第2课时 基本不等式的应用 基础巩固 1.已知正数xy满足+4-1，则y有() A最小值品 B.最大值16 C.最小值16 D,最大值品 答案：C 解桥0,0+2层4店 + y 4原4 诗≤六216 故选C 2.已知01,x-1>0,则x41=+1=x+ x.1 x-1 1++22+1=3, 当且仅当x1六即x=2时，等号成立 故1=2 4.己知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( A.16 B.25 C.9 D.36 答案B 解析：∵x>0y>0,∴.1+x>0,1+y>0, 1+14=±=（学）-25 当且仅当1+x=1+y,即xy=4时，取等号 故(1+x)1+y)的最大值为25. 故选B. 5已知a>0,b>0,a+b-2,则片+的最小值是( ) A写 B.4 c D.5 答案：C 解析：，a+b=2, 1
第 2 课时 基本不等式的应用 基础巩固 1.已知正数 x,y 满足1 𝑥 + 4 𝑦 =1,则 xy 有( ) A.最小值 1 16 B.最大值 16 C.最小值 16 D.最大值 1 16 答案:C 解析:∵x>0,y>0,∴ 1 𝑥 + 4 𝑦 ≥2√ 4 𝑥𝑦 =4√ 1 𝑥𝑦 . ∵ 1 𝑥 + 4 𝑦 =1, ∴4√ 1 𝑥𝑦 ≤1, ∴ 1 𝑥𝑦 ≤ 1 16,∴xy≥16. 故选 C. 2.已知 01,𝑥 2 -𝑥+1 𝑥-1 在 x=t 时取得最小值,则 t 等于 ( ) A.1+√2 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:∵x>1,∴x-1>0,则 𝑥 2 -𝑥+1 𝑥-1 = 𝑥(𝑥-1)+1 𝑥-1 =x+ 1 𝑥-1 =x-1+ 1 𝑥-1 +1≥2+1=3, 当且仅当 x-1= 1 𝑥-1 ,即 x=2 时,等号成立. 故 t=2. 4.已知 x>0,y>0,且 x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( ) A.16 B.25 C.9 D.36 答案:B 解析:∵x>0,y>0,∴1+x>0,1+y>0, ∴(1+x)(1+y)≤[ (1+𝑥)+(1+𝑦) 2 ] 2 = [ 2+(𝑥+𝑦) 2 ] 2 = ( 2+8 2 ) 2 =25, 当且仅当 1+x=1+y,即 x=y=4 时,取等号. 故(1+x)(1+y)的最大值为 25. 故选 B. 5.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 1 𝑎 + 4 𝑏的最小值是( ) A.7 2 B.4 C.9 2 D.5 答案:C 解析:∵a+b=2, ∴ 𝑎+𝑏 2 =1
+后很+)些-+号+品≥2陪品= 当且仅当9=乡即b=2a=时，等号成立， b 2a' 故+的最小值为 6.某公司一年需购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的存储费用为 4x万元，要使一年的运费与存储费用之和最少，则x= 答案：20 解析一年的运受与存倍费用之和为4x受4万元4x受四4-4红22、 4x1600-160,当 且仅当4x-1600即x=20时取等号. 7.已知08-3x>2>0, 38-3网≤+3型-是4， 2 当且仅当3x=8-3x,即x时，取等号。 当x时，√38-3西取最大值，且最大值为4 8已知a>0,b>0.c>0,求证号+2+三a+bc 证明.a>0,b>0,c>0, 足二均大于0 bca -c=2b 三式相加得号+b号 +c++a≥2a+2b+2c 话++atbe 拓展提高 1.下列说法正确的是( A2x+2的最小值为2 B+3的最小值为2 Vx2+2 C.当x>0时，2-3x-的最小值为2-4v3 D.当x0时，2-3x的最大值为2-4W3 答案D 解析对于A,当x0时，2-3x42-4V3,当且仅当3x=4时，等号成立 故选D 2.已知a>0,b>0,且a+b=1,则（是1）（位.1）的最小值为()
∴ 1 𝑎 + 4 𝑏 = ( 1 𝑎 + 4 𝑏 ) · 𝑎+𝑏 2 = 5 2 + 2𝑎 𝑏 + 𝑏 2𝑎 ≥ 5 2 +2√ 2𝑎 𝑏 · 𝑏 2𝑎 = 9 2 , 当且仅当2𝑎 𝑏 = 𝑏 2𝑎 ,即 b=2a= 4 3 时,等号成立, 故 1 𝑎 + 4 𝑏的最小值为9 2 . 6.某公司一年需购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的存储费用为 4x 万元,要使一年的运费与存储费用之和最少,则 x= . 答案:20 解析:一年的运费与存储费用之和为(4x+400 𝑥 ×4)万元,4x+400 𝑥 ×4=4x+1 600 𝑥 ≥2√4𝑥· 1 600 𝑥 =160,当 且仅当 4x= 1 600 𝑥 ,即 x=20 时取等号. 7.已知 08-3x>2>0, ∴√3𝑥(8-3𝑥) ≤ 3𝑥+(8-3𝑥) 2 = 8 2 =4, 当且仅当 3x=8-3x,即 x= 4 3时,取等号. ∴当 x= 4 3 时,√3𝑥(8-3𝑥)取最大值,且最大值为 4. 8.已知 a>0,b>0,c>0,求证: 𝑎 2 𝑏 + 𝑏 2 𝑐 + 𝑐 2 𝑎 ≥a+b+c. 证明:∵a>0,b>0,c>0, ∴ 𝑎 2 𝑏 , 𝑏 2 𝑐 , 𝑐 2 𝑎均大于 0. 又 𝑎 2 𝑏 +b≥2√ 𝑎2 𝑏 ·𝑏=2a, 𝑏 2 𝑐 +c≥2√𝑏 2 𝑐 ·𝑐=2b, 𝑐 2 𝑎 +a≥2√ 𝑐 2 𝑎 ·𝑎=2c, 三式相加得𝑎 2 𝑏 +b+𝑏 2 𝑐 +c+𝑐 2 𝑎 +a≥2a+2b+2c, ∴ 𝑎 2 𝑏 + 𝑏 2 𝑐 + 𝑐 2 𝑎 ≥a+b+c. 