5.6 函数y=Asin(ωx+p) 5.6.1匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y=Asin(ox+o)的图象 基础巩固 1用“五点法”作函数)=cos(4x)在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是( A(僵） B(晋) c() D(晋) 答案：A 解析令4号=要得x受故该点坐标为（僵0） 2.将函数y=si2x的图象向右平移：个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为 A.y-sin(2x-) B.y-sin(x+ C.y=sin(x+) D.y-sin(2x-) 答案D 解析：函数y=sin2x的图象向右平移二个单位长度，那么所得图象对应的函数解析式为y=sinL 2x]-sn2x)故选D 3.把函数y=c0s2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移 1个单位长度，最后向下平移1个单位长度，得到的图象是( 2π , 答案：A 解析：由题意，y=c0s2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象 对应的函数解析式为y=℃osx+1;再向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 y=cos(x+I)+1;最后向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=cos(x+1),显然 点（受-1,0）在此函数图象上故选A 4把函数x)=sin(2x)的图象向左平移p(0<p<)个单位长度得到函数g)的图象若8) 的图象关于y轴对称，则9的值可能为() A号 B c D器或罗 答案D 解析：由题意，得g)=sim2(x+p-sin(2x+20爱
5.6 函数 y=Asin(ωx+φ) 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 基础巩固 1.用“五点法”作函数 y=cos(4𝑥- π 6 )在一个周期内的图象时,第四个关键点的坐标是( ) A.( 5π 12 ,0) B.(- 5π 12 ,1) C.( 5π 12 ,1) D.(- 5π 12 ,0) 答案:A 解析:令 4x- π 6 = 3π 2 ,得 x= 5π 12,故该点坐标为( 5π 12 ,0). 2.将函数 y=sin 2x 的图象向右平移π 6个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为( ) A.y=sin(2𝑥- π 6 ) B.y=sin(2𝑥 + π 6 ) C.y=sin(2𝑥 + π 3 ) D.y=sin(2𝑥- π 3 ) 答案:D 解析:函数 y=sin 2x 的图象向右平移π 6个单位长度,那么所得图象对应的函数解析式为 y=sin 2 x- π 6 =sin(2𝑥- π 3 ),故选 D. 3.把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移 1 个单位长度,最后向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( ) 答案:A 解析:由题意,y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象 对应的函数解析式为 y=cos x+1;再向左平移 1 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 y=cos(x+1)+1;最后向下平移 1 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 y=cos(x+1),显然 点( π 2 -1,0)在此函数图象上.故选 A. 4.把函数 f(x)=sin(2𝑥- π 3 )的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位长度得到函数 g(x)的图象.若 g(x) 的图象关于 y 轴对称,则 φ 的值可能为( ) A.5π 12 B.7π 12 C.5π 6 D.5π 12 或 11π 12 答案:D 解析:由题意,得 g(x)=sin[2(𝑥 + 𝜑)- π 3 ]=sin(2x+2φ- π 3 )
