第2课时 指数函数及其性质的应用 基础巩固 1.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 解析：由0.20.40.6，即b>c:因为 a=20.2>1,b=0.40.2b.综上可知，a>b>℃ 答案：A 2.己知a>0,且a≠1，如果a2>a3,那么函数x)=r的图象可能是( 解析：由a2>a3可得a0,b>0,( A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则ab D.若2a-2a=2b-3b,则a0,b>0,所以若2a+2a=2b+3b,则2a+2a>2b+2b,易知函数x)=2x+2x 在R上单调递增，所以a>b. 答案：A 4.函数x)=3r-x-2的零点的个数为( A.3 B.2 C.1 D.0 解析：函数x)=3x-2的零点个数即函数y=3与函数y=x+2的图象的交点个数， 由图可知，函数x)=3x-2的零点个数为2. 三+2 答案B 5.下列函数为偶函数的是() A.Ax)=x-1 B./x)=x2+x Cx)=2x-2- Dx)=2x+2-
第 2 课时 指数函数及其性质的应用 基础巩固 1.已知 a=2 0.2 ,b=0.4 0.2 ,c=0.4 0.6 ,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 解析:由 0.20.4 0.6 ,即 b>c;因为 a=2 0.2>1,b=0.4 0.2b.综上可知,a>b>c. 答案:A 2.已知 a>0,且 a≠1,如果 a 2>a3 ,那么函数 f(x)=ax 的图象可能是( ) 解析:由 a 2>a3 可得 a0,b>0,( ) A.若 2 a+2a=2 b+3b,则 a>b B.若 2 a+2a=2 b+3b,则 ab D.若 2 a -2a=2 b -3b,则 a0,b>0,所以若 2 a+2a=2 b+3b,则 2 a+2a>2 b+2b,易知函数 f(x)=2 x+2x 在 R 上单调递增,所以 a>b. 答案:A 4.函数 f(x)=3 x -x-2 的零点的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:函数 f(x)=3 x -x-2 的零点个数即函数 y=3 x 与函数 y=x+2 的图象的交点个数, 由图可知,函数 f(x)=3 x -x-2 的零点个数为 2. 答案:B 5.下列函数为偶函数的是( ) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2 x -2 -x D.f(x)=2 x+2 -x
解析：因为x)=2+2,所以-x)=2+2=x),又x)=2r+2x的定义域为R,故 x)=2+2为偶函数.易证A,B选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而C选 项中的函数为奇函数 答案D 6设a=()b=(c=(),则a,bc的大小关系是 解桥国为函数目是减函教所以)c>b. 答案：a>c>b 7.下列说法中，正确的是 (填序号) ①任取x>0,均有3>2x ②当a>0,且a1时，有a>a2 ③y=(3)r是增函数： ④y=2的最小值为1； ⑤在同一平面直角坐标系中y=2x与y=2r的图象关于y轴对称 解析：任取x>0,均有3>2x,即①正确；当a>1时，a>a2,当00,且 a味1)若g(2)=a,则2)= 解析：，x)是奇函数，gx)是偶函数 .由x)+gx)=-rx+2,① 得-x)+g(-x)=x)+gx)=r-r+2,② ①+②，得gx)=2,①-②，得x)=-r 又g2)=a,.a=2 )=22,∴2)=2.22-9 答案 9设函数=3gx)=() (I)在同一平面直角坐标系中作出x)gx)的图象； (2)计算1)与g-1),π)与g(-π)，m)与g-m)的值，从中你能得到什么结论？ 解(1)函数x)g(x)的图象如图所示 )= fx)=3
