第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 基础巩固 1.sin20°cos10°-cos160sin10°等于() A受 c D吱 答案D 解析：原式=sin20cos10°+c0s20°sin10°=sin30°号 2.sin0+sin(g+9)+sin(g+)的值为() A.0 B C.1 D.2 答案：A 解析原式-sin0+sn6eos号+sin号+sin智+cos6img-sin02in0+o 2 cos 0-sin 0 月as0-u 3已知cos(r+)-得a为锐角)，则sina( A22+9 B2吃3 C6+ D.3-V6 6 6 6 6 答案C 解析“cos(a+引-a为锐角 ∴sna+)=9 则sina=sinl(a+)-引 n(e+)-是e+) 故选C 4已知tan(a+f)an(c)=则tan(a+)的值为(） A易 B号 c品 D 答案：A 解析：国为a+(a+f)-(B) tan(a+B)-tan(B-) 21 5年 所以amQ+)=+aa+m0-月+x手是 5在△4BC中，若A-号osB-严则snC等于() 101 A B c D晋 答案：A 解析：sinC=sin[π-(A+B)】]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B cos B+1-cos-B)
第 2 课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 基础巩固 1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于( ) A.- √3 2 B.√3 2 C.- 1 2 D.1 2 答案:D 解析:原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°= 1 2 . 2.sin θ+sin(𝜃 + 2π 3 )+sin(𝜃 + 4π 3 )的值为( ) A.0 B.1 2 C.1 D.2 答案:A 解析:原式=sin θ+sin θcos 2π 3 +cos θsin2π 3 +sin θcos 4π 3 +cos θsin4π 3 =sin θ- 1 2 sin θ+ √3 2 cos θ- 1 2 sin θ- √3 2 cos θ=0. 3.已知 cos(𝛼 + π 3 )=- √3 3 (α 为锐角),则 sin α=( ) A.2√2+√3 6 B.2√2-√3 6 C.√6+3 6 D.3-√6 6 答案:C 解析:∵cos(𝛼 + π 3 )=- √3 3 (α 为锐角), ∴sin(𝛼 + π 3 ) = √6 3 , 则 sin α=sin[(𝛼 + π 3 ) - π 3 ] = 1 2 sin(𝛼 + π 3 ) − √3 2 cos(𝛼 + π 3 ) = 1 2 × √6 3 − √3 2 × (- √3 3 ) = 3+√6 6 . 故选 C. 4.已知 tan(α+β)= 2 5 ,tan(𝛽- π 4 ) = 1 4 ,则 tan(𝛼 + π 4 )的值为( ) A. 3 22 B.22 13 C.13 18 D.1 6 答案:A 解析:因为 α+ π 4 =(α+β)-(𝛽- π 4 ), 所以 tan(𝛼 + π 4 ) = tan(𝛼+𝛽)-tan(𝛽- π 4 ) 1+tan(𝛼+𝛽)tan(𝛽- π 4 ) = 2 5 - 1 4 1+ 2 5 × 1 4 = 3 22. 5.在△ABC 中,若 A=π 4 ,cos B=√10 10 ,则 sin C 等于( ) A.2√5 5 B.- 2√5 5 C.√5 5 D.- √5 5 答案:A 解析:sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = √2 2 (cos B+√1-cos 2𝐵) = √2 2 × ( √10 10 + 3√10 10 )
9 6已知cosa-号sinB=音且a∈(0，)B∈(2,0)则sina等于(） A器 B c器 D 答案：A 解析：0<a受f<00<a-f<元 又cosa-1号 sin(a=1-cos(ar=美 “0smg-音cosB0 sin a-sin[(-B)-sin(a-B)cos B+cos(a-B)sin 65 7已知4B都是锐角，且m4宁nB号则4+ 、1 答案牙 解析：B为锐角，sinB 5 ∴casB-29m8-克 ..tan(+B)-tanA+tan 1 1-tanAtanB 1-3× :0<A+B<元A+B-号 &已知af∈（受，），sina+f=号sin(B》是则cos(a+) 答案碧 解析：af∈(，∴a+B∈(，2m)B-∈（侣） 又sin(a+)=是sin(e9)=贵 cosa+f0-1-sin2(a+历=美 cos(B-)--1-sirp(6-) cos(a+)--cosa+B卧-(e -cos(a+B)cos(B-+sin(@+B)sin(B-) ×()+(周)×号器 9已知am(保+d-2,则2 i+eoa的值为 答案月 解析：tan(任+a-2, :t-2,解得tana号 1-tana sin2a+cos2a _tan2a+1 2sinacosa+cos2a 2sinacosa+cos2a 2tana+1 2-3 拓展提高 1.函数)-=sin(x+)sim(x)是(
