4.5.3 函数模型的应用 基础巩固 1.已知某林场计划第一年造林10000平方米，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林 () A.14400平方米 B.172800平方米 C.20736平方米 D.17280平方米 答案D 解析：设第x年造林y平方米，则y=10000×(1+20%)-1,当x=4时，y=17280平方米故选D. 2.有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨有专家预测，如果不采 取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施 则从( )年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg2~0.3010,1g 30.4771) A.2018 B.2019 C.2020 D.2021 答案D 解析：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份数 由题意可得y-400×1+50%”-400x()”,令40×)”>400，得)”>10，两边取对数可得g 3-lg2)>1, ∴.n(0.4771-0.3010)>1,即0.1761n>1,解得n>5.679, ∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.故选D. 3.已知某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： 则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( A.y=log2(x+1) By=2-1 C.y=2x-1 Dy=(x-1)2+1 答案D 解析：代入数值检验，把x=2代入可排除A,B,C,把x=1,2,3代入D选项，符合题意 4.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开 始超过200万元的年份是( (参考数据：lg1.12≈0.05,1g1.30.11,1g2≈0.30) A.2021年 B.2022年 C.2023年 D.2024年 答案B 解析：设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1+12%)-200，解得 X=0g1u-380,国资金高超过20万，则x取4即2022年，选B lg1.12 5.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）20mg/100mL的行为属于饮 酒驾车.假设饮酒后，血液中的酒精含量为pomg/100mL,经过x小时，酒精含量降为pmg/I00 mL,且满足关系式p=poe(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89mg/100mL,2小 时后，测得其血液中酒精含量降为61mg/100mL,则此人饮酒后需经过 小时方可 驾车精确到1小时，参考数据（侧）-0.470，()°-0.322，()021.()°0.15/
4.5.3 函数模型的应用 基础巩固 1.已知某林场计划第一年造林 10 000 平方米,以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造林 ( ) A.14 400 平方米 B.172 800 平方米 C.20 736 平方米 D.17 280 平方米 答案:D 解析:设第 x 年造林 y 平方米,则 y=10 000×(1+20%)x-1 ,当 x=4 时,y=17 280 平方米.故选 D. 2.有关数据显示,2015 年我国快递行业产生的包装垃圾约为 400 万吨.有专家预测,如果不采 取措施,快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到 50%.由此可知,如果不采取有效措施, 则从( )年开始,快递行业产生的包装垃圾超过 4 000 万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) A.2018 B.2019 C.2020 D.2021 答案:D 解析:设快递行业产生的包装垃圾为 y 万吨,n 表示从 2015 年开始增加的年份数. 由题意可得 y=400×(1+50%)n=400×( 3 2 ) 𝑛 ,令 400×( 3 2 ) 𝑛 >4 000,得( 3 2 ) 𝑛 >10,两边取对数可得 n(lg 3-lg 2)>1, ∴n(0.477 1-0.301 0)>1,即 0.176 1n>1,解得 n>5.679, ∴从 2015+6=2021 年开始,快递行业产生的包装垃圾超过 4 000 万吨.故选 D. 3.已知某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表: x 1 2 3 … y 1 2 5 … 则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( ) A.y=log2(x+1) B.y=2 x -1 C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1 答案:D 解析:代入数值检验,把 x=2 代入可排除 A,B,C,把 x=1,2,3 代入 D 选项,符合题意. 4.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司 2018 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开 始超过 200 万元的年份是( ) (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2021 年 B.2022 年 C.2023 年 D.2024 年 答案:B 解析:设 x 年后该公司全年投入的研发资金为 200 万元,由题可知,130(1+12%)x=200,解得 x=log1.12 200 130 = lg2-lg1.3 lg1.12 ≈3.80,因资金需超过 200 万,则 x 取 4,即 2022 年,选 B. 5.