解析:因为 f(x)=2 x+2 -x ,所以 f(-x)=2 -x+2 x=f(x),又 f(x)=2 x+2 -x 的定义域为 R,故 f(x)=2 x+2 -x 为偶函数.易证 A,B 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数,而 C 选 项中的函数为奇函数. 答案:D 6.设 a=( 3 2 ) 1 3 ,b=( 2 3 ) 2 3 ,c=( 2 3 ) 1 3 ,则 a,b,c 的大小关系是 . 解析:因为函数 y=( 2 3 ) 𝑥 是减函数,所以( 2 3 ) 2 3 1, 所以 a>c>b. 答案:a>c>b 7.下列说法中,正确的是 .(填序号) ①任取 x>0,均有 3 x>2 x ; ②当 a>0,且 a≠1 时,有 a 3>a2 ; ③y=(√3) -x 是增函数; ④y=2 |x|的最小值为 1; ⑤在同一平面直角坐标系中,y=2 x 与 y=2 -x 的图象关于 y 轴对称. 解析:任取 x>0,均有 3 x>2 x ,即①正确;当 a>1 时,a 3>a2 ,当 00,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)= . 解析:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴由 f(x)+g(x)=ax -a -x+2,① 得 f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x -a x+2,② ①+②,得 g(x)=2,①-②,得 f(x)=ax -a -x . 又 g(2)=a,∴a=2, ∴f(x)=2 x -2 -x ,∴f(2)=2 2 -2 -2= 15 4 . 答案: 15 4 9.设函数 f(x)=3 x ,g(x)=( 1 3 ) 𝑥 . (1)在同一平面直角坐标系中作出 f(x),g(x)的图象; (2)计算 f(1)与 g(-1),f(π)与 g(-π),f(m)与 g(-m)的值,从中你能得到什么结论? 解:(1)函数 f(x),g(x)的图象如图所示:
2M1)=31=3g-1)=)-3, m=g-(目)-3 m）=3严gm)=()”=3 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当 指数函数的底数互为倒数时，函数y=与y=（ 的图象关于y轴对称 10.设函数w) (I)证明函数x)是奇函数； (2)证明函数x)在区间(-0，+o)内是增函数： (3)求函数x)在区间[1,2]上的值域 (I)证明：由题意，得x∈R,即函数的定义域关于原点对称， 故函数儿x)为奇函数 (2)证明：设x1,x2是(-o0,+o)内任意两实数，且x10,2x+1>0,x1)x2)K0, ∴.函数x)在区间(-o,+o)内是增函数 (3)解：·函数x)在区间(-0，+o)内是增函数 ∴.函数x)在区间[1,2]上单调递增 ∴mn=1)名xmx=2)=品 :函数在区间[1,2]上的值城为店，司 拓展提高 1.如图所示，已知x)=2,该函数在区间[a,b]上的值域为[1,2]，记满足该条件的实 数a,b所形成的实数对为点P(a,b),则由点P构成的点集组成的图形为() A.线段AD B.线段AB C.线段AD与线段CD D.线段AB与BC
(2)f(1)=3 1=3,g(-1)=( 1 3 ) -1 =3, f(π)=3 π ,g(-π)=( 1 3 ) -π =3 π , f(m)=3 m,g(-m)=( 1 3 ) -𝑚 =3 m. 从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当 指数函数的底数互为倒数时,函数 y=ax 与 y=( 1 𝑎 ) 𝑥 的图象关于 y 轴对称. 10.设函数 f(x)= 1 2 − 1 2 𝑥+1 . (1)证明函数 f(x)是奇函数; (2)证明函数 f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数; (3)求函数 f(x)在区间[1,2]上的值域. (1)证明:由题意,得 x∈R,即函数的定义域关于原点对称, f(-x)= 1 2 − 1 1 2 𝑥+1 = 1 2 − 2 𝑥 2 𝑥+1 = 1-2 𝑥 2(2 𝑥+1) = -(1+2 𝑥 )+2 2(2 𝑥+1) =- 1 2 + 1 2 𝑥+1 =-f(x), 故函数 f(x)为奇函数. (2)证明:设 x1,x2 是(-∞,+∞)内任意两实数,且 x10,2 𝑥2+1>0,∴f(x1)-f(x2)<0, ∴函数 f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数. (3)解:∵函数 f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数, ∴函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增. ∴f(x)min=f(1)= 1 6 ,f(x)max=f(2)= 3 10 . ∴函数 f(x)在区间[1,2]上的值域为[ 1 6 , 3 10]. 