第四章过关检测 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.函数fx)=n(x2-x)的定义域为( A.(0.1) B.f0,11 C.(-0,0)U(1,+o) D.(-o,0]U[1,+o) 答案C 解析：由题意，可知x2-x>0,得x>1或x0， ∴-10)<0，∴有零点的区间是[-1,01 6.已知定义在R上的函数x)=2-m.1(m为实数)为偶函数，记a=f1og53),b=f1og25),c=2m) 则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 答案B 解析：由x)为偶函数得m=0,所以a=f1og0.53)=2loo.s3L1-21og23-1=2 b=f10g25)=2o8251.1-2log25-1=4,c=f0)=2l0l-1-0,所以c<a<b.故选B. 7.如图，函数x)的图象为折线ACB,则不等式x2log2x+1)的解集是(
第四章过关检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.函数 f(x)=ln(x 2 -x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 答案:C 解析:由题意,可知 x 2 -x>0,得 x>1 或 x0, ∴f(-1)f(0)<0,∴有零点的区间是[-1,0]. 6.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 |x-m| -1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m), 则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 答案:B 解析:由 f(x)为偶函数得 m=0,所以 a=f(log0.53)=2 |log0.53| -1=2 log23 -1=2. b=f(log25)=2 |log25| -1=2 log25 -1=4,c=f(0)=2 |0| -1=0,所以 c<a<b.故选 B. 7.如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( )
A.{x-10),则a=log4k,b=log6k,c=log9k 对于A,ab+bc-2ac,即2+-2 因为+片-+0心94g4-g36-2故A中号式成立B中号式不成立 对于c经+片+女2oeu4+log6=loeg6+号-2loe9=loe8ltc中等式不成立； .12 对于D号-2l0g6-1og4=l0g2=0g9-故D中等式成立 10.若函数x)=d+b-1(a>0,且a1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有() A.a>1 B.00 D.b0,且a时1)的图象经过第一、三、四象限
A.{x|-10),则 a=log4k,b=log6k,c=log9k. 对于 A,ab+bc=2ac,即 𝑏 𝑐 + 𝑏 𝑎 =2. 因为𝑏 𝑐 + 𝑏 𝑎 = log 6 𝑘 log 9 𝑘 + log 6 𝑘 log 4 𝑘 =log69+log64=log636=2,故 A 中等式成立,B 中等式不成立; 对于 C,2 𝑎 + 1 𝑏 = 2 log 4 𝑘 + 1 log 6 𝑘 =2logk4+logk6=logk96≠2 𝑐 =2logk9=logk81,故 C 中等式不成立; 对于 D,2 𝑏 − 1 𝑎 =2logk6-logk4=logk 36 4 =logk9= 1 𝑐 ,故 D 中等式成立. 10.若函数 f(x)=ax+b-1(a>0,且 a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有( ) A.a>1 B.00 D.b0,且 a≠1)的图象经过第一、三、四象限
公1解得a>1,且b0故选AD 11.有一组实验数据如下表所示： 2 4 5 15 59 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型不适合的有( A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 答案：ABD 解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A,D中的函数增长速度 越来越慢B中的函数增长速度保持不变，故选ABD 2已知函数)一58”则下列关于西数)九1的零点个数的4个列新其中正 确的是 () A.当k>0时，有3个零点 B.当k0时，有4个零点 D.当k0,作出函数x)的图象如图① 则此时方程)=-1有两个根，其中<0,0<11<1，由几x)=2<0,知此时x有两个解，由x)=t1∈ (0,1),知此时x有两个解，此时共有4个解，即函数y=x)+1有4个零点. 12x y=-1 图① 图② ②若k<0,作出函数x)的图象如图②. 则此时方程f)=-1有一个根13，且0<3<1，由fx)=3∈(0,1)知此时x只有1个解，即函数 y=x)+1有1个零点故选CD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 18已知函数经引若2则 答案：log32 解析：当x∈(-o,1]时x)∈(0,3]： 当x∈(1，+o)时x)∈(o,-l)片 x)=2,∴.3=2→x=log32. 14.若关于x的方程3x2.5x+a=0的一个根大于1，另一个根小于1，则a的取值范围 是 答案(-0,2) 解析：设x)=3x2.5x+a. 由题意知，1)<0，即-2+a<0,得a<2
