4.3.2对数的运算 基础巩固 1.下列各式（各式均有意义）不正确的个数为( log M ①lbg(W=og,M-+log.N.②log(M-M1oc③a六=存④(a)'-am:⑤DIogab=mloe.b A.2 B.3 C.4 D.5 答案B 解析：①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确 2.如果lgx=ga+3lgb-5lgc,那么() A.x-Qb3 C5 Bx尝 C.x=a+3b-5c D.x=a+b3-c5 答案：A 解析1ga+3gb-5lgc=ga+lg-gc心-g袋 由ge器可得学 3.logv24等于() A B时 C.2 D.4 答案D 解析log24=ogv2(V2-4. 2 4计算()了]+1og5-og10的值为 ) A.-10 B.-8 C.10 D.8 答案D 解析(》1+1og5-og103+log09-1-8故选D 5.已知lg2=a,lg3=b,则用a,b表示lg15为() A.b-a+1 B.b(a-1) C.b-a-1 D.b1-a） 答案：A 解析g15-g3x5)-lg3+lg5-g3+1g9-g3+1-lg2-ba+1 6.若logs log6-logsx=-2,则x等于() A.9 B时 C.25 D法 答案D 解桥由换底公式得器盖紧2 gx=2g5,即x=52-六 7.521o8s10+log2.13+2V2)- 答案98 解析：52lo8s10-(5logs10)2=102=100,1ogN2.13+2V2)=ogW2.1(Z+1)2=logw2.1(Z-1)2=-2. 所以原式=98. 8.计算100289-g2-1og981og4V3=」 答案2
4.3.2 对数的运算 基础巩固 1.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( ) ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga(M-N)= log 𝑎 𝑀 log 𝑎 𝑁 ;③𝑎 - 𝑛 𝑚 = 1 √a 𝑚 n ;④(a m ) n=𝑎 mn ;⑤lo𝑔a nb=-nlogab. A.2 B.3 C.4 D.5 答案:B 解析:①正确,②不正确,③正确,④不正确,⑤不正确. 2.如果 lg x=lg a+3lg b-5lg c,那么( ) A.x= 𝑎𝑏 3 𝑐 5 B.x= 3𝑎𝑏 5𝑐 C.x=a+3b-5c D.x=a+b3 -c 5 答案:A 解析:lg a+3lg b-5lg c=lg a+lg b 3 -lg c 5=lg𝑎𝑏 3 𝑐 5 , 由 lg x=lg𝑎𝑏 3 𝑐 5 ,可得 x= 𝑎𝑏 3 𝑐 5 . 3.log√2 4 等于( ) A.1 2 B.1 4 C.2 D.4 答案:D 解析:log√2 4=log√2 (√2) 4=4. 4.计算[(- 1 27) -2 ] 1 3+log25-log210 的值为( ) A.-10 B.-8 C.10 D.8 答案:D 解析:[(- 1 27) -2 ] 1 3+log25-log210=(36 ) 1 3+log2 5 10=9-1=8.故选 D. 5.已知 lg 2=a,lg 3=b,则用 a,b 表示 lg 15 为( ) A.b-a+1 B.b(a-1) C.b-a-1 D.b(1-a) 答案:A 解析:lg 15=lg(3×5)=lg 3+lg 5=lg 3+lg10 2 =lg 3+1-lg 2=b-a+1. 6.若 log5 1 3 ·log36·log6x=2,则 x 等于( ) A.9 B.1 9 C.25 D. 1 25 答案:D 解析:由换底公式,得 -lg3 lg5 · lg6 lg3 · lg𝑥 lg6=2, lg x=-2lg 5,即 x=5 -2= 1 25. 7.5 2log510+log(√2-1) (3+2√2)= . 答案:98 解析:5 2log510=(5 log510) 2=102=100,log(√2-1) (3+2√2)=log(√2-1) (√2+1)2=log(√2-1) (√2-1)-2=-2. 所以原式=98. 8.计算 100 1 2 lg9-lg2 -log98·log4 √3 3 = . 答案:2
解折0o8e门-=-等架-：器器-： 9.已知3°=2,30-3则2a-b= 答案log320 解析3=-23号 ..a=logs2,b=logs=-l0g35, ..2a-b=2l0g32+log35=10gs20. 10.求下列各式的值： ()lg14-2g子+g7-g18, 22+0 解(1)（方法一）原式=lg(2×7)-2(1g7-lg3)+lg7-lg(32×2)=g2+g7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg 2=0 (方法二)原式=-g14-g(囹+g7-g18=g 4x7=lg1=0, ×18 (2)原式 21g2 +lg3 21g2+1g3 2+1g36-2+21g2 21g2+lg3)+2lg2 器器-克 拓展提高 1计oe2er器-号的值是( A.log26 B.log36 C.2 D.1 答案C 解析：原式=(1og32)2+2log32×og23+(1og23)2-(1og32)2(1og23}=2. 2化简og232.4log23+4+1og等于( A.2 B.2-2l0g23 C.-2 D.2log23-2 答案B 解析10g23)240g23+4= /1og23-2)2-log23-2-2-10g23 1 原式=2-1og23+l0g2-2-l0g3-l0g23=2-2log23. 3.已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.2%，则至少 要抽的次数是（参考数据：1g20.301)( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案B 解析：由题可知抽气机抽n(n∈N次后，容器内的空气为原来的( ,由题意可得 (目”log2500 -g500_g 1g 10 3巴6.78，因此至少要抽的次数是7.故选B 1-21g2 22 4.已知a>0,b>0,且a+b=20,则lga+lgb的最大值为 答案2 解析：，a>0,b>0,a+b=20