拓展提高 1.如图所示,已知 f(x)=2 |x-1| ,该函数在区间[a,b]上的值域为[1,2],记满足该条件的实 数 a,b 所形成的实数对为点 P(a,b),则由点 P 构成的点集组成的图形为( ) A.线段 AD B.线段 AB C.线段 AD 与线段 CD D.线段 AB 与 BC
解析：函数x)=21川的图象为开口方向朝上，以x=1为对称轴的曲线，如图①， 当x=1时，函数取最小值1，若y=2-l=2,则x=0或x=2,而函数y=2l在区间[a,b] 上的值城为21则？三8≤2或侣及三1剁有序实载对坐标平面内所 对应点组成的图形为图②，故选C 12 5 0125 ① ② 答案：C 2函数)哥00时，y=(00 解析根据题意，结合指数函数的性质，得0Sy-)≤1，由方程目州。1=0有解， 知（目a+1有解剥a+1∈0，川即-1Ka≤0故选B 答案B 4.若y=fx)是奇函数且xo(xo0)是y=x)+'(e为无理数，e=2.71828…)的一个零 点，则-xo一定是下列哪个函数的零点？() A.v=f-x)ex-1 B.y=-x)ex+1 C.y=fx)e*-1 D.y=fx)ex+1 解析：因为x)是奇函数，所以-xo)=xo),而xo(0≠0)是y=孔x)+e的一个零点，所以 xo)+eo=0.对于选项Axo)exo-1=-1-1=-20,排除A; 对于选项Bxo)exo+1=-e2xo+1≠0，排除B
解析:函数 f(x)=2 |x-1|的图象为开口方向朝上,以 x=1 为对称轴的曲线,如图①, 当 x=1 时,函数取最小值 1,若 y=2 |x-1|=2,则 x=0 或 x=2,而函数 y=2 |x-1|在区间[a,b] 上的值域为[1,2],则{ 𝑎 = 0, 1 ≤ 𝑏 ≤ 2 或{ 0 0 时,y=ax (00} 解析:根据题意,结合指数函数的性质,得 0<y=( 1 3 ) |𝑥| ≤1,由方程( 1 3 ) |𝑥| -a-1=0 有解, 知( 1 3 ) |𝑥| =a+1 有解,则 a+1∈(0,1],即-1<a≤0.故选 B. 答案:B 4.若 y=f(x)是奇函数且 x0(x0≠0)是 y=f(x)+e x (e 为无理数,e=2.718 28…)的一个零 点,则-x0 一定是下列哪个函数的零点?( ) A.y=f(-x)ex -1 B.y=f(-x)e-x+1 C.y=f(x)ex -1 D.y=f(x)ex+1 解析:因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x0)=-f(x0),而 x0(x0≠0)是 y=f(x)+e x 的一个零点,所以 f(x0)+e 𝑥0=0.对于选项 A,f(x0)e -𝑥0 -1=-1-1=-2≠0,排除 A; 对于选项 B,f(x0)e 𝑥0+1=-e 2𝑥0+1≠0,排除 B;
对于选项C,-xo)exo-1=xo)exo-1=1-1=0,C正确； 对于选项D-xo)exo+1=-xo)exo+1=1+1=2≠0，排除D,故选C. 答案：C 5.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设x)=min{2,x+2,10-x}(x≥0)，则 x)的最大值为 解析：根据函数x)的意义，得函数x)的图象如图（实线部分）所示，观察图象可知， 当0≤x≤2时，x)=2x,当24时儿x)=10-x,易知x)在x=4 时取得最大值，最大值为6. y=10-x 01234567 答案：6 6.若函数x)= 2-3ax+1,x≤1是R上的减函数，则实数a的取值范围 ax,x>1, 是 解析：，x)是R上的减函数， 0<a<1, 2-3a<0, 解得子<a≤子 (2-3a)+1≥a, 答案（作引 7.已知x)为定义在区间(1,1)内的奇函数，当x∈(0,1)时x)=22x (1)求x)在区间(1,1)内的解析式 (2)求函数x)的值域 解(1)x)在区间(-1,1)内为奇函数0)=0，当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1)， 儿-x)=2x+2x=), 儿x)=-22+2x (2x-2x,x∈(0,1)， x)= 0,x=0 -2x+2x,x∈(-1,0) (2)当x∈(0,1)时，由复合函数的单调性可知x)=22x在区间(0,1)内单调递减， )e(1 x)为奇函数，.当x∈(1,0)时 x)e(1,》 综上所述x)的值域为{fx)-1<fx)<-,或<f(x)<1,或fx)=0}
