4.4对数函数 第1课时 对数函数的概念与图象 基础巩固 1.已知x)=ogsx,则5)=() A.0 B.1 c.5 D.25 答案B 解析5)=logs5-1, 2.函数y=√1og2x的定义域是( A.(0,1] B.(0,+o) C.(1,+o) D.1,+oo) 答案D 解析向038≥0得3之1s:1样得el x>0 3.己知函数x)=log(x+2),若图象经过点(6,3)，则2)的值为() A.-2 B.2 c D 答案B 解析：将点(6,3)的坐标代入函数几x)的解析式，得3=log(6+2)=log8, 即a2-8,a=2 ..x)=log2(x+2), ∴.2)=l0g2(2+2)=2. 4若函数)=的图象经过点2,4，则函数g)=og的图象是( 答案D 解析：依题意，x)=1的图象经过点(2,4)， 所以4=1，故a=4,所以g=g右 当x=0时g0)=0,所以gx)的图象过原点，排除A,B; 又画教)本在区间l,+切)内单调道减)l0gx在区间0，+m)内单调通增，根据复合函数的 单调性可知，gx)为减函数，排除C,故选D 5.已知点(m,n)在函数y=gx的图象上，则下列各点也在该函数的图象上的是() A.(2,2n) B.(10m,10n)
4.4 对数函数 第 1 课时 对数函数的概念与图象 基础巩固 1.已知 f(x)=log5x,则 f(5)=( ) A.0 B.1 C.5 D.25 答案:B 解析:f(5)=log55=1. 2.函数 y=√log2𝑥的定义域是( ) A.(0,1] B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 答案:D 解析:由{ log2𝑥 ≥ 0, 𝑥 > 0, 得{ log2𝑥 ≥ log21, 𝑥 > 0, 解得 x≥1. 3.已知函数 f(x)=loga(x+2),若图象经过点(6,3),则 f(2)的值为( ) A.-2 B.2 C.1 2 D.- 1 2 答案:B 解析:将点(6,3)的坐标代入函数 f(x)的解析式,得 3=loga(6+2)=loga8, 即 a 3=8,∴a=2. ∴f(x)=log2(x+2), ∴f(2)=log2(2+2)=2. 4.若函数 f(x)=ax-1 的图象经过点(2,4),则函数 g(x)=loga 1 𝑥+1 的图象是( ) 答案:D 解析:依题意,f(x)=ax-1 的图象经过点(2,4), 所以 4=a2-1 ,故 a=4,所以 g(x)=log4 1 𝑥+1 . 当 x=0 时,g(0)=0,所以 g(x)的图象过原点,排除 A,B; 又函数 y= 1 𝑥+1在区间(-1,+∞)内单调递减,y=log4x 在区间(0,+∞)内单调递增,根据复合函数的 单调性可知,g(x)为减函数,排除 C,故选 D. 5.已知点(m,n)在函数 y=lg x 的图象上,则下列各点也在该函数的图象上的是( ) A.(m2 ,2n) B.(10m,10n)
C.(m+10,n+1) D.(n+1) 答案：A 解析：，点(m,n)在函数y=gx的图象上， .'.Ig m=n. 当x=m2时，lgx=gm2=2lgm=2n, .点(m㎡，2n)也在该函数的图象上，故A符合题意； 当x=10m时，lgx=lg(10m)=1+lgm=n+l,故B不符合题意； 当x=m+10时，lgx=lg(m+10)≠n+1,故C不符合题意； 当x器时，lgx=g%-gm-1=nl,故D不符合题意.故选A 6.已知函数x)=log2x+2,则1)的值为】 答案2 7.已知函数)-loB(x可的定义域为A,函数g=-)产(s0的值域为B, (I)求AnB: (2)若C={bsa-I},且BcC,求a的取值范围. 解(1)由题意知，1>0， 10g2(x-1)≥0， 解得之2 A={x22} -1sx≤0， .1≤g(x)2 ∴.B=1,21 .AnB={2} (2)由(1)知B=[1,2], 要使BcC,则有a-1≥2 ∴a23. 