5.4.3 正切函数的性质与图象 基础巩固 1函数-2an(2x+)的定义域为( A{xx≠副 B{xx≠} c{xk≠最+kk∈Z D{x*宣+受，k∈Z 答案D 解析：由2x+号≠+伍，k∈乙 得授+∈Z 故画数的定义城为{xx≠是+受k∈Z 2.函数)=tan(x到)在一个周期内的图象是( 5π C 答案：A 解析当x牙时，y0,排除C,D,当x0时，=tan()-V3,排除B 故选A 3.函数y=lg tan x的单调递增区间是() A(kπ受，kπ+)k∈Z B(kmkm+)k∈Z☑ C-(2km,2km+)keZ☑ D.(km,kr+π)(k∈ZO 答案B 解析：由tanx>0,得m<r<+h,k∈Z,且函数y-Hlg tan x在区间(km,kπ+)k∈☑内单调递增， 故选B. 4.如图所示，函数y=V3tan(2x+)的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积 为)
5.4.3 正切函数的性质与图象 基础巩固 1.函数 y=2tan(2𝑥 + π 3 )的定义域为( ) A.{𝑥 |𝑥 ≠ π 12 } B.{𝑥 |𝑥 ≠ - π 12 } C.{𝑥 |𝑥 ≠ π 12 + 𝑘π,𝑘∈Z} D.{𝑥 |𝑥 ≠ π 12 + 𝑘π 2 ,𝑘∈Z} 答案:D 解析:由 2x+π 3 ≠ π 2 +kπ,k∈Z, 得 x≠ π 12 + 𝑘π 2 ,k∈Z, 故函数的定义域为{𝑥 |𝑥 ≠ π 12 + 𝑘π 2 ,𝑘∈Z}. 2.函数 y=tan( 1 2 𝑥- π 3 )在一个周期内的图象是( ) 答案:A 解析:当 x= 2π 3 时,y=0,排除 C,D;当 x=0 时,y=tan(- π 3 )=-√3,排除 B. 故选 A. 3.函数 y=lg tan x 的单调递增区间是( ) A.(𝑘π- π 2 ,𝑘π + π 2 )(k∈Z) B.(𝑘π,𝑘π + π 2 )(k∈Z) C.(2𝑘π- π 2 ,2𝑘π+ π 2 )(k∈Z) D.(kπ,kπ+π)(k∈Z) 答案:B 解析:由 tan x>0,得 kπ<x< π 2 +kπ,k∈Z,且函数 y=lg tan x 在区间(𝑘π,𝑘π + π 2 )(k∈Z)内单调递增, 故选 B. 4.如图所示,函数 y=√3tan(2𝑥 + π 6 )的部分图象与坐标轴分别交于点 D,E,F,则△DEF 的面积 为( )
A号 B暖 C.π D.2π 答案：A 解析在函数=√3ian(2x+)中，令x-0,得)=3iag-1,故OD-1.又函数)=V3iar2x+日的 最小正周期T受所以EF受 所以SADEF号EFOD×1景故选A 1 5已知函数)=-tan x(o>0)的图象的相邻两支截直线y平所得的线段长为平则的值是 () A.0 B C.-1 D明 答案：A 解析由题意，得周期T品=是 ∴.0=4 ∴x)=tan4x/得)-tanr-0 6.函数y-3tan(x+)的图象的对称中心的坐标为 答案(？号，0)k∈Z☑ 解析由x+号=受k∈Z,得x-k∈Z ∴对称中心坐标为（停0）k∈☑ 7.比较大小tan() tan() 答案：< 解析：tan(）-tan受，tan()-tan号 因为v-tan x在区间（侣，内单调递增， 所以an受<tang 即am(9)tan() 8求函数y=-tan2x+4tanx+l,x∈[，的值域 解"平各x∴-1stanxsl 令tanx=1,则1∈【-l,1. ∴y=-2+41+1=-(1-2)2+5. ∴当1=-1，即x=时an=-4,当1=L,即x平时，mx=4.故所求函数的值域为[4,4 拓展提高 1已知函数y--tan x在区间（受）内单调递减，则 A.0<@<1 B.-1≤w<0
A.π 4 B.π 2 C.π D.2π 答案:A 解析:在函数 y=√3tan(2𝑥 + π 6 )中,令 x=0,得 y=√3tanπ 6 =1,故 OD=1.又函数 y=√3tan 2x+π 6 的 最小正周期 T=π 2 ,所以 EF=π 2 . 所以 S△DEF= 1 2 ·EF·OD=1 2 × π 2 ×1= π 4 .故选 A. 5.已知函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y= π 4所得的线段长为π 4 ,则 f( π 4 )的值是 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.π 4 答案:A 解析:由题意,得周期 T=π 𝜔 = π 4 , ∴ω=4. ∴f(x)=tan 4x,f( π 4 )=tan π=0. 6.函数 y=3tan(𝑥 + π 3 )的图象的对称中心的坐标为 . 答案:( 𝑘π 2 - π 3 ,0)(k∈Z) 解析:由 x+π 3 = 𝑘π 2 (k∈Z),得 x= 𝑘π 2 − π 3 (k∈Z). ∴对称中心坐标为( 𝑘π 2 - π 3 ,0)(k∈Z). 7.比较大小:tan(- 2π 7 ) tan(- π 5 ). 答案:< 解析:tan(- 2π 7 )=tan5π 7 ,tan(- π 5 )=tan4π 5 , 因为 y=tan x 在区间( π 2 ,π)内单调递增, 所以 tan5π 7 <tan4π 5 , 即 tan(- 2π 7 )<tan(- π 5 ). 8.求函数 y=-tan2 x+4tan x+1,x∈[- π 4 , π 4 ]的值域. 解:∵- π 4 ≤x≤ π 4 ,∴-1≤tan x≤1. 令 tan x=t,则 t∈[-1,1]. ∴y=-t 2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当 t=-1,即 x=- π 4时,ymin=-4,当 t=1,即 x= π 4时,ymax=4.故所求函数的值域为[-4,4]. 拓展提高 1.已知函数 y=tan ωx 在区间(- π 2 , π 2 )内单调递减,则 ( ) A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0
