5.7三角函数的应用 基础巩固 1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间1s的函数关系 式为s=6sin(100mt+),则单摆摆动的频率为 A品 8品 C.50 D.100 答案C 解析：设∫为单摆摆动的频率，T为周期，则/宁-10-50， 2π 2.弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间（单位：s)时离开平衡位置的位移s(单位：c)满足函 数关系式s=2sim(t+)给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方VZcm处：②小球 下降到最低点时在平衡位置下方2cm处：③经过2πs小球重复振动一次其中说法正确的是 () A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案D 解析：当1-0时=2sin(0+)=V2,故①中说法正确，in=-2,故②中说法正确；函数的最小正 周期T=2π，故③中说法正确， 3.已知函数y=sin ax+b(a>0)的部分图象如图所示，则函数y=loga(x+b)的图象可能是() 2元 3元 1 3 答案：A 解析：由题中函数的图象可以看出，02元，所以0<a<1.函数y=l0g(x+b)的图 a 象可看作由y=0gx的图象沿x轴向左平移b个单位长度得到的，由0<a<1,0<b<1,可知A中 图象符合
5.7 三角函数的应用 基础巩固 1. 如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系 式为 s=6sin(100π𝑡 + π 6 ),则单摆摆动的频率为( ) A. 1 50 B. 1 100 C.50 D.100 答案:C 解析:设 f 为单摆摆动的频率,T 为周期,则 f=1 𝑇 = 100π 2π =50. 2.弹簧上挂的小球做上下振动,它在时间 t(单位:s)时离开平衡位置的位移 s(单位:cm)满足函 数关系式 s=2sin(𝑡 + π 4 ).给出下列三种说法:①小球开始时在平衡位置上方√2 cm 处;②小球 下降到最低点时在平衡位置下方 2 cm 处;③经过 2π s 小球重复振动一次.其中说法正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案:D 解析:当 t=0 时,s=2sin(0 + π 4 ) = √2,故①中说法正确;smin=-2,故②中说法正确;函数的最小正 周期 T=2π,故③中说法正确. 3.已知函数 y=sin ax+b(a>0)的部分图象如图所示,则函数 y=loga(x+b)的图象可能是( ) 答案:A 解析:由题中函数的图象可以看出,02π,所以 0<a<1.函数 y=loga(x+b)的图 象可看作由 y=logax 的图象沿 x 轴向左平移 b 个单位长度得到的,由 0<a<1,0<b<1,可知 A 中 图象符合
4.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM的长)，巨轮的 半径长为30m,AM=BP-2m,巨轮逆时针旋转且每12min转动一圈.若点M为吊舱P的初始 位置，经过tmin,该吊舱P距离地面的高度为hm,则h=() A.30sin(号t-)+30B.30sin(后t-)+30 C30sin(后t-》+32D.30sin(gt-引 答案B 解析：过点O作地面的平行线为x轴，过点O作x轴的垂线为y轴，延长BP交x轴于点N,如 图所示由题意可知，点A在圆0上运时针运动的角速度是号=所以1mn转过的孤度数为 设0-2，当0时，∠B0N=02 因为BP=AM-2,所以h=OM+PW-OA+BN=30+30sin(0-),当0≤0时，上述关系式也适合. 故h=30+30sin(0-)-30sin(ξt)+30 5.设某人的血压满足函数式p()=115+25sin160πl,其中p)为血压（单位：mmHg),1为时间（单 位：min),则此人每分钟心跳的次数是 答案：80 解析周期T品=六频率/片80， 6.己知某种交流电电流（单位：A)随时间（单位：S)的变化规律可以拟合为函数 I=5V2sin(100mt-》),∈[0，+0)，则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为 答案25 解析：设交流电电流的频率为∫周期为T, 因为/停会=0=50， 2π 2π 所以0.5s内往复运动的次数为0.5×50=25 7.已知某海滨浴场海浪的高度（单位：m)是时间1(0s124,单位：h)的函数，记作y=术），下表是某 日各时的浪高数据： h 36 9 1215 18 21 24 m 1.51.00.51.01.51.00.5 0.99 1.5 经长期观测y=)的曲线可近似地看成是函数y=Acosω1+b. (1)根据以上数据，求函数y=Acos1+b的最小正周期T,振幅A及函数解析式 (2)依据规定，当海浪高度高于1时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的 8:00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解(1)由题表中数据知周期T=12
