第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 基础巩固 1.若函数y=fx)的定义域M={x-2s2},值域为N={0s2;,则函数y=fx)的图象可能是 () 答案B 解析：A中定义域是{x-2s≤0}，不是M={x-2s≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是 N=(y05y<2) 2.(多选题)下列各组函数表示的不是同一个函数的有 () A)-2r+7,g)-249 2x-.7 Bx)=1,gx)=x° Cnx)=2xl.g(x)=V4x2 Dx)=(Vx)4+1,gx)=x2+1 答案：ABD 解析对于A-2x+7x∈R)与89-2x+7(x+)的定义线不同，所以不是同一个函 数； 对于B,x)=1(x∈R)与g(x)=x°-1（≠0）的定义域不同，所以不是同一个函数； 对于C,x)=2x(x∈R)与g(x)=V4x2=2x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一 个函数； 对于D,x)=(V)4+1=x2+1(x20)与g(x)=x2+1(x∈R)的定义域不同，所以不是同一个函数.故选 ABD. 3.已知函数)-云的定义域为M,g)-Vx+2的定义域为N则MW-() A.{x2-2} B.{x-2sx<2} C.{x-2<x<2} D.(xx<2) 答案B 解析：函数几x)的定义域为{xx<2;,gx)的定义域为{xx2-2},从而M={xr<2),N={x2-2, 所以M∩W={x-2sr<2} 4.己知等腰三角形ABC的周长为10，且底边长y关于腰长x的函数关系式为y=10-2x,则此函 数的定义域为 () A.R
第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 基础巩固 1.若函数 y=f(x)的定义域 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图象可能是 ( ) 答案:B 解析:A 中定义域是{x|-2≤x≤0},不是 M={x|-2≤x≤2},C 中图象不表示函数关系,D 中值域不是 N={y|0≤y≤2}. 2.(多选题)下列各组函数表示的不是同一个函数的有 ( ) A.f(x)=2x+7,g(x)= 4𝑥 2 -49 2𝑥-7 B.f(x)=1,g(x)=x0 C.f(x)=|2x|,g(x)=√4𝑥 2 D.f(x)=(√𝑥) 4+1,g(x)=x2+1 答案:ABD 解析:对于 A,f(x)=2x+7(x∈R)与 g(x)= 4𝑥 2 -49 2𝑥-7 =2x+7(𝑥 ≠ 7 2 )的定义域不同,所以不是同一个函 数; 对于 B,f(x)=1(x∈R)与 g(x)=x0=1(x≠0)的定义域不同,所以不是同一个函数; 对于 C,f(x)=|2x|(x∈R)与 g(x)=√4𝑥 2=|2x|(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一 个函数; 对于 D,f(x)=(√𝑥) 4+1=x2+1(x≥0)与 g(x)=x2+1(x∈R)的定义域不同,所以不是同一个函数.故选 ABD. 3.已知函数 f(x)= 1 √2-𝑥 的定义域为 M,g(x)=√𝑥 + 2的定义域为 N,则 M∩N=( ) A.{x|x≥-2} B.{x|-2≤x<2} C.{x|-2<x<2} D.{x|x<2} 答案:B 解析:函数 f(x)的定义域为{x|x<2},g(x)的定义域为{x|x≥-2},从而 M={x|x<2},N={x|x≥-2}, 所以 M∩N={x|-2≤x<2}. 4.已知等腰三角形 ABC 的周长为 10,且底边长 y 关于腰长 x 的函数关系式为 y=10-2x,则此函 数的定义域为 ( ) A.R
B.{x0) C.{x00, ∴x10-2x,解得x “此函数的定义城为{x月<x<5} 5已知x)=a3是2(ab40),若-2)-2，则2)等于( A.-2 B.-4 C.-6 D.-10 答案：C 解析-2)-a(29分2=-8a号2=2∴80宁4 2)-a222=8a-22=6 6.函数y=√16-x2的值域是( A[0,+o) B.[0,4] C.[0,4) D.(0.4) 答案B 解析：因为0≤16-x2≤16，所以0<16-x2<4 7.若函数x)3x+平的定义域为P,则下列元素不属于P的是( ) x-2 A.2 B.-2 C.-1 D.-3 答案：A 解析要使画数)有意义，需有：3十7≥0， (x-2≠0. 解得≤程所以P=k≤子，且2 (x≠2， 8.己知函数y=x+1)的定义域是[-2,2]，则函数y=f2x-1)的定义域是( A[-5,3] B.-3,5] C.[0,2] D引 答案：C 解析：由题意得-2s≤2，则-1sx+1s3,于是-1≤2x-13,解得0s2 9.已知某山海拔7500m,海平面温度为25℃，如果气温是高度的函数，而且高度每升高100 m,温度就下降0.6℃，那么山中气温T随高度x变化的函数关系式为 ,其定义 域为 答案T-25品 [0,7500] 10.己知函数x)=x2+x-1. (求2)) (2)若x)=5,求x的值 解(02)-2+21=5（月）=京+1- a (2)fx)=x2+x-1=5
