第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 基础巩固 1.设M和m分别表示函数y子osx-1的最大值和最小值，则M+m等于() 写 B号 c D.-2 答案D 解析由题意可知，函数的最大值M号1=号最小值m=1=兰 所以M+m=2. 2.已知函数y=gx)-2c0s(2x+)+5,则( )） A函数yg)的最小正周期T受 B函数)g)在区间臣，罗]上单调递增 C.函数=g)的图象关于直线x若对称 D.函数g)的图象关于点(？，5对称 答案D 解析对于A,由T=巫==元，故A中说法错误： 2 对于B,由2心2x+2kEZ=ka登s音kEZ因为区间晋，罗不是画数单调通增 区间的子区间，故B中说法错误； 对于C,g(-2c0s(2×沿++5-5，所以直线x不是函数yg)图象的对称轴，故C中说法错 6 误； 对于D,g()-2c0s(2×号+》+5=5，所以gx)的图象关于点(？，5)时称，故D中说法正 确.故选D 3.下列函数中，周期为元且在区间0，上单调递减的是 A.y-sin(x+) B.y=c0s字 C.y=sin 2x D.y=cos 2x 答案D 解析在选项A中，函数y=sin(x+)的周期为2元，不符合条件： 在选项B中，函数y=cos分的周期为4π，不符合条件； 在选项C中，函数y=sin2x的周期为元，但是在区间0，习上不单调，不符合条件： 在选项D中，函数y-c0s2x的周期为元，且在区间0上单调递减，符合条件故选D, 4已知函数x)=π-x),且当x∈（受，习）时x)=x+sinx设a=1),b=2),c=3),则() A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 答案D
第 2 课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 基础巩固 1.设 M 和 m 分别表示函数 y= 1 3 cos x-1 的最大值和最小值,则 M+m 等于( ) A.2 3 B.- 2 3 C.- 4 3 D.-2 答案:D 解析:由题意可知,函数的最大值 M=1 3 -1=- 2 3 ,最小值 m=- 1 3 -1=- 4 3 , 所以 M+m=-2. 2.已知函数 y=g(x)=2cos(2𝑥 + π 6 )+5,则( ) A.函数 y=g(x)的最小正周期 T=π 2 B.函数 y=g(x)在区间[ 11π 12 , 17π 12 ]上单调递增 C.函数 y=g(x)的图象关于直线 x= π 6对称 D.函数 y=g(x)的图象关于点( 2π 3 ,5)对称 答案:D 解析:对于 A,由 T=2π 𝜔 = 2π 2 =π,故 A 中说法错误; 对于 B,由 2kπ-π≤2x+π 6 ≤2kπ,k∈Z⇒kπ- 7π 12≤x≤kπ- π 12,k∈Z,因为区间[ 11π 12 , 17π 12 ]不是函数单调递增 区间的子区间,故 B 中说法错误; 对于 C,g( π 6 )=2cos(2×π 6 + π 6 )+5=5,所以直线 x= π 6 不是函数 y=g(x)图象的对称轴,故 C 中说法错 误; 对于 D,g( 2π 3 )=2cos(2 × 2π 3 + π 6 )+5=5,所以 y=g(x)的图象关于点( 2π 3 ,5)对称,故 D 中说法正 确.故选 D. 3.下列函数中,周期为 π,且在区间[0, π 2 ]上单调递减的是 ( ) A.y=sin(𝑥 + π 3 ) B.y=cos 1 2 x C.y=sin 2x D.y=cos 2x 答案:D 解析:在选项 A 中,函数 y=sin(𝑥 + π 3 )的周期为 2π,不符合条件; 在选项 B 中,函数 y=cos 1 2 x 的周期为 4π,不符合条件; 在选项 C 中,函数 y=sin 2x 的周期为 π,但是在区间[0, π 2 ]上不单调,不符合条件; 在选项 D 中,函数 y=cos 2x 的周期为 π,且在区间[0, π 2 ]上单调递减,符合条件.故选 D. 4.已知函数 f(x)=f(π-x),且当 x∈(- π 2 , π 2 )时,f(x)=x+sin x.设 a=f(1),b=f(2),c=f(3),则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 答案:D
