第2课时 根式与分数指数幂的互化 基础巩固 1.化简式子[(-v3)]的结果是( A.V3 B.-V3 c D 答案：C 解桥2=3立-方= 2.化简a·a的结果为() A.-Va B.-V-a C.va D.va 答案：A 解析：显然a心0. .Va.Va--ai.ai-at-ai--Va 3..√等于( A.a品 Ba贵 C.ad D.a 答案B 解析Va√W=a=品 4.(3-2x)中x的取值范围是( A.(-0,+0) B(n,)u(原+0) c(o引) D.(,+0 答案：C 解析(6-2=1= 要使该式有意义，需3-2x0,即x (3-2x)4 V(3-2x3 5.化简(cb)-(ab(a>0,b>0)的结果为() A.a B.b c号 D哈 答案：A 解析(db)2(abi-(abi片(ab=a拉b7-a.故选A 6.若a+h=mJ.ab-mi(m≥0，则a+6) A.0 B号 c咒 D受 答案B 解t折g+b-a+bc-b+=a+bfa+br-3ab=n（m-n》-受n 7.计算(4v73)7+3= 答案品 解析原式-47.3x7+3到=479=42-元 8.若10-3,10-=4，则102xy= 答案号 解析：10-31029102-月
第 2 课时 根式与分数指数幂的互化 基础巩固 1.化简式子[(-√3) 2 ] - 1 2的结果是( ) A.√3 B.-√3 C.√3 3 D.- √3 3 答案:C 解析:[(-√3) 2 ] - 1 2 = 3 - 1 2 = 1 √3 = √3 3 . 2.化简√-a 3 · √𝑎 6 的结果为( ) A.-√𝑎 B.-√-𝑎 C.√-𝑎 D.√𝑎 答案:A 解析:显然 a≥0. ∴√-a 3 · √𝑎 6 =-𝑎 1 3 · 𝑎 1 6=-𝑎 1 3 + 1 6=-𝑎 1 2=-√𝑎. 3. √a 2 3 · √√a等于( ) A.a 5 12 B.a 11 12 C.a 5 6 D.a 7 8 答案:B 解析:√a 2 3 · √√a = 𝑎 2 3 + 1 4 = 𝑎 11 12. 4.(3-2x) - 3 4中 x 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-∞, 3 2 ) ∪ ( 3 2 , + ∞) C.(-∞, 3 2 ) D.( 3 2 , + ∞) 答案:C 解析:(3-2x) - 3 4 = 1 (3-2𝑥) 3 4 = 1 √(3-2x) 3 4 ,要使该式有意义,需 3-2x>0,即 x0,b>0)的结果为( ) A.a B.b C.𝑎 𝑏 D.𝑏 𝑎 答案:A 解析:(a 3𝑏 1 2) 1 2÷(𝑎 1 2𝑏 1 4)=(𝑎 3 2𝑏 1 4)÷(𝑎 1 2𝑏 1 4)=𝑎 3 2 - 1 2𝑏 1 4 - 1 4=a.故选 A. 6.若 a+b=𝑚 1 3,ab=1 6 𝑚 2 3(m>0),则 a 3+b3=( ) A.0 B.𝑚 2 C.- 𝑚 2 D.3𝑚 2 答案:B 解析:a 3+b3=(a+b)(a 2 -ab+b2 )=(a+b)·[(a+b) 2 -3ab]=𝑚 1 3· 𝑚 2 3 − 1 2 𝑚 2 3 = 1 2 m. 7.计算(4 √7-3 ) √7+3= . 答案: 1 16 解析:原式=4 (√7-3)×(√7+3)=4 7-9=4 -2= 1 16. 8.若 10x=3,10y=4,则 102x-y= . 答案: 9 4 解析:∵10x=3,∴102x=9,∴102x-y= 10 2𝑥 10 𝑦 = 9 4
9.计算(0.0081)3×（目月181025+（得）月210x0027) 答案号 解析原式93x+子3- 10.化简下列各式（式中字母均为正数）： 展 (2)4x(-3xy(-6xy(结果为分数指数幂) 解(1) E厚=6 x afx afxbi- 24xe3xy6x克y=2xty-2y 拓展提高 1.设xy是正数，且x'=yy=9x,则x的值为( A号 B.3 c.1 D.阿 答案B 解析：由已知得，x9x=(9x,即(xy=(9x) x9=9x x8-9 ..x9=V3. 2.已知a+7,则a+a2( A.3 B.9 C.-3 D.±3 答案：A 解析由a+2-7,可得a>0,a2+ai>0, 则a2+i-(a2+ay=v7+2-3 故选A 3.若9a2-6a+工=V1-3a,则实数a的取值范围是 A.(-0,3) B(引 c.+) D.(G+) 答案B 解析9a2-6a+1=1-3a2-/1-3a-V1-3a∴1-320，解得a故选B 4若a>0,且ad-3,d=5,则a2x吃- 答案：9W5 解析a2r+片-(dy-(d-32x5-95. 5.设a2=b4=ma>0,b>0),且a+b=6,则m等于 答案：16 解析：a2=b4=m(a>0,b>0)
