 3n+1 = 3n+1-3 3n+1 =1- 3 3n+1 , 又n∈N+ ,∴00.∴an+1>an. ∴数列{an}是递增数列. 解决数列的单调性问题常用的方法. (1)作差比较法:根据an+1-an 的符号判断数列 {an}是递增数列、递减数列还是常数列. (2)作商比较法:根据 an+1 an (an>0或anan 成立,求实数k的取值范围. 解 由an+1>an 知该数列是一个递增数列,又通项公 式an=n2+kn+4, ∴(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4, 即k>-1-2n,又n∈N+ ,∴k>-3, 即实数k的取值范围是(-3,+∞). 易 错 辨 析 混淆数列中项的有序性而致误 【典例】写出由集合{x|x∈N+ ,且x≤4}中的所有元素 构成的数列(要求首项为1,且集合中的元素只出现一次). 错解 集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4}, 因此所求数列为1,2,3,4. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 本题由集合求出构成数列的每一项后,误把数列 当成了集合,认为各项不用考虑顺序而导致写出的答案不 全面. 正解 集合可表示为{1,2,3,4},由集合中的元素组成 的数列要求首项为1,且集合中的元素只出现一次,故所求 数列有6个: 1,2,3,4;1,3,2,4;1,2,4,3; 1,3,4,2;1,4,2,3;1,4,3,2. 数列中的项是有顺序的,不同的顺序对应着不同 的数列. 4
第五章 数列 【变式训练】判断下面两个数列是否为同一个数列： 故3是数列{an}中的第2项和第6项 (1)1.1,2.1,3.1,4.1,5.1: 4.已知数列{an}的通项公式为a.=log(2十1)，则a3= (2)5.1,2.1,3.1,1.1,4.1. 解因为数列(1)与数列(2)中的数的排列的顺序不同， 答案2 所以这两个数列不是同一个数列： 解析，an=log(2"十1)， 随堂训练 aa=log3(23+1)=log39=2. 5.已知数列的项与项数的关系如下表： L.下列叙述正确的是() A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 项数n1234567…6 B.数列0,1,2,3，…可以表示为{n}》 项a 1438a127…20 C.数列0,1,0,1，…是常数列 则a十b= D.数列{2n}是递增数列 答案15 答案D 解析由表可知，当项数为奇数时，a。=n;当项数为偶数 解析数列中的项是有序的，故A错：B中数列可以表示 时，am=21. 为{n一1}，故B错：C中数列不是常数列.故选D. 则a=5,b=10.即a十b=15. 2.已知数列√2,5,22，√T,…,则2√5是这个数列的 6.已知数列{a.}的通项公式为a.=3m2-28m. ( (1)写出数列的第4项和第6项： A第6项 B.第7项 (2)一49是不是该数列中的一项？如果是，是哪一项？68 C.第8项 D.第9项 是不是该数列中的一项呢？ 答案B 解(1)，a.=3m2-281, 解析数列的通项公式为am=√3一I, .a,=3×16-28×4=-64, 令√3m-1=25,解得n=7, a8=3X36-28×6=-60. (2)令3m2-28=-49, 即25是这个数列的第7项. 7 3.已知数列{an}的通项公式为a.=n2-8m十15，则3( 解得n=7或n=3含去)， A.不是数列{a.}中的项 ∴.n=7,即一49是该数列的第7项 B.只是数列{a.}中的第2项 C.只是数列{am}中的第6项 令3m2-281=68,解得m= 3或n=-2. D.是数列{an}中的第2项和第6项 答案D en.-2ex.. 解析令a.=2-8m十15=3， ∴68不是该数列中的项」 整理可得n2-8m十12=0，解得n=2或n=6. 课后 ·训练提升 基础·巩固 则a2as等于() A.70 B.28 C.20 D.8 1.下面四个结论，其中叙述正确的有( 答案C ①数列的通项公式是唯一的： 3n十1，n为奇数， ②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的 解析由an= 2n-2,n为偶数， 函数； 得a2aa=2X10=20.故选C. ③若用图象表示数列，则它是一群孤立的点： 1 3 ④每个数列都有通项公式， 3.数列 2 3×5'5X7一7X9'9X…的通项公式为 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案B 1 A.an=(-1)+1 (2n+1)(2n+3) 解析数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式， 因此①④不正确 B.an=(-1)+1 (2m+1)(2n+3) 3n十1，n为奇数 2.已知数列的通项公式a.= 1 2n一2，n为偶数， C.a.=(-1)”2m+1)(2m+3 5