故a的取值范固为[3，+o). 8.求下列函数的定义域： (0》ygx+13 (2)y=1og1(2-x 解由8x+1-3≠0得x+1+10 (x+1>0 解得x>-1,且≠999 故函数的定义域为{xx>-1,且≠999}. 1og1(2-x)≥0， (2)由题意可知， 2-x>0, 1og1(2-x)≥log11, (2-x>0, 856解41s2 故函数的定义域为{x1Sx<2} 拓展提高 1若loga-log好且LIlogal=--loga,则a,b满足的关系式是(
C.(m+10,n+1) D. 𝑚 10,n+1 答案:A 解析:∵点(m,n)在函数 y=lg x 的图象上, ∴lg m=n. 当 x=m2 时,lg x=lg m2=2lg m=2n, ∴点(m2 ,2n)也在该函数的图象上,故 A 符合题意; 当 x=10m 时,lg x=lg(10m)=1+lg m=n+1,故 B 不符合题意; 当 x=m+10 时,lg x=lg(m+10)≠n+1,故 C 不符合题意; 当 x= 𝑚 10时,lg x=lg𝑚 10=lg m-1=n-1,故 D 不符合题意.故选 A. 6.已知函数 f(x)=log2x+2,则 f(1)的值为 . 答案:2 7.已知函数 f(x)=√log2 (𝑥-1)的定义域为 A,函数 g(x)=( 1 2 ) 𝑥 (-1≤x≤0)的值域为 B. (1)求 A∩B; (2)若 C={y|y≤a-1},且 B⊆C,求 a 的取值范围. 解:(1)由题意知,{ 𝑥-1 > 0, log2 (𝑥-1) ≥ 0, 解得 x≥2. ∴A={x|x≥2}. ∵-1≤x≤0, ∴1≤g(x)≤2, ∴B=[1,2]. ∴A∩B={2}. (2)由(1)知 B=[1,2], 要使 B⊆C,则有 a-1≥2, ∴a≥3. 故 a 的取值范围为[3,+∞). 8.求下列函数的定义域: (1)y= 1 lg(𝑥+1)-3 ; (2)y=√log1 2 (2-𝑥). 解:(1)由{ lg(𝑥 + 1)-3 ≠ 0, 𝑥 + 1 > 0, 得 { 𝑥 + 1 ≠ 10 3 , 𝑥 > -1, 解得 x>-1,且 x≠999, 故函数的定义域为{x|x>-1,且 x≠999}. (2)由题意可知,{ log1 2 (2-𝑥) ≥ 0, 2-𝑥 > 0, ∴{ log1 2 (2-𝑥) ≥ log1 2 1, 2-𝑥 > 0, ∴{ 2-𝑥 ≤ 1, 2-𝑥 > 0, 解得 1≤x<2. 故函数的定义域为{x|1≤x<2}. 拓展提高 1.若|log𝑎 1 4 |=loga 1 4 ,且|logba|=-logba,则 a,b 满足的关系式是( )
A.a>1,且b>1 B.a>1,且01 D.01. 2.设a,b,c均为正数，且ea=na,eb-lnb,ec=lnc,则( A.a0,且a时1)，若fx1n.…202o)=8,则 x)+x)++x经o20)= 答案：16 解析：x)+x2)+x)+..+fx2o20)=logax+logax3+ogx号+.+logax吃20=loga(x12x3.x2 020)2=2loga(x1x2x3.2020）=2jx1x2x3..x2020, .f儿x1x2x2020）=8。 .原式=2×8=16 6当时，有生)<2，则称函数是严格下凸函数下列函数是“严格下凸 2 函数”的是 (填序号) ①y=x;②y=x;③y=x2;④y=log2x 答案：③ 解析对于①②，yx为线性函数，故不满足2） <x1+2,故①②不是“严格下凸函数”， 2