∴{ 𝑎 > 1, 𝑏-1 1,且 b1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 答案:ABD 解析:由所给数据可知 y 随 x 的增大而增大,且增长速度越来越快,而 A,D 中的函数增长速度 越来越慢,B 中的函数增长速度保持不变,故选 ABD. 12.已知函数 f(x)={ 𝑘𝑥 + 1,𝑥 ≤ 0, log2𝑥,𝑥 > 0, 则下列关于函数 y=f(f(x))+1 的零点个数的 4 个判断,其中正 确的是 ( ) A.当 k>0 时,有 3 个零点 B.当 k0 时,有 4 个零点 D.当 k0,作出函数 f(x)的图象如图①. 则此时方程 f(t)=-1 有两个根,其中 t2 1, 若 f(x)=2,则 x= . 答案:log32 解析:当 x∈(-∞,1]时,f(x)∈(0,3]; 当 x∈(1,+∞)时,f(x)∈(-∞,-1). ∵f(x)=2,∴3 x=2⇒x=log32. 14.若关于 x 的方程 3x 2 -5x+a=0 的一个根大于 1,另一个根小于 1,则 a 的取值范围 是 . 答案:(-∞,2) 解析:设 f(x)=3x 2 -5x+a. 由题意知,f(1)<0,即-2+a<0,得 a<2
15.某种病毒经30分钟繁殖为原来个数的2倍，且知病毒的繁殖规律为y=ε“（其中k为常数，1 表示时间，单位：时y表示病毒个数)，则k= ,经过5时，1个病毒能繁殖为 个（第一空2分，第二空3分） 答案：2ln21024 解析：当1=0.5时y=2 则2=e款，得k-2n2,于是y=e2m2 故当1=5时，y=e101n2-210-1024 16.己知函数x)=x2-log1x,若00，（付0，所以x)有且只有一个零点且零点在区间（经1）内，故①②说法正确 因fab)c)0c)>0 若a)0(c)>0,则零点在区间(a,b)内， 故③④说法不一定正确 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1710分1)计算(2写)2lg5+() (2)解方程：log:(6-9)=3 解()原式-)g5+③]-1+4 (2)由方程10g3(6-9)=3,得6-9-33=27， 则6-36=62，得x=2. 经检验，x=2是原方程的解。 故原方程的解为x=2. 18.(12分)已知函数x)=-3x2+2x-m+1. (1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点？ (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值 解：(1)函数零点的个数，等价于对应方程-3x2+2x-m+10实数解的个数. 由△=4+12(1-m)>0,可解得m学 由△=0，可解得m学由△ 故当m<时，函数有两个零点： 当m时，函数有一个零点； 当m时，函数无零点 (2)由题意知0是对应方程的根，故有1-m=0,可解得m=1. 19.(12分)已知函数y=log4(2x+3-x2). (1)求函数的定义域： (2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值
15.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来个数的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=e kt(其中 k 为常数,t 表示时间,单位:时,y 表示病毒个数),则 k= ,经过 5 时,1 个病毒能繁殖为 个(第一空 2 分,第二空 3 分). 答案:2ln 2 1 024 解析:当 t=0.5 时,y=2. 则 2=e 1 2 𝑘 ,得 k=2ln 2,于是 y=e 2tln 2 . 故当 t=5 时,y=e 10 ln 2=2 10=1 024. 16.已知函数 f(x)=𝑥 1 2-log1 2 x,若 00,f( 1 2 )0,f(c)>0. 若 f(a)0,f(c)>0,则零点在区间(a,b)内. 故③④说法不一定正确. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)(1)计算:(2 7 9 ) 1 2 +(lg 5)0+( 27 64) - 1 3 ; (2)解方程:log3(6x -9)=3. 解:(1)原式=( 25 9 ) 1 2 +(lg 5)0+[( 3 4 ) 3 ] - 1 3 = 5 3 +1+ 4 3 =4. (2)由方程 log3(6x -9)=3,得 6 x -9=3 3=27, 则 6 x=36=6 2 ,得 x=2. 经检验,x=2 是原方程的解. 故原方程的解为 x=2. 18.(12 分)已知函数 f(x)=-3x 2+2x-m+1. (1)当 m 为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点? (2)若函数恰有一个零点在原点处,求 m 的值. 解:(1)函数零点的个数,等价于对应方程-3x 2+2x-m+1=0 实数解的个数. 由 Δ=4+12(1-m)>0,可解得 m 4 3 . 故当 m4 3时,函数无零点. (2)由题意知 0 是对应方程的根,故有 1-m=0,可解得 m=1. 19.(12 分)已知函数 y=log4(2x+3-x 2 ). (1)求函数的定义域; (2)求 y 的最大值,并求取得最大值时的 x 值
