第二章过关检测 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.不等式2} C.{x02} 答案D 解析2或x2: 2.已知关于x的不等式ax2+br+2>0的解集是{x-1a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a C.-a>2>a>-a D.a>-a>a>-a 答案B 解析：.a2+aa2>0,而aa2>-a2>a. 4.已知a-l,当x=a时，x4+取得最小值6，则a+b等于(） A.-3 B.2 C.3 D.8 答案：C 解析x-4+9 +1(r+l)+9 75 因为x>-1,所以x+1>0, 所以+1)+是22x+1)品5=2x3-5=l,当且仅当x1是即x2时，等号成立，此时 a=2,b=1,所以a+b=3. 6.已知关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m心0恒成立，则m的取值范围是() A.-4≤4 B.ms-4 C.-4<m<4 D.m≤-4，或m24
第二章过关检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.不等式1 𝑥 2} C.{x|02} 答案:D 解析:由 1 𝑥 2 或 x2}. 2.已知关于 x 的不等式 ax2+bx+2>0 的解集是{x|-1a>-a 2>-a B.-a>a2>-a 2>a C.-a>a2>a>-a 2 D.a 2>-a>a>-a 2 答案:B 解析:∵a 2+aa2>0,而 aa2>-a 2>a. 4.已知 a-1,当 x=a 时,x-4+ 9 𝑥+1取得最小值 b,则 a+b 等于( ) A.-3 B.2 C.3 D.8 答案:C 解析:x-4+ 9 𝑥+1 =(x+1)+ 9 𝑥+1 -5. 因为 x>-1,所以 x+1>0, 所以(x+1)+ 9 𝑥+1 -5≥2√(𝑥 + 1)· 9 𝑥+1 -5=2×3-5=1,当且仅当 x+1= 9 𝑥+1 ,即 x=2 时,等号成立,此时 a=2,b=1,所以 a+b=3. 6.已知关于 x 的不等式 x 2+(m-2)x+5-m≥0 恒成立,则 m 的取值范围是( ) A.-4≤m≤4 B.m≤-4 C.-4<m<4 D.m≤-4,或 m≥4
答案：A 解析：，关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m20恒成立，∴.关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的判别 式△=(m-2)2-45-m)s0,即m2≤16， 解得-4sm≤4. 7.若正数xy满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 () A兰 8 5 c.5 D.6 答案C 解桥.x+35,号+层3x+4(x40x1-(3x+传+引-号+号++竖≥ 号+2停要5当且仅当号=竖即=1封，等号成立故3x的最小值为5 8已知xy为正实数且xy+号5，则xy的最大值是( A.3 B C.4 D 答案：C 解桥：.x+y+5,(+5-(x+训=(+0促+月)-2片+字2+2=4，当且仅当x与y时，取等 号..(x+y)2-5(x+y)+4≤0，.1≤x+4 x+y的最大值为4. 二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是() A日b2 Can b D.alclzblcl 答案CD 解析对于A若a>0>6,则00，此时日>A中不等式不成立对于B,若a-lb=-2,则 b“异>4点成立，C中 1 不等式成立；对于D,,a>b,lcE0,∴alc2blc,D中不等式成立 10.下列不等式的解集是空集的是() Ax2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5 D.x2+x0,即2x2-x-10，其解集不是空集；对于C,2x-x2>5,即 x2-2x+50的解集是{x20 B.c>0 C.a+b+c>0 D.a-b+c>0 答案BD 解析依题意有a0,且-2=0，后2x(月)=-10,且a=-cbh=0令=am2-br+c 则当Xl时a-btc=e0,当x=1时a+btc=2<0.故选BD