,g(x)的图象关于y轴对称 2p号m贤k∈2，∴0受+ke☑ 又00)的部分图象如图所示，则o=」 答案 解析：由题中图象可得函数几)的最小正周期为织 =号w 7.定义在区间[0,3π上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数为 答案：7 解析：作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0,3π上的图象，如图所示.由图可知，二者有7个交 点 V=cosx y=sin2r方 8若函数y一sin2x的图象向右平移(0>0)个单位长度，得到的图象关于直线x对称，则p的 最小值为 答案号 解析：图象平移后对应函数的解析式为y=sin(2r-2p). :图象关于直线x对称， 2×径20=km+k∈Z, ∴=受-最k∈0 又p>0,“当仁1时，0取得最小值为铝 9.己知函数y=Asin(ox+p)(A>0,ω>0，lp<π)的部分图象如图所示，求它的解析式
∵g(x)的图象关于 y 轴对称, ∴2φ- π 3 =kπ+ π 2 (k∈Z),∴φ= 𝑘π 2 + 5π 12(k∈Z). 又 00)的部分图象如图所示,则 ω= . 答案: 3 2 解析:由题中图象可得函数 f(x)的最小正周期为4π 3 , ∴ 2π 𝜔 = 4π 3 ,ω= 3 2 . 7.定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin 2x 的图象与 y=cos x 的图象的交点个数为 . 答案:7 解析:作出函数 y=sin 2x 与 y=cos x 在区间[0,3π]上的图象,如图所示.由图可知,二者有 7 个交 点. 8.若函数 y=sin 2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度,得到的图象关于直线 x= π 6 对称,则 φ 的 最小值为 . 答案: 5π 12 解析:图象平移后对应函数的解析式为 y=sin(2x-2φ). ∵图象关于直线 x= π 6对称, ∴2×π 6 -2φ=kπ+ π 2 (k∈Z), ∴φ=- 𝑘π 2 − π 12(k∈Z). 又 φ>0,∴当 k=-1 时,φ 取得最小值为5π 12. 9.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,求它的解析式
解：设函数的最小正周期为T 由题中图象可知A=2写=号-君=7号受=是 将点N(信-2)的坐标代入=2sin(x+)中， 得2sin(侵×若+p)-2, ∴+p=2kmk∈Z,9-2kam.k∈Z :p<元9-琴 :所求函数的解析式为2sin(匠x买) 拓展提高 1.给出几种变换：①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变：②横坐标缩小到原来的，纵坐标不 变，③向左平移鳄个单位长度：④向右平移号个单位长度：⑤向左平移钙个单位长度：⑥向右平移鳄 个单位长度则由函数y=sinx的图象得到)y=sin(2x+)的图象，可以实施的方案是( ) A.①→③ B.②→③ C.②→④ D.②→⑤ 答案D ② 解析y=sinx的图象y=sin2x的图象y-sin(2x+)的图象 2.(多选题)已知函数x)=3sin(2x)+1(x∈R)的图象向右平移是个单位长度后得到y-gx)的 图象，则下列关于函数g(x)的说法错误的是() A最大值为3 B.最小正周期为2π C.为奇函数 D.图象关于y轴对称 答案：ABC 解析：将函数x)=3si(2x)+1(G∈R)的图象向右平移受个单位长度后得到)y=gx)的图象，则 g)=3sim[2(x)-引1=3sin(2x》+1=l-3c0s2x且定义域为R可得8)的最大值为4，故 A中说法错误； g(x)的最小正周期T=元，故B中说法错误， g(-x)=1-3cos(-2x)=1-3cos2xr=g(x),为偶函数，故C中说法错误，D中说法正确.故选ABC. 3.已知函数y-sin(2x+p)的图象沿x轴向左平移g个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则p 的值可能为( A是 B.0 c男 D.3知 4 答案C 解析：平移后的图象对应的函数解析式为y=sim2(x+罗+9=sin(2x+牙+p)国为此函数 为偶函数，所以+9受+∈Z,解得0平+m∈Z,所以选项中符合条件的p值为 4已知函数，=4cos(@r+p)的部分图象如图所示，)-子则0)