第五章 数列 【变式训练】判断下面两个数列是否为同一个数列: (1)1.1,2.1,3.1,4.1,5.1; (2)5.1,2.1,3.1,1.1,4.1. 解 因为数列(1)与数列(2)中的数的排列的顺序不同, 所以这两个数列不是同一个数列. 随堂训练 1.下列叙述正确的是( ) A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n} C.数列0,1,0,1,…是常数列 D.数列{2n}是递增数列 答案 D 解析 数列中的项是有序的,故 A 错;B中数列可以表示 为{n-1},故B错;C中数列不是常数列.故选D. 2.已知数列 2,5,22, 11,…,则25是这个数列的 ( ) A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 答案 B 解析 数列的通项公式为an= 3n-1, 令 3n-1=25,解得n=7, 即25是这个数列的第7项. 3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则3( ) A.不是数列{an}中的项 B.只是数列{an}中的第2项 C.只是数列{an}中的第6项 D.是数列{an}中的第2项和第6项 答案 D 解析 令an=n2-8n+15=3, 整理可得n2-8n+12=0,解得n=2或n=6. 故3是数列{an}中的第2项和第6项. 4.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n +1),则a3= . 答案 2 解析 ∵an=log3(2n +1), ∴a3=log3(23+1)=log39=2. 5.已知数列的项与项数的关系如下表: 项数n 1 2 3 4 5 6 7 … b 项an 1 4 3 8 a 12 7 … 20 则a+b= . 答案 15 解析 由表可知,当项数为奇数时,an=n;当项数为偶数 时,an=2n. 则a=5,b=10,即a+b=15. 6.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出数列的第4项和第6项; (2)-49是不是该数列中的一项? 如果是,是哪一项? 68 是不是该数列中的一项呢? 解 (1)∵an=3n2-28n, ∴a4=3×16-28×4=-64, a6=3×36-28×6=-60. (2)令3n2-28n=-49, 解得n=7或n= 7 3 (舍去), ∴n=7,即-49是该数列的第7项. 令3n2-28n=68,解得n= 34 3 或n=-2. ∵ 34 3 ∉N+ ,-2∉N+ , ∴68不是该数列中的项. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下面四个结论,其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的; ②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的 函数; ③若用图象表示数列,则它是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案 B 解析 数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式, 因此①④不正确. 2.已知数列的通项公式an= 3n+1,n为奇数, 2n-2,n为偶数, 则a2a3 等于( ) A.70 B.28 C.20 D.8 答案 C 解析 由an= 3n+1,n为奇数, 2n-2,n为偶数, 得a2a3=2×10=20.故选C. 3.数列- 1 3×5 , 2 5×7 ,- 3 7×9 , 4 9×11 ,…的通项公式为 ( ) A.an=(-1)n+1 1 (2n+1)(2n+3) B.an=(-1)n+1 n (2n+1)(2n+3) C.an=(-1)n 1 (2n+1)(2n+3) 5
数学 选择性必修 第三册 配人教B版 D.a.=(-1)'(2m+1D(2m+3) 答案an=10十n 解析因为11=10十1,102=102十2,1003=103+ 答案D 3,10004=10十4，…，所以该数列的一个通项公式是 解析观察式子的分子为1,2,3,4，…，n,…,分母为3× am=10°十n. 5,5×7,7X9,…,(2m十1)(2十3)，…，而且正、负间隔 9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： 故通项公式为a,=(-1)”(2m十1D(2m十3 (1)4,142 527… 4.如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个 (2)1,3,6,10,15,…: 数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( (3)7,77,777,…. 解(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一 为4即为号，营台音…，于是它们的分母候次相差3。 ① 2 3 4 4 A.a=3"-1 因而有a.一3n十2 B.a=3" (2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5，规律还不明 C.a=3*-2n 显，再把各项的分子和分母都乘2，即1X2,2X3,3×4 22,2 D.an=3"-1+2n-3 答案A 22…,因而有a.=n(m十1 4×55×6 2 解析四个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都 (3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘9，得9,99， 是3的指数幂.猜想数列的通项公式为am=3-. 999,…,因而有an= 9(10-1). 5.下面四个数列中，是递增数列的是() A1g行- 10.已知数列(a.}的通项公式是.=+二，其中 3 n∈N+ 2 3π B.sin7,sin7,sin7,… (1)写出aoam+1i 111 C-1-2-4-8… (②79号是不是这个数列中的项如果是，是第几项 D.0,2,0,2,0,… 如果不是，请说明理由. 