第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 第1课时 集合的相关概念 基础巩固 1.下列各组对象能组成集合的是( ①一切很大的书： ②所有的等腰三角形 ③函数y=2x-10的图象上的所有点. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案B 2.已知集合A中有4个元素0,1,2,3，集合B中有3个元素0,1,2，且元素a∈A,aEB,则a的值为 () A.0 B.1 C.2 D.3 答案D 3.己知集合A中只含有元素1和a2+a+1,且3∈A,则a的值为() A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1或2 答案：C 解析：由题意得2+a+1=3,解得a=1或a=-2.故选C 4.已知集合M中含有2个元素x+1,x2-2x-3,则x满足的条件是() Ax≠-1 B.≠4 C.x=-1或x=4 D.x≠-1，且x≠4 答案D 解析：由集合中元素的互异性知，x+1x2-2x3,解得≠-1，且≠4.故选D 5.由实数-a,a,lal,Va2所组成的集合最多含有的元素个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析：当a0时，这4个数都是0，所组成的集合只含有一个元素0.当a0 时，@-a-a00.所以一定与a或0中的一个相等.故组成的集合中有2个元素故选B 6.若集合A中含有3个元素a-3,2a-1,a24,且-3∈A,则实数a的值为 答案0或1 解析：①若-3=-3，则a=0,此时集合A中元素为-3，-1，-4，满足题意 ②若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中元素为-4，-3，-3，不满足元素的互异性 ③若2-4=-3，则a=±1.当a=1时，A中元素为-2,1，-3，满足题意；当a=-1时，由②知不符合题意 综上可知，a-0或a=1. 7.已知方程x2-2x-3=0的解与集合A中的元素相同，若集合A中的元素是a,b,则a+b= 答案2 解析：由题意知，a+b的值为方程2-2x-3=0的两根之和，故a+b-2 拓展提高
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第 1 课时 集合的相关概念 基础巩固 1.下列各组对象能组成集合的是( ) ①一切很大的书; ②所有的等腰三角形; ③函数 y=2x-10 的图象上的所有点. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案:B 2.已知集合 A 中有 4 个元素 0,1,2,3,集合 B 中有 3 个元素 0,1,2,且元素 a∈A,a∉B,则 a 的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:D 3.已知集合 A 中只含有元素 1 和 a 2+a+1,且 3∈A,则 a 的值为( ) A.1 B.-2 C.1 或-2 D.-1 或 2 答案:C 解析:由题意得 a 2+a+1=3,解得 a=1 或 a=-2.故选 C. 4.已知集合 M 中含有 2 个元素 x+1,x 2 -2x-3,则 x 满足的条件是( ) A.x≠-1 B.x≠4 C.x=-1 或 x=4 D.x≠-1,且 x≠4 答案:D 解析:由集合中元素的互异性知,x+1≠x 2 -2x-3,解得 x≠-1,且 x≠4.故选 D. 5.由实数-a,a,|a|,√𝑎 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:当 a=0 时,这 4 个数都是 0,所组成的集合只含有一个元素 0.当 a≠0 时,√𝑎 2=|a|={ 𝑎,𝑎 > 0, -𝑎,𝑎 < 0, 所以一定与 a 或-a 中的一个相等.故组成的集合中有 2 个元素.故选 B. 6.