《高中数学》全程设计训练题库（A版必修第一册，课后习题，含答案）第五章 三角函数_5.3 第2课时 三角函数的诱导公式五~六

第2课时」 三角函数的诱导公式五~六 基础巩固 1.已知sin0-号则cos450°+0)的值是() 答案B 解析：c0s(450°+0)=c0s90°+0=-sin0=号 2(多选题)下列与c0s(?-0)的值相等的是( A.sin(π-) B.sin(π+0) C.cos(-0) D.cos(+0) 答案BD 解析：cos(.o）-cos(r+罗.0）-cos(行0）-sin0 而sin(π-0)=sin0,sin(π+0=-sin0, cos(g-0)=sin0,cos(5+0）=-sin0,故选BD 3.已知cos(c-)=子则sin(任+a)的值为 A B.2 c D 答案：C 解析sim(?+a)-sin竖-（任-a]-cos(任-a-cos(a)= 4若)=3-sin(假+x刘os(x）,则用) A号 B明 c号 D 答案B 解析“x)3-sin(侵+x)cos(x)-3+cos xsin 月)-3+eoin-3号x号-子 5化简sin(a+》os(a:)tan传-a)的结果是( A.1 B.sin'a C.-cosa D-1 答案：C 解析：国为sin(a+)--cosa.cos(a）-cos[+(任a）]-sina tam传-a)=如- cos(-a) sina 所以原式=cosa-sina)os sina =-cOS-a 故选C 6.化简sin2(4+45°)+sin2(4-45)的结果是 答案：1 解析：原式=sin2(4+45)+sin2(45°-A)=sin2(A+45)+cos2(A+45)=1. 7.己知锐角a终边上一点P的坐标是(2sin2,-2cos2),则a等于 答案2号 解析cosa 2sin2 =sin 2. J(2sin2)2+(-2cos2)2 “a为锐角，且cosa=sin(传+a)a=-2号

第 2 课时 三角函数的诱导公式五~六 基础巩固 1.已知 sin θ= 1 5 ,则 cos(450°+θ)的值是( ) 答案:B 解析:cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin θ=- 1 5 . 2.(多选题)下列与 cos( 3π 2 -𝜃)的值相等的是( ) A.sin(π-θ) B.sin(π+θ) C.cos( π 2 -𝜃) D.cos( π 2 + 𝜃) 答案:BD 解析:cos( 3π 2 - 𝜃)=cos(π + π 2 - 𝜃)=-cos π 2 -θ =-sin θ, 而 sin(π-θ)=sin θ,sin(π+θ)=-sin θ, cos( π 2 -𝜃)=sin θ,cos( π 2 + 𝜃)=-sin θ,故选 BD. 3.已知 cos(𝛼- π 4 ) = 1 3 ,则 sin( π 4 + 𝛼)的值为( ) A.2√2 3 B.- 2√2 3 C.1 3 D.- 1 3 答案:C 解析:sin( π 4 + 𝛼)=sin[ π 2 - ( π 4 -𝛼)]=cos( π 4 -𝛼)=cos(𝛼- π 4 ) = 1 3 . 4.若 f(x)=3-sin( π 2 + 𝑥)cos(𝑥- 3π 2 ),则 f( π 4 )=( ) A.11 4 B.7 2 C.13 4 D.5 2 答案:B 解析:∵f(x)=3-sin( π 2 + 𝑥)cos(𝑥- 3π 2 )=3+cos xsin x, ∴f( π 4 )=3+cos π 4 sinπ 4 =3+ √2 2 × √2 2 = 7 2 . 5.化简 sin(𝛼 + π 2 )cos(𝛼- 3π 2 )tan( π 2 -𝛼)的结果是( ) A.1 B.sin2α C.-cos2α D.-1 答案:C 解析:因为 sin(𝛼 + π 2 )=cos α,cos(𝛼- 3π 2 )=cos π+ π 2 -α =-sin α, tan( π 2 -𝛼) = sin( π 2 -𝛼) cos( π 2 -𝛼) = cos𝛼 sin𝛼 , 所以原式=cos α(-sin α)·cos𝛼 sin𝛼 =-cos2α. 故选 C. 6.化简 sin2 (A+45°)+sin2 (A-45°)的结果是 . 答案:1 解析:原式=sin2 (A+45°)+sin2 (45°-A)=sin2 (A+45°)+cos2 (A+45°)=1. 7.已知锐角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则 α 等于 . 答案:2- π 2 解析:cos α= 2sin2 √(2sin2) 2+(-2cos2) 2 =sin 2, ∵α 为锐角,且 cos α=sin( π 2 + 𝛼),∴α=2- π 2