根据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(或等于)20 mg/100 mL 的行为属于饮 酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为 p0 mg/100 mL,经过 x 小时,酒精含量降为 p mg/100 mL,且满足关系式 p=p0·erx(r 为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为 89 mg/100 mL,2 小 时后,测得其血液中酒精含量降为 61 mg/100 mL,则此人饮酒后需经过 小时方可 驾车 精确到 1 小时,参考数据:( 61 89) 2 ≈0.470,( 61 89) 3 ≈0.322,( 61 89) 4 ≈0.221,( 61 89) 5 ≈0.151
答案8 解析：由题意，61-89e2r,则e'- 令89e"<20,得之8，故答案为8. 6.为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下 明文加密文发连密文 发送 解密 明文 已知加密函数为y=-2(x为明文y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为6”，再发送， 那么接受方通过解密得到明文“3”若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是 答案4 解析：依题意y=-2中，当x=3时y=6, 故6=3-2，解得a=2, 所以加密函数为y=22 因此当y=14时，由14=2-2，解得x=4 7.某汽车在同一时间内速度（单位：km/h)与耗油量Q之间有近似的函数关系Q=0.00252. 0.175v+4.27,则车速为 km/h时，汽车的耗油量最少。 答案：35 解析：由Q-0.0025m2.0.175v+4.27=0.0025(2.70m)+4.27=0.0025[(-35)2.35]+4.27=0.0025(1 35)2+1.2075. 故当v=35时，耗油量最少 8.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订 购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02 元.根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件」 (1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=x)的表达式： (2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的 利润=实际出厂的单价-成本) 解：(1)当0<≤100时，P=60 当100<x500时，P-60-0.02(x-100)=62-0 60(0<x≤100，x∈N), 所以P=x)= 62-高(100<x≤50，x∈N (2)设销售商一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元， 20x0<x≤100，x∈N), 则L=(P.40)x= 2x100<x≤50，xeN 当x=450时，L=5850, 因此，当销售商一次订购450件服装时，该厂获得的利润是5850元 拓展提高 1据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量（单位：只）与时间x(单位：年)近似满足 关系y=alog3(x+2),观测发现2014年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2020年冬 有越冬白鹤( A.4000只 B.5000只 C.6000只 D.7000只 答案：C
答案:8 解析:由题意,61=89·e2r ,则 e r=√ 61 89. 令 89·exr<20,得 x≥8,故答案为 8. 6.为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 明文 密文 密文 明文 已知加密函数为 y=ax -2(x 为明文,y 为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送, 那么接受方通过解密得到明文“3”.若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是 . 答案:4 解析:依题意 y=ax -2 中,当 x=3 时,y=6, 故 6=a3 -2,解得 a=2, 所以加密函数为 y=2 x -2, 因此当 y=14 时,由 14=2 x -2,解得 x=4. 7.某汽车在同一时间内速度 v(单位:km/h)与耗油量 Q 之间有近似的函数关系 Q=0.002 5v 2 - 0.175v+4.27,则车速为 km/h 时,汽车的耗油量最少. 答案:35 解析:由 Q=0.002 5v 2 -0.175v+4.27=0.002 5(v 2 -70v)+4.27=0.002 5[(v-35)2 -352 ]+4.27=0.002 5(v- 35)2+1.207 5. 故当 v=35 时,耗油量最少. 8.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元.该厂为鼓励销售商订 购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低 0.02 元.根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件. (1)设一次订购量为 x 件,服装的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购 450 件服装时,该服装厂获得的利润是多少元?(服装厂售出一件服装的 利润=实际出厂的单价-成本) 解:(1)当 0<x≤100 时,P=60; 当 100<x≤500 时,P=60-0.02(x-100)=62- 𝑥 50. 所以 P=f(x)={ 60(0 < 𝑥 ≤ 100,𝑥∈N * ), 62- 𝑥 50 (100 < 𝑥 ≤ 500,𝑥∈N * ). (2)设销售商一次订购量为 x 件时,工厂获得的利润为 L 元, 则 L=(P-40)x={ 20𝑥(0 < 𝑥 ≤ 100,𝑥∈N * ), 22𝑥- 𝑥 2 50 (100 < 𝑥 ≤ 500,𝑥∈N * ). 当 x=450 时,L=5 850, 因此,当销售商一次订购 450 件服装时,该厂获得的利润是 5 850 元. 拓展提高 1.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量 y(单位:只)与时间 x(单位:年)近似满足 关系 y=alog3(x+2),观测发现 2014 年冬(作为第 1 年)有越冬白鹤 3 000 只,估计到 2020 年冬 有越冬白鹤( ) A.4 000 只 B.5 000 只 C.6 000 只 D.7 000 只 答案:C