若集合 A 中含有 3 个元素 a-3,2a-1,a 2 -4,且-3∈A,则实数 a 的值为 . 答案:0 或 1 解析:①若 a-3=-3,则 a=0,此时集合 A 中元素为-3,-1,-4,满足题意. ②若 2a-1=-3,则 a=-1,此时集合 A 中元素为-4,-3,-3,不满足元素的互异性. ③若 a 2 -4=-3,则 a=±1.当 a=1 时,A 中元素为-2,1,-3,满足题意;当 a=-1 时,由②知不符合题意. 综上可知,a=0 或 a=1. 7.已知方程 x 2 -2x-3=0 的解与集合 A 中的元素相同,若集合 A 中的元素是 a,b,则 a+b= . 答案:2 解析:由题意知,a+b 的值为方程 x 2 -2x-3=0 的两根之和,故 a+b=2. 拓展提高
1.由，2-a,4组成一个集合A,若A中含有3个元素，则实数a可以是() A.1 B.-2 C.6 D.2 答案：C 解析：由题设知a2,2-a,4互不相等 a2≠2-a. 即a2≠4，解得a中-2，a1,且a时2.结合四个选项可知，选C (2-a≠4， 2.己知集合A中的元素x满足x=2k+1(k∈Z,则下列关系正确的是() A.-1A B.2∈A C.3∈A D.EA 答案：C 解析令2k+1一1，解得=1∈乙，所以-1∈A,故A不正确；令2k+1=2,解得k-2忆所以241，故 B不正确：令2k+1=3,解得k=1∈Z所以3∈A,故C正确；令2k+1-解得k子Z,所以A,故 D不正确」 3.己知集合M是关于x的方程x2-x+m=0的解组成的集合，若2∈M,则下列结论正确的是 () A.0∈M B.1∈M C.-2∈M D.-1∈M 答案D 解析：由2∈M知，2是关于x的方程x2-x+m=0的一个解，则4-2+m=0,解得m=-2.所以原方程 为x2-x-2=0,所以该方程的另一根为-1，所以-1∈M故选D. 4.已知集合P中含有1,2,3三个元素，集合Q中含有4,5,6三个元素.定义集合P+Q中的元素 为a+b,其中a∈P,b∈Q,则集合P+Q中的元素个数是() A.5 B.6 C.8 D.9 答案：A 解析：由已知得α+b的值依次为5,6,7：6,7,8,7,8,9.根据集合中元素的互异性可知集合P+Q中 的元素个数是5. 5.已知a,b是非零的实数，代数式+血+血的值组成的集合是M,则下列结论正确的是 h ab () A.0∈M B.-1∈M C.34M D.1∈M 答案B 解析：当4>0，b>0时，++-3，当a0 h ab h ab 时，回++-1+1-1-1；当a>0,b<0时，丛+包+血-1-1-1=-1.所以集合M中的元素是： b ab h ab 1,3.所以-1∈M故选B 6.已知集合P中元素x满足x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有3个元素，则整数 a= 答案：6 解析：因为x∈N,2<xr<a, 且集合P中恰有3个元素，所以整数a为6 7.已知集合A中含有3个元素1，a+b,a,集合B中含有3个元素0，品b.若集合A与集合B相等 则b-a的值为 答案：2 解析：由题意可知，a+b=0,且a≠0，则a=-b, 因而2-1，于是a=-1,b=1.故b-a=2
1.由 a 2 ,2-a,4 组成一个集合 A,若 A 中含有 3 个元素,则实数 a 可以是( ) A.1 B.-2 C.6 D.2 答案:C 解析:由题设知 a 2 ,2-a,4 互不相等, 即{ 𝑎 2 ≠ 2-𝑎, 𝑎 2 ≠ 4, 2-𝑎 ≠ 4, 解得 a≠-2,a≠1,且 a≠2.结合四个选项可知,选 C. 2.已知集合 A 中的元素 x 满足 x=2k+1(k∈Z),则下列关系正确的是( ) A.-1∉A B.2∈A C.3∈A D. 5 2 ∈A 答案:C 解析:令 2k+1=-1,解得 k=-1∈Z,所以-1∈A,故 A 不正确;令 2k+1=2,解得 k=1 2 ∉Z,所以 2∉A,故 B 不正确;令 2k+1=3,解得 k=1∈Z,所以 3∈A,故 C 正确;令 2k+1= 5 2 ,解得 k=3 4 ∉Z,所以5 2 ∉A,故 D 不正确. 3.