B.{x|x>0} C.{x|00, ∴x10-2x,解得 x>5 2 . ∴此函数的定义域为{𝑥 | 5 2 < 𝑥 < 5}. 5.已知 f(x)=ax3 - 𝑏 𝑥 -2(a,b≠0),若 f(-2)=2,则 f(2)等于( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-10 答案:C 解析:∵f(-2)=a·(-2)3 - 𝑏 -2 -2=-8a+𝑏 2 -2=2,∴8a- 𝑏 2 =-4, ∴f(2)=a·23 - 𝑏 2 -2=8a- 𝑏 2 -2=-6. 6.函数 y=√16-𝑥 2的值域是( ) A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4) 答案:B 解析:因为 0≤16-x 2≤16,所以 0≤√16-𝑥 2≤4. 7.若函数 f(x)= √-3𝑥+7 𝑥-2 的定义域为 P,则下列元素不属于 P 的是( ) A.2 B.-2 C.-1 D.-3 答案:A 解析:要使函数 f(x)有意义,需有{ -3𝑥 + 7 ≥ 0, 𝑥-2 ≠ 0, 解得{ 𝑥 ≤ 7 3 , 𝑥 ≠ 2, 所以 P={x|𝑥 ≤ 7 3 ,且 x≠2}. 8.已知函数 y=f(x+1)的定义域是[-2,2],则函数 y=f(2x-1)的定义域是( ) A.[-5,3] B.[-3,5] C.[0,2] D.[- 1 2 , 3 2 ] 答案:C 解析:由题意得-2≤x≤2,则-1≤x+1≤3,于是-1≤2x-1≤3,解得 0≤x≤2. 9.已知某山海拔 7 500 m,海平面温度为 25 ℃,如果气温是高度的函数,而且高度每升高 100 m,温度就下降 0.6 ℃,那么山中气温 T 随高度 x 变化的函数关系式为 ,其定义 域为 . 答案:T=25- 3 500x [0,7 500] 10.已知函数 f(x)=x2+x-1. (1)求 f(2),f( 1 𝑎 ); (2)若 f(x)=5,求 x 的值. 解:(1)f(2)=2 2+2-1=5,f( 1 𝑎 ) = 1 𝑎2 + 1 𝑎 -1= 1+𝑎-𝑎 2 𝑎2 . (2)∵f(x)=x2+x-1=5
∴x2+x-6=0, 解得x=2或x=-3. 11.已知函数y=V15-2x-x2的定义域为A,函数y=a-2x-x2的值域为B,全集为R,且(CR4)UB=R 求a的取值范围 解：由15-2x-x2≥0，解得-5s≤3， .A={x-5ss3}, ∴.CRA={xx3}: .'y=a-2x-x2=-(x+1)2+1+a1+a, ∴.B={ybyl+a. 由(CRA)UB=R得1+23，即a22 ∴a的取值范围是[2，+oo). 拓展提高 1.若函数x)=ax2-1,-1)=-1,则a的值为 A.1 B.0或1 C.-1 D.2 答案B 解析：由题意得-1)=a-(-1)2-1=a-1-1)=a(a-1)2-1=3-2a2+a-l=-1,即3-22+a=0,解得a=1 或a=0. 2.已知函数x)对任意实数xy,均有x+y)=x)+y)+1.若1)=2，则4)=() A.5 B.7 C.9 D.11 答案D 解析2)=1)+1)+1=5,4)=2)+2)+1=11. 3.己知函数x)=x3+ax2+bx+c,且09 答案C 解析：由-1)=-2)=-3)， 阳t8b+-88a23oe 即8ab16-0。 解得8=， 所以几-1)=c-6. 由0<c-6≤s3,解得6<c≤9.故选C 4已知函数-则+2)+付)3)+眉)4+份) 答案 解析国为九x)所以得）=x)+)=1,从而2H/)3))4得)1，即 f2)+f)+f3)+f)+f④)+f()-3,而1)2 故1)+2)+⑤+3)+/⑤+4)+目=子 5.己知函数y=Vmx2-6mx+m+8的定义域是R,求实数m的取值范围 解：①当m=0时y=V⑧，其定义域是R