解析：当x=1时，由3000=al0g3(1+2),得a=3000,所以到2020年冬，即第7年3y=3 000×og3(7+2)=6000.故选C. 2.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的汽车，其行驶时间均为xh,驶过的路程分别满足关系 式f(x)=x2,(x)=4x,f(x)=log(x+1),fx)=21,则5h以后跑在最前面的为) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案D 解析（方法一）分别作出四个函数的图象（图略），利用数形结合，知5h后丁车在最前面 (方法二)由于4个函数均为增函数，且f(5)=52=25,2(5)=20,f(5)=l0g(5+1)=1+1og32f4(⑤)=2 1=31,f4(5)最大，所以5h后丁车在最前面，故选D 3.某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元.据经验，若这种商品每件每降价 0.1元则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低() A.2元 B.2.5元 C.1元 D.1.5元 答案D 解析：设每件降价0.1x元，则每件获利(4-0.1x)元，每天卖出商品件数为(1000+100x),利润y=(4 0.1x)(1000+100x)=-10x2+300x+4000=-10(x2-30x+225-225)+4000=-10(x-15)2+6250. 故当x=15时ma=6250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益 4.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量x)(单位：万千 克)与年份x(记2016年为第1年)之间的关系统计如下 2 4.00 5.62 7.00 8.86 则x)近似符合以下三种函数模型之一：①x)=ax+b,②机x)=2+a,③x)=r2+b.你认为最适合 的函数模型的序号是 答案：① 解析：若模型为②，则1)=2+a=4,解得a=2,于是x)=2+2,此时2)=6,3)=10,4)=18，与题中 表格内的数据相差太大，不符合；若模型为③，则1)=1+b=4,解得b=3,于是x)=x2+3,此时 2)=7,3)=12,八4)=19，与题中表格内的数据相差太大，不符合，若模型为①，则根据题中表格内 3 数据得二4即{+b=4,解得 a= f(3)=7, (3a+b=7 '经检验是最适合的函数模型 b= 5.某工厂生产产品A,每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查 决定提出产品A的销售金额的p%作为新产品开发费（即每销售100元提出p元），并将产品 A的年产销量减少了10p万件 (1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p的取值范围： (2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p的值 解：由题意知，当开发费是产品A的销售金额的p%时，销售量为(80-10p)万件，此时销售金额为 80×(80-10p)万元 新产品开发费p)=80×(80-10p)p%(万元) d由是设如80e00pX之96 解得2≤p6. 故当新产品开发费不少于96万元时P的取值范围为[2,6] (2)当0<p<8时p)=80×(80-10p)×p%=-8(p4)2+128. 则当p=4时，p)max=128. 故当p=4时，开发费最多，可达到128万元
解析:当 x=1 时,由 3 000=alog3(1+2),得 a=3 000,所以到 2020 年冬,即第 7 年,y=3 000×log3(7+2)=6 000.故选 C. 2.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的汽车,其行驶时间均为 x h,驶过的路程分别满足关系 式:f1(x)=x2 ,f2(x)=4x,f3(x)=log3(x+1),f4(x)=2 x -1,则 5 h 以后跑在最前面的为( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案:D 解析:(方法一)分别作出四个函数的图象(图略),利用数形结合,知 5 h 后丁车在最前面. (方法二)由于 4 个函数均为增函数,且 f1(5)=5 2=25,f2(5)=20,f3(5)=log3(5+1)=1+log32,f4(5)=2 5 - 1=31,f4(5)最大,所以 5 h 后丁车在最前面,故选 D. 3.某商场出售一种商品,每天可卖 1 000 件,每件可获利 4 元.据经验,若这种商品每件每降价 0.1 元,则比降价前每天可多卖出 100 件,为获得最好的经济效益,每件售价应降低( ) A.2 元 B.2.5 元 C.1 元 D.1.5 元 答案:D 解析:设每件降价 0.1x 元,则每件获利(4-0.1x)元,每天卖出商品件数为(1 000+100x),利润 y=(4- 0.1x)·(1 000+100x)=-10x 2+300x+4 000=-10(x 2 -30x+225-225)+4 000=-10(x-15)2+6 250. 故当 x=15 时,ymax=6 250.