拓展提高 1.下列说法正确的是( ) A.2x+ 1 2𝑥 的最小值为 2 B. 𝑥 2+3 √𝑥 2+2 的最小值为 2 C.当 x>0 时,2-3x- 4 𝑥 的最小值为 2-4√3 D.当 x>0 时,2-3x- 4 𝑥的最大值为 2-4√3 答案:D 解析:对于 A,当 x0 时,2-3x- 4 𝑥 ≤2-4√3,当且仅当 3x= 4 𝑥 时,等号成立. 故选 D. 2.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则 1 𝑎2 -1 ·( 1 𝑏 2 - 1)的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9 答案D 解析：a>0,b>0,a+b=1, ∴abs品当a=b时，等号成立 停（原）=学学-.-地-世=子19故连D a2 b2 ab ab ab 3(多选题)若对于任意的>0，不等式2+3x+恒成立，则实数a可能的值为 ) A.0 B时 c.1 D.2 答案：BCD 解析对于任意的>0，不等式+3x和恒成立，即对任意0，不等式 a恒成立 x+ +3 因为x32F5当且仅当x1时取等号。 所以中的绿大位时 所以 故选BCD 4.一批货物分别随17列货车从A市以vk/h的速度匀速直达B市，己知两地间铁路线长 400km,为了安全，两列货车的间距不得小于（员）】 km,则将这批货物全部运到B市，最快需要 h 答案8 解析：设将这批货物从A市全部运到B市需1h, 6觉-世+将2巴焉8 则 当且仅当9=器即=100时，等号成立， 所以将这批货物全部运到B市，最快需要8h 挑战创新 某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4000平方 米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(之12)层，那么每平方米的平均建筑费用为y=3 000+50x(单位：元).为了使每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平 均综合费用最少是多少？ 购地总费用 注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用 建筑总面积 解：设每平方米的平均综合费用为Ⅵ元 依题意得ny8000x10000 50.r+20000 3000(x212,x∈N, 4000x 故片=50x+20000+300022,50x20000+3000=5000(元)， 当且仅当50x-2000即x=20时，等号成立 所以当x=20时yM取得最小值5000元 所以该楼房应建为20层，此时每平方米的平均综合费用最少，为5000元
A.6 B.7 C.8 D.9 答案:D 解析:∵a>0,b>0,a+b=1, ∴ab≤ 1 4 ,当 a=b=1 2时,等号成立. ∴( 1 𝑎2 -1) ( 1 𝑏 2 -1) = 1-𝑎 2 𝑎2 · 1-𝑏 2 𝑏 2 = (1+𝑎)·𝑏 𝑎2 · (1+𝑏)·𝑎 𝑏 2 = (1+𝑎)(1+𝑏) 𝑎𝑏 = 2+𝑎𝑏 𝑎𝑏 = 2 𝑎𝑏 +1≥ 2 1 4 +1=9.故选 D. 3.(多选题)若对于任意的 x>0,不等式 𝑥 𝑥 2+3𝑥+1 ≤a 恒成立,则实数 a 可能的值为( ) A.0 B.1 5 C.1 D.2 答案:BCD 解析:对于任意的 x>0,不等式 𝑥 𝑥 2+3𝑥+1 ≤a 恒成立,即对任意 x>0,不等式 1 𝑥+ 1 𝑥 +3 ≤a 恒成立. 因为 x+1 𝑥 +3≥3+2√𝑥· 1 𝑥 =5,当且仅当 x=1 时,取等号, 所以 1 𝑥+ 1 𝑥 +3 的最大值为1 5 . 所以 a≥ 1 5 . 故选 BCD. 4.一批货物分别随 17 列货车从 A 市以 v km/h 的速度匀速直达 B 市,已知两地间铁路线长 400 km,为了安全,两列货车的间距不得小于( 𝑣 20) 2 km,则将这批货物全部运到 B 市,最快需要 h. 答案:8 解析:设将这批货物从 A 市全部运到 B 市需 t h, 则 t= 400+16( 𝑣 20) 2 𝑣 = 400 𝑣 + 16𝑣 400≥2√ 400 𝑣 · 16𝑣 400=8, 当且仅当400 𝑣 = 16𝑣 400,即 v=100 时,等号成立, 所以将这批货物全部运到 B 市,最快需要 8 h. 挑战创新 某建筑公司用 8 000 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 12 层,每层 4 000 平方 米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥12)层,那么每平方米的平均建筑费用为 y=3 000+50x(单位:元).为了使每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平 均综合费用最少是多少? 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 建筑总面积 解:设每平方米的平均综合费用为 y1 元, 依题意得 y1=y+8 000×10 000 4 000𝑥 =50x+20 000 𝑥 +3 000(x≥12,x∈N * ), 故 y1=50x+20 000 𝑥 +3 000≥2√50𝑥· 20 000 𝑥 +3 000=5 000(元), 当且仅当 50x= 20 000 𝑥 ,即 x=20 时,等号成立. 所以当 x=20 时,y1 取得最小值 5 000 元. 所以该楼房应建为 20 层,此时每平方米的平均综合费用最少,为 5 000 元