答案C 解（1)将n=10代入a,得aw=10+10-_10 3 解析A中数列是递减数列，B中数列不是单调数列，D 将n十1代入am,得 中数列不是单调数列，C中数列符合条件， a+1=0+1)2+6m+1)-1=n2+3m+1 6.已知数列{a.},a。=a"十m(a<0,n∈N+),满足a1=2, 3 3 a2=4,则a8= (②)不坊授79号是这个数列中的第n项， 答案2 折心 a2-a=2, 剥a.=十=79号，即+-1=239 3 解得n=15或n=-16(舍去)， a=2或a=-1,又a<0,∴.a=-1. 又a十m=2,∴.m=3, 因此79号是：列a}中的第15项。 .a.=(-1)十3，∴.a3=(-1)3十3=2 7.以下通项公式： 拓展·提高 .-9-(-1r@a=-(-i L下面四个命题：①已知在数列(a中，a,=n十2n∈N)方 2是这个数列的第10项，且最大项为第1项：②数列号， 2 ③an= 人巨，n为奇数其中可以作为数列反，0巨，0E, 0,n为偶数 子行，(，一的通项公式为a,=7十：@数列的图象是 345 0,…通项公式的是 答案①②③ 一群孤立的点；④数列1，一1,1，一1，…与数列一1， 解析逐一检验得①②③都正确. 1,一1,1，…是同一个数列.真命题的个数是() 8.已知数列{a.}的前4项为11,102,1003,10004，…，则它 A.1 B.2 C.3 D.4 的一个通项公式为 答案B 6
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 D.an=(-1)n n (2n+1)(2n+3) 答案 D 解析 观察式子的分子为1,2,3,4,…,n,…,分母为3× 5,5×7,7×9,…,(2n+1)(2n+3),…,而且正、负间隔. 故通项公式为an=(-1)n n (2n+1)(2n+3). 4.如图,下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个 数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( ) A.an=3n-1 B.an=3n C.an=3n -2n D.an=3n-1+2n-3 答案 A 解析 四个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27,都 是3的指数幂.猜想数列的通项公式为an=3n-1. 5.下面四个数列中,是递增数列的是( ) A.1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,… B.sin π 7 ,sin 2π 7 ,sin 3π 7 ,… C.-1,- 1 2 ,- 1 4 ,- 1 8 ,… D.0,2,0,2,0,… 答案 C 解析 A中数列是递减数列,B中数列不是单调数列,D 中数列不是单调数列,C中数列符合条件. 6.已知数列{an},an=an +m(a<0,n∈N+ ),满足a1=2, a2=4,则a3= . 答案 2 解析 ∵ a1=a+m=2, a2=a2+m=4, ∴a2-a=2, ∴a=2或a=-1,又a<0,∴a=-1. 又a+m=2,∴m=3, ∴an=(-1)n +3,∴a3=(-1)3+3=2. 7.以下通项公式: ①an= 2 2 [1-(-1)n];②an= 1-(-1)n ; ③an= 2,n为奇数, 0,n为偶数. 其中可以作为数列 2,0,2,0,2, 0,…通项公式的是 . 答案 ①②③ 解析 逐一检验得①②③都正确. 8.已知数列{an}的前4项为11,102,1003,10004,…,则它 的一个通项公式为 . 答案 an=10n +n 解析 因 为 11=10+1,102=102 +2,1003=103 + 3,10004=104+4,……,所以该数列的一个通项公式是 an=10n +n. 9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1) 4 5 , 1 2 , 4 11 , 2 7 ,…; (2)1,3,6,10,15,…; (3)7,77,777,…. 解 (1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一 为4,即为 4 5 , 4 8 , 4 11 , 4 14 ,…,于是它们的分母依次相差3, 因而有an= 4 3n+2 . (2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明 显,再把各项的分子和分母都乘2,即 1×2 2 , 2×3 2 , 3×4 2 , 4×5 2 , 5×6 2 ,…,因而有an= n(n+1) 2 . (3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘9,得9,99, 999,…,因而有an= 7 9 (10n -1). 10.已 知 数 列 {an}的 通 项 公 式 是 an = n2+n-1 3 ,其 中 n∈N+ . (1)写出a10,an+1; (2)79 2 3 是不是这个数列中的项? 如果是,是第几项? 如果不是,请说明理由. 解 (1)将n=10代入an,得a10= 102+10-1 3 = 109 3 . 将n+1代入an,得 an+1= (n+1)2+(n+1)-1 3 = n2+3n+1 3 . (2)不妨设79 2 3 是这个数列中的第n项, 则an= n2+n-1 3 =79 2 3 ,即n2+n-1=239. 解得n=15或n=-16(舍去), 因此79 2 3 是数列{an}中的第15项. 拓展 提高 1.下面四个命题:①已知在数列{an}中,an= 1 n+2 (n∈N+ ), 1 12 是这个数列的第10项,且最大项为第1项;②数列 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 ,…的通项公式为an= n n+1 ;③数列的图象是 一群孤立的点;④ 数列 1,-1,1,-1,… 与 数 列 -1, 1,-1,1,…是同一个数列.真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 6