解析：由x)x)知，函数x)的图象关于直线x受对称，又当x∈（受）时，)=x+six单调 递增，所以当x∈（侣，）时，x)单调递减 国为1)π-1)2π-1)>3)，即b>a>c故选D. 5.将sin1,sin2,sin3按从小到大的顺序排列 答案：sin30,0<0<,若直线x=平是函数x)图象的一条对称轴，点（任0） 是函数x)图象的一个对称中心，则()
解析:由 f(x)=f(π-x)知,函数 f(x)的图象关于直线 x= π 2对称,又当 x∈(- π 2 , π 2 )时,f(x)=x+sin x 单调 递增,所以当 x∈( π 2 , 3π 2 )时,f(x)单调递减. 因为 f(1)=f(π-1),π 2 f(π-1)>f(3),即 b>a>c.故选 D. 5.将 sin 1,sin 2,sin 3 按从小到大的顺序排列 . 答案:sin 30 时,由{ 𝑎 + 𝑏 = 1, -𝑎 + 𝑏 = -3, 解得{ 𝑎 = 2, 𝑏 = -1. 此时 g(x)=-sin(2𝑥 + π 3 ),其最大值为 1. 当 a0,0<φ< π 2 ),若直线 x=- π 4 是函数 f(x)图象的一条对称轴,点( π 4 ,0) 是函数 f(x)图象的一个对称中心,则( )
A.o=4k+1(k∈N) B.ω=4k+3(k∈N) C.w=2k+1(k∈N) D.O=2kMk∈N 答案：C 解析：直线x=正是函数x)图象的一条对称轴， ∴0+p=kπk∈Z.① 又点（匠，0是函数）图象的一个对称中心， ∴0+p=k∈☑.② ∴.②-①得，0=2(k2-k)+1. ,k1,2∈Z,0>0, ∴.o=2k+l(k∈N. 故选C 2.若函数y=sin(π+x)y=cos(2π-x)都单调递减，则x的取值集合是() A{x2km≤x≤2kπ+5，k∈Z B{x|km≤x≤2kπ+z,keZ c{x2km-号≤x≤2km+keZ D.{x|2km+≤x≤2km+,k∈Z 答案：A 解析：y=sin(π+x)=-sinx,y=cos(2m-x)=cosx, y=sinx在区间[+2km爱+2knk∈刀上单调递减 y=cosx在区间[2k,π+2km(k∈Z上单调递减 取两集合的交集，故选A 3.若函数x)=-sinx>0)在区间0，引上单调递增，在区间店，引上单调递减，则o的值可为 () A月 B月 C.2 D.3 答案：A 解析：由题意知当x-时，函数x)取得最大值 3 则sing-l, 所以驾-2k+k∈Z), 所以@=6k+2k∈乙 又@>0， 所以0min-2 3 故0的值可为号 其他选项均不符合题意，故选A 4若x)-2 sinx(0<w<1)在区间0，上的最大值为V2,则0= 答案 解析：x∈0，引且0<o<1
A.ω=4k+1(k∈N) B.ω=4k+3(k∈N) C.ω=2k+1(k∈N) D.ω=2k(k∈N * ) 答案:C 解析:∵直线 x=- π 4是函数 f(x)图象的一条对称轴, ∴- π 4 ω+φ=k1π- π 2 (k1∈Z).① 又点( π 4 ,0)是函数 f(x)图象的一个对称中心, ∴ π 4 ω+φ=k2π(k2∈Z).② ∴②-①得,ω=2(k2-k1)+1. ∵k1,k2∈Z,ω>0, ∴ω=2k+1(k∈N). 故选 C. 2.若函数 y=sin(π+x),y=cos(2π-x)都单调递减,则 x 的取值集合是( ) A.{𝑥 |2𝑘π ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘π + π 2 ,𝑘∈Z} B.{𝑥 |𝑘π ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘π + π 2 ,𝑘∈Z} C.{𝑥 |2𝑘π- π 2 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘π + π 2 ,𝑘∈Z} D.