5.5.2简单的三角恒等变换 基础巩固 1.已知cosa-号a∈（受，2m),则sin等于 () A罗 B..v1o 5 C.2v 5 D 答案：A 解桥ae(侵，2me(堡 sin=、 -cog= 5 2设a20s60.马i 2in6°，b=2sin13cos13°，c= -cos50°，则有( 2 A.c0)上的函数)in co的值域是2则a的最大值与 最小值之和为( A号 B.元 c罗 D.2π 答案D 解析x)2 in xco-sim(x引 3 因为x∈[a,bb>a,所以x号e[a-号，b- 根据题意，不妨令a- 则be[匠，所以b-a的最大值M召-（)=织最小值m=2-()=受 所以M+m=2元 5.己知25sin2x+sinx-24=0,x是第二象限角，则cos的值为 答案或
5.5.2 简单的三角恒等变换 基础巩固 1.已知 cos α= 1 5 ,α∈( 3π 2 ,2π),则 sin𝛼 2等于( ) A.√10 5 B.- √10 5 C.2√6 5 D.2√5 5 答案:A 解析:∵α∈( 3π 2 ,2π),∴ 𝛼 2 ∈ ( 3π 4 ,π), sin𝛼 2 = √ 1-cos𝛼 2 = √10 5 . 2.设 a= 1 2 cos 6°- √3 2 sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=√ 1-cos50° 2 ,则有( ) A.ca)上的函数 f(x)= 1 2 sin x- √3 2 cos x 的值域是[- 1 2 ,1],则 b-a 的最大值与 最小值之和为( ) A.π 2 B.π C.5π 3 D.2π 答案:D 解析:f(x)= 1 2 sin x- √3 2 cos x=sin(𝑥- π 3 ), 因为 x∈[a,b](b>a),所以 x- π 3 ∈ [𝑎- π 3 ,𝑏- π 3 ], 根据题意,不妨令 a- π 3 =- π 6 , 则 b- π 3 ∈ [ π 2 , 7π 6 ],所以 b-a 的最大值 M=7π 6 − (- π 6 ) = 4π 3 ,最小值 m= π 2 − (- π 6 ) = 2π 3 , 所以 M+m=2π. 5.已知 25sin2 x+sin x-24=0,x 是第二象限角,则 cos 𝑥 2的值为 . 答案: 3 5 或- 3 5
解析：由题意，知(25sinx-24)(sinx+1)=0,因为x是第二象限角，所以三是第一或第三象限角，sin 6.函数fx)=2cosx+sinx的最大值为 答案V5 解析)-2 c+in5(cos+9snx】 设na-25casa-S时-5ngt@ 故函数fx)=2cosx+sinx的最大值为V5. 7.求证：tan登tan= 2sinx 2 cosx+cos2x 证明：左边=tan 2-tan sin鈣 sint _sin头cos子cos头吃sin经引 sinx 2 3x cos cos牙0s吃 3文 coScos coso 2sinx 2sinx co停引+cos+Ts+o =右边」 原等式成立 拓展提高 1若c0sa-a是第三象限的角，则+tm兰等于 1-tan A月 B吃 C.2 D.-2 答案：A 解析：角a是第三象限角，c0sa=号 ∴sina=ta吃-e 1+cosa 3 .1ttang 131 1-tan号 =+32 cos0-器子0则an等刊 2.已知sin0-m-3 ) A号 B.5 C.-5或 D.或5 答案B 解桥由sm0os0=1,得（号）'+(=)-1，解得m=0支m=8,当m0时，s如00，与0x 矛盾 六含去m=0m=8,5n0-品cos0=号 12 ta唱=2=18-5 3.函数x)=cos2x的单调递减区间为( Akm+zkπ+T,k∈Z B.[kmkm+k∈Z C.++Z D.[km-平，km+别，k∈Z 答案B 解析)=心osx+2os2x令2S22k+k∈☑，解得Sk∈，所以函数 )=cos2x的单调递减区间为L,km+(k∈)