第五章数列 解析对于①，易知数列{a,}是递减数列，且ao=2,故 答案1,0,1,0 ①正确；对于②，当n=1时，a1= 1 ，因此②错误，实 2 解析“a,=十（一1） 2 ∴.a1=1,a2=0,a3=1,a4=0. 际上a-2(nN+):对于③，由数列的表示法知正 1 6已知数列{a.}的通项公式为a.=nm十2，则ao= 确；对于④，由数列的概念知错误.综上所述，真命题的个 1 数为2.故选B. 若a。=18则n三 2.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这 些数目的点可以排成一个正三角形（第一个除外）.则第七 答案02 个三角形数是( 11 解析am= nm+2).a0=10X12=120 1 1 由a.=n0m十2-168，得n2+21-168=0,得n=12 10 或n=-14(舍去). A.27 B.28 C.29 D.30 2 7.已知在数列{a,}中a.=+ 答案B (1)求数列{am}的第7项； 解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的 (2)求证：数列{a.}的各项都在区间(0,1)内： 前一项多的点数正好是它本身的序号，根据这个增长规律 可知第七个三角形数是1+2十3十4十5十6十7=28. (3)区间（层，号）内有设有数列{a,}中的项！若有，有 3.(多选题)若数列{an}满足：对任意正整数n,{amt1-an》 几项？ 为递减数列，则称数列{a.}为“差递减数列”.给出下列数 7249 (1)解由通项公式可知a1-72+1一50 列{am}(n∈N+),其中是“差递减数列”的有( A.a.=3n B.a.=n2+1 n2 (2)证明“a,=n中=1- 1 n2+1' C.a=n D.a.=In ∴.0a。1 2m+1 5.已知数列a,的通项公式为a.=1+(1) =0 2 一，则该数列 (n十1)十n am+1>am,数列{am}是递增数列. 的前4项依次为
第五章 数列 解析 对于①,易知数列{an}是递减数列,且a10= 1 12 ,故 ①正确;对于②,当n=1时,a1= 1 2 ≠ 2 3 ,因此②错误,实 际上an= n+1 n+2 (n∈N+ );对于③,由数列的表示法知正 确;对于④,由数列的概念知错误.综上所述,真命题的个 数为2.故选B. 2.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这 些数目的点可以排成一个正三角形(第一个除外).则第七 个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 答案 B 解析 观察三角形数的增长规律,可以发现每一项比它的 前一项多的点数正好是它本身的序号,根据这个增长规律 可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 3.(多选题)若数列{an}满足:对任意正整数n,{an+1-an} 为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数 列{an}(n∈N+ ),其中是“差递减数列”的有( ) A.an=3n B.an=n2+1 C.an= n D.an=ln n n+1 答案 CD 解析 选项 A中,∵an+1-an=3(n+1)-3n=3, ∴数列{an}不为“差递减数列”. 同理可得选项B中的数列也不为“差递减数列”. 选 项 C 中,∵ an+1 - an = n+1 - n = 1 n+1+ n , ∴数列{an}为“差递减数列”. 同理可得选项 D 中的也为“差递减数列”.故选 C 和D. 4.数列 5 3 , 10 8 , 17 a , b 24 , 37 35 ,…中,有序数对(a,b)可 以是 . 答案 (15,26) 解析 由已知,各项 可 写 为 3+2 1×3 , 8+2 2×4 , 15+2 a , b 4×6 , 35+2 5×7 ,…, 因此可得a=3×5=15,b=24+2=26, 故有序数对(a,b)为(15,26). 5.已知数列{an}的通项公式为an= 1+(-1)n+1 2 ,则该数列 的前4项依次为 . 答案 1,0,1,0 解析 ∵an= 1+(-1)n+1 2 , ∴a1=1,a2=0,a3=1,a4=0. 6.已知 数 列 {an}的 通 项 公 式 为an = 1 n(n+2) ,则a10= ,若an= 1 168 ,则n= . 答案 1 120 12 解析 ∵an= 1 n(n+2) ,∴a10= 1 10×12 = 1 120 . 由an= 1 n(n+2)= 1 168 ,得n2+2n-168=0,得n=12 或n=-14(舍去). 7.已知在数列{an}中,an= n2 n2+1 . (1)求数列{an}的第7项; (2)求证:数列{an}的各项都在区间(0,1)内; (3)区间 1 3 , 2 3 内有没有数列{an}中的项? 若有,有 几项? (1)解 由通项公式可知a7= 72 72+1 = 49 50 . (2)证明 ∵an= n2 n2+1 =1- 1 n2+1 , ∴0 1 - 2n+1 (n+1)+n =0, ∴an+1>an,∴数列{an}是递增数列. 7