= 2√5 5 . 6.已知 cos(α-β)= 3 5 ,sin β=- 5 13,且 α∈(0, π 2 ),β∈(- π 2 ,0),则 sin α 等于( ) A.33 65 B.56 65 C.- 33 65 D.- 56 65 答案:A 解析:∵0<α< π 2 ,- π 2 <β<0,∴0<α-β<π. 又 cos(α-β)= 3 5 , ∴sin(α-β)=√1-cos 2(𝛼-𝛽) = 4 5 . ∵- π 2 <β<0,sin β=- 5 13,∴cos β= 12 13, ∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β= 33 65. 7.已知 A,B 都是锐角,且 tan A=1 3 ,sin B=√5 5 ,则 A+B= . 答案: π 4 解析:∵B 为锐角,sin B=√5 5 , ∴cos B=2√5 5 ,∴tan B=1 2 , ∴tan(A+B)= tan𝐴+tan𝐵 1-tan𝐴tan𝐵 = 1 3 + 1 2 1- 1 3 × 1 2 =1. ∵0<A+B<π,∴A+B=π 4 . 8.已知 α,β∈( 3π 4 , π),sin(α+β)=- 3 5 ,sin β- π 4 = 12 13,则 cos(𝛼 + π 4 )= . 答案:- 56 65 解析:∵α,β∈( 3π 4 ,π),∴α+β∈( 3π 2 ,2π),β- π 4 ∈ ( π 2 , 3π 4 ). 又 sin(α+β)=- 3 5 ,sin(𝛽- π 4 ) = 12 13, ∴cos(α+β)=√1-sin 2(𝛼 + 𝛽) = 4 5 , cos(𝛽- π 4 )=-√1-sin 2 (𝛽- π 4 )=- 5 13. ∴cos(𝛼 + π 4 )=cos[(𝛼 + 𝛽)- (𝛽- π 4 )] =cos(α+β)cos(𝛽- π 4 )+sin(α+β)sin(𝛽- π 4 ) = 4 5 × (- 5 13) + (- 3 5 ) × 12 13=- 56 65. 9.已知 tan( π 4 + 𝛼)=2,则 1 2sin𝛼cos𝛼+cos 2𝛼 的值为 . 答案: 2 3 解析:∵tan( π 4 + 𝛼)=2, ∴ 1+tan𝛼 1-tan𝛼 =2,解得 tan α= 1 3 . ∴ 1 2sin𝛼cos𝛼+cos 2𝛼 = sin 2𝛼+cos 2𝛼 2sin𝛼cos𝛼+cos 2𝛼 = tan 2𝛼+1 2tan𝛼+1 = 1 9 +1 2 3 +1 = 2 3 . 拓展提高 1.函数 f(x)=sin(𝑥 + π 4 )-sin(𝑥- π 4 )是( )
A周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数 答案B 解析：国为x)=sin(x+)-sin(x羽)--sin xcos平+cos xsinsin co平+cos sin吗=V2cosx,所以 函数)的最小正周期为二-2 A-x)=v2cos(-x)=v2cosx=Ax). 所以函数x)为偶函数 2.己知A,B,C为△ABC的内角.若2 cos Bsin A-=sinC,则△ABC的形状一定是() A等腰直角三角形B.直角三角形 C等腰三角形 D.等边三角形 答案：C 解析：因为2 cos Bsin A=sinC,所以2 cos Bsin A=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以cos BsinA-cos Asin B=O→sin(A-B)=0. 因为角A,B,C为△ABC的内角，所以A=B 故选C 3.在△ABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则角C的大小为() A B. 6 D.或 答案：A 3sinA+4cosB=6,① 解析 (3cosA+4sinB=1,② ①2+②2，得9+16+24sin(A+B)=37. ∴sin(A+B)月 在△4BC中，snCC-号浅C 1 6 6 若C-票得到4+B后则os4票 2 3cos4391 ∴.3cosA+4sinB>1与3cosA+4sinB=1矛盾， C+器角C的大小为号 4若tan a.tan是方程x2-3x-3-0的两个根，则加a+ cos(a-B) 答案昌 解析：由已知得，tana+tanB-3,tan atan B=-3, 则in(a+B sinacosB+cosasing tana+tang 3 cos(a-B) cosacosβ+sinasinB =器= 5.己知8cos(2a+f)+5cosB=0,且cos(a+f)cosa0,则tan(a+f)tana= 答案号 解析：，8cos(2a+f)+5cosB=8[cos(a+f)cosa-sin(a+B)sin a]+5[cos(a+p)cosa+sin(a+B)sin a]=13cos(a+p)cos a-3sin(a+B)sin a=0, .'.3sin(a+B)sin a=13cos(a+p)cos a 13 cos(a+B)cos at0,..tan(a+p)tan a=3 挑战剑新