解析:由题意,知(25sin x-24)(sin x+1)=0,因为 x 是第二象限角,所以𝑥 2是第一或第三象限角,sin x= 24 25,cos x=- 7 25,故 cos 𝑥 2 =±√ 1+cos𝑥 2 =± 3 5 . 6.函数 f(x)=2cos x+sin x 的最大值为 . 答案:√5 解析:f(x)=2cos x+sin x=√5 ( 2√5 5 cos𝑥 + √5 5 sin𝑥), 设 sin α= 2√5 5 ,cos α= √5 5 ,则 f(x)=√5sin(x+α), 故函数 f(x)=2cos x+sin x 的最大值为√5. 7.求证:tan3𝑥 2 -tan𝑥 2 = 2sin𝑥 cos𝑥+cos2𝑥 . 证明:∵左边=tan3𝑥 2 -tan𝑥 2 = sin3𝑥 2 cos 3𝑥 2 − sin𝑥 2 cos 𝑥 2 = sin3𝑥 2 cos 𝑥 2 -cos 3𝑥 2 sin𝑥 2 cos 3𝑥 2 cos 𝑥 2 = sin( 3𝑥 2 - 𝑥 2 ) cos 3𝑥 2 cos 𝑥 2 = sin𝑥 cos 3𝑥 2 cos 𝑥 2 = 2sin𝑥 cos( 3𝑥 2 - 𝑥 2 )+cos( 3𝑥 2 + 𝑥 2 ) = 2sin𝑥 cos𝑥+cos2𝑥 =右边, ∴原等式成立. 拓展提高 1.若 cos α=- 4 5 ,α 是第三象限的角,则 1+tan𝛼 2 1-tan𝛼 2 等于 ( ) A.- 1 2 B.1 2 C.2 D.-2 答案:A 解析:∵角 α 是第三象限角,cos α=- 4 5 , ∴sin α=- 3 5 ,∴tan𝛼 2 = sin𝛼 1+cos𝛼 = - 3 5 1- 4 5 =-3, ∴ 1+tan𝛼 2 1-tan𝛼 2 = 1-3 1+3 =- 1 2 . 2.已知 sin θ= 𝑚-3 𝑚+5 ,cos θ= 4-2𝑚 𝑚+5 , π 2 <θ<π,则 tan𝜃 2等于( ) A.- 1 3 B.5 C.-5 或 1 3 D.- 1 3或 5 答案:B 解析:由 sin2θ+cos2θ=1,得( 𝑚-3 𝑚+5 ) 2 + ( 4-2𝑚 𝑚+5 ) 2 =1,解得 m=0 或 m=8,当 m=0 时,sin θ<0,与 π 2 <θ<π 矛盾. ∴舍去 m=0.∴m=8,sin θ= 5 13,cos θ=- 12 13, ∴tan𝜃 2 = 1-cos𝜃 sin𝜃 = 1+ 12 13 5 13 =5. 3.函数 f(x)=cos2 x 的单调递减区间为( ) A.[𝑘π + π 2 ,𝑘π+ π],k∈Z B.[𝑘π,𝑘π + π 2 ],k∈Z C.[𝑘π + π 4 ,𝑘π + 3π 4 ],k∈Z D.[𝑘π- π 4 ,𝑘π + π 4 ],k∈Z 答案:B 解析:f(x)=cos2 x= 1 2 + 1 2 cos 2x,令 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),解得 kπ≤x≤kπ+ π 2 (k∈Z),所以函数 f(x)=cos2 x 的单调递减区间为 kπ,kπ+ π 2 (k∈Z)
4已知a∈(o,》sin2a2则sin(a+) 答案号 解析：因为1-2sin2(a+)-cos(2a+)-sin2a=2所以sinm2(a+8)=子 因为ae(o,)所以a+e(低，) 所以sn(e+9)=是 5已知n(a+》sna-49子a0,则cs 答案瓷 解t桥.