数学 选择性必修第三册 配人教B版 5.1.2 数列中的递推 1.理解递推公式的含义，掌握递推公式的应用 课标定位 2.会求数列中的最大（小）项， 素养阐释 3.理解数列{a.}的前n项和Sm,掌握由S。求a。的方法. 4.提高逻辑推理与数学运算能力. 课前·基础认知 一、数列的递推关系 书的销售人员，对于上述数列，除了每一个数的大小和增长 【问题思考】 趋势以外，你还会关心什么呢？ 1.如图，某会议室有若干排座位，每一排的座位数构成 提示作为销售人员，一般来说还会关心上半年的电子 的数列设为{an入.从第二排起，后一排都比前一排多2个 书的销售总量，即500+650+960+1260+1580+1830= 座位. 6780. 2.对于一般的数列{a.},该如何表示其前n项和呢？ 提示S.=a1十a2十a3十…十a. 3.数列{am}前(n十1)项的和减去其前n项的和，差是 多少？ 提示Sm+1-S.=aw+1 4填空： (1)第n排与第n一1排座位数有什么关系？ (1)数列{an}的前n项和：一般地，给定数列{an},称 提示am=am-1十2(n∈N,且n≥2). Sn=a1十a2十a3十…十a。为数列{an}的前n项和. (2)若第一排有7个座位，数列{a.}是怎样的一列数？ (2)由数列的前n项和S。,求其通项公式a。为a.= 提示7,9,11,13,15，… /S,n=1, 2.填空：如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相 S。-S=1n≥2. 5.做一做：设数列{an}的前n项和S.=n2,则as的值 邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这 为( 个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）. A.15 B.16 C.49 D.64 3.做一做：数列1,3,6,10,15，…的递推关系是( A/1. 答案A lat=an十n,n∈Nt 解析a8=S8-S,=64-49=15. 【思考辨析】 B.a,=a-+n,mEN,m合2 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 “√”，错误的画“×” C.a,=a.十(n+l),n∈Nt,n>2 (1)如果在数列{a.}中有an=2a.+1十1，那么就可以求 出数列的任一项， (×) D.a,=a+(m-1),m∈N. (2)已知在数列{an}中，a1=1,a+2=a+1十a.,可以求 答案B 出a- (X) (3)在数列{an}中，a1=-1,an=a。-1十2(n≥2)，则 解析将数列中的项代入验证即可求得」 a3=3. () 二、数列{an}的前n项和 (4)在数列{an}中，若满足at1=a.,则数列{an}为常 【问题思考】 数列 (/) 1.已知某电子图书今年上半年每个月的销售量所构成 (5)a.=S.一S.-1成立的条件是n∈N+. (X) 的数列为500,650,960,1260,1580,1830.假如你是该电子 8
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 5.1.2 数列中的递推 课标定位 素养阐释 1.理解递推公式的含义,掌握递推公式的应用. 2.会求数列中的最大(小)项. 3.理解数列{an}的前n项和Sn,掌握由Sn 求an 的方法. 4.提高逻辑推理与数学运算能力. 课前·基础认知 一、数列的递推关系 【问题思考】 1.如图,某会议室有若干排座位,每一排的座位数构成 的数列设为{an}.从第二排起,后一排都比前一排多2个 座位. (1)第n排与第n-1排座位数有什么关系? 提示 an=an-1+2(n∈N,且n≥2). (2)若第一排有7个座位,数列{an}是怎样的一列数? 提示 7,9,11,13,15,…. 2.填空:如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相 邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这 个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 3.做一做:数列1,3,6,10,15,…的递推关系是( ) A. a1=1, an+1=an+n,n∈N+ B. a1=1, an=an-1+n,n∈N+ ,n≥2 C. a1=1, an+1=an+(n+1),n∈N+ ,n≥2 D. a1=1, an=an-1+(n-1),n∈N+ 答案 B 解析 将数列中的项代入验证即可求得. 二、数列{an}的前n项和 【问题思考】 1.已知某电子图书今年上半年每个月的销售量所构成 的数列为500,650,960,1260,1580,1830.假如你是该电子 书的销售人员,对于上述数列,除了每一个数的大小和增长 趋势以外,你还会关心什么呢? 提示 作为销售人员,一般来说还会关心上半年的电子 书的销售总量,即500+650+960+1260+1580+1830= 6780. 2.对于一般的数列{an},该如何表示其前n项和呢? 提示 Sn=a1+a2+a3+…+an. 3.数列{an}前(n+1)项的和减去其前n 项的和,差是 多少? 提示 Sn+1-Sn=an+1. 4.填空: (1)数列{an}的前n 项和:一般地,给定数列{an},称 Sn=a1+a2+a3+…+an 为数列{an}的前n项和. (2)由数列的前n 项和Sn,求其通项公式an 为an= S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2. 5.做一做:设数列{an}的前n 项和Sn=n2,则a8 的值 为( ) A.15 B.16 C.49 D.64 答案 A 解析 a8=S8-S7=64-49=15. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)如果在数列{an}中有an=2an+1+1,那么就可以求 出数列的任一项. (×) (2)已知在数列{an}中,a1=1,an+2=an+1+an,可以求 出an. (×) (3)在数列{an}中,a1=-1,an =an-1+2(n≥2),则 a3=3. (√) (4)在数列{an}中,若满足an+1=an,则数列{an}为常 数列. (√) (5)an=Sn-Sn-1 成立的条件是n∈N+ . (×) 8