已知集合 M 是关于 x 的方程 x 2 -x+m=0 的解组成的集合,若 2∈M,则下列结论正确的是 ( ) A.0∈M B.1∈M C.-2∈M D.-1∈M 答案:D 解析:由 2∈M 知,2 是关于 x 的方程 x 2 -x+m=0 的一个解,则 4-2+m=0,解得 m=-2.所以原方程 为 x 2 -x-2=0,所以该方程的另一根为-1,所以-1∈M.故选 D. 4.已知集合 P 中含有 1,2,3 三个元素,集合 Q 中含有 4,5,6 三个元素.定义集合 P+Q 中的元素 为 a+b,其中 a∈P,b∈Q,则集合 P+Q 中的元素个数是( ) A.5 B.6 C.8 D.9 答案:A 解析:由已知得 a+b 的值依次为 5,6,7;6,7,8;7,8,9.根据集合中元素的互异性可知集合 P+Q 中 的元素个数是 5. 5.已知 a,b 是非零的实数,代数式|𝑎| 𝑎 + |𝑏| 𝑏 + |𝑎𝑏| 𝑎𝑏 的值组成的集合是 M,则下列结论正确的是 ( ) A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M 答案:B 解析:当 a>0,b>0 时, |𝑎| 𝑎 + |𝑏| 𝑏 + |𝑎𝑏| 𝑎𝑏 =3;当 a0 时, |𝑎| 𝑎 + |𝑏| 𝑏 + |𝑎𝑏| 𝑎𝑏 =-1+1-1=-1;当 a>0,b<0 时, |𝑎| 𝑎 + |𝑏| 𝑏 + |𝑎𝑏| 𝑎𝑏 =1-1-1=-1.所以集合 M 中的元素是- 1,3.所以-1∈M.故选 B. 6.已知集合 P 中元素 x 满足:x∈N,且 2<x<a,又集合 P 中恰有 3 个元素,则整数 a= . 答案:6 解析:因为 x∈N,2<x<a, 且集合 P 中恰有 3 个元素,所以整数 a 为 6. 7.已知集合 A 中含有 3 个元素 1,a+b,a,集合 B 中含有 3 个元素 0,𝑏 𝑎 ,b.若集合 A 与集合 B 相等, 则 b-a 的值为 . 答案:2 解析:由题意可知,a+b=0,且 a≠0,则 a=-b, 因而𝑏 𝑎 =-1,于是 a=-1,b=1.故 b-a=2
挑战创新 已知集合A中共有3个元素-4,2a-1,2,集合B中共有3个元素9，a-5,1-a,现知9∈A,且集合B 中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则 说明理由 解：，9∈A,.2a-1-9或2-9，若2a-1-9,则a=5,此时集合A中的元素为-4,9,25，集合B中的元 素为9,0，-4，显然-4∈A,且-4∈B,与已知矛盾，故舍去. 若a2=9,则a=±3，当a=3时，集合A中的元素为-4,5,9，集合B中的元素为9，-2，-2，集合B中有 两个2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去 当a=-3时，集合A中的元素为-4，-7,9，集合B中的元素为9，-8,4，符合题意. 综上所述.满足条件的a存在，且a=-3」
挑战创新 已知集合 A 中共有 3 个元素-4,2a-1,a 2 ,集合 B 中共有 3 个元素 9,a-5,1-a,现知 9∈A,且集合 B 中再没有其他元素属于 A,能否根据上述条件求出实数 a 的值?若能,则求出 a 的值;若不能,则 说明理由. 解:∵9∈A,∴2a-1=9 或 a 2=9,若 2a-1=9,则 a=5,此时集合 A 中的元素为-4,9,25,集合 B 中的元 素为 9,0,-4,显然-4∈A,且-4∈B,与已知矛盾,故舍去. 若 a 2=9,则 a=±3,当 a=3 时,集合 A 中的元素为-4,5,9,集合 B 中的元素为 9,-2,-2,集合 B 中有 两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去. 当 a=-3 时,集合 A 中的元素为-4,-7,9,集合 B 中的元素为 9,-8,4,符合题意. 综上所述,满足条件的 a 存在,且 a=-3