由已知得sino时osin好+sin aina是os ain(a+9 ∴sin(a+}号 又2a<0, ∴宁a培<器cos(a+)=影 cosa-coa+)-引=手x号+()×=3 10 6.sin220°+sin80°sin40°的值为 答案子 解析：原式=sin220°+sin(60°+20)sin(60°-20°) =sin220°+(sin60°cos20°+cos60°sin20)(sin60°cos20°-cos60°sin20°) =sin220°+sin260°cos220°-cos260°sin220° -sin220+o0s220in220° -子im20+20s320-是 挑战创新 已知函数x)-V3sin吃oo吃sin学+1 (1)求函数x)图象的对称轴： (2)求函数x)在区间[-元，0]上的最大值和最小值以及相应的x的值 解()由题意，画数=V厚si吃os吃sin学1nx+1-sin(x+)+令x+g-a& ∈Z刀)，整理得x=+k∈)，所以函数图象的对称轴为直线x=+k∈Z) ②)由()得)=sin(x+君)+号回为x∈，0L所以x+后≤则-1sn(x+月)≤号所以. 1,当x=孕时，函数x)取得最小值，最小值为宁当x0时，函数)取得最大值，最大值 为1
4.已知 α∈(0, π 2 ),sin 2α= 1 2 ,则 sin(𝛼 + π 4 )= . 答案: √3 2 解析:因为 1-2sin2(𝛼 + π 4 )=cos(2𝛼 + π 2 )=-sin 2α=- 1 2 ,所以 sin2(𝛼 + π 4 ) = 3 4 . 因为 α∈(0, π 2 ),所以 α+ π 4 ∈ ( π 4 , 3π 4 ). 所以 sin(𝛼 + π 4 ) = √3 2 . 5.已知 sin(𝛼 + π 3 )+sin α=- 4√3 5 ,- π 2 <α<0,则 cos α= . 答案: 3√3-4 10 解析:由已知得 sin αcos π 3 +cos αsinπ 3 +sin α= 3 2 sin α+ √3 2 cos α=√3sin(𝛼 + π 6 )=- 4√3 5 , ∴sin(𝛼 + π 6 )=- 4 5 . 又- π 2 <α<0, ∴- π 3 <α+ π 6 < π 6 ,∴cos(𝛼 + π 6 ) = 3 5 , ∴cos α=cos[(𝛼 + π 6 ) - π 6 ] = 3 5 × √3 2 + (- 4 5 ) × 1 2 = 3√3-4 10 . 6.sin220°+sin 80°sin 40°的值为 . 答案: 3 4 解析:原式=sin220°+sin(60°+20°)sin(60°-20°) =sin220°+(sin 60°cos 20°+cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°-cos 60°sin 20°) =sin220°+sin260°cos220°-cos260°sin220° =sin220°+ 3 4 cos220°- 1 4 sin220° = 3 4 sin220°+ 3 4 cos220°= 3 4 . 挑战创新 已知函数 f(x)=√3sin𝑥 2 cos 𝑥 2 -sin2 𝑥 2 +1. (1)求函数 f(x)图象的对称轴; (2)求函数 f(x)在区间[-π,0]上的最大值和最小值以及相应的 x 的值. 解:(1)由题意,函数 f(x)=√3sin𝑥 2 cos 𝑥 2 -sin2 𝑥 2 +1= √3 2 sin x- 1-cos𝑥 2 +1=sin(𝑥 + π 6 ) + 1 2 ,令 x+π 6 =kπ+ π 2 (k ∈Z),整理得 x=kπ+ π 3 (k∈Z),所以函数图象的对称轴为直线 x=kπ+ π 3 (k∈Z). (2)由(1)得 f(x)=sin(𝑥 + π 6 ) + 1 2 ,因为 x∈[-π,0],所以- 5π 6 ≤x+π 6 ≤ π 6 ,则-1≤sin(𝑥 + π 6 ) ≤ 1 2 ,所以- 1 2 ≤f(x)≤1,当 x=- 2π 3 时,函数 f(x)取得最小值,最小值为- 1 2 ;当 x=0 时,函数 f(x)取得最大值,最大值 为 1