9.计算:(0.008 1) - 1 4-[3×( 5 6 ) 0 ]×[81-0.25+( 27 8 ) - 1 3 ] - 1 2-10×(0.027) 1 3= . 答案:- 8 3 解析:原式= 10 3 -3× 1 3 + 2 3 - 1 2-3=- 8 3 . 10.化简下列各式(式中字母均为正数): (1)√ 𝑏 3 𝑎 √ 𝑎6 𝑏 6 ; (2)4𝑥 1 4 (-3𝑥 1 4𝑦 - 1 3)÷(-6𝑥 - 1 2𝑦 - 2 3)(结果为分数指数幂). 解:(1)√ 𝑏 3 𝑎 √ 𝑎6 𝑏 6 = 𝑏 3 2 × 𝑎 - 1 2 × 𝑎 6 4 × 𝑏 - 6 4=a. (2)4𝑥 1 4(-3𝑥 1 4𝑦 - 1 3)÷(-6𝑥 - 1 2 𝑦 - 2 3)=2𝑥 1 4 + 1 4 + 1 2 · 𝑦 - 1 3 + 2 3=2x𝑦 1 3. 拓展提高 1.设 x,y 是正数,且 x y=yx ,y=9x,则 x 的值为( ) A.1 9 B. √3 4 C.1 D. √9 3 答案:B 解析:由已知得,x 9x=(9x) x ,即(x 9 ) x=(9x) x , ∴x 9=9x. ∴x 8=9. ∴x=√9 8 = √3 4 . 2.已知 a+1 𝑎 =7,则𝑎 1 2 + 𝑎 - 1 2=( ) A.3 B.9 C.-3 D.±3 答案:A 解析:由 a+1 𝑎 =7,可得 a>0,𝑎 1 2 + 𝑎 - 1 2>0, 则𝑎 1 2 + 𝑎 - 1 2 = √(𝑎 1 2 + 𝑎 - 1 2) 2 = √7 + 2=3. 故选 A. 3.若√9𝑎 2-6a + 1 6 = √1-3𝑎 3 ,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,3) B.(-∞, 1 3 ] C.[ 1 3 , + ∞) D.( 1 3 , + ∞) 答案:B 解析:∵√9𝑎 2-6a + 1 6 = √(1-3𝑎) 2 6 =|√1-3𝑎 3 |=√1-3𝑎 3 ,∴1-3a≥0,解得 a≤ 1 3 .故选 B. 4.若 a>0,且 a x=3,a y=5,则𝑎 2𝑥+ 𝑦 2= . 答案:9√5 解析:𝑎 2𝑥+ 𝑦 2=(a x ) 2·(a y ) 1 2=3 2×5 1 2=9√5. 5.设 a 2=b4=m(a>0,b>0),且 a+b=6,则 m 等于 . 答案:16 解析:∵a 2=b4=m(a>0,b>0)
:a-mi.b-mi.a-b 由a+b=6得b2+b-6=0 解得b=2或b=-3(舍去) .m4=2,m=24=16. 6.已知9+b=1,则-3 0的值为 答案3 解析国为受+b-1 听以客--时 挑战剑新 1 已知函数) x3+x3 (1)求证x)在区间(0，+0)内单调递增； (2)分别计算4)-52)g(2)和9)-53)g(3)的值，由此概括出涉及函数x)和g(x)对所有不等于 零的实数x都成立的一个等式，并加以证明， (1)证明：设x1>2>0, y=x3在R上是增函数， 好 又(x2)方>0， 片--+璃-过a部0 ∴.函数x)在区间(0，+o)内单调递增. (2)解：经计算知4)-52)g2)=0,953)g3)-0, 由此猜想：当x≠0时x2)5x)gx)=0. 证明如下：当≠0时， )5xg)x号-xx-xx+x)x号-x片a号-x角=0
∴a=𝑚 1 2,b=𝑚 1 4,a=b2 . 由 a+b=6 得 b 2+b-6=0, 解得 b=2 或 b=-3(舍去). ∴𝑚 1 4=2,m=2 4=16. 6.已知3𝑎 2 +b=1,则 9 𝑎 ·3 𝑏 √3 𝑎 的值为 . 答案:3 解析:因为3𝑎 2 +b=1, 所以9 𝑎 ·3 𝑏 √3 𝑎 = 3 2𝑎 ·3 𝑏 3 𝑎 2 = 3 3 2 𝑎+𝑏=3 1=3. 挑战创新 已知函数 f(x)= 𝑥 1 3-𝑥 - 1 3 5 ,g(x)= 𝑥 1 3+𝑥 - 1 3 5 . (1)求证:f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; (2)分别计算 f(4)-5f(2)g(2)和 f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数 f(x)和 g(x)对所有不等于 零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明. (1)证明:设 x1>x2>0, ∵y=𝑥 1 3在 R 上是增函数, ∴𝑥1 1 3 > 𝑥2 1 3 . 又(x1x2) - 1 3>0, ∴f(x1)-f(x2)= 1 5 (𝑥1 1 3 − 𝑥1 - 1 3 − 𝑥2 1 3 + 𝑥2 - 1 3 )= 1 5 [(𝑥1 1 3 − 𝑥2 1 3 )-[ 1 𝑥1 1 3 − 1 𝑥2 1 3 ]]= 1 5 (𝑥1 1 3 − 𝑥2 1 3 )[1+(x1x2) - 1 3]>0. ∴函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增. (2)解:经计算知 f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)·g(3)=0, 由此猜想:当 x≠0 时,f(x 2 )-5f(x)g(x)=0. 证明如下:当 x≠0 时, f(x 2 )-5f(x)g(x)= 1 5 (𝑥 2 3 − 𝑥 - 2 3)- 1 5 (𝑥 1 3 − 𝑥 - 1 3)(𝑥 1 3 + 𝑥 - 1 3)= 1 5 (𝑥 2 3 − 𝑥 - 2 3)- 1 5 (𝑥 2 3 − 𝑥 - 2 3)=0