1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 基础巩固 1.已知命题p:x∈R,x2=5,则该命题的否定是( A.VxER.x2-5 B.x∈R,x2+5 C.3r∈R,x2=5 D.3r∈R,x2≠5 答案D 2.命题3r∈{xx>0;,x-1川=x-1的否定是() Ax∈{xx>0},x-ll卡x-1 B.x∈{xx>0},lx-l=x-l C.3x∈{xx>0},x-l≠x-1 D.xxx>0),x-1=x-1 答案：A 3.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( A任意一个有理数的平方是有理数 B.任意一个无理数的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是无理数 答案B 4.命题“3m∈R关于x的方程x2-2x-1=0有实根”的否定是( A.m∈R,关于x的方程x2-2mx-1=0有实根 B.至多有一个实数m,使关于x的方程x2-2mx-1=0有实根 C.m∈R,关于x的方程x2-2x-1=0无实根 D.x∈R,关于x的方程x2-2mx-1=0无实根 答案C 5.设命题p:3neN,n2>2",则p的否定为( A.n∈N.r>2” B.3n∈N,2≤2” C.n∈N,r2s2" D.3n∈N,2-=2” 答案：C 解析：因为“3x∈M,p(x)”的否定是x∈M,口p(x)”,所以命题臼n∈N,2>2m”的否定是“n∈ N,2≤2”.故选C 6.已知命题3r∈R,使ax2+2x-1s0”,是否存在a∈R,使该命题的否定是真命题？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由。 解：“Vx∈R,ax2+2x1>0”是真命题 8a0,x2>Vx”的否定是( A.Vx>0.x2sVx B.x≤0，x2sVx C.3x>0.x2sVx D.3x≤0，x2≤x
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 基础巩固 1.已知命题 p:∀x∈R,x 2=5,则该命题的否定是( ) A.∀x∉R,x 2=5 B.∀x∈R,x 2≠5 C.∃x∈R,x 2=5 D.∃x∈R,x 2≠5 答案:D 2.命题“∃x∈{x|x>0},|x-1|=x-1”的否定是( ) A.∀x∈{x|x>0},|x-1|≠x-1 B.∀x∈{x|x>0},|x-1|=x-1 C.∃x∈{x|x>0},|x-1|≠x-1 D.∃x∉{x|x>0},|x-1|=x-1 答案:A 3.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( ) A.任意一个有理数的平方是有理数 B.任意一个无理数的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是无理数 答案:B 4.命题“∃m∈R,关于 x 的方程 x 2 -2mx-1=0 有实根”的否定是( ) A.∀m∈R,关于 x 的方程 x 2 -2mx-1=0 有实根 B.至多有一个实数 m,使关于 x 的方程 x 2 -2mx-1=0 有实根 C.∀m∈R,关于 x 的方程 x 2 -2mx-1=0 无实根 D.∃x∈R,关于 x 的方程 x 2 -2mx-1=0 无实根 答案:C 5.设命题 p:∃n∈N,n 2>2 n ,则 p 的否定为( ) A.∀n∈N,n 2>2 n B.∃n∈N,n 2≤2n C.∀n∈N,n 2≤2n D.∃n∈N,n 2=2 n 答案:C 解析:因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,p(x)”,所以命题“∃n∈N,n 2>2 n ”的否定是“∀n∈ N,n 2≤2n ”.故选 C. 6.已知命题“∃x∈R,使 ax2+2x-1≤0”,是否存在 a∈R,使该命题的否定是真命题?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:∵“∀x∈R,ax2+2x-1>0”是真命题, ∴{ 𝑎 > 0, 4 + 4𝑎 0,x 2>√𝑥”的否定是( ) A.∀x>0,x 2≤√𝑥 B.∀x≤0,x 2≤√𝑥 C.∃x>0,x 2≤√𝑥 D.∃x≤0,x 2≤√𝑥
答案：C 2.(多选题)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有() A3r∈R2-x+20 B.所有的正方形都是矩形 C.3x∈R,x2+2xr+2s0 D.至少有一个实数.使x3+1=0 答案：AC 解析：命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为 真命题，即原命题为假命题.又D为真命题，故选AC 3命题“实数都能写成小数的形式”的否定是() A至少有一个实数不能写成小数的形式 B.至少有一个实数能写成小数的形式 C.至多有一个实数不能写成小数的形式 D.实数都不能写成小数的形式 答案：A 4.己知命题对任意一个实数x,mx2+1”的否定是真命题，则m的取值范围是 答案：m心1 解析：该命题的否定是：存在一个实数x,m=x2+1,且为真命题.因为x2+1≥1，所以m心1. 挑战创新 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题写出它们的否定，并判断命题的否定的真 假 (1)矩形的对角线互相垂直； (2)存在一个集合，它的子集个数是2： (3)Ha,b∈R,关于x的方程ax=b有唯一解 解(1)全称量词命题；否定为：有些矩形的对角线不互相垂直；真命题(2)存在量词命题；否定为 任何集合的子集个数都不是2；假命题.(3)全称量词命题，否定为：门a,b∈R,关于x的方程ar=b 的解不存在或至少有2个：真命题
答案:C 2.(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有( ) A.∃x∈R,x 2 -x+1 4 <0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R,x 2+2x+2≤0 D.至少有一个实数,使 x 3+1=0 答案:AC 解析:命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除 B.再根据命题的否定为 真命题,即原命题为假命题.又 D 为真命题,故选 AC. 3.命题“实数都能写成小数的形式”的否定是( ) A.至少有一个实数不能写成小数的形式 B.至少有一个实数能写成小数的形式 C.至多有一个实数不能写成小数的形式 D.实数都不能写成小数的形式 答案:A 4.已知命题“对任意一个实数 x,m≠x 2+1”的否定是真命题,则 m 的取值范围是 . 答案:m≥1 解析:该命题的否定是:存在一个实数 x,m=x2+1,且为真命题.因为 x 2+1≥1,所以 m≥1. 挑战创新 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.写出它们的否定,并判断命题的否定的真 假. (1)矩形的对角线互相垂直; (2)存在一个集合,它的子集个数是 2; (3)∀a,b∈R,关于 x 的方程 ax=b 有唯一解. 解:(1)全称量词命题;否定为:有些矩形的对角线不互相垂直;真命题.(2)存在量词命题;否定为: 任何集合的子集个数都不是 2;假命题.(3)全称量词命题;否定为:∃a,b∈R,关于 x 的方程 ax=b 的解不存在或至少有 2 个;真命题