4.一观览车的主架示意图如图所示,其中 O 为轮轴的中心,距地面 32 m(即 OM 的长),巨轮的 半径长为 30 m,AM=BP=2 m,巨轮逆时针旋转且每 12 min 转动一圈.若点 M 为吊舱 P 的初始 位置,经过 t min,该吊舱 P 距离地面的高度为 h m,则 h=( ) A.30sin( π 12 𝑡- π 2 )+30 B.30sin( π 6 𝑡- π 2 )+30 C.30sin( π 6 𝑡- π 2 )+32 D.30sin( π 6 𝑡- π 2 ) 答案:B 解析:过点 O 作地面的平行线为 x 轴,过点 O 作 x 轴的垂线为 y 轴,延长 BP 交 x 轴于点 N,如 图所示.由题意可知,点 A 在圆 O 上逆时针运动的角速度是2π 12 = π 6 ,所以 t min 转过的弧度数为 π 6 t. 设 θ= π 6 t,当 θ> π 2 时,∠BON=θ- π 2 , 因为 BP=AM=2,所以 h=OM+PN=OA+BN=30+30sin(𝜃- π 2 ),当 0≤θ≤ π 2 时,上述关系式也适合. 故 h=30+30sin(𝜃- π 2 )=30sin( π 6 𝑡- π 2 )+30. 5.设某人的血压满足函数式 p(t)=115+25sin 160πt,其中 p(t)为血压(单位:mmHg),t 为时间(单 位:min),则此人每分钟心跳的次数是 . 答案:80 解析:周期 T= 2π 160π = 1 80,频率 f=1 𝑇 =80. 6.已知某种交流电电流 I(单位:A)随时间 t(单位:s)的变化规律可以拟合为函数 I=5√2sin(100π𝑡- π 2 ),t∈[0,+∞),则这种交流电在 0.5 s 内往复运动的次数为 . 答案:25 解析:设交流电电流的频率为 f,周期为 T, 因为 f=1 𝑇 = 𝜔 2π = 100π 2π =50, 所以 0.5 s 内往复运动的次数为 0.5×50=25. 7.已知某海滨浴场海浪的高度 y(单位:m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作:y=f(t),下表是某 日各时的浪高数据: t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ωt+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acos ωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的 8:00 至 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 解:(1)由题表中数据知周期 T=12
ω9-晋=君 由1=0，y=1.5,得A+b=1.5. 由1=3，y=1.0,得b=1.0. ∴4=0.5，b=l,70+1 (2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放， 202+1>1,02>0, 2km受<<2m号k∈Z 即12k-3<1<12k+3,k∈Z .8≤120，.9<1<15. .在8：00至20：00之间，有6h可供冲浪者进行运动. 拓展提高 1如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的AP的长为I,弦AP的长为d则函数d=)的图象大致是 () y 0 答案：C 解析：，P为单位圆上的孤长，∴∠POA=1,过点O作PA的垂线（图略），且平分∠POA,则在直 角三角形中得1PA=2sin5即d-)=2sin5其图象是周期为4π的正弦曲线的一部分，故选C. 2.已知动点A(x,y)在圆x2+y2-1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12s旋转一周，且当1=0 时，点A的坐标是侵，)，则当0s12时，动点A的纵坐标y关于（单位：）的函数的单调递增 区间是( A.[0,1] B.[1,7刀 C.[7,12] D.[0,1和[7,12] 答案D
∴ω= 2π 𝑇 = 2π 12 = π 6 , 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. ∴A=0.5,b=1,∴y= 1 2 cos π 6 t+1. (2)由题意知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, ∴ 1 2 cos π 6 t+1>1,∴cos π 6 t>0, ∴2kπ- π 2 < π 6 t<2kπ+ π 2 ,k∈Z, 即 12k-3<t<12k+3,k∈Z. ∵8≤t≤20,∴9<t<15. ∴在 8:00 至 20:00 之间,有 6 h 可供冲浪者进行运动. 拓展提高 1.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点 P 所旋转过的𝐴𝑃⏜的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是 ( ) 答案:C 解析:∵𝐴𝑃⏜为单位圆上的弧长,∴∠POA=l,过点 O 作 PA 的垂线(图略),且平分∠POA,则在直 角三角形中得|PA|=2sin𝑙 2 ,即 d=f(l)=2sin𝑙 2 ,其图象是周期为 4π 的正弦曲线的一部分,故选 C. 2.已知动点 A(x,y)在圆 x 2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 s 旋转一周,且当 t=0 时,点 A 的坐标是( 1 2 , √3 2 ),则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位:s)的函数的单调递增 区间是( ) A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[0,1]和[7,12] 答案:D
解析：设01与x轴正方向的夹角为a剥当1=0时，a每秒旋转铝在区间0，】上，a∈侣，引在 区间门，12]上，α∈臣动点A的纵坐标y关于1的函数都是单调通增的故选D 3.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA=2,B为半圆上任意一点，以AB 为边作等边三角形ABC.当∠AOB=x时，S四边彩OACB等于() A.sinx B.sin x-3cosx5 4 C.-V3cosx+5V3 D.sinx+V3cos 答案B 解析：如图，Sg酵OACB=S△4OB+S△4BC.过点B作BD⊥MN,垂足为点D, M DO 则BD=BOsin(π-x), 即BD=Sinx. ∴.SaM40B22sinx=sinx .OD=BOcos(-x)=-cos x, BBD+ADsin+(-cosx+2)-5-4coBABsin60cos 4 S0C-sin x-V3cosx5 4 4.一种波的波形为函数y=-si的图象，若其在区间[0，上至少有2个波峰（图象的最高点）， 则正整数1的最小值是 答案：7 解析：由周期T-2-4可知此波形的周期为4，显然当0sS0,o>0.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上 的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为a则点A的坐标是」 ,从点A出发，以恒定的 角速度o(单位：弧度/秒)转动，经过1秒转动到点B(xy),动点B在y轴上的投影C做简谐运 动，则点C的纵坐标y与时间1的函数关系式为