第五章 数列 课堂·重难突破 探究一由递推关系写出数列的项并 (2)根据写出的前儿项，观察归纳其特点，并把每 归纳通项公式 项统一形式 【例1】已知数列{an}满足a1=1,a.=a-1十n（m-1) (3)归纳总结写出一个通项公式。 (≥2)，写出该数列的前5项，并归纳出它的一个通项公式. 【变式训练1】已知在数列{a.}中，a1=1,a2=2,以后各 分析由首项及递推关系写出前5项，再观察前5项的 项满足am=am-1十am-2(n≥3). 规律，写出一个通项公式. (1)写出此数列的前5项： 解a1=1, (2)通过公式.=一构造一个新的数列{6.}，写出数 a+1 1 13 a:=a1+2X=1+2=2, 列{b.}的前4项. 13,15 解(1)因为a.=a-1十am-2(n≥3)，且a1=1,a2=2, a=at3X2-2+6=3 所以a3=a2十a1=3,a4=a3十a2=3十2=5，a5=a4十 1517 ag=5十3=8. a4=a十4X3-3+2=4 故数列{am}的前5项依次为1,2,3,5,8. 17,19 a-a:+5×4=4+20-5 (2)因为h.=a,且a1=1,a2=2,a=3,a4=5,a=8, an+l 故数列的前5项分别为1,2,3,45 3579 所以b1==1 a3 3' 由于1=2x1-1,3=2X2-1,5=2×3-1,2 6 b3= a4_5 12 23 34 as 8. 2×4-192×5-1 1 3 4 5 5 3b,=亏b,=8 故数列{an}的一个通项公式为a.= 2-1 =2- 探究二由数列的递推关系利用“累加 ①反思感悟 (乘)法”求数列的通项 1,递推关系是数列任意两个（或多个）相邻项之间 的推导关系，不能由n直接得出a,用递推关系给出一 【例211在数列a,中，a,=1a.=(1-a-n≥ 个数列，必须给出以下两点 2),求通项am: (1)“基础”一数列{an}的第1项或前几项. (2)已知数列{a.}满足a1=2a4-1=a-一a.,求数 (2)递推关系一数列{a.}的任一项am与它的前 列{a.}的通项公式. 一项aw-1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以 用一个公式来表示. 分析1)原式转化为=”-1 (n≥2)，可利用累来 aw-1 n 如果两个条件缺一个，那么数列就不能确定。 法求解： 2.根据数列的递推关系和第1项（或其他项）求数 11 列的前几项的方法. (2)原式转化为 =1(n≥2)，可利用累加法 an an-1 (1)根据递推关系写出数列的前几项，先要弄清楚 求解 公式中各部分的关系，再依次代入计算即可 (2)若知道的是末项，则通常将所给关系式整理成 解1)因为a=1a=(-h-≥2. 用后面的项表示前面的项的形式，如a。=2a+1十l. 所以a,=n一1 (3)若知道的是首项，则通常将所给关系式整理成 an-1 用前面的项表示后面的项的形式，如a1=, 2 因为当n≥2时，a=..02..型 da-1 an-2 a-3 3.由递推关系写出通项公式的步骤 (1)根据递推关系写出数列的前几项（至少是前 a 3项). 又当n=1时，a1=1,符合上式，所以a.=】 、(2)aa-1=a-—a1-=l. 9
第五章 数列 课堂·重难突破 探究一 由递推关系写出数列的项并 归纳通项公式 【例1】已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+ 1 n(n-1) (n≥2),写出该数列的前5项,并归纳出它的一个通项公式. 分析 由首项及递推关系写出前5项,再观察前5项的 规律,写出一个通项公式. 解 a1=1, a2=a1+ 1 2×1 =1+ 1 2 = 3 2 , a3=a2+ 1 3×2 = 3 2 + 1 6 = 5 3 , a4=a3+ 1 4×3 = 5 3 + 1 12 = 7 4 , a5=a4+ 1 5×4 = 7 4 + 1 20 = 9 5 . 故数列的前5项分别为1, 3 2 , 5 3 , 7 4 , 9 5 . 由于1= 2×1-1 1 , 3 2 = 2×2-1 2 , 5 3 = 2×3-1 3 , 7 4 = 2×4-1 4 , 9 5 = 2×5-1 5 , 故数列{an}的一个通项公式为an= 2n-1 n =2- 1 n . 1.递推关系是数列任意两个(或多个)相邻项之间 的推导关系,不能由n直接得出an.用递推关系给出一 个数列,必须给出以下两点. (1)“基础”———数列{an}的第1项或前几项. (2)递推关系———数列{an}的任一项an 与它的前 一项an-1(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以 用一个公式来表示. 如果两个条件缺一个,那么数列就不能确定. 2.根据数列的递推关系和第1项(或其他项)求数 列的前几项的方法. (1)根据递推关系写出数列的前几项,先要弄清楚 公式中各部分的关系,再依次代入计算即可. (2)若知道的是末项,则通常将所给关系式整理成 用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1. (3)若知道的是首项,则通常将所给关系式整理成 用前面的项表示后面的项的形式,如an+1= an-1 2 . 