5.5三角恒等变换 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时两角差的余弦公式 基础巩固 1.(多选题)下列各式化简正确的是() A.cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos60° B.cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30° C.sin(a+45)sin a+cos(a+45)cos a=cos 45 D.cos(a=os asin a 答案：ABC 解析根据两角差的余弦公式，可知AB,C中式子化简都是正确的，而对于D,©0s(c)-c0s mnsn听-气sarn么故D中式子的化简是错误的 1 2已知cosa-a∈（得，sinB=贵角B是第四象限角，则co-的值是(） A器 B器 c器 D器 答案C 解析由已知可得sina号cosB是则cosB-a)-sPcosa+sin Bsina是x()+( )×分等 3已知cos(x)-票则cosx+os()- ) A29 B C.-1 D.±1 答案：C 解桥：os(c)-osog+snsn店=气osin=9 0(r)-0时+nsin吗-osin-3原osx2n对- 号x厅-l故选C 4在△ABC中，A,B∈(0，)，设x=-sin AsinB,y-cosB+C)cosB,则xy的大小关系是( A.xzy B.xy D.x0,所以x-y>0,即x>y 5已知锐角aB满足cosa号cosa+f)=一是，则co2xf)的值为
5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第 1 课时 两角差的余弦公式 基础巩固 1.(多选题)下列各式化简正确的是( ) A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60° B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45° D.cos(𝛼- π 6 ) = 1 2 cos α+ √3 2 sin α 答案:ABC 解析:根据两角差的余弦公式,可知 A,B,C 中式子化简都是正确的,而对于 D,cos(𝛼- π 6 )=cos αcos π 6 +sin αsinπ 6 = √3 2 cos α+ 1 2 sin α,故 D 中式子的化简是错误的. 2.已知 cos α=- 3 5 ,α∈( π 2 ,π),sin β=- 12 13,角 β 是第四象限角,则 cos(β-α)的值是( ) A.- 33 65 B.63 65 C.- 63 65 D.- 16 65 答案:C 解析:由已知可得 sin α= 4 5 ,cos β= 5 13,则 cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α= 5 13 × (- 3 5 ) + (- 12 13) × 4 5 =- 63 65. 3.已知 cos(𝑥- π 6 )=- √3 3 ,则 cos x+cos x- π 3 =( ) A.- 2√3 3 B.±2√3 3 C.-1 D.±1 答案:C 解析:∵cos(𝑥- π 6 )=cos xcos π 6 +sin xsinπ 6 = √3 2 cos x+1 2 sin x=- √3 3 . ∴cos x+cos(𝑥- π 3 )=cos x+cos xcos π 3 +sin xsinπ 3 = 3 2 cos x+ √3 2 sin x=√3( √3 2 cos x+1 2 sin x)=- √3 3 × √3=-1.故选 C. 4.在△ABC 中,A,B∈(0, π 2 ),设 x=sin Asin B,y=cos(B+C)cos B,则 x,y 的大小关系是( ) A.x≥y B.x≤y C.x>y D.x0,所以 x-y>0,即 x>y. 5.已知锐角 α,β 满足 cos α= 3 5 ,cos(α+β)=- 5 13,则 cos(2π-β)的值为( )
A器 B器 c D 答案：A 解析.：aB为锐角，cosa号coa+)=是 ∴sna号sina*0号 ∴cox2-f=cosB-cosa+pl-d-eosa+cosa+sina+B)sin a-(）x是+号x号号 故选A 6.若cos(a-fA则(sina+sinB+(cosa+cos B= 答案号 解析：原式-2+2((sin asin B+c0sac0s)=2+2cos(a-f)号 7.在平面直角坐标系中，角《与角B均以x轴的非负半轴为始边，且它们的终边关于y轴对称 若sina子则cos(arp)= 答案号 解析：角aB的终边关于y轴对称，∴sinB=sina宁cosa=-cosB.,则cos(a-f)=coso0sB+sin inB=-cosa+sinm2a-2 nsira-l-号1-号 9 8已知cosa学coar-受a2marf<元，则cosB=】 答案-1 解析由己知得sina=是sin(a-)-是 ∴.cosB=cosa-(-f] =cos acos(a-B)+sin asin(a-B) 169 拓展提高 1.在Rt△ABC中，C-设x=cos(号-Acos(台-B）y-sin(4-)sin台-B),则x+y= () A.0 c.1 D 答案D 解析x+y-cos(号-Acos(台-B）+sinA-sin(2B) -cos(4-)os-B）+sin(4-)sin(经-B) -cos4-)-(传-B-co49 在△ABC中，A+B=-C受 所以x+y=C0S7=Z 2(多选题)若nr+ 2c0sx=c0s(x+p),则p可能为 A君 B号 C D 答案：AC 解析2inx+票osx=CO0+sim哈inx=cos(x)-os(x+g） 六p可以为君也可以为要 6 3若coa-号cos2a晋且0caf受则a+B的值为