A.a>1,且 b>1 B.a>1,且 01 D.01. 2.设 a,b,c 均为正数,且 e a=-ln a,e-b=-ln b,e-c=ln c,则( ) A.a0,且 a≠1),若 f(x1x2…x2 020)=8,则 f(𝑥1 2 )+f(𝑥2 2 )+…+f(𝑥2 020 2 )= . 答案:16 解析:f(𝑥1 2 )+f(𝑥2 2 )+f(𝑥3 2 )+…+f(𝑥2 020 2 )=loga𝑥1 2+loga𝑥2 2+loga𝑥3 2+…+loga𝑥2 020 2 =loga(x1x2x3…x2 020) 2=2loga(x1x2x3…x2 020)=2f(x1x2x3…x2 020), ∵f(x1x2…x2 020)=8, ∴原式=2×8=16. 6.当 x1≠x2 时,有 f( 𝑥1+𝑥2 2 ) < 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 ,则称函数 f(x)是“严格下凸函数”,下列函数是“严格下凸 函数”的是 (填序号). ①y=x;②y=|x|;③y=x2 ;④y=log2x. 答案:③ 解析:对于①②,y=x 为线性函数,故不满足 f( 𝑥1+𝑥2 2 ) < 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 ,故①②不是“严格下凸函数”;
对于@画数))当知时，有兰)=图-2边，@=+超 4 4 显然满足)1四故国不是“严格下凸函数 2 故答案为③ 7.已知)-log货a>0,且l), (1)求x)的定义域： (2)判断x)的奇偶性： (3)若（⑤-l,求a的值 解(=og授 授0 -1<x<1 函数x)的定义域为(1,1) 2-=og0g(告) --logA) 几x)为奇函数. 1+2 (3)-1oe7子oe3 log3=1,a=3. 挑战创新 己知1s4,求函数x)-og1og的最大值与最小值， 解“)=l0g21og-l0gx-2logx-1)-(og2x到°- 又1s≤4， ..0slogxs2 ·当1ogx2 即x=22-2V2时，x)取得最小值是 当1og2x=0,即x=1时x)取得最大值2. “函数x)的最大值是2，最小值是号
对于③,函数 y=f(x)=x2 ,当 x1≠x2 时,有 f( 𝑥1+𝑥2 2 ) = (𝑥1+𝑥2) 2 4 = 𝑥1 2+𝑥2 2+2𝑥1𝑥2 4 , 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 = 𝑥1 2+𝑥2 2 2 , 显然满足 f( 𝑥1+𝑥2 2 ) 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 ,故④不是“严格下凸函数”. 故答案为③. 7.已知 f(x)=loga 1+𝑥 1-𝑥 (a>0,且 a≠1), (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)若 f( 1 2 )=1,求 a 的值. 解:(1)∵f(x)=loga 1+𝑥 1-𝑥 , ∴ 1+𝑥 1-𝑥 >0, ∴-1<x<1. ∴函数 f(x)的定义域为(-1,1). (2)∵f(-x)=loga 1-𝑥 1+𝑥 =loga( 1+𝑥 1-𝑥 ) -1 =-loga 1+𝑥 1-𝑥 =-f(x), ∴f(x)为奇函数. (3)∵f( 1 2 )=loga 1+ 1 2 1- 1 2 =loga3, ∴loga3=1,∴a=3. 挑战创新 已知 1≤x≤4,求函数 f(x)=log2 𝑥 4 ·log2 𝑥 2的最大值与最小值. 解:∵f(x)=log2 𝑥 4 ·log2 𝑥 2 =(log2x-2)(log2x-1)=(log2𝑥- 3 2 ) 2 − 1 4 , 又 1≤x≤4, ∴0≤log2x≤2, ∴当 log2x= 3 2 , 即 x=2 3 2=2√2时,f(x)取得最小值- 1 4 ; 当 log2x=0,即 x=1 时,f(x)取得最大值 2. ∴函数 f(x)的最大值是 2,最小值是- 1 4