解(1)由2x+3-x2>0,解得-1gx: 当5<x≤12时，有x)<gx) 21.(12分)已知函数x)=Vx. (1)判断函数x)在区间[0，+o)内的单调性，并用定义证明； (2)函数gx)=x)+og2x-2在区间(1,2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值 (精确度为0.3)；若没有零点，说明理由
解:(1)由 2x+3-x 2>0,解得-1g(x); 当 5<x≤12 时,有 f(x)<g(x). 21.(12 分)已知函数 f(x)=√𝑥. (1)判断函数 f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用定义证明; (2)函数 g(x)=f(x)+log2x-2 在区间(1,2)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值 (精确度为 0.3);若没有零点,说明理由
(参考数 据：1.2≈1.118，V1.5≈1.225,1.7≈1.323,10g21.25≈0.322，log21.50.585,l0g21.750.807) 解(1)函数x)在区间[0，+oo)内单调递增.证明如下：设x1,2∈[0，+o),且x10,所以函数g(x)在区间(1,2)内有且仅有一个零点x0. 因为g1.5)=V1.5+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.190，所以x和∈(1.5,1.75)， 又1.75-1.5=0.25<0.3，所以g(x)的零点的近似值可取1.5. (注：函数g(x)零点的近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以) 22.(12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本单位：万元)与 年产量（单位吨）之间的函数关系可以近似地表示为)号48x+800.已知此生产线年产量 最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，则当年产量为多少吨时，可以获得最大利 润？最大利润是多少？ 解设可获得总利润为R(x)万元， 则Rx)-40xy-40x号+48x-800-号+88x-800-x.20P+16800s210 ,R(x)在区间[0,210]上单调递增， ,∴.当x=210时，R(x)max=-210-220)2+1680-1660. 故当年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润为1660万元
(参考数 据:√1.25≈1.118,√1.5≈1.225,√1.75≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807) 解:(1)函数 f(x)在区间[0,+∞)内单调递增.证明如下:设 x1,x2∈[0,+∞),且 x10,所以函数 g(x)在区间(1,2)内有且仅有一个零点 x0. 因为 g(1.5)=√1.5+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.190,所以 x0∈(1.5,1.75). 又 1.75-1.5=0.25<0.3,所以 g(x)的零点的近似值可取 1.5. (注:函数 g(x)零点的近似值取区间[1.5,1.75]中的任意一个数都可以) 22.(12 分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(单位:万元)与 年产量 x(单位:吨)之间的函数关系可以近似地表示为 y= 𝑥 2 5 -48x+8 000.已知此生产线年产量 最大为 210 吨.若每吨产品平均出厂价为 40 万元,则当年产量为多少吨时,可以获得最大利 润?最大利润是多少? 解:设可获得总利润为 R(x)万元, 则 R(x)=40x-y=40x- 𝑥 2 5 +48x-8 000=- 𝑥 2 5 +88x-8 000=- 1 5 (x-220)2+1 680(0≤x≤210). ∵R(x)在区间[0,210]上单调递增, ∴当 x=210 时,R(x)max=- 1 5 (210-220)2+1 680=1 660. 故当年产量为 210 吨时,可获得最大利润,最大利润为 1 660 万元