解:设函数的最小正周期为 T, 由题中图象可知 A=2,𝑇 2 = 5π 6 − π 6 = 2π 3 ,∴T=4π 3 ,ω= 2π 𝑇 = 3 2 . 将点 N( π 6 ,-2)的坐标代入 y=2sin( 3 2 𝑥 + 𝜑)中, 得 2sin( 3 2 × π 6 + 𝜑)=-2, ∴ π 4 +φ=2kπ- π 2 (k∈Z),φ=2kπ- 3π 4 (k∈Z). ∵|φ|<π,∴φ=- 3π 4 . ∴所求函数的解析式为 y=2sin( 3 2 𝑥- 3π 4 ). 拓展提高 1.给出几种变换:①横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变;②横坐标缩小到原来的1 2 ,纵坐标不 变;③向左平移π 3个单位长度;④向右平移π 3个单位长度;⑤向左平移π 6个单位长度;⑥向右平移π 6 个单位长度.则由函数 y=sin x 的图象得到 y=sin(2𝑥 + π 3 )的图象,可以实施的方案是( ) A.①→③ B.②→③ C.②→④ D.②→⑤ 答案:D 解析:y=sin x 的图象 y=sin 2x 的图象 y=sin(2𝑥 + π 3 )的图象. 2.(多选题)已知函数 f(x)=3sin(2𝑥- π 3 )+1(x∈R)的图象向右平移 π 12个单位长度后得到 y=g(x)的 图象,则下列关于函数 g(x)的说法错误的是( ) A.最大值为 3 B.最小正周期为 2π C.为奇函数 D.图象关于 y 轴对称 答案:ABC 解析:将函数 f(x)=3sin(2𝑥- π 3 )+1(x∈R)的图象向右平移 π 12个单位长度后得到 y=g(x)的图象,则 g(x)=3sin[2 (𝑥- π 12) - π 3 ]+1=3sin(2𝑥- π 2 )+1=1-3cos 2x,且定义域为 R,可得 g(x)的最大值为 4,故 A 中说法错误; g(x)的最小正周期 T=π,故 B 中说法错误; g(-x)=1-3cos(-2x)=1-3cos 2x=g(x),为偶函数,故 C 中说法错误,D 中说法正确.故选 ABC. 3.已知函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移π 8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的值可能为( ) A.- π 4 B.0 C.π 4 D.3π 4 答案:C 解析:平移后的图象对应的函数解析式为 y=sin[2 (𝑥 + π 8 ) + 𝜑]=sin(2𝑥 + π 4 + 𝜑).因为此函数 为偶函数,所以π 4 +φ= π 2 +kπ(k∈Z),解得 φ= π 4 +kπ(k∈Z),所以选项中符合条件的 φ 值为π 4 . 4.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的部分图象如图所示,f( π 2 )=- 2 3 ,则 f(0)=
答案号 解析设函数x)的最小正周期为T,由题图可知2=晋-受=T 12 12 则补全函数图象可得)-0， 故点(？，0)为函数图象的一个中心对称点， 又0+号=2，所以0)-得僩)=号 5.关于函数yx)=4sin(2x+)x∈R),有下列说法 ①由x)=f2)=0可得1-x必是π的整数倍： ②=x)的解析式可改写为y=4cos(2x) @九)的图象关于点（君0）对称 ④-x)的图象关于直线x=对称 其中正确的是 (填序号) 答案：②③ 解对于①，由于函数x)的最小正周期T-受-元，则x-的最小值是故①中说法不正响： 对于②，由于y=4cos(2x)-4cos(2x+骨-4sin(2x+),故②中说法正确： 令2x+号-kmk∈)，得x受-k∈Z),故当k-0时，对称中心为(，0)所以③中说法正确， 令2x+号=+∈Z),得x受+k∈☑，不论k取何整数，对称轴方程都不为x-君所以国 中说法不正确」 6己知函数)=3sin(G侵x),x∈R (1)列表并画出函数x)在长度为一个周期的闭区间上的简图 (2)将函数y=sinx的图象作怎样的变换可得到x)的图象？ 解(1)列表： 好 0 3π 2π 3π 5π 9π 3sim(经x-) 0 3 0 3 0 描点并用光滑的曲线连接起来，得到一个周期的简图
答案: 2 3 解析:设函数 f(x)的最小正周期为 T,由题图可知𝑇 2 = 11π 12 − 7π 12 = π 3 ,T=2π 3 , 则补全函数图象可得 f( π 4 )=0, 故点( π 4 ,0)为函数图象的一个中心对称点, 又 0+ π 2 = π 4 ×2,所以 f(0)=-f( π 2 ) = 2 3 . 5.关于函数 y=f(x)=4sin(2𝑥 + π 3 )(x∈R),有下列说法: ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; ②y=f(x)的解析式可改写为 y=4cos(2𝑥- π 6 ); ③y=f(x)的图象关于点(- π 6 ,0)对称; ④y=f(x)的图象关于直线 x=- π 6对称. 