A.33 65 B.- 33 65 C.54 65 D.- 54 65 答案:A 解析:∵α,β 为锐角,cos α= 3 5 ,cos(α+β)=- 5 13, ∴sin α= 4 5 ,sin(α+β)= 12 13, ∴cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=(- 5 13) × 3 5 + 12 13 × 4 5 = 33 65. 故选 A. 6.若 cos(α-β)= 1 3 ,则(sin α+sin β) 2+(cos α+cos β) 2= . 答案: 8 3 解析:原式=2+2(sin αsin β+cos αcos β)=2+2cos(α-β)= 8 3 . 7.在平面直角坐标系中,角 α 与角 β 均以 x 轴的非负半轴为始边,且它们的终边关于 y 轴对称. 若 sin α= 1 3 ,则 cos(α-β)= . 答案:- 7 9 解析:∵角 α,β 的终边关于 y 轴对称,∴sin β=sin α= 1 3 ,cos α=-cos β,则 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 2 9 -1=- 7 9 . 8.已知 cos α= 4 5 ,cos(α-β)=- 4 5 , 3π 2 <α<2π, π 2 <α-β<π,则 cos β= . 答案:-1 解析:由已知得 sin α=- 3 5 ,sin(α-β)= 3 5 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =- 16 25 − 9 25=-1. 拓展提高 1.在 Rt△ABC 中,C=π 2 ,设 x=cos( 𝐵 2 -𝐴)·cos( 𝐴 2 -𝐵),y=sin(𝐴- 𝐵 2 )sin( 𝐴 2 -𝐵),则 x+y= ( ) A.0 B.- √2 2 C.1 D.√2 2 答案:D 解析:x+y=cos( 𝐵 2 -𝐴)cos( 𝐴 2 -𝐵)+sin(A- 𝐵 2 )·sin( 𝐴 2 -B) =cos(𝐴- 𝐵 2 )cos( 𝐴 2 -𝐵)+sin(𝐴- 𝐵 2 )sin( 𝐴 2 -𝐵) =cos[(𝐴- 𝐵 2 ) - ( 𝐴 2 -𝐵)]=cos 𝐴+𝐵 2 . 在△ABC 中,A+B=π-C=π 2 , 所以 x+y=cos π 4 = √2 2 . 2.(多选题)若 1 2 sin x+ √3 2 cos x=cos(x+φ),则 φ 可能为 ( ) A.- π 6 B.- π 3 C.11π 6 D.π 3 答案:AC 解析: 1 2 sin x+ √3 2 cos x=cos π 6 cos x+sinπ 6 sin x=cos(𝑥- π 6 )=cos(𝑥 + 11π 6 ), ∴φ 可以为- π 6 ,也可以为11π 6 . 3.若 cos(α-β)= √5 5 ,cos 2α= √10 10 ,且 0<α<β< π 2 ,则 α+β 的值为( )
B号 c D陪 案：C 解析：00, ∴f>a∴B-a胃 5.化简2c0s10°sin20 c0s20° 答案√3 解析原式-2os3020-sin20 C0s20° V3cos20+sin20-sin20 cos20° 6.函数)-sin2sin哈cos2在区间号，引上的单调递增区间为 答案[铝剖 解析，)-sin2sin听cos2xcos号-sin2rsin+c0s2xc02-cos(2x别 当2ms2x若2ka(keZ), 即m受m+受k∈☑时，函教)单调递增 取0，得受受故画数)在区间，引上的单洞通增区间为[号引 挑战创新 设cos(a)-sin(作-B)=导其中a∈(（传)，B∈(0，)，求co 解因为a∈（凭，B∈(o,), 所以are(任fe(开，) 国为cos(a)-sim(行-p）=手 所以sn(ae-9=Lcos2(a-习=1后=s o(传-)=1s传-可=1号-9
A.π 6 B.π 4 C.3π 4 D.5π 6 答案:C 解析:∵00, ∴β>α,∴β-α= π 3 . 5.化简2cos10°-sin20° cos20° = . 答案:√3 解析:原式= 2cos(30°-20°)-sin20° cos20° = √3cos20°+sin20°-sin20° cos20° = √3. 6.函数 f(x)=sin 2xsinπ 6 -cos 2xcos 5π 6 在区间[- π 2 , π 2 ]上的单调递增区间为 . 答案:[- 5π 12 , π 12 ] 解析:f(x)=sin 2xsinπ 6 -cos 2xcos 5π 6 =sin 2xsinπ 6 +cos 2xcos π 6 =cos(2𝑥- π 6 ). 当 2kπ-π≤2x- π 6 ≤2kπ(k∈Z), 即 kπ- 5π 12≤x≤kπ+ π 12(k∈Z)时,函数 f(x)单调递增. 取 k=0,得- 5π 12≤x≤ π 12,故函数 f(x)在区间[- π 2 , π 2 ]上的单调递增区间为[- 5π 12 , π 12 ]. 挑战创新 设 cos(𝛼- 𝛽 2 )=- 1 9 ,sin( 𝛼 2 -𝛽) = 2 3 ,其中 α∈( π 2 ,π),β∈(0, π 2 ),求 cos 𝛼+𝛽 2 . 解:因为 α∈( π 2 ,π),β∈(0, π 2 ), 所以 α- 𝛽 2 ∈ ( π 4 ,π) , 𝛼 2 -β∈(- π 4 , π 2 ). 因为 cos(𝛼- 𝛽 2 )=- 1 9 ,sin( 𝛼 2 -𝛽) = 2 3 , 所以 sin(𝛼- 𝛽 2 ) = √1-cos 2 (𝛼- 𝛽 2 ) = √1- 1 81 = 4√5 9 , cos( 𝛼 2 -𝛽) = √1-sin 2 ( 𝛼 2 -𝛽) = √1- 4 9 = √5 3
所以co-cos(a-)-(侣-] -cos(a-)cos()+sin(a-)sin(-B) 时×9+5x号 3
所以 cos 𝛼+𝛽 2 =cos[(𝛼- 𝛽 2 ) - ( 𝛼 2 -𝛽)] =cos(𝛼- 𝛽 2 )cos( 𝛼 2 -𝛽)+sin(𝛼- 𝛽 2 )sin( 𝛼 2 -𝛽) =- 1 9 × √5 3 + 4√5 9 × 2 3 = 7√5 27