3.由递推关系写出通项公式的步骤. (1)根据递推关系写出数列的前几项(至少是前 3项). (2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每 一项统一形式. (3)归纳总结写出一个通项公式. 【变式训练1】已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各 项满足an=an-1+an-2(n≥3). (1)写出此数列的前5项; (2)通过公式bn= an an+1 构造一个新的数列{bn},写出数 列{bn}的前4项. 解 (1)因为an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2, 所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+ a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为1,2,3,5,8. (2)因为bn= an an+1 ,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, 所以b1= a1 a2 = 1 2 ,b2= a2 a3 = 2 3 , b3= a3 a4 = 3 5 ,b4= a4 a5 = 5 8 . 故b1= 1 2 ,b2= 2 3 ,b3= 3 5 ,b4= 5 8 . 探究二 由数列的递推关系利用“累加 (乘)法”求数列的通项 【例2】(1)在数列{an}中,a1=1,an= 1- 1 n an-1(n≥ 2),求通项an; (2)已知数列{an}满足a1= 1 2 ,anan-1=an-1-an,求数 列{an}的通项公式. 分析 (1)原式转化为 an an-1 = n-1 n (n≥2),可利用累乘 法求解; (2)原式转化为 1 an - 1 an-1 =1(n≥2),可利用累加法 求解. 解 (1)因为a1=1,an= 1- 1 n an-1(n≥2), 所以 an an-1 = n-1 n , 因为当n≥2时,an = an an-1 · an-1 an-2 · an-2 an-3 ·…· a3 a2 · a2 a1 ·a1= n-1 n · n-2 n-1 · n-3 n-2 ·…· 2 3 · 1 2 ·1= 1 n . 又当n=1时,a1=1,符合上式,所以an= 1 n . (2)∵anan-1=an-1-an,∴ 1 an - 1 an-1 =1. 9
数学 选择性必修第三册 配人教B版 又a1=2 此时，若n=1,则am=4n-5=4X1-5=-1=a1, 故am=4n-5. ÷品品+日)+()+十 (2)当n=1时，a1=S1=31-2=1; 当n≥2时，S。-1=3"-1-2, 日-）=2+t出=a+1a≥2， 则an=Sn-Sm-1=(3"-2)-(3-1-2)=3”-3"-1= 3·34-1一3m-1=2·3"-1 a= 十1n≥2). 此时，若n=1,a.=2·3"-1=2·31-1=2≠a1, 又当n=1时，a1= ,符合上式 1 故an= 1,n=1, 2.3"-1,n≥2. a.二m十T 1 反思感悟 已知数列{am}的前n项和公式S。,求通项公式an 反思感悟 的步骤. 由递推关系求通项公式时，要根据递推关系的特 (1)当n=1时，a1=S1. 点，选择怡当的方法求解.常用累加法和累乘法 (2)当n≥2时，根据Sm写出Sm-1,化简am= (1)累加法：当an=a-1十f(n)时，常用am= S-S-1. (am一am-1)十(am-1一am-2)十…十(a2一a1)十a1求通 (3)如果a1也满足当n≥2时，an=S.-S-的通 项公式 项公式，那么数列{an}的通项公式为a.=S。一S。-1(如 (2)累乘法：当a=g(m)时，常用a.= a则 本题(1))： aw-1 n-1 如果a1不满足当n≥2时，an=S。一S-1的通项 a.a1求通项公式 公式，那么数列{a.}的通项公式要分段表示为an= an-2 S1,n=1, (如本题(2)) 【变式训练2】已知数列{an},a1=2,a+1=2am,写出数 S。-Sa-1,n≥2 列的前5项，猜想a。并加以证明. 解由a1=2,aw+1=2a.,得a2=2a1=2X2=4=22, 【变式训练3】已知数列{an}的前n项和S.= 、3 n2 aa=2a2=2X4=8=23, 205 a4=2a4=2×8=16=2, n,求数列(a.的通项公式 a:=2a4=2X16=32=25, 解由题意知a1=S=一号×1+受5×1=101 当n≥2时，an=Sm-Sm-1=-3m十104， 猜想an=2(n∈N+). 又当n=1时，a1=-3+104=101, 证明：由a+1=2a.,得=2 故数列{a.}的通项公式为an=-3m十104(n∈N+). 周此可得=2=2,2-2…。2二 dn=2. 探究四数列的最大（小）项的求法 将上面的(n-1)个式子相乘可得...· 【例)已知数列a)的通项公式a.=a+D·(侣) a a2 a3 a1=2"-1,即4=2-1.所以an=a1·2-1(n≥2). (n∈N+),试问数列{a.}有没有最大项？若有，求最大项和 最大项的项数：若没有，说明理由. 又a1=2,故am=2.2-1=2”(n≥2). 数列{a.} 对任意 计算 判断 因为a1=2符合上式，所以an=2"(n∈N+). 分析 的通项 n∈N+ aw+1一aa 正、负 探究三由Sn求am 确定单调性 根据 单调性 求解最大（小）项 【例3】已知下面各数列{an}的前n项和公式S.,求数 列{an}的通项公式. 解方法一：a-a,=(n+2)(侣) (1)Sn=2n2-3m: a+)-().置 (2)S.=3-2. 当n0,即am+1>ami 解(1)当n=1时，a1=S1=2×12-3×1=-1: 当n=9时，an+1一an=0,即aw+1=a。 当n>2时，S-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7m+5, 当n>9时，aat1-anan>an> 2m2-3n-2n2+7m-5=4n-5. 因此数列中有最大项，最大项为第9,10项， 10