sin(乎+a)cos(a 8.化简 sin(?-a)eo9+a】 答案-1 解析原式孕+oo仔 (-cosa)sina1. sin(-a)sina cosasina 9.己知sina是方程5x2.7x-6=0的根，且角a为第三象限角，求- na+)sina)tan2(2n-a)tan(n-a) cosT-a))cos(+a】 的值 解国为5-7x6-0的两根分别为-2，=号所以sina=号 又角a为第三象限角， 所以cosa-V-sin2a-号所以tana-是 故原式I-sgX-cos2 tan a- sina(-sina) 10.已知函数a sin(a-)cos(a)tan(2n-a) tan(a+)sin(a+it) (1)化简： (2若@a+)-昌且平c受求+a+)的值， (3)若a+)-2a,求a:(a+》的值 (1)--cosasina(-tana)cos a tana(-sina) (2Ma+}-os(a+)-sina因为a(a+)号所以cssin言可得(sina--是 受得cssin所以aa+)sina-6osa- 2 (3)由(2)得(+)=sina又(a+)-2a,即为sina=-2cosa联立sin㎡a+cos2a=l,解得 cosa号所以aa+)--sin-2cosa号 拓展提高 1.若角A,B,C是△ABC的三个内角，则下列等式一定成立的是( A.cos(4+B)=cos C B.sin(+B)=-sin C C.coC-sin B D.sinCco 答案D 解析：，A+B+C=元，∴.A+B=元-C, ∴cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,故A,B项中等式不成立； :A+C-元B,告=盟 ∴co生-c0(侣)sin唱故C项中等式不成主 ,B+C=π-A,∴.sin -sn作到e0号故D项中等式成立 2若sin(r+a)+cos(侣+a)-m,则cos(受-a)+2sin2m-的值为( ) A号 B受 c受 D受 答案：C 解析：sin(r+a+cos爱+a=-sina-sina=-m,∴.sina-2

