4.6 函数的应用（二） 基础巩固 1.某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本 平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比( ) A.不增不减 B.约增8% C.约增5% D.约减8% 解析：设原来成本为a,则现在的成本为a(1+20%)2(1-20%)2=0.9216a,比原来约减 8% 答案D 2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速， 后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间 x的关系，可选用( A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 答案D 3.某工厂的产值月平均增长率为P,则年平均增长率是()》 A.(1+p)11 B.(1+p)12 C.(1+p)1-1 D.(1+p)12-1 解析：设第一年的第一个月的产值为α， 则第一年的产值M=a+a(1+p)+a(1+p)2+…+a(1+p)ll 第二年的产值N=a(1+p)12+a(1+p)l3+…+a(1+p)23=M(1+p)l2 年平均增长率为心M=(1+p)21. M 答案D 4.四人赛跑，假设他们跑过的路程x)∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别 是(x)=x2,(x)=4x,(x)=log2x,f4(x)=2r,如果他们一直跑下去，那么最终跑在最前 面的人具有的函数关系是() A.fi(x)=x2 B.(x)=4x C.f(x)=log2x D4(x)=2 解析：显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函 数关系是f(x)=2x,故选D 答案D 5.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：m/s)和燃料的质量M单 位：kg、火箭（除燃料外）的质量m(单位：kg)的函数关系是v=2000I(1+),要使 火箭的最大速度可达12km/s,则燃料的质量与火箭的质量的比值是 解析v=12kms=l2×104m/s,代入v=2001n(1+)中
4.6 函数的应用(二) 基础巩固 1.某企业的产品成本前两年平均每年递增 20%,经过改进技术,后两年的产品成本 平均每年递减 20%,那么该企业的产品成本现在与原来相比( ) A.不增不减 B.约增 8% C.约增 5% D.约减 8% 解析:设原来成本为 a,则现在的成本为 a(1+20%)2 (1-20%)2=0.921 6a,比原来约减 8%. 答案:D 2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速, 后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 答案:D 3.某工厂的产值月平均增长率为 p,则年平均增长率是( ) A.(1+p) 11 B.(1+p) 12 C.(1+p) 11 -1 D.(1+p) 12 -1 解析:设第一年的第一个月的产值为 a, 则第一年的产值 M=a+a(1+p)+a(1+p) 2+…+a(1+p) 11 , 第二年的产值 N=a(1+p) 12+a(1+p) 13+…+a(1+p) 23=M·(1+p) 12 . ∴年平均增长率为𝑁-𝑀 𝑀 =(1+p) 12 -1. 答案:D 4.四人赛跑,假设他们跑过的路程 fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间 x(x>1)的函数关系分别 是 f1(x)=x2 ,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2 x ,如果他们一直跑下去,那么最终跑在最前 面的人具有的函数关系是( ) A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2 x 解析:显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在最前面的人具有的函 数关系是 f4(x)=2 x ,故选 D. 答案:D 5.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 v(单位:m/s)和燃料的质量 M(单 位:kg)、火箭(除燃料外)的质量 m(单位:kg)的函数关系是 v=2 000ln(1 + 𝑀 𝑚 ),要使 火箭的最大速度可达 12 km/s,则燃料的质量与火箭的质量的比值是 . 解析:v=12 km/s=1.2×104 m/s,代入 v=2 000ln(1 + 𝑀 𝑚 )中
得1.2x10-2001n(1+篇)→片-e-1, 即燃料的质量与火箭的质量的比值是e61. 答案：e61 6.设某工厂的经济效益经过5年增长了65%，则每年比上一年平均增长的百分数 是 ,(已知1g1.65≈0.2175) 解析：利用y=(1+p%)及对数函数的运算解题 设原来的效益是1，每年比上一年平均增长的百分数是x,那么第一年的效益是 1+x,第二年的效益是(1+x)+(1+x)x=(1+x)2,…第五年的效益是(1+x)5,列方程为 (1+x)5=1+65%,两边取对数：51g(1+x)=lg1.65≈0.2175. lg1+x3×0.2175=0.0435, .∴.1+1.105，x=0.105=10.5% 答案：10.5% 7.某化工企业生产一种溶液，按市场要求杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少，则至少应该过滤 次才能达到市场 要求.（取lg2≈0.3010，lg3≈0.4771） 解析：设应该过滤n次，则2%(1-”≤0.1%，n≥器≈007.4即n>7.4,所以 1g2-1g3 .0.1761 至少应该过滤8次才能使产品达到市场要求 答案：8 8.某种细菌每隔两个小时分裂一次（第一个细菌分裂成两个，分裂瞬间的时间忽略 不计)，研究开始计时时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研 究进行时间1的函数，记作y=) 4y/个 15 10￥ O5 t/h (1)写出函数y=)的定义域和值域， (2)在给出的坐标系中画出y=)0≤1≤6)的图象： (3)写出研究进行到第n小时(n≥0，n∈Z)时细菌的总数有多少个（用关于n的式子 表示) 解(1)定义域为[0，+oo),值域为{yy=2',1∈N+} (2)如图所示