故每件售价降低 1.5 元时,可获得最好的经济效益. 4.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量 f(x)(单位:万千 克)与年份 x(记 2016 年为第 1 年)之间的关系统计如下: x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86 则 f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2 x+a;③f(x)=x2+b.你认为最适合 的函数模型的序号是 . 答案:① 解析:若模型为②,则 f(1)=2+a=4,解得 a=2,于是 f(x)=2 x+2,此时 f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与题中 表格内的数据相差太大,不符合;若模型为③,则 f(1)=1+b=4,解得 b=3,于是 f(x)=x2+3,此时 f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,与题中表格内的数据相差太大,不符合;若模型为①,则根据题中表格内 数据得{ 𝑓(1) = 4, 𝑓(3) = 7, 即{ 𝑎 + 𝑏 = 4, 3𝑎 + 𝑏 = 7, 解得{ 𝑎 = 3 2 , 𝑏 = 5 2 , 经检验是最适合的函数模型. 5.某工厂生产产品 A,每件售价 80 元,每年产销 80 万件,工厂为了开发新产品,经过市场调查, 决定提出产品 A 的销售金额的 p%作为新产品开发费(即每销售 100 元提出 p 元),并将产品 A 的年产销量减少了 10p 万件. (1)若工厂提出的新产品开发费不少于 96 万元,求 p 的取值范围; (2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费,求此时 p 的值. 解:由题意知,当开发费是产品 A 的销售金额的 p%时,销售量为(80-10p)万件,此时销售金额为 80×(80-10p)万元, 新产品开发费 f(p)=80×(80-10p)×p%(万元). (1)由题设知{ 80 × (80-10𝑝)× 𝑝% ≥ 96, 0 < 𝑝 < 8, 解得 2≤p≤6. 故当新产品开发费不少于 96 万元时,p 的取值范围为[2,6]. (2)当 0<p<8 时,f(p)=80×(80-10p)×p%=-8(p-4)2+128. 则当 p=4 时,f(p)max=128. 故当 p=4 时,开发费最多,可达到 128 万元
6.如图，在矩形ABCD中，已知AB=a,BC=b(b6，即a>3b,易知S)在区间0，上单调道增，则当x-b时，S有最大值b- 综上可得当a3bx时，S有景大值当a>3bx-b时，S有最大值bb 挑战创新 某科研团队对某一生物的生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快，开始在某水域 投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27 平方米该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型 y=ka'(k>0,a>l)与y=pWx+q(p>0)可供选择 (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式. (2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？（参考数 据：√2≈1.41,3≈1.73,1g20.301g30.48) 解(1)因为y=k(k>0,a>1)的增长速度越来越快，而y=pWx+q(p>0)的增长速度越来越慢，所以 依题意应选择y=k(k>0,a>l), 时有g2年4收以心目 (k=8. (2)当x=0时y=8,设经过x个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍，则 8()=8x1000,解得x-log10002-g3-21667 3 故约经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍
6. 如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b(bb,即 a>3b,易知 S(x)在区间(0,b]上单调递增,则当 x=b 时,S 有最大值 ab-b 2 . 综上可得:当 a≤3b,x= 𝑎+𝑏 4 时,S 有最大值(𝑎+𝑏) 2 8 ;当 a>3b,x=b 时,S 有最大值 ab-b 2 . 挑战创新 某科研团队对某一生物的生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域 投放一定面积的该生物,经过 2 个月其覆盖面积为 18 平方米,经过 3 个月其覆盖面积达到 27 平方米.该生物覆盖面积 y(单位:平方米)与经过时间 x(x∈N)个月的关系有两个函数模型 y=kax (k>0,a>1)与 y=p√𝑥+q(p>0)可供选择. (1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式. (2)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的 1 000 倍?(参考数 据:√2≈1.41,√3≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) 解:(1)因为 y=kax (k>0,a>1)的增长速度越来越快,而 y=p√𝑥+q(p>0)的增长速度越来越慢,所以 依题意应选择 y=kax (k>0,a>1), 则有{ 𝑘𝑎 2 = 18, 𝑘𝑎 3 = 27, 解得{ 𝑎 = 3 2 , 𝑘 = 8, 所以 y=8·( 3 2 ) 𝑥 . (2)当 x=0 时,y=8,设经过 x 个月,该水域中此生物的面积是当初投放的 1 000 倍,则 8·( 3 2 ) 𝑥 =8×1 000,解得 x=log3 2 1 000= lg1000 lg 3 2 = 3 lg3-lg2≈16.67. 故约经过 17 个月后该水域中此生物的面积是当初投放的 1 000 倍