8.化简: sin( 15π 2 +𝛼)cos(𝛼- π 2 ) sin( 9π 2 -𝛼)cos( 3π 2 +𝛼) = . 答案:-1 解析:原式= sin( 3π 2 +𝛼)cos( π 2 -𝛼) sin( π 2 -𝛼)sin𝛼 = (-cos𝛼)sin𝛼 cos𝛼sin𝛼 =-1. 9.已知 sin α 是方程 5x 2 -7x-6=0 的根,且角 α 为第三象限角,求 sin(𝛼+ 3π 2 )sin( 3π 2 -𝛼)tan 2 (2π-𝛼)tan(π-𝛼) cos( π 2 -𝛼)cos( π 2 +𝛼) 的值. 解:因为 5x 2 -7x-6=0 的两根分别为 x1=2,x2=- 3 5 ,所以 sin α=- 3 5 . 又角 α 为第三象限角, 所以 cos α=-√1-sin 2𝛼=- 4 5 .所以 tan α= 3 4 . 故原式= (-cos𝛼)(-cos𝛼)tan 2𝛼(-tan𝛼) sin𝛼(-sin𝛼) =tan α= 3 4 . 10.已知函数 f(α)= sin(𝛼- π 2 )cos( 3π 2 +𝛼)tan(2π-𝛼) tan(𝛼+π)sin(𝛼+π) . (1)化简 f(α); (2)若 f(α)·f(𝛼 + π 2 )=- 1 8 ,且 5π 4 ≤α≤ 3π 2 ,求 f(α)+f(𝛼 + π 2 )的值; (3)若 f(𝛼 + π 2 )=2f(α),求 f(α)·f α+ π 2 的值. 解:(1)f(α)= -cos𝛼sin𝛼(-tan𝛼) tan𝛼(-sin𝛼) =-cos α. (2)f(𝛼 + π 2 )=-cos(𝛼 + π 2 )=sin α,因为 f(α)·f(𝛼 + π 2 )=- 1 8 ,所以 cos αsin α= 1 8 ,可得(sin α-cos α) 2= 3 4 , 由 5π 4 ≤α≤ 3π 2 ,得 cos α≥sin α,所以 f(α)+f(𝛼 + π 2 )=sin α-cos α=- √3 2 . (3)由(2)得 f(𝛼 + π 2 )=sin α,又 f(𝛼 + π 2 )=2f(α),即为 sin α=-2cos α,联立 sin2α+cos2α=1,解得 cos2α= 1 5 ,所以 f(α)·f(𝛼 + π 2 )=-sin αcos α=2cos2α= 2 5 . 拓展提高 1.若角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,则下列等式一定成立的是( ) A.cos(A+B)=cos C B.sin(A+B)=-sin C C.cos𝐴+𝐶 2 =sin B D.sin𝐵+𝐶 2 =cos 𝐴 2 答案:D 解析:∵A+B+C=π,∴A+B=π-C, ∴cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,故 A,B 项中等式不成立; ∵A+C=π-B,∴ 𝐴+𝐶 2 = π-𝐵 2 , ∴cos 𝐴+𝐶 2 =cos( π 2 - 𝐵 2 )=sin𝐵 2 ,故 C 项中等式不成立; ∵B+C=π-A,∴sin𝐵+𝐶 2 =sin( π 2 - 𝐴 2 )=cos 𝐴 2 ,故 D 项中等式成立. 2.若 sin(π+α)+cos( π 2 + 𝛼)=-m,则 cos( 3π 2 -𝛼)+2sin(2π-α)的值为( ) A.- 2𝑚 3 B.2𝑚 3 C.- 3𝑚 2 D.3𝑚 2 答案:C 解析:∵sin(π+α)+cos( π 2 + 𝛼)=-sin α-sin α=-m,∴sin α= 𝑚 2

∴cos(侵）+2sin2--sin-2sina-3sina= 3(多选题)定义：角0与角p都是任意角，若满足0+0则称0与p“广义互余”.已知 sin(π+a)=子则下列角B中，可能与角a广义互余”的是( ) AsB平 B.codx+A号 C.tan B=V15 D.tan B-V15 5 答案：AC 解析国为sinr+a=-sina-号所以sina号 若角B与角“广义互余”，则B+a=受所以B=子a 所以sinB=sin(行-a)-cosa=±V1-sina-± A cosB-cos(传-a）-sina2 c0π+f)=-c0sB=是 tan B-sing cosB 西， 所以选项AC符合条件.故选AC 4.sin21°+sin22°+..+sin288°+sin289°= 答案翌 解析原式-(sim21+sin289)+sin2°+sim288)++(sinm24+sim246)+sim45°=4+号=2 5.给出下列三个结论，其中正确的是」 (填序号)， ①cos(侵+a网-sina成立的条件是角a是锐角： 1 ②若sin(传-a=则cosa 国若受ke刀，则ta传+a)-品 答案：②③ 解析由诱导公式六，知当a∈R时，cos(受+o)-sina所以①中结论错误； 由诱导公式五，知sim(侵--c0sa号所以②中结论正确 若受kEZ,剥m+)-铝-器立所以国中结论正碗 cos(+a)-sina tana' 6.己知fa) tan(-a)cos(2n-a)sin(a) cos(-a-m) (I)化简： 2)若径a小-是且角a是第二象限角，求tana 解1画ee2g仔担-guna cos(-a-T) -cosa (2)(1及题意知侣-d）-sin传-a）-是得cosa=是 又角a是第二象限角，所以sina=V1-cos2a=号 则ama二-手