解析:设 OA 与 x 轴正方向的夹角为 α,则当 t=0 时,α= π 3 ,每秒旋转π 6 ,在区间[0,1]上,α∈[ π 3 , π 2 ],在 区间[7,12]上,α∈[ 3π 2 , 7π 3 ],动点 A 的纵坐标 y 关于 t 的函数都是单调递增的.故选 D. 3.如图,半圆的直径为 2,A 为直径 MN 的延长线上一点,且 OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为边作等边三角形 ABC.当∠AOB=x 时,S 四边形 OACB 等于( ) A.sin x B.sin x-√3cos x+5√3 4 C.-√3cos x+5√3 4 D.sin x+√3cos x- 5√3 4 答案:B 解析:如图,S 四边形 OACB=S△AOB+S△ABC.过点 B 作 BD⊥MN,垂足为点 D, 则 BD=BOsin(π-x), 即 BD=sin x. ∴S△AOB= 1 2 ×2sin x=sin x. ∵OD=BOcos(π-x)=-cos x, ∴AB2=BD2+AD2=sin2 x+(-cos x+2)2=5-4cos x.∴S△ABC= 1 2 AB·ABsin 60°= 5√3 4 − √3cos x. ∴S 四边形 OACB=sin x-√3cos x+5√3 4 . 4.一种波的波形为函数 y=-sinπ 2 x 的图象,若其在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最高点), 则正整数 t 的最小值是 . 答案:7 解析:由周期 T=2π 𝜔 =4 可知此波形的周期为 4,显然当 0≤x≤1 时,函数单调递减,当 10,ω>0.如图,在直角坐标系中,以原点 O 为圆心,r 为半径作圆,A 为圆周上 的一点,以 Ox 为始边,OA 为终边的角为 α,则点 A 的坐标是 ,从点 A 出发,以恒定的 角速度 ω(单位:弧度/秒)转动,经过 t 秒转动到点 B(x,y),动点 B 在 y 轴上的投影 C 做简谐运 动,则点 C 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式为
答案：(cosa,sina）y=sin(ot+a) 解析：由任意角三角函数的定义，得A(心osa,sina).若从点A出发，以恒定的角速度o转动，经 过1秒转动到点B(x,y),则∠BOx=o1+a点C的纵坐标y与时间1的函数关系式为 y=rsin(@t+a). 6.已知某游乐园内摩天轮的中心点O距离地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动，摩天轮上 的一点P自最低点A起，经过1min后，点P的高度h=40sin(gt习)+50（单位：m),则在摩天轮 转动一圈的过程中，点P距离地面的高度不低于70m的时间将持续 min 答案：4 解析由题意，得40sin(侣t引+5070，即c0s号从而号≤号，即4s≤8，即持续时间为4 min. 挑h战创新 如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线 段OSM,该曲线段为函数y=Asin @x((A>0,o>0),x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2V3: 赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°，求A,ω的值和 M,P两点间的距离. 23 34 解设函数的最小正周期为T,依题意，有A=23,-3,故T=12,又了“0告 ◆y 23 .y-2V3sinx 当x=4时-2W3sn-3,“M4,3) 又P(8,0),.MP=v42+3z=5(km)
答案:(rcos α,rsin α) y=rsin(ωt+α) 解析:由任意角三角函数的定义,得 A(rcos α,rsin α).若从点 A 出发,以恒定的角速度 ω 转动,经 过 t 秒转动到点 B(x,y),则∠BOx=ωt+α,点 C 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式为 y=rsin(ωt+α). 6.已知某游乐园内摩天轮的中心点 O 距离地面的高度为 50 m,摩天轮做匀速转动,摩天轮上 的一点 P 自最低点 A 起,经过 t min 后,点 P 的高度 h=40sin( π 6 𝑡- π 2 )+50(单位:m),则在摩天轮 转动一圈的过程中,点 P 距离地面的高度不低于 70 m 的时间将持续 min. 答案:4 解析:由题意,得 40sin( π 6 𝑡- π 2 )+50≥70,即 cos π 6 t≤- 1 2 ,从而2π 3 ≤ π 6 t≤ 4π 3 ,即 4≤t≤8,即持续时间为 4 min. 挑战创新 如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线 段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2√3); 赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°,求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离. 解:设函数的最小正周期为 T,依题意,有 A=2√3, 𝑇 4 =3,故 T=12,又 T=2π 𝜔 ,∴ω= π 6 . ∴y=2√3sinπ 6 x. 当 x=4 时,y=2√3sin2π 3 =3,∴M(4,3). 又 P(8,0),∴MP=√4 2 + 3 2=5(km)