得 1.2×104=2 000ln(1 + 𝑀 𝑚 ) ⇒ 𝑀 𝑚 =e 6 -1, 即燃料的质量与火箭的质量的比值是 e 6 -1. 答案:e 6 -1 6.设某工厂的经济效益经过 5 年增长了 65%,则每年比上一年平均增长的百分数 是 .(已知 lg 1.65≈0.217 5) 解析:利用 y=(1+p%)x 及对数函数的运算解题. 设原来的效益是 1,每年比上一年平均增长的百分数是 x,那么第一年的效益是 1+x,第二年的效益是(1+x)+(1+x)·x=(1+x) 2 ,……第五年的效益是(1+x) 5 ,列方程为 (1+x) 5=1+65%,两边取对数:5lg(1+x)=lg 1.65≈0.217 5. ∴lg(1+x)≈ 1 5 ×0.217 5=0.043 5, ∴1+x≈1.105,x=0.105=10.5%. 答案:10.5% 7.某化工企业生产一种溶液,按市场要求杂质含量不能超过 0.1%,若初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少1 3 ,则至少应该过滤 次才能达到市场 要求.(取 lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 解析:设应该过滤 n 次,则 2%(1- 1 3 ) 𝑛 ≤0.1%,n≥ -1-lg2 lg2-lg3 ≈ -1.301 0 -0.176 1 ≈7.4,即 n>7.4,所以 至少应该过滤 8 次才能使产品达到市场要求. 答案:8 8.某种细菌每隔两个小时分裂一次(第一个细菌分裂成两个,分裂瞬间的时间忽略 不计),研究开始计时时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数 y 是研 究进行时间 t 的函数,记作 y=f(t). (1)写出函数 y=f(t)的定义域和值域; (2)在给出的坐标系中画出 y=f(t)(0≤t≤6)的图象; (3)写出研究进行到第 n 小时(n≥0,n∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于 n 的式子 表示). 解:(1)定义域为[0,+∞),值域为{y|y=2 t ,t∈N+}. (2)如图所示
/个 516 101 8… 54 2 02456i (3)当n为偶数时y=2x2元，当n为奇数时，y=2×2学 9.某省在四个城市A,B,C,D之间按A→B→C→D→A的布局加快高铁建设，且四 个城市A,B,C,D的高铁站点依次相连，近似一个长宽不等的矩形，该矩形的面积为 3.6×105km2,设高铁道路总长为（单位：km),矩形的一短边长为x(单位km) (I)若将1表示为关于x的函数(x),并指出该函数的定义域： (2)若在铺设高铁道路时，出于利润、成本、维修及损耗的考虑，某建筑公司现估 算铺设每千米高铁道路所需费用为百亿元(40≤x≤50)，而某监理单位考虑质量 与后期安全问题，要求提高铺设的标准，且总费用不得低于350百亿元，请你帮着 分析该建筑公司能否完成任务？ 解(1)由题意知1x)=2(36x10 +x)= 72000+2x,其定义域为{x0<x<600}, (2)设总费用为y百亿元 则y=1=(22000+2x)是=7200+2 x2 又因为40≤x≤50，所以1600≤x2≤2500， 即20≤子≤160从而290≤y≤452， 即350∈[290,452]，从而可以完成任务 拓展提高 1.高为H满缸水量为Vo的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水 从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V,则函数V=的大致图象是() 答案B 2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经 过y年，则函数y=x)的图象大致为(
(3)当 n 为偶数时,y=2×2 𝑛 2 ;当 n 为奇数时,y=2×2 𝑛-1 2 . 9.某省在四个城市 A,B,C,D 之间按 A→B→C→D→A 的布局加快高铁建设,且四 个城市 A,B,C,D 的高铁站点依次相连,近似一个长宽不等的矩形,该矩形的面积为 3.6×105 km2 ,设高铁道路总长为 l(单位:km),矩形的一短边长为 x(单位:km). (1)若将 l 表示为关于 x 的函数 l(x),并指出该函数的定义域; (2)若在铺设高铁道路时,出于利润、成本、维修及损耗的考虑,某建筑公司现估 算铺设每千米高铁道路所需费用为1 𝑥百亿元(40≤x≤50),而某监理单位考虑质量 与后期安全问题,要求提高铺设的标准,且总费用不得低于 350 百亿元,请你帮着 分析该建筑公司能否完成任务? 解:(1)由题意知 l(x)=2( 3.6×10 5 𝑥 + 𝑥) = 720 000 𝑥 +2x,其定义域为{x|0<x<600}. (2)设总费用为 y 百亿元, 则 y=l· 1 𝑥 = ( 720 000 𝑥 + 2𝑥) · 1 𝑥 = 720 000 𝑥 2 +2, 又因为 40≤x≤50,所以 1 600≤x 2≤2 500, 即 1 2 500 ≤ 1 𝑥 2 ≤ 1 1 600 ,从而 290≤y≤452, 即 350∈[290,452],从而可以完成任务. 拓展提高 1.高为 H,满缸水量为 V0 的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水 从洞中流出,若鱼缸水深为 h 时水的体积为 V,则函数 V=f(h)的大致图象是( ) 答案:B 2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x 倍,需经 过 y 年,则函数 y=f(x)的图象大致为( )
K上. D 解析：设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ar=a(1+0.104)y,故 y=log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y=x)的图象大致为D中图象」 答案D 3.一名驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3g/mL,在停止喝 酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，根据《道 路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mgmL,那么这个 驾驶员至少要经过 h才能开车（精确到1h,参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48） 解析：设经过nh后才能开车，此时酒精含量为0.3(1-25%y 根据题意，有0.3(1-25%y≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlg2=nlg3-2lg 2)≤1g0,3=1g3-1,将已知数据代入，得0.48-0.6)≤0,48-1，n≥号=4故至少经过5 3 h才能开车， 答案：5 4.