∴cos( 3π 2 -𝛼)+2sin(2π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=- 3𝑚 2 . 3.(多选题)定义:角 θ 与角 φ 都是任意角,若满足 θ+φ= π 2 ,则称 θ 与 φ“广义互余”.已知 sin(π+α)=- 1 4 ,则下列角 β 中,可能与角 α“广义互余”的是( ) A.sin β= √15 4 B.cos(π+β)= 1 4 C.tan β=√15 D.tan β= √15 5 答案:AC 解析:因为 sin(π+α)=-sin α=- 1 4 ,所以 sin α= 1 4 . 若角 β 与角 α“广义互余”,则 β+α= π 2 ,所以 β= π 2 -α. 所以 sin β=sin( π 2 -𝛼)=cos α=±√1-sin 2𝛼=± √15 4 , cos β=cos( π 2 -𝛼)=sin α= 1 4 , cos(π+β)=-cos β=- 1 4 , tan β= sin𝛽 cos𝛽 = ± √15 4 1 4 =±√15, 所以选项 AC 符合条件.故选 AC. 4.sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°= . 答案: 89 2 解析:原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°=44+ 1 2 = 89 2 . 5.给出下列三个结论,其中正确的是 (填序号). ①cos( π 2 + 𝛼)=-sin α 成立的条件是角 α 是锐角; ②若 sin( π 2 -𝛼) = 1 3 ,则 cos α= 1 3 ; ③若 α≠ 𝑘π 2 (k∈Z),则 tan( π 2 + 𝛼)=- 1 tan𝛼 . 答案:②③ 解析:由诱导公式六,知当 α∈R 时,cos π 2 +α =-sin α,所以①中结论错误; 由诱导公式五,知 sin( π 2 -𝛼)=cos α= 1 3 ,所以②中结论正确; 若 α≠ 𝑘π 2 (k∈Z),则 tan( π 2 + 𝛼) = sin( π 2 +𝛼) cos( π 2 +𝛼) = cos𝛼 -sin𝛼 =- 1 tan𝛼 ,所以③中结论正确. 6.已知 f(α)= tan(π-𝛼)cos(2π-𝛼)sin( π 2 +𝛼) cos(-𝛼-π) . (1)化简 f(α); (2)若 f( π 2 -𝛼)=- 3 5 ,且角 α 是第二象限角,求 tan α. 解:(1)f(α)= tan(π-𝛼)cos(2π-𝛼)sin( π 2 +𝛼) cos(-𝛼-π) = -tan𝛼cos𝛼cos𝛼 -cos𝛼 =sin α. (2)由(1)及题意知 f( π 2 -𝛼)=sin( π 2 -𝛼)=- 3 5 ,得 cos α=- 3 5 , 又角 α 是第二象限角,所以 sin α=√1-cos 2𝛼 = 4 5 , 则 tan α= sin𝛼 cos𝛼 =- 4 3

挑战创新 是否存在角af,且a∈（受》，B∈(0，m,使等式sin(3m-@=V2cos(侵-p),v3cos(-a= V2cos(π+)同时成立？若存在，求出角aB的值；若不存在，请说明理由. 解存在a平B满足条件，理由如下 由条件，得sina=V2sinB,① (V3cosa=V2cosB..② ①2+②2，得sin2a+3cos2a=2,③ 又因为sin2a+cos2a=1,④ 由③④得sina 即na号 因为a∈（臣》所以a或a=是 当a-对，代入②得cosB号 又B∈(0，)，所以B若代入①可知符合. 当a-时，代入②得cosB9 又B∈(0，，得B-代入①可知，不符合 综上可知，a平B号

挑战创新 是否存在角 α,β,且 α∈(- π 2 , π 2 ),β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)=√2cos( π 2 -𝛽) ,√3cos(-α)=- √2cos(π+β)同时成立?若存在,求出角 α,β 的值;若不存在,请说明理由. 解:存在 α= π 4 ,β= π 6满足条件,理由如下: 由条件,得{ sin𝛼 = √2sin𝛽, √3cos𝛼 = √2cos𝛽. ① ② ①2+②2 ,得 sin2α+3cos2α=2,③ 又因为 sin2α+cos2α=1,④ 由③④得 sin2α= 1 2 , 即 sin α=± √2 2 , 因为 α∈(- π 2 , π 2 ),所以 α= π 4或 α=- π 4 . 当 α= π 4时,代入②得 cos β= √3 2 , 又 β∈(0,π),所以 β= π 6 ,代入①可知符合. 当 α=- π 4时,代入②得 cos β= √3 2 , 又 β∈(0,π),得 β= π 6 ,代入①可知,不符合. 综上可知,α= π 4 ,β= π 6