A.周期为 π 的偶函数 B.周期为 2π 的偶函数 C.周期为 π 的奇函数 D.周期为 2π 的奇函数 答案:B 解析:因为 f(x)=sin(𝑥 + π 4 )-sin(𝑥- π 4 )=sin xcos π 4 +cos xsinπ 4 -sin xcos π 4 +cos xsinπ 4 = √2cos x,所以 函数 f(x)的最小正周期为2π 1 =2π. 又 f(-x)=√2cos(-x)=√2cos x=f(x), 所以函数 f(x)为偶函数. 2.已知 A,B,C 为△ABC 的内角.若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案:C 解析:因为 2cos Bsin A=sin C,所以 2cos Bsin A=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以 cos Bsin A-cos Asin B=0⇒sin(A-B)=0. 因为角 A,B,C 为△ABC 的内角,所以 A=B. 故选 C. 3.在△ABC 中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则角 C 的大小为( ) A.π 6 B.5π 6 C.π 6 或 5π 6 D.π 3 或 2π 3 答案:A 解析:{ 3sin𝐴 + 4cos𝐵 = 6,① 3cos𝐴 + 4sin𝐵 = 1,② ①2+②2 ,得 9+16+24sin(A+B)=37. ∴sin(A+B)= 1 2 . ∴在△ABC 中,sin C=1 2 ,∴C=π 6或 C=5π 6 . 若 C=5π 6 ,得到 A+B=π 6 ,则 cos A>√3 2 , ∴3cos A>3√3 2 >1. ∴3cos A+4sin B>1 与 3cos A+4sin B=1 矛盾, ∴C≠ 5π 6 ,∴角 C 的大小为π 6 . 4.若 tan α,tan β 是方程 x 2 -3x-3=0 的两个根,则 sin(𝛼+𝛽) cos(𝛼-𝛽) = . 答案:- 3 2 解析:由已知得,tan α+tan β=3,tan αtan β=-3, 则 sin(𝛼+𝛽) cos(𝛼-𝛽) = sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽 cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽 = tan𝛼+tan𝛽 1+tan𝛼tan𝛽 = 3 1+(-3) =- 3 2 . 5.已知 8cos(2α+β)+5cos β=0,且 cos(α+β)cos α≠0,则 tan(α+β)tan α= . 答案: 13 3 解析:∵8cos(2α+β)+5cos β=8[cos(α+β)cos α-sin(α+β)sin α]+5[cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α]=13cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α=0, ∴3sin(α+β)sin α=13cos(α+β)cos α. 又 cos(α+β)cos α≠0,∴tan(α+β)tan α= 13 3 . 挑战创新
己知函数x)-V3sin(ox+p)(一ω>0，p<受一的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个 最高点的距离为元 (1)求@和p的值： 2若)=(<a<),求os(a+)》 的值 解(1)因为几x)的图象上相邻两个最高点的距离为元， 所以x)的最小正周期T-元，从而0-2 又)的图象关于直线x对称， 所以2×空0=缸+2k∈Z 得p=km君k∈Z 由子9受得-0，所以=君 2)(1)得得=V3sin(2×号-)=县 所以sin(a)= 蛤a琴得0<ag<号所以co(a)=、1-sin2(a)=1-=四 国此cos(a+)-sina=sinl[(a-)+别 =sin(arg》cosg+cos(a-g}in哈 2 3+压 8
已知函数 f(x)=√3sin(ωx+φ)( ω>0,- π 2 ≤φ< π 2 )的图象关于直线 x= π 3对称,且图象上相邻两个 最高点的距离为 π. (1)求 ω 和 φ 的值; (2)若 f( 𝛼 2 ) = √3 4 ( π 6 < 𝛼 < 2π 3 ),求 cos(𝛼 + 3π 2 ) 的值. 解:(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π, 所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而 ω= 2π 𝑇 =2. 又 f(x)的图象关于直线 x= π 3对称, 所以 2×π 3 +φ=kπ+ π 2 ,k∈Z, 得 φ=kπ- π 6 ,k∈Z. 由- π 2 ≤φ< π 2 ,得 k=0,所以 φ=- π 6 . (2)由(1)得 f( 𝛼 2 ) = √3sin(2 × 𝛼 2 - π 6 ) = √3 4 , 所以 sin(𝛼- π 6 ) = 1 4 . 由 π 6 <α< 2π 3 ,得 0<α- π 6 < π 2 ,所以 cos(𝛼- π 6 ) = √1-sin 2 (𝛼- π 6 ) = √1-( 1 4 ) 2 = √15 4 . 因此 cos(𝛼 + 3π 2 )=sin α=sin[(𝛼- π 6 ) + π 6 ] =sin(𝛼- π 6 )cos π 6 +cos(𝛼- π 6 )sinπ 6 = 1 4 × √3 2 + √15 4 × 1 2 = √3+√15 8