4.5 函数的应用（二） 4.5. 1函数的零点与方程的解 基础巩固 1.下列图象表示的函数中没有零点的是( 答案：A 解析B,C,D中图象均与x轴有公共点，故对应函数均有零，点，A中图象与x轴没有公共点，故 对应函数没有零点 2.函数x)=4-x2的零点所在的大致区间是( A(-1》 B.(0) c.(0) D.( 答案：A 解析：函数x)的图象是连续不断的曲线，且几-1)兮=子×子0，( )o)子×1>0,0=1×子0)1)-子x3>0 “由零点存在定理可得函数在区间1 )内存在零点 3.根据表格中的数据，可以判定函数x)=®-x-2的一个零点所在的区间为( 2 0.37 2.72 7.39 20.09 +2 A.(-1,0) B.(0,1) C.(2,3) D.(1,2) 答案D 解析：由题中表格内的数据可知-1)=0.37-1-0.630, 3)=20.09-5=15.09>0, ∴12)0，-1)=el-32
4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解 基础巩固 1.下列图象表示的函数中没有零点的是( ) 答案:A 解析:B,C,D 中图象均与 x 轴有公共点,故对应函数均有零点,A 中图象与 x 轴没有公共点,故 对应函数没有零点. 2.函数 f(x)=4 x -x 2 的零点所在的大致区间是( ) A. -1,1 2 B. - 1 2 ,0 C. 0,1 2 D. 1 2 ,1 答案:A 解析:∵函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,且 f(-1)·f( 1 2 )=- 3 4 × 7 4 0,f(0)f( 1 2 )=1×7 4 >0,f( 1 2 )f(1)= 7 4 ×3>0, ∴由零点存在定理可得函数 f(x)在区间 -1,1 2 内存在零点. 3.根据表格中的数据,可以判定函数 f(x)=e x -x-2 的一个零点所在的区间为( ) x -1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 A.(-1,0) B.(0,1) C.(2,3) D.(1,2) 答案:D 解析:由题中表格内的数据可知 f(-1)=0.37-1=-0.630, f(3)=20.09-5=15.09>0, ∴f(1)f(2)0,f(-1)=e -1 -32
答案：C 解析当x0 Cfx)>0,x2)0,2)>0 答案B 解析（方法-）由)-0，得2+品0， 2品 在同一平面直角坐标系中，作出函数功=2”2-的图象（图略），观察图象可知， x.1 当x1∈(1，x0)时n2， x)0. (方法二)：函数)-2品在区间(1，+四)内均单调递增， ∴.函数x)在区间(1，+o)内单调递增， ∴.由x1∈(1,0)，xo)=0,得xxo)=0, 由x2∈(x0,+o)x0)=0,得fx2)>xo)=-0. 7.若函数x)=mx-1在区间(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是 答案：(1，+o) 解析：0)=-1，要使函数x)=x-1在区间(0,1)内有零点，需1)=m-1>0,即m>1. 8.己知函数x)=ax2+2ar+c(a0)的一个零点为1，则它的另一个零点为 答案-3 解析：设函数x)的两个零点分别为x1,2, 则由x)=ax2+2ax+c=0(a0), 得1+n-2但2 又x1=1,所以x2=-3. 9.若函数x)=d-x-a(a>0,且a时1)有两个零点，则实数a的取值范围是 答案：(1，+0) 解析：函数x)的零，点的个数就是函数y=d与函数y=x+a的图象的交点的个数，如图，当a>1 时两函数图象有两个交点：当01 > 00时，令lgx=0,得x=1,满足要求 所以函数x)的零点是-2,1
答案:C 解析:当 x0 C.f(x1)>0,f(x2)0,f(x2)>0 答案:B 解析:(方法一)由 f(x)=0,得 2 x+ 1 1-𝑥 =0, ∴2 x= 1 𝑥-1 . 在同一平面直角坐标系中,作出函数 y1=2 x ,y2= 1 𝑥-1的图象(图略),观察图象可知, 当 x1∈(1,x0)时,y1y2, ∴f(x1)0. (方法二)∵函数 y=2 x ,y= 1 1-𝑥在区间(1,+∞)内均单调递增, ∴函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递增, ∴由 x1∈(1,x0),f(x0)=0,得 f(x1)f(x0)=0. 7.若函数 f(x)=mx-1 在区间(0,1)内有零点,则实数 m 的取值范围是 . 