答案:A 解析:∵关于 x 的不等式 x 2+(m-2)x+5-m≥0 恒成立,∴关于 x 的方程 x 2+(m-2)x+5-m=0 的判别 式 Δ=(m-2)2 -4(5-m)≤0,即 m2≤16, 解得-4≤m≤4. 7.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 ( ) A.24 5 B.28 5 C.5 D.6 答案:C 解析:∵x+3y=5xy,∴ 1 5𝑦 + 3 5𝑥 =1.∴3x+4y=(3x+4y)×1=(3x+4y)( 1 5𝑦 + 3 5𝑥 ) = 3𝑥 5𝑦 + 9 5 + 4 5 + 12𝑦 5𝑥 ≥ 13 5 +2√ 3𝑥 5𝑦 · 12𝑦 5𝑥 =5,当且仅当3𝑥 5𝑦 = 12𝑦 5𝑥 ,即 x=1,y= 1 2时,等号成立.故 3x+4y 的最小值为 5. 8.已知 x,y 为正实数,且 x+y+1 𝑥 + 1 𝑦 =5,则 x+y 的最大值是( ) A.3 B.7 2 C.4 D.9 2 答案:C 解析:∵x+y+1 𝑥 + 1 𝑦 =5,∴(x+y)[5-(x+y)]=(x+y)( 1 𝑥 + 1 𝑦 )=2+ 𝑦 𝑥 + 𝑥 𝑦 ≥2+2=4,当且仅当 x=y 时,取等 号.∴(x+y) 2 -5(x+y)+4≤0,∴1≤x+y≤4. ∴x+y 的最大值为 4. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.若 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( ) A.1 𝑎 b2 C. 𝑎 𝑐 2+1 > 𝑏 𝑐 2+1 D.a|c|≥b|c| 答案:CD 解析:对于 A,若 a>0>b,则 1 𝑎 >0,1 𝑏 1 𝑏 ,∴A 中不等式不成立;对于 B,若 a=1,b=-2,则 a 20,又 a>b,∴ 𝑎 𝑐 2+1 > 𝑏 𝑐 2+1 恒成立,∴C 中 不等式成立;对于 D,∵a>b,|c|≥0,∴a|c|≥b|c|,∴D 中不等式成立. 10.下列不等式的解集是空集的是( ) A.x 2 -x+1>0 B.-2x 2+x+1>0 C.2x-x 2>5 D.x 2+x0 恒成立,其解集为 R;对于 B,- 2x 2+x+1>0,即 2x 2 -x-10,其解集不是空集;对于 C,2x-x 2>5,即 x 2 -2x+50 的解集是{𝑥 |- 1 2 0 B.c>0 C.a+b+c>0 D.a-b+c>0 答案:BD 解析:依题意有 a0,𝑐 𝑎 =2×(- 1 2 )=-10,且 a=-c,b=- 3 2 c,令 y=ax2 -bx+c, 则当 x=1 时,y=a-b+c=3 2 c>0,当 x=-1 时,y=a+b+c=- 3 2 c<0.故选 BD
12.己知a,b是两个不相等的正实数，且a+b=1,则下列结论正确的是() A.2aba 2 BQ86￥ a-b 0,b>0,a时b,且a+b=1, d+6a-专学西0, 36k2.4k(k+8)≤0， 解得00,>0,且满足+Y-1,则y的最大值为 答案3 解析国为x0,0+1,所以+2眉=、当且仅当=名=元即x2时取等 号)，即孚1，所以03，所以y的最大值为3。 16.已知不等式x+)(促+》9对任意正实数xy恒成立，则正实数a的最小值为 答案：4 解析：a>0,∴(x+侵+)-+a++受1+a+2V反，当且仅当y-Var时，取等号.