对于选项 C,f(-x0)e -𝑥0 -1=-f(x0)e -𝑥0 -1=1-1=0,C 正确; 对于选项 D,f(-x0)e -𝑥0+1=-f(x0)e -𝑥0+1=1+1=2≠0,排除 D,故选 C. 答案:C 5.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的最大值为 . 解析:根据函数 f(x)的意义,得函数 f(x)的图象如图(实线部分)所示,观察图象可知, 当 0≤x≤2 时,f(x)=2 x ,当 24 时,f(x)=10-x,易知 f(x)在 x=4 时取得最大值,最大值为 6. 答案:6 6.若函数 f(x)={ 𝑎 𝑥 ,𝑥 > 1, (2-3𝑎)𝑥 + 1,𝑥 ≤ 1 是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围 是 . 解析:∵f(x)是 R 上的减函数, ∴{ 0 < 𝑎 < 1, 2-3𝑎 < 0, (2-3𝑎) + 1 ≥ 𝑎, 解得2 3 <a≤ 3 4 . 答案:( 2 3 , 3 4 ] 7.已知 f(x)为定义在区间(-1,1)内的奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=2 𝑥 2 -2𝑥 . (1)求 f(x)在区间(-1,1)内的解析式; (2)求函数 f(x)的值域. 解:(1)∵f(x)在区间(-1,1)内为奇函数,f(0)=0,当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1), f(-x)=2 𝑥 2 +2𝑥=-f(x), ∴f(x)=-2 𝑥 2 +2𝑥 . ∴f(x)={ 2 𝑥 2 -2𝑥 ,𝑥∈(0,1), 0,𝑥 = 0, -2 𝑥 2 +2𝑥 ,𝑥∈(-1,0). (2)当 x∈(0,1)时,由复合函数的单调性可知,f(x)=2 𝑥 2 -2𝑥在区间(0,1)内单调递减, ∴f(x)∈( 1 2 ,1). ∵f(x)为奇函数,∴当 x∈(-1,0)时, f(x)∈(-1,- 1 2 ). 综上所述,f(x)的值域为{𝑓(𝑥) |−1 < 𝑓(𝑥) < − 1 2 , 或 1 2 < 𝑓(𝑥) < 1, 或𝑓(𝑥) = 0}
挑战创新 已知函数x)=1+2+a4,对任意的x∈(-o,1],x)>0恒成立，求实数a的取值范围 解由题意得1+2+4a>0在x∈(o,]上恒成立，即a>1芒在x∈(，]上恒成立 令g)=琴-)-)=[旧③)++ xe(o()eB,+） 令)，则0=-(t+)+e且+o） :h(0在区间服，+0内为减函数， 0≤A份)（传+》+子子 即0∈(m引g∈(o引 a>g恤成立，∴a∈(，+0
挑战创新 已知函数 f(x)=1+2 x+a·4 x ,对任意的 x∈(-∞,1],f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:由题意得 1+2 x+4 x·a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,即 a>- 1+2 𝑥 4 𝑥 在 x∈(-∞,1]上恒成立. 令 g(x)=- 1+2 𝑥 4 𝑥 =-( 1 2 ) 2𝑥 − ( 1 2 ) 𝑥 =-[( 1 2 ) 𝑥 + 1 2 ] 2 + 1 4 , ∵x∈(-∞,1],∴( 1 2 ) 𝑥 ∈ [ 1 2 , + ∞). 令 t=( 1 2 ) 𝑥 ,则 h(t)=-(𝑡 + 1 2 ) 2 + 1 4 ,t∈[ 1 2 , + ∞). ∵h(t)在区间[ 1 2 , + ∞)内为减函数, ∴h(t)≤h( 1 2 )=-( 1 2 + 1 2 ) 2 + 1 4 =- 3 4 , 即 h(t)∈(-∞,- 3 4 ],∴g(x)∈(-∞,- 3 4 ]. ∵a>g(x)恒成立,∴a∈(- 3 4 , + ∞)