第3课时 不同函数的增长差异 基础巩固 1某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长 越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用 (） A.一次函数 B.二次函数 C指数型函数 D.对数型函数 答案D 解析：对数型函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意】 2.若x∈(1,2)，则下列结论正确的是( ) A.2*>xi>lgx B.2>1gx克 C.xiz2'>lgx D.xz>lgx>2 答案：A 解析：x∈(1,2)，.2>2，x2∈(1，V②)，lgx∈(0,1) :.2'xi>lgx 3某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，.这样，一个细胞分裂x次后，得到 的细胞个数y与x的函数关系是() Ay=x2(x∈N B.y=log2x(x∈N Cy=2'(x∈N Dx∈N 答案C 解析：该函数为指数函数y=2(x∈N 4在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如 图所示.现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快，②前5min温度增加的速度越 来越慢；③5min以后温度保持匀速增加：，④5min以后温度保持不变 ↑y/C t/min 其中正确的是 (填序号)。 答案：②④ 解析：由题中图象可知前5mi温度增加，但是增加的速度越来越授，所以②中说法正确，①中 说法错误， 5min以后图象是一条水平线，所以温度保持不变，故④中说法正确，③中说法错误 5.函数y=x2与函数y=xnx在区间(0，+o)内增长较快的一个是 答案y=x2 6.三个变量n,2随变量x的变化情况如下表 3
第 3 课时 不同函数的增长差异 基础巩固 1.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长 越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用 ( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 答案:D 解析:对数型函数的增长速度是先快后慢,故 D 符合题意. 2.若 x∈(1,2),则下列结论正确的是( ) A.2x>𝑥 1 2>lg x B.2x>lg x>𝑥 1 2 C.𝑥 1 2>2 x>lg x D.𝑥 1 2>lg x>2 x 答案:A 解析:∵x∈(1,2),∴2 x>2,𝑥 1 2∈(1,√2),lg x∈(0,1). ∴2 x>𝑥 1 2>lg x. 3.某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,……这样,一个细胞分裂 x 次后,得到 的细胞个数 y 与 x 的函数关系是( ) A.y=x2 (x∈N * ) B.y=log2x(x∈N * ) C.y=2 x (x∈N * ) D.y= 1 𝑥 2 (x∈N * ) 答案:C 解析:该函数为指数函数 y=2 x (x∈N * ). 4.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如 图所示.现给出下列说法:①前 5 min 温度增加的速度越来越快;②前 5 min 温度增加的速度越 来越慢;③5 min 以后温度保持匀速增加;④5 min 以后温度保持不变. 其中正确的是 (填序号). 答案:②④ 解析:由题中图象可知前 5 min 温度增加,但是增加的速度越来越慢,所以②中说法正确,①中 说法错误. 5 min 以后图象是一条水平线,所以温度保持不变,故④中说法正确,③中说法错误. 5.函数 y=x2 与函数 y=xln x 在区间(0,+∞)内增长较快的一个是 . 答案:y=x2 6.三个变量 y1,y2,y3 随变量 x 的变化情况如下表: x 1 3 5 7 9 11
135 625 1715 3645 6655 245 2189 19685 177149 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 其中关于x呈对数型函数变化的变量是 呈指数型函数变化的变量是 幂型函数变化的变量是 答案为2 解析：根据三种模型的变化特点，观察题中表内数据可知，2随着x的增大而迅速增加，呈指数 型函数变化，归随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数型函数变化，M相对于2的变化要慢 一些，呈幂型函数变化， 7.某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为M(单位：万元)和N(单位：万元)，它们与投入资 金a(单位：万元)的关系有经验公式M+63,N=74+4Va,现将180万元资金投入生产甲、乙 两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额均不低于36万元 (1)设对乙种产品投入资金x万元，求总利润y关于x的函数关系式及其定义域： (2)如何安排甲、乙两种产品的投资，才能使所得的总利润最大？最大利润为多少？ 解(1)根据题意，已知对乙种产品投入资金x万元，则对甲种产品投入资金(180-x)万元 (36≤x≤144)】 y180-x)+63+74+4V元=180-x)+4V元+137，其定义域为[36,14 (2)令1=V元 .x∈[36,144] ∴1e[6,12],则有y180-)+41+137=22+41+182=-8)2+198 ∴.当1=8， 即x=64,180-x=116时，max=198 即当对甲种产品投入资金116万元，对乙种产品投入资金64万元时，才能使所得的总利润最 大，最大利润为198万元 拓展提高 1某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值 相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知当年9月份两食堂的营业 额又相等，则当年5月份( A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.不能确定哪个食堂的营业额较高 答案：A 解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营 业额每月增加的百分率为x,由题意可知，m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额 n=m+4a,乙食堂的营业额2=m×(1+x)1=√m(m+8a)】 因为y2-y=(m+4a2-mm+8a=16a2>0, 所以y12, 故本年5月份甲食堂的营业额较高. 2.我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求音量大小的单位 是分贝(B,对于一个强度为I的声波，其音量的大小n可由如下公式计算：=10g其中6