C.o21 D.0s-1 答案B 解析“y--tan x在区间（受，）内单调递减， ∴asin xy=2sinx 故选D 3.下列关于函数y-tan(x+)的说法正确的是() A在区间(：，)内单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点（任，0）成中心对称 D.图象关于直线x石成轴对称 答案B 解析令mxm受e乙解得m0, x1-x2 同生2)>型 2 当fx)=tanx时，正确的结论为. (填序号). 答案：①④
C.ω≥1 D.ω≤-1 答案:B 解析:∵y=tan ωx 在区间(- π 2 , π 2 )内单调递减, ∴ωsin x,y=2sin x. 故选 D. 3.下列关于函数 y=tan(𝑥 + π 3 )的说法正确的是( ) A.在区间(- π 6 , 5π 6 )内单调递增 B.最小正周期是 π C.图象关于点( π 4 ,0)成中心对称 D.图象关于直线 x= π 6 成轴对称 答案:B 解析:令 kπ- π 2 0; ⑤f( 𝑥1+𝑥2 2 ) > 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 . 当 f(x)=tan x 时,正确的结论为 (填序号). 答案:①④
解析x)=tanx的周期为元，故①中结论正确；函数x)=tanx为奇函数，故②中结论不正 确0)=tan0-0,故③中结论不正确x)=tanx在区间(2，)内单调递增，故④中结论正确；当 一时空）-0四-0，此时兰)=应故同中结论不正痛 2 2 6已知函数-=3an(层) (1)求它的最小正周期和单调递减区间： (2)试比较m)与()的大小 解（因为网=3a(后引-3好-所以最小正周期T季红 由a受(）) 挑战创新 已知函数x)=asin(wx+)(o>0),gx)=bian(ox(w>0),它们的周期之和为织且 -g())=-√3g()+1.求这两个函数的解析式，并求出gx)的单调递增区间。 侣+8=受 解根据题意，可得 asin(受+)=btan(g) asin +)=-v3btan(o+1. (w=2, 解得a=1, x)-sin(2x+).g(x)-tan(2x-) 当m2号m+keZ,即受-品受+受k∈Z时8)单调道增 所以8)的单调递增区问为(？立，号+) (k∈Z
解析:f(x)=tan x 的周期为 π,故①中结论正确;函数 f(x)=tan x 为奇函数,故②中结论不正 确;f(0)=tan 0=0,故③中结论不正确;f(x)=tan x 在区间(- π 2 , π 2 )内单调递增,故④中结论正确;当 x1=-x2 时,f( 𝑥1+𝑥2 2 )=0,𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 =0,此时 f( 𝑥1+𝑥2 2 ) = 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 ,故⑤中结论不正确. 6.已知函数 f(x)=3tan( π 6 - 𝑥 4 ). (1)求它的最小正周期和单调递减区间; (2)试比较 f(π)与 f( 3π 2 )的大小. 解:(1)因为 f(x)=3tan( π 6 - 𝑥 4 )=-3tan( 𝑥 4 − π 6 ),所以最小正周期 T=π 1 4 =4π. 由 kπ- π 2 f( 3π 2 ). 挑战创新 已知函数 f(x)=asin(𝜔𝑥 + π 3 )(ω>0),g(x)=btan(ωx- π 3 )(ω>0),它们的周期之和为3π 2 ,且 f( π 2 )=g( π 2 ),f( π 4 )=-√3𝑔 ( π 4 )+1.求这两个函数的解析式,并求出 g(x)的单调递增区间. 解:根据题意,可得 { 2π 𝜔 + π 𝜔 = 3π 2 , 𝑎sin ( 𝜔π 2 + π 3 ) = 𝑏tan ( 𝜔π 2 - π 3 ) , 𝑎sin ( 𝜔π 4 + π 3 ) = -√3𝑏tan( 𝜔π 4 - π 3 ) + 1, 解得{ 𝜔 = 2, 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 2 , 故 f(x)=sin(2𝑥 + π 3 ),g(x)= 1 2 tan(2𝑥- π 3 ). 当 kπ- π 2 <2x- π 3 <kπ+ π 2 (k∈Z),即 𝑘π 2 − π 12<x< 𝑘π 2 + 5π 12(k∈Z)时,g(x)单调递增. 所以 g(x)的单调递增区间为( 𝑘π 2 - π 12 , 𝑘π 2 + 5π 12) (k∈Z)