答案:(1,+∞) 解析:f(0)=-1,要使函数 f(x)=mx-1 在区间(0,1)内有零点,需 f(1)=m-1>0,即 m>1. 8.已知函数 f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为 1,则它的另一个零点为 . 答案:-3 解析:设函数 f(x)的两个零点分别为 x1,x2, 则由 f(x)=ax2+2ax+c=0(a≠0), 得 x1+x2=- 2𝑎 𝑎 =-2. 又 x1=1,所以 x2=-3. 9.若函数 f(x)=ax -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 . 答案:(1,+∞) 解析:函数 f(x)的零点的个数就是函数 y=ax与函数 y=x+a 的图象的交点的个数,如图,当 a>1 时,两函数图象有两个交点;当 01. 10.求函数 f(x)={ 2 -𝑥 -4,𝑥 ≤ 0, lg𝑥,𝑥 > 0 的零点. 解:当 x≤0 时,令 2 -x -4=0,得 x=-2,满足要求;当 x>0 时,令 lg x=0,得 x=1,满足要求. 所以函数 f(x)的零点是-2,1
拓展提高 1.若函数x)在定义域{xx∈R且x≠0}上是偶函数，且在区间0，+o)内单调递减2)=0，则函数 x)的零点有( A.一个 B.两个 C至少两个 D.无法判断 答案B 解析x)在区间(0，+0)内单调递减，2)=0， 所以几x)在区间(0，+o)内有且仅有一个零点2 又几x)是偶函数，所以x)在区间(-o,0)内单调递增，有且仅有一个零点-2 因此函数几x)有两个零点-2与2 2.己知方程x2+2(m-1)x+2m+6=0有两个实数解x灯1,2，且满足00, 解析：由题意可得{f(1)0, (2m+6>0, 即{1+2(m-1)+2m+60 解得子m0若x<S4,且x)))=儿x4,则下列结论 正确的是( A.x1+x2=-1 B.x3x4=1 C.1<x4<2 D.0<x1x2x3x4<1 答案BCD 解析：画出函数x)的大致图象如图所示，得出1+2=-2，-0g2x3=0g2x4,则x3x4=1,故A中结论 错误，B中结论正确；由图可知1<x4<2,故C中结论正确；因为-2<1<-1，x12=x1(-2-1)=-x子 2x1=-(x1+1)2+1∈(0,1)，所以x1x2x34=x12∈(0,1)，故D中结论正确. -1x2Ox31x42 4.函数x)血匹的零点是 x.3 答案：1 解析令)=0，即匹0，则x1=0或nx=0,解得x=l,故函数)的零点为1. x-3 5.函数fx)=x-ln(x+1)1的零点个数是 答案2
拓展提高 1.若函数 f(x)在定义域{x|x∈R,且 x≠0}上是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减,f(2)=0,则函数 f(x)的零点有( ) A.一个 B.两个 C.至少两个 D.无法判断 答案:B 解析:f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,f(2)=0, 所以 f(x)在区间(0,+∞)内有且仅有一个零点 2. 又 f(x)是偶函数,所以 f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,有且仅有一个零点-2. 因此函数 f(x)有两个零点-2 与 2. 2.已知方程 x 2+2(m-1)x+2m+6=0 有两个实数解 x1,x2,且满足 0 0, 𝑓(1) 0, 即{ 2𝑚 + 6 > 0, 1 + 2(𝑚-1)+ 2𝑚 + 6 0, 解得- 7 5 0, 若 x1<x2<x3<x4,且 f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论 正确的是( ) A.x1+x2=-1 B.x3x4=1 C.1<x4<2 D.0<x1x2x3x4<1 答案:BCD 解析:画出函数 f(x)的大致图象如图所示,得出 x1+x2=-2,-log2x3=log2x4,则 x3x4=1,故 A 中结论 错误,B 中结论正确;由图可知 1<x4<2,故 C 中结论正确;因为-2<x1<-1,x1x2=x1(-2-x1)=-𝑥1 2 - 2x1=-(x1+1)2+1∈(0,1),所以 x1x2x3x4=x1x2∈(0,1),故 D 中结论正确. 4.函数 f(x)= (𝑥-1)ln𝑥 𝑥-3 的零点是 . 答案:1 解析:令 f(x)=0,即 (𝑥-1)ln𝑥 𝑥-3 =0,则 x-1=0 或 ln x=0,解得 x=1,故函数 f(x)的零点为 1. 5.函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数是 . 答案:2