由条件知 a+2va+1≥9，解得a24.故正实数a的最小值为4. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)解不等式： 学1 2常 解(1)2凸1,2尘120430，此不等式等价于x+3x-220,且x-20,解得x2或3， x-2 x-2 x-21 ∴.原不等式的解集为{xx>2,或x-3} 2品带10小特0，北不等式等价于+30且x0203,且1 (x.1)2 原不等式的解集为{x0<x<3,且≠1} 18.(12分)已知xy都是正数 (1)若3x+2y=12,求y的最大值
12.已知 a,b 是两个不相等的正实数,且 a+b=1,则下列结论正确的是( ) A.2ab0,b>0,a≠b,且 a+b=1, ∴a 2+b2> (𝑎+𝑏) 2 2 = 1 2 = 𝑎+𝑏 2 ,√𝑎𝑏 𝑎+𝑏 2 >2ab,而 𝑎 4 -𝑏 4 𝑎-𝑏 =(a 2+b2 )(a+b)=a2+b2 .故选 AD. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 x,y 都是正数, (1)如果 xy=15,那么 x+y 的最小值是 ; (2)如果 x+y=15,那么 xy 的最大值是 . 答案:(1)2√15 (2)225 4 解析:(1)x+y≥2√𝑥𝑦=2√15,即 x+y 的最小值是 2√15;当且仅当 x=y=√15时,取等号. (2)xy≤( 𝑥+𝑦 2 ) 2 = ( 15 2 ) 2 = 225 4 ,即 xy 的最大值是225 4 .当且仅当 x=y= 15 2 时,取等号. 14.若关于 x 的不等式 kx2 -6kx+(k+8)≥0 在 R 上恒成立,则 k 的取值范围为 . 答案:0≤k≤1 解析:当 k=0 时,显然 8≥0 恒成立;当 k≠0 时,则 k>0,且方程 kx2 -6kx+(k+8)=0 的判别式 Δ≤0,即 { 𝑘 > 0, 36𝑘 2 -4𝑘(𝑘 + 8) ≤ 0, 解得 00,y>0,且满足𝑥 3 + 𝑦 4 =1,则 xy 的最大值为 . 答案:3 解析:因为 x>0,y>0,𝑥 3 + 𝑦 4 =1,所以𝑥 3 + 𝑦 4 ≥2√ 𝑥 3 · 𝑦 4 = √ 𝑥𝑦 3 (当且仅当𝑥 3 = 𝑦 4 = 1 2 ,即 x= 3 2 ,y=2 时取等 号),即√ 𝑥𝑦 3 ≤1,所以 xy≤3,所以 xy 的最大值为 3. 16.已知不等式(x+y)( 1 𝑥 + 𝑎 𝑦 )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 . 答案:4 解析:∵a>0,∴(x+y)( 1 𝑥 + 𝑎 𝑦 )=1+a+𝑦 𝑥 + 𝑥𝑎 𝑦 ≥1+a+2√𝑎,当且仅当 y=√𝑎x 时,取等号.由条件知 a+2√𝑎+1≥9,解得 a≥4.故正实数 a 的最小值为 4. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)解不等式: (1)2𝑥+1 𝑥-2 ≥1; (2) 𝑥+1 (𝑥-1) 2>1. 解:(1)∵ 2𝑥+1 𝑥-2 ≥1,∴ 2𝑥+1 𝑥-2 -1≥0,∴ 𝑥+3 𝑥-2 ≥0,此不等式等价于(x+3)(x-2)≥0,且 x-2≠0,解得 x>2 或 x≤-3, ∴原不等式的解集为{x|x>2,或 x≤-3}. (2)∵ 𝑥+1 (𝑥-1) 2>1,∴ 𝑥+1 (𝑥-1) 2 -1>0,∴ -𝑥 2+3𝑥 (𝑥-1) 2 >0,此不等式等价于-x 2+3x>0,且 x-1≠0,∴0<x<3,且 x≠1.∴ 原不等式的解集为{x|0<x<3,且 x≠1}. 18.(12 分)已知 x,y 都是正数. (1)若 3x+2y=12,求 xy 的最大值;