在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显 示的图象如图所示现给出下列说法： (/min ①前5min温度增加的速度越来越快：②前5min温度增加的速度越来越慢：③5 min以后温度保持匀速增加：④5min以后温度保持不变 其中正确的说法是 (填序号) 解析：温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当1增加一个单位增量y 相应的增量越来越小，而5min后是y关于1的增量保持为0，则②④正确. 答案：②④ 5.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测：服药后每毫 升血液中的含药量（单位μg)与时间（单位）之间近似满足如图所示的关系， g M1,4) 3 3 1 012345ih (I)写出y关于1的函数关系式y=: (2)据进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于0.25μg时，治疗疾病有效， ①求服药一次后治疗疾病有效的时间； ②当t=5时，第二次服药，问15,5引时，药效是否连续？
解析:设该林区的森林原有蓄积量为 a,由题意可得 ax=a(1+0.104)y ,故 y=log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数 y=f(x)的图象大致为 D 中图象. 答案:D 3.一名驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝 酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,根据《道 路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么这个 驾驶员至少要经过 h 才能开车(精确到 1 h,参考数据 lg 2≈0.30,lg 3≈0.48). 解析:设经过 n h 后才能开车,此时酒精含量为 0.3(1-25%)n . 根据题意,有 0.3(1-25%)n≤0.09,在不等式两边取常用对数,则有 nlg3 4 =n(lg 3-2lg 2)≤lg 0.3=lg 3-1,将已知数据代入,得 n(0.48-0.6)≤0.48-1,n≥ 13 3 =4 1 3 ,故至少经过 5 h 才能开车. 答案:5 4.在某种金属材料的耐高温试验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显 示的图象如图所示.现给出下列说法: ①前 5 min 温度增加的速度越来越快;②前 5 min 温度增加的速度越来越慢;③5 min 以后温度保持匀速增加;④5 min 以后温度保持不变. 其中正确的说法是 .(填序号) 解析:温度 y 关于时间 t 的图象是先凸后平,即 5 min 前每当 t 增加一个单位增量,y 相应的增量越来越小,而 5 min 后是 y 关于 t 的增量保持为 0,则②④正确. 答案:②④ 5.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测:服药后每毫 升血液中的含药量 y(单位:μg)与时间 t(单位:h)之间近似满足如图所示的关系. (1)写出 y 关于 t 的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中的含药量不少于 0.25 μg 时,治疗疾病有效. ①求服药一次后治疗疾病有效的时间; ②当 t=5 时,第二次服药,问 t∈[5,5 1 16]时,药效是否连续?
解(0)将14分别代入=k-目)，得=4a=3, 4t,0≤t≤1， 从而0目>1 20当0≤≤1时，由41≥0.25，得≤1≤1 当1时，（目≥025，得16 X.4 x表示某学科知识的学习次数(x∈N+),x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关 (1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量x+1)x)总是下降的； (2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的α的取值区间分别为 (115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定 相应的学科 （ai证明：当x≥7时+1)a 而当x≥7时，函数y=(x-3)x-4)单调递增，且(x-3)x-4)>0, 故函数x+I)x)单调递减，当x≥7时，掌握程度的增长量x+1)x)总是下降的 (2)解：由题意可知0.1+15n9=0.85, a-6 e0.05 整理得26=e005,解得a620.50×6=123,123∈(121,127刀 由此可知，该学科是乙学科
解:(1)将 t=1,y=4 分别代入 y=kt,y=( 1 2 ) 𝑡-𝑎 ,得 k=4,a=3. 从而 y=f(t)={ 4𝑡,0 ≤ 𝑡 ≤ 1, ( 1 2 ) 𝑡-3 ,𝑡 > 1. (2)①当 0≤t≤1 时,由 4t≥0.25,得 1 16 ≤t≤1; 当 t>1 时,由( 1 2 ) 𝑡-3 ≥0.25,得 1 6 描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N+),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降的; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定 相应的学科. (1)证明:当 x≥7 时,f(x+1)-f(x)= 0.4 (𝑥-3)(𝑥-4) . 而当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0, 故函数 f(x+1)-f(x)单调递减,当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降的. (2)解:由题意可知 0.1+15ln 𝑎 𝑎-6 =0.85, 整理得 𝑎 𝑎-6 =e 0.05 ,解得 a= e 0.05 e 0.05 -1 ·6≈20.50×6=123,123∈(121,127], 由此可知,该学科是乙学科