其中正确的是 (填序号). 答案:②③ 解析:对于①,由于函数 f(x)的最小正周期 T=2π 2 =π,则|x1-x2|的最小值是π 2 ,故①中说法不正确; 对于②,由于 y=4cos(2𝑥- π 6 )=4cos[(2x+π 3 )- π 2 ]=4sin(2𝑥 + π 3 ),故②中说法正确; 令 2x+π 3 =kπ(k∈Z),得 x= 𝑘π 2 − π 6 (k∈Z),故当 k=0 时,对称中心为(- π 6 ,0),所以③中说法正确; 令 2x+π 3 = π 2 +kπ(k∈Z),得 x= 𝑘π 2 + π 12(k∈Z),不论 k 取何整数,对称轴方程都不为 x=- π 6 ,所以④ 中说法不正确. 6.已知函数 f(x)=3sin( 1 2 𝑥- π 4 ),x∈R. (1)列表并画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图. (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? 解:(1)列表: 1 2 x- 𝜋 4 0 𝜋 2 π 3𝜋 2 2π x 𝜋 2 3𝜋 2 5𝜋 2 7𝜋 2 9𝜋 2 3sin( 1 2 x- 𝜋 4 ) 0 3 0 -3 0 描点并用光滑的曲线连接起来,得到一个周期的简图
432 4元 (2)先把y=six的图象向右平移个单位长度，然后把所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵 坐标不变)，再把所有点的纵坐标扩大到原来的3倍（横坐标不变），得到x)的图象 挑战创新 已知函数)=sin(ox)+-coswa>0)图象的两条相邻对称轴间的距离为号 (1)求函数x)在区间[0，]上的单调递增区间； 2)将函数一x)的图象向左平移个单位长度后得到函数)y厂g)的图象，求函数一g)图象 的对称中心的坐标 解(0l=nar)0-是in-是 sin ox+cos@x-sin(@x+)(). :函数)图象的两条相邻对称轴间的距离为 “最小正周期T-2亚=5×2=元，0=2， )=sn（2x+) 令2km22x+g2k+keZ, 6 解得子+k∈Z ∴画数)在区间0，网上的单调造增区间为0，引，臣， (2):将函数y=x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=gx)的图象， g-sin[2(x++-cos 2x 令2x=受keZ解得x受+keZ ∴函数=g)图象的对称中心的坐标为（凭+，0）k∈☑)
(2)先把 y=sin x 的图象向右平移π 4个单位长度,然后把所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵 坐标不变),再把所有点的纵坐标扩大到原来的 3 倍(横坐标不变),得到 f(x)的图象. 挑战创新 已知函数 f(x)=sin(𝜔𝑥- π 6 )+cos ωx(ω>0)图象的两条相邻对称轴间的距离为π 2 . (1)求函数 f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间; (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移π 6个单位长度后得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)图象 的对称中心的坐标. 解:(1)f(x)=sin(𝜔𝑥- π 6 )+cos ωx= √3 2 sin ωx- 1 2 cos ωx+cos ωx= √3 2 sin ωx+1 2 cos ωx=sin(ωx+π 6 )(ω>0). ∵函数 f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π 2 , ∴最小正周期 T=2π 𝜔 = π 2 ×2=π,ω=2, ∴f(x)=sin(2𝑥 + π 6 ). 令 2kπ- π 2 ≤2x+π 6 ≤2kπ+ π 2 (k∈Z), 解得 kπ- π 3 ≤x≤kπ+ π 6 (k∈Z). ∴函数 f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为[0, π 6 ],[ 2π 3 ,π]. (2)∵将函数 y=f(x)的图象向左平移π 6 个单位长度后得到函数 y=g(x)的图象, ∴y=g(x)=sin[2 (𝑥 + π 6 ) + π 6 ]=cos 2x. 令 2x=kπ+ π 2 ,k∈Z,解得 x= 𝑘π 2 + π 4 ,k∈Z, ∴函数 y=g(x)图象的对称中心的坐标为 𝑘π 2 + π 4 ,0 (k∈Z)