∴x 2+x-6=0, 解得 x=2 或 x=-3. 11.已知函数 y=√15-2𝑥-𝑥 2的定义域为 A,函数 y=a-2x-x 2 的值域为 B,全集为 R,且(∁RA)∪B=R, 求 a 的取值范围. 解:由 15-2x-x 2≥0,解得-5≤x≤3, ∴A={x|-5≤x≤3}, ∴∁RA={x|x3}. ∵y=a-2x-x 2=-(x+1)2+1+a≤1+a, ∴B={y|y≤1+a}. 由(∁RA)∪B=R,得 1+a≥3,即 a≥2. ∴a 的取值范围是[2,+∞). 拓展提高 1.若函数 f(x)=ax2 -1,f(f(-1))=-1,则 a 的值为 ( ) A.1 B.0 或 1 C.-1 D.2 答案:B 解析:由题意得 f(-1)=a·(-1)2 -1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2 -1=a3 -2a 2+a-1=-1,即 a 3 -2a 2+a=0,解得 a=1 或 a=0. 2.已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y)+1.若 f(1)=2,则 f(4)=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 答案:D 解析:f(2)=f(1)+f(1)+1=5,f(4)=f(2)+f(2)+1=11. 3.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 09 答案:C 解析:由 f(-1)=f(-2)=f(-3), 得{ -1 + 𝑎-𝑏 + 𝑐 = -8 + 4𝑎-2𝑏 + 𝑐, -1 + 𝑎-𝑏 + 𝑐 = -27 + 9𝑎-3𝑏 + 𝑐, 即{ 3𝑎-𝑏-7 = 0, 4𝑎-𝑏-13 = 0, 解得{ 𝑎 = 6, 𝑏 = 11. 所以 f(-1)=c-6. 由 0<c-6≤3,解得 6<c≤9.故选 C. 4.已知函数 f(x)= 𝑥 2 1+𝑥 2 ,则 f(1)+f(2)+f( 1 2 )+f(3)+f( 1 3 )+f(4)+f( 1 4 )= . 答案: 7 2 解析:因为 f(x)= 𝑥 2 1+𝑥 2 ,所以 f( 1 𝑥 ) = 1 1+𝑥 2 ,f(x)+f( 1 𝑥 )=1,从而 f(2)+f( 1 2 )=f(3)+f( 1 3 )=f(4)+f( 1 4 )=1,即 [𝑓(2) + 𝑓 ( 1 2 )] + [𝑓(3) + 𝑓 ( 1 3 )] + [𝑓(4) + 𝑓 ( 1 4 )]=3,而 f(1)= 1 2 , 故 f(1)+f(2)+f( 1 2 )+f(3)+f( 1 3 )+f(4)+f( 1 4 ) = 7 2 . 5.已知函数 y=√𝑚𝑥 2-6𝑚𝑥 + 𝑚 + 8的定义域是 R,求实数 m 的取值范围. 解:①当 m=0 时,y=√8,其定义域是 R
②当m≠0时，由定义域为R可知，mr2-6x+m+8≥0对一切实数x均成立， 于是有.6m2.4mlm+8)s0 解得0<m1. 由①②可知，m∈[0,1]. 6.已知函数)= 品求函数的定义域并用区间表示 Vx+2 x+2≥0. 解要使函数有意义，应满足 6-2x≥0， v6-2x-1≠0， x≥-2 解得 x≤3， 解得-2s3,且4号 故画数的定义城为{x2≤x<,或<x≤3} 用区间可表示为2)U(传，3 挑战创新 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式yπ（会）来描述 解由于)一π（货=六，这是一个二次函数，共定义城为R值城为0，回 对应关系∫是把R中的任意一个实数x对应到函数值的取值集合中唯一喷定的数 如果对变量x的取值范围作出限制，令x∈(0，+∞)，那么可构建如下情境： 知果一个圆的周长为玉它的面积为那么)一（货） 其中x的取值范围是A=(0,+0)y的取值范围是B=(0,+0) 2 对应关系∫是把每一个圆的周长x,对应到唯一确定的面积π ()(答案不唯一)
②当 m≠0 时,由定义域为 R 可知,mx2 -6mx+m+8≥0 对一切实数 x 均成立, 于是有{ 𝑚 > 0, (-6𝑚) 2 -4𝑚(𝑚 + 8) ≤ 0, 解得 0<m≤1. 由①②可知,m∈[0,1]. 6.已知函数 f(x)= √𝑥+2 √6-2𝑥-1 ,求函数的定义域,并用区间表示. 解:要使函数有意义,应满足{ 𝑥 + 2 ≥ 0, 6-2𝑥 ≥ 0, √6-2𝑥-1 ≠ 0, 解得{ 𝑥 ≥ -2, 𝑥 ≤ 3, 𝑥 ≠ 5 2 , 解得-2≤x≤3,且 x≠ 5 2 , 故函数的定义域为{𝑥 |-2 ≤ 𝑥 < 5 2 ,或 5 2 < 𝑥 ≤ 3}. 用区间可表示为[-2, 5 2 ) ∪ ( 5 2 ,3]. 挑战创新 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式 y=π·( 𝑥 2π ) 2 来描述. 解:由于 y=π·( 𝑥 2π ) 2 = 1 4π x 2 ,这是一个二次函数,其定义域为 R,值域为[0,+∞). 对应关系 f 是把 R 中的任意一个实数 x,对应到函数值的取值集合中唯一确定的数 1 4π x 2 . 如果对变量 x 的取值范围作出限制,令 x∈(0,+∞),那么可构建如下情境: 如果一个圆的周长为 x,它的面积为 y,那么 y=π·( 𝑥 2π ) 2 . 其中 x 的取值范围是 A=(0,+∞),y 的取值范围是 B=(0,+∞). 对应关系 f 是把每一个圆的周长 x,对应到唯一确定的面积 π·( 𝑥 2π ) 2 .(答案不唯一)