(2)若x+2-3,求+的最小值 解0w号3x2（2)-6 事R仅贸+2》-12即化=号时取等号 所以y的最大值为6. 2+=x+2+月=3+5+3+2售买19 当且仅当月= （x=3(V2-1 (x+2y=3,b=32.@ 时，取等号，所以+的最小值为1+ x 2 19.(12分)已知不等式mx2-2x-m+14的解集为{xxb}. (1)求a,b的值： (2)解关于x的不等式ar2-(ac+b)x+bc0,且1和b是关于x的方程a23x+2=0的两根，则 3=1+b, 得82 (2)由(1)知关于x的不等式ar2-(ac+b)x+bc2时，原不等式的解集为{x20,当1S3时，y随x的增大 而增大，则要使不等式恒成主，只需9m-3m-1<0,解得m名所以0<m<号若m<0,当1sS时y 随x的增大而减小，则要使不等式恒成立，只需m-m-1<0,解得m∈R,所以m<0.综上所述，实数 m的取值范固是m合
(2)若 x+2y=3,求 1 𝑥 + 1 𝑦 的最小值. 解:(1)xy= 1 6 ·3x·2y≤ 1 6 ( 3𝑥+2𝑦 2 ) 2 =6. 当且仅当{ 3𝑥 = 2𝑦, 3𝑥 + 2𝑦 = 12, 即{ 𝑥 = 2, 𝑦 = 3 时,取等号. 所以 xy 的最大值为 6. (2)1 𝑥 + 1 𝑦 = 1 3 (x+2y)( 1 𝑥 + 1 𝑦 ) = 1 3 (3+ 𝑥 𝑦 + 2𝑦 𝑥 )≥ 1 3 (3 + 2√ 𝑥 𝑦 · 2𝑦 𝑥 )=1+ 2√2 3 . 当且仅当{ 𝑥 𝑦 = 2𝑦 𝑥 , 𝑥 + 2𝑦 = 3, 即{ 𝑥 = 3(√2-1), 𝑦 = 3(2-√2) 2 时,取等号.所以, 1 𝑥 + 1 𝑦 的最小值为 1+ 2√2 3 . 19.(12 分)已知不等式 mx2 -2x-m+1-1+√7 2 , 解②,得 1-√3 2 4 的解集为{x|xb}. (1)求 a,b 的值; (2)解关于 x 的不等式 ax2 -(ac+b)x+bc0,且 1 和 b 是关于 x 的方程 ax2 -3x+2=0 的两根,则{ 3 𝑎 = 1 + 𝑏, 2 𝑎 = 𝑏, 解得{ 𝑎 = 1, 𝑏 = 2. (2)由(1)知关于 x 的不等式 ax2 -(ac+b)x+bc2 时,原不等式的解集为{x|20,当 1≤x≤3 时,y 随 x 的增大 而增大,则要使不等式恒成立,只需 9m-3m-1<0,解得 m< 1 6 ,所以 0<m< 1 6 .若 m<0,当 1≤x≤3 时,y 随 x 的增大而减小,则要使不等式恒成立,只需 m-m-1<0,解得 m∈R,所以 m<0.综上所述,实数 m 的取值范围是 m<1 6
22.(12分)已知运货卡车以xkm/h的速度匀速行驶了180km.假设汽油的价格是7元L,而运 货卡车每小时耗袖（收+需），司机的工资是每小时14元 (I)求这次行车总费用y关于x的表达式， (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用 解(0油题意得)四7(2+需)14-59+子头50s10 2)(L)知，y59+子e84而， 当且仅当54=即x=12V而时，等号成立 故当x=12V10时，这次行车的总费用最低，最低总费用为84V10元
22.(12 分)已知运货卡车以 x km/h 的速度匀速行驶了 180 km.假设汽油的价格是 7 元/L,而运 货卡车每小时耗油(2 + 𝑥 2 360)L,司机的工资是每小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低?求出最低费用. 解:(1)由题意得,y= 180 𝑥 ×7×(2 + 𝑥 2 360)+14×180 𝑥 = 5 040 𝑥 + 7 2 x,50≤x≤100. (2)由(1)知,y= 5 040 𝑥 + 7 2 x≥84√10, 当且仅当5 040 𝑥 = 7 2 x,即 x=12√10时,等号成立. 故当 x=12√10时,这次行车的总费用最低,最低总费用为 84√10元