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 又a1= 1 2 , ∴ 1 an = 1 a1 + 1 a2 - 1 a1 + 1 a3 - 1 a2 + … + 1 an - 1 an-1 =2+1+1+…+1 (n-1)个1 =n+1(n≥2). ∴an= 1 n+1 (n≥2). 又当n=1时,a1= 1 2 ,符合上式, ∴an= 1 n+1 . 由递推关系求通项公式时,要根据递推关系的特 点,选择恰当的方法求解.常用累加法和累乘法. (1)累加法:当an =an-1 +f(n)时,常用an= (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 求通 项公式. (2)累乘法:当 an an-1 =g(n)时,常用an = an an-1 · an-1 an-2 ·…· a2 a1 ·a1 求通项公式. 【变式训练2】已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数 列的前5项,猜想an 并加以证明. 解 由a1=2,an+1=2an,得a2=2a1=2×2=4=22, a3=2a2=2×4=8=23, a4=2a3=2×8=16=24, a5=2a4=2×16=32=25, …… 猜想an=2n(n∈N+ ). 证明:由an+1=2an,得 an+1 an =2. 因此可得 a2 a1 =2, a3 a2 =2, a4 a3 =2,…, an an-1 =2. 将上面的(n-1)个式子相乘可得 a2 a1 · a3 a2 · a4 a3 ·…· an an-1 =2n-1,即 an a1 =2n-1.所以an=a1·2n-1(n≥2). 又a1=2,故an=2·2n-1=2n(n≥2). 因为a1=2符合上式,所以an=2n(n∈N+ ). 探究三 由Sn 求an 【例3】已知下面各数列{an}的前n 项和公式Sn,求数 列{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n -2. 解 (1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则an=Sn -Sn-1 = (2n2 -3n)- (2n2 -7n+5)= 2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5. 此时,若n=1,则an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故an=4n-5. (2)当n=1时,a1=S1=31-2=1; 当n≥2时,Sn-1=3n-1-2, 则an=Sn-Sn-1=(3n -2)-(3n-1-2)=3n -3n-1= 3·3n-1-3n-1=2·3n-1. 此时,若n=1,an=2·3n-1=2·31-1=2≠a1, 故an= 1,n=1, 2·3n-1,n≥2. 已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an 的步骤. (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2 时,根据 Sn 写出Sn-1,化简an= Sn-Sn-1. (3)如果a1 也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1 的通 项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1(如 本题(1)); 如果a1 不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1 的通项 公式,那么数列{an}的通项公式要分段表示为an = S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2 (如本题(2)). 【变式训练3】已知数列{an}的前n项和Sn=- 3 2 n2+ 205 2 n,求数列{an}的通项公式. 解 由题意知a1=S1=- 3 2 ×12+ 205 2 ×1=101. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104, 又当n=1时,a1=-3+104=101, 故数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N+ ). 探究四 数列的最大(小)项的求法 【例4】已知数列{an}的通项公式an=(n+1)· 10 11 n (n∈N+ ),试问数列{an}有没有最大项? 若有,求最大项和 最大项的项数;若没有,说明理由. 分析 数列{an} 的通项 对任意 n∈N+ → 计算 an+1-an 判断 正、负 → 确定单调性 根据 单调性 → 求解最大(小)项 解 方 法 一:∵an+1 -an = (n +2) 10 11 n+1 - (n+1)10 11 n = 10 11 n · 9-n 11 , 当n0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-ana11>a12>…, 因此数列中有最大项,最大项为第9,10项, 10