解析：函数x)=x-ln(x+I)-l的零，点个数，即函数y=ln(x+l)与y=x-l的图象的交点个数. 在同一平面直角坐标系内分别作出函数y=l(x+1)与y=x1的图象，如图所示. y=x-1y=In(x+1) -3-2-1/72345 -2 由图可知函数x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是2. 6.己知函数几x)=x-2+1,g(x)=r,若方程x)=g(x)有两个不相等的实数解，则实数k的取值范 围是 答案（传1） 解析：画出函数几x)的图象，如图所示若方程x)=g(x)有两个不相等的实数解，则函数八x)与 g)的图象有两个交点，由图可知k经且k1.故a的取值范围为a>1 (2)因为函数x)=x2-4x+a+3的图象的对称轴是直线x=2,所以y=fx)在区间[-1,1]上单调递减 又画数时在区间-1，]上存在零点所以S0。即日0。解得-80),且g1)-号 (1)求证：函数g(x)有两个零点； (2)证明函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 证明(（)81)=a+h+c= ∴3a+2b+2c=0,c=a-bi ∴gx)=ar2+br-2a-b “A=-4a(a-b）=(2a+b+2(其中△为根的判别式) ,a>0,.△>0恒成立，故函数gx)有两个零点 (2)由题意得g0)=c,g2)=4a+2b+C, 又由(1)知3a+2b+2c=0,∴.g2)=a-C 当c>0时，有g0)>0,又a>0∴g1)=0, 则函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点，故gx)在区间(0,2)内至少有一个零点. 当c≤0时g(1)0
解析:函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数,即函数 y=ln(x+1)与 y=x-1 的图象的交点个数. 在同一平面直角坐标系内分别作出函数 y=ln(x+1)与 y=x-1 的图象,如图所示. 由图可知函数 f(x)=x-ln(x+1)-1 的零点个数是 2. 6.已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则实数 k 的取值范 围是 . 答案:( 1 2 ,1) 解析:画出函数 f(x)的图象,如图所示.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则函数 f(x)与 g(x)的图象有两个交点,由图可知 k>1 2 ,且 k1.故 a 的取值范围为 a>1. (2)因为函数 f(x)=x2 -4x+a+3 的图象的对称轴是直线 x=2,所以 y=f(x)在区间[-1,1]上单调递减. 又函数 y=f(x)在区间[-1,1]上存在零点,所以{ 𝑓(1) ≤ 0, 𝑓(-1) ≥ 0, 即 { 𝑎 ≤ 0, 𝑎 + 8 ≥ 0, 解得-8≤a≤0. 故 a 的取值范围为-8≤a≤0. 挑战创新 设函数 g(x)=ax2+bx+c(a>0),且 g(1)=- 𝑎 2 . (1)求证:函数 g(x)有两个零点; (2)证明函数 g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 证明:(1)∵g(1)=a+b+c=- 𝑎 2 , ∴3a+2b+2c=0,∴c=- 3 2 a-b. ∴g(x)=ax2+bx- 3 2 a-b, ∴Δ=b2 -4a(- 3 2 𝑎-𝑏)=(2a+b) 2+2a 2 (其中 Δ 为根的判别式). ∵a>0,∴Δ>0 恒成立,故函数 g(x)有两个零点. (2)由题意得 g(0)=c,g(2)=4a+2b+c, 又由(1)知 3a+2b+2c=0,∴g(2)=a-c. 当 c>0 时,有 g(0)>0,又 a>0,∴g(1)=- 𝑎 2 0
∴.函数g(x)在区间(1,2)内有一个零点. 综上，可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零，点
∴函数 g(x)在区间(1,2)内有一个零点. 综上,可知函数 g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点