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 其中关于 x 呈对数型函数变化的变量是 ,呈指数型函数变化的变量是 ,呈 幂型函数变化的变量是 . 答案:y3 y2 y1 解析:根据三种模型的变化特点,观察题中表内数据可知,y2 随着 x 的增大而迅速增加,呈指数 型函数变化,y3 随着 x 的增大而增大,但变化缓慢,呈对数型函数变化,y1 相对于 y2 的变化要慢 一些,呈幂型函数变化. 7.某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为 M(单位:万元)和 N(单位:万元),它们与投入资 金 a(单位:万元)的关系有经验公式 M=1 4 a+63,N=74+4√𝑎,现将 180 万元资金投入生产甲、乙 两种产品,并要求对甲、乙两种产品的投资金额均不低于 36 万元. (1)设对乙种产品投入资金 x 万元,求总利润 y 关于 x 的函数关系式及其定义域; (2)如何安排甲、乙两种产品的投资,才能使所得的总利润最大?最大利润为多少? 解:(1)根据题意,已知对乙种产品投入资金 x 万元,则对甲种产品投入资金(180-x)万元 (36≤x≤144), ∴y= 1 4 (180-x)+63+74+4√𝑥 = 1 4 (180-x)+4√𝑥+137,其定义域为[36,144]. (2)令 t=√𝑥, ∵x∈[36,144], ∴t∈[6,12],则有 y= 1 4 (180-t 2 )+4t+137=- 1 4 t 2+4t+182=- 1 4 (t-8)2+198. ∴当 t=8, 即 x=64,180-x=116 时,ymax=198. 即当对甲种产品投入资金 116 万元,对乙种产品投入资金 64 万元时,才能使所得的总利润最 大,最大利润为 198 万元. 拓展提高 1.某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值 相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知当年 9 月份两食堂的营业 额又相等,则当年 5 月份( ) A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.不能确定哪个食堂的营业额较高 答案:A 解析:设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m,甲食堂的营业额每月增加 a(a>0),乙食堂的营 业额每月增加的百分率为 x,由题意可知,m+8a=m×(1+x) 8 ,则 5 月份甲食堂的营业额 y1=m+4a,乙食堂的营业额 y2=m×(1+x) 4=√𝑚(𝑚 + 8𝑎), 因为𝑦1 2 − 𝑦2 2=(m+4a) 2 -m(m+8a)=16a 2>0, 所以 y1>y2, 故本年 5 月份甲食堂的营业额较高. 2.我们处在一个有声的世界里,不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位 是分贝(dB).对于一个强度为 I 的声波,其音量的大小 η 可由如下公式计算:η=10·lg 𝐼 𝐼0 (其中 I0
是人耳能听到的声音的最低声波强度).设1-70dB的声音强度为1,2=60dB的声音强度为 2,则h是2的( ) A倍 B.10倍 C.102倍 D.ln2倍 答案：B 解析：由题意，令70=10l听则有h=6×102. 同理得2=l0×10 所以号-10 3.如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与函数y=3的图象交于A,B两点，过点B作y 轴的垂线交函数y=9的图象于点C,若直线AC平行于y轴，则点A的坐标是 y◆ 答案：(1og32,2) 解析：由题意设A(n,3",B(m,3m),由9=32=3得m=2n, 解得n受 则C(受3），4（受3）. 又因为A,B,O三，点共线，设直线AB对应函数的解析式为y=(k>0),则 32=k受 3m =km, 解得m=2log32 所以n=og32. 所以点A的坐标为(1og2,2), 4.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄 水量如图丙所示.（至少打开一个水口） 4进水量 出水量 蓄水量 时间 0123456时间 丙 给出以下3个论断 ①0点到3点只进水不出水：②3点到4点不进水只出水：③4点到6点不进水不出水 则正确的论断是 (填序号)， 答案：① 解析：由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出 水，所以①中论断正确：从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水 同时出水口也出水，故②中论断错误；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持 不变，也可由题千中的“至少打开一个水口”知③中论断错误 挑战创新
是人耳能听到的声音的最低声波强度).设 η1=70 dB 的声音强度为 I1,η2=60 dB 的声音强度为 I2,则 I1 是 I2 的( ) A.7 6倍 B.10 倍 C.107 6倍 D.ln7 6倍 答案:B 解析:由题意,令 70=10lg𝐼1 𝐼0 ,则有 I1=I0×107 . 同理得 I2=I0×106 , 所以𝐼1 𝐼2 =10. 3.如图,在平面直角坐标系中,过原点 O 的直线与函数 y=3 x的图象交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的垂线交函数 y=9 x的图象于点 C,若直线 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是 . 答案:(log32,2) 解析:由题意设 A(n,3n ),B(m,3m ),由 9 n=3 2n=3 m 得 m=2n, 解得 n= 𝑚 2 , 则 C 𝑚 2 ,3m ,A 𝑚 2 , 3 𝑚 2 . 又因为 A,B,O 三点共线,设直线 AB 对应函数的解析式为 y=kx(k>0),则{ 3 𝑚 2 = 𝑘· 𝑚 2 , 3 𝑚 = 𝑘·𝑚, 解得 m=2log32, 所以 n=log32. 所以点 A 的坐标为(log32,2). 4.一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄 水量如图丙所示.(至少打开一个水口) 给出以下 3 个论断: ①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水. 则正确的论断是 (填序号). 答案:① 解析:由题意可知在 0 点到 3 点这段时间,每小时进水量为 2,即 2 个进水口同时进水且不出 水,所以①中论断正确;从丙图可知 3 点到 4 点水量减少了 1,所以应该是有一个进水口进水, 同时出水口也出水,故②中论断错误;当两个进水口同时进水,出水口也同时出水时,水量保持 不变,也可由题干中的“至少打开一个水口”知③中论断错误. 挑战创新
己知函数x)=2和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x22),且 x1g1),2)g10),所以1,从题中图象上可以看出，当x1x2时，x)>gx),所 以2020)>g2020),又因为g2020)>g(6),所以2020)>g2020)>g6)>6)
已知函数 f(x)=2 x和 g(x)=x3 的图象如图所示.设两函数的图象交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1g(1),f(2)g(10),所以 1x2,从题中图象上可以看出,当 x1x2 时,f(x)>g(x),所 以 f(2 020)>g(2 020),又因为 g(2 020)>g(6),所以 f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6)