解析:100 1 2 lg9-lg2 -log98·log4 √3 3 = 10 𝑙𝑔 9 10 𝑙𝑔4 − 𝑙𝑔8 𝑙𝑔9 · 1 3 𝑙𝑔3 𝑙𝑔4 = 9 4 − 3𝑙𝑔2 2𝑙𝑔3 · 1 3 𝑙𝑔3 2𝑙𝑔2 = 9 4 − 1 4 =2. 9.已知 3 a=2,3b= 1 5 ,则 2a-b= . 答案:log320 解析:∵3 a=2,3b= 1 5 , ∴a=log32,b=log3 1 5 =-log35, ∴2a-b=2log32+log35=log320. 10.求下列各式的值: (1)lg 14-2lg 7 3 +lg 7-lg 18; (2) 2lg2 +lg3 2+lg0.36+2lg2. 解:(1)(方法一)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. (方法二)原式=lg 14-lg( 7 3 ) 2 +lg 7-lg 18=lg 14×7 ( 7 3 ) 2 ×18 =lg 1=0. (2)原式= 2lg2 +lg3 2+lg36-2+2lg2 = 2lg2 +lg3 2(lg2+lg3)+2lg2 = 2lg2+lg3 4lg2+2lg3 = 1 2 . 拓展提高 1.计算(log32+log23)2 - log 3 2 log 2 3 − log 2 3 log 3 2 的值是( ) A.log26 B.log36 C.2 D.1 答案:C 解析:原式=(log32)2+2log32×log23+(log23)2 -(log32)2 -(log23)2=2. 2.化简:√(log23) 2 -4log23 + 4+log2 1 3 等于( ) A.2 B.2-2log23 C.-2 D.2log23-2 答案:B 解析:√(log23) 2 -4log23 + 4 = √(log23-2) 2=|log23-2|=2-log23. ∴原式=2-log23+log2 1 3 =2-log23-log23=2-2log23. 3.已知某抽气机每次可抽出容器内空气的 60%,要使容器内的空气少于原来的 0.2%,则至少 要抽的次数是(参考数据:lg 2≈0.301)( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:B 解析:由题可知抽气机抽 n(n∈N * )次后,容器内的空气为原来的( 2 5 ) 𝑛 ,由题意可得 ( 2 5 ) 𝑛 log2 5 1 500 = -lg500 lg2 5 = lg10 3 2 lg10 2 2 = 3-lg2 1-2lg2≈6.78,因此至少要抽的次数是 7.故选 B. 4.已知 a>0,b>0,且 a+b=20,则 lg a+lg b 的最大值为 . 答案:2 解析:∵a>0,b>0,a+b=20
∴.20=a+b≥2ab,当且仅当a=b=10时，等号成立，即abs100,而lga+lgb=g ab0，且1 .'.x=log3t.y=log4t,==log61. (1),2x=py logat .2logst-plog4l-Po .log30 …p=2log34=4log32. (2)证明1-1一1 2-dloe6log3oe2号=高=og42loe2-og2 1 挑战创新 2020年我国国民生产总值为α亿元，如果平均每年增长8%，那么经过多少年，国民生产总值是 2020年的2倍(1g2-0.3010,lg1.08≈0.0334，精确到1年)2 解：设经过x年国民生产总值为2020年的2倍. 经过1年，国民生产总值为a(1+8%), 经过2年，国民生产总值为(1+8%)2， 经过x年，国民生产总值为a(1+8%)=2a, ∴.1.08=2，两边取常用对数，得xlg1.08=lg2. x品88器9 故约经过9年，国民生产总值是2020年的2倍
∴20=a+b≥2√𝑎𝑏,当且仅当 a=b=10 时,等号成立,即 ab≤100,而 lg a+lg b=lg ab≤lg 100=2,当且 仅当 a=b=10 时,等号成立,故 lg a+lg b 的最大值为 2. 5.已知函数 f(x)=x+1,g(x)=- 1 𝑥 ,则 f(log23)+g(log62)= . 答案:0 解析:f(log23)+g(log62)=log23+1- 1 log 6 2 =log23-log26+1=log2 3 6 +1=log2 1 2 +1=log22 -1+1=-1+1=0. 6.已知 x,y,z 为正数,3x=4 y=6 z ,2x=py. (1)求 p 的值; (2)求证: 1 𝑧 − 1 𝑥 = 1 2𝑦 . 解:设 3 x=4 y=6 z=t,则 t>0,且 t≠1. ∴x=log3t,y=log4t,z=log6t. (1)∵2x=py, ∴2log3t=plog4t=p· log 3 𝑡 log 3 4 . ∵log3t≠0, ∴p=2log34=4log32. (2)证明: 1 𝑧 − 1 𝑥 = 1 log 6 𝑡 − 1 log 3 𝑡 =logt6-logt3=logt2.又 1 2𝑦 = 1 2log 4 𝑡 = 1 2 ·logt4= 1 2 ×2logt2=logt2, ∴ 1 𝑧 − 1 𝑥 = 1 2𝑦 . 挑战创新 2020 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果平均每年增长 8%,那么经过多少年,国民生产总值是 2020 年的 2 倍(lg 2≈0.301 0,lg 1.08≈0.033 4,精确到 1 年)? 解:设经过 x 年国民生产总值为 2020 年的 2 倍. 经过 1 年,国民生产总值为 a(1+8%), 经过 2 年,国民生产总值为 a(1+8%)2 , …… 经过 x 年,国民生产总值为 a(1+8%)x=2a, ∴1.08x=2,两边取常用对数,得 x·lg 1.08=lg 2. ∴x= lg2 lg1.08 ≈ 0.301 0 0.033 4 ≈9. 故约经过 9 年,国民生产总值是 2020 年的 2 倍