{𝑥 |2𝑘π+ π 2 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘π + 3π 2 ,𝑘∈Z} 答案:A 解析:y=sin(π+x)=-sin x,y=cos(2π-x)=cos x, y=-sin x 在区间[- π 2 + 2𝑘π, π 2 + 2𝑘π](k∈Z)上单调递减. y=cos x 在区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减. 取两集合的交集,故选 A. 3.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0, π 3 ]上单调递增,在区间[ π 3 , π 2 ]上单调递减,则 ω 的值可为 ( ) A.3 2 B.2 3 C.2 D.3 答案:A 解析:由题意知当 x= π 3时,函数 f(x)取得最大值, 则 sin𝜔π 3 =1, 所以𝜔π 3 =2kπ+ π 2 (k∈Z), 所以 ω=6k+3 2 ,k∈Z, 又 ω>0, 所以 ωmin= 3 2 . 故 ω 的值可为3 2 . 其他选项均不符合题意,故选 A. 4.若 f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0, π 3 ]上的最大值为√2,则 ω= . 答案: 3 4 解析:∵x∈[0, π 3 ],且 0<ω<1
0swn罗0)为偶函数，且函数)图象的两条相邻对称轴 间的距离为 ()求)的值 (2)求函数一式(x+)图象的对称轴方程 (3)当x∈(0，受]时，方程x)=m有两个不同的实根，求m的取值范围. 解(x)-2sin(ox+p)是偶函数， 则g=+km(k∈Z, 解得牙+kak∈Z), 又因为0<0<元， 所以9
∴0≤ωx≤ 𝜔π 3 0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两条相邻对称轴 间的距离为π 2 . (1)求 f( π 8 )的值; (2)求函数 y=f(𝑥 + π 6 )图象的对称轴方程; (3)当 x∈(0, 7π 12 ]时,方程 f(x)=m 有两个不同的实根,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=2sin(𝜔𝑥 + 𝜑- π 6 )是偶函数, 则 φ- π 6 = π 2 +kπ(k∈Z), 解得 φ= 2π 3 +kπ(k∈Z), 又因为 0<φ<π, 所以 φ= 2π 3
所以x)=2sin(ux+)-2 cOS@x. 由题意得得-2×o>0, 所以0=2. 故x)=2cos2x 国此)-2co=V2 (2)由fx)=2cos2x, 得y-人x+)-2cos(2x+号）) 令2x+号-缸，keZ 即x受-k∈Z 所以函数)人x+)图象的对称轴方程为x受-E乙 (3)若方程x)=m有两个不同的实根，则函数y=x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.对 函数)y)-2c0s2x,令1-2x1∈(0，习则y-2c0s11∈(0，的图象与直线)=m有两个不同 的交点，由图象（图略）知-2<m≤-V3,即m的取值范围是-2<m心-V3
所以 f(x)=2sin(𝜔𝑥 + π 2 )=2cos ωx. 由题意得2π |𝜔| =2×π 2 (ω>0), 所以 ω=2. 故 f(x)=2cos 2x, 因此 f( π 8 )=2cosπ 4 = √2. (2)由 f(x)=2cos 2x, 得 y=f(𝑥 + π 6 )=2cos 2x+ π 3 , 令 2x+π 3 =kπ,k∈Z, 即 x= 𝑘π 2 − π 6 ,k∈Z, 所以函数 y=f(𝑥 + π 6 )图象的对称轴方程为 x= 𝑘π 2 − π 6 ,k∈Z. (3)若方程 f(x)=m 有两个不同的实根,则函数 y=f(x)的图象与直线 y=m 有两个不同的交点.对 函数 y=f(x)=2cos 2x,令 t=2x,t∈(0, 7π 6 ],则 y=2cost,t∈(0, 7π 6 ]的图象与直线 y=m 有两个不同 的交点,由图象(图略)知-2<m≤-√3,即 m 的取值范围是-2<m≤-√3