6.1.21 向量的加法 课后·训练提升 1.已知向量a∥b,且a>b>0,则向量a+b的方向( A.与向量a方向相同 B.与向量a方向相反 C.与向量b方向相同 D.不确定 解析：当a与b共线同向时，a+b的方向与a和b的方向相同；当a与b共线反向 时，因为a>bl>0,所以a+b的方向与a的方向相同.故选A. 答案：A 2.已知a,b为非零向量，la+b=a+bl,则() A.a∥b,且a与b的方向相同 B.a,b是方向相反的向量 C.a=-b D.a,b无论什么关系均可 答案：A 3.已知a,b,c是非零向量，则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a中，与向量 a+b+c相等的向量的个数为() A.5 B.4 C.3 D.2 解析：向量加法满足交换律，所以所给5个向量均等于a+b+c. 答案：A 4.已知下列各式： ①AB+BC+CA ②AB+MB)+BO+OM: ③0A+D元+B0+C0: ④AB+CA+BD+DC. 其中结果为0的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由向量加法的运算法则知①④的结果为0. 答案B 5.下列式子不能化简为P0的是( A.AB+(PA+BO) B.(AB +PC)+(BA+CQ) C.PC+CD+D可 D.PA+AB+QB
6.1.2 向量的加法 课后· 1.已知向量 a∥b,且|a|>|b|>0,则向量 a+b 的方向( ) A.与向量 a 方向相同 B.与向量 a 方向相反 C.与向量 b 方向相同 D.不确定 解析:当 a 与 b 共线同向时,a+b 的方向与 a 和 b 的方向相同;当 a 与 b 共线反向 时,因为|a|>|b|>0,所以 a+b 的方向与 a 的方向相同.故选 A. 答案:A 2.已知 a,b 为非零向量,|a+b|=|a|+|b|,则( ) A.a∥b,且 a 与 b 的方向相同 B.a,b 是方向相反的向量 C.a=-b D.a,b 无论什么关系均可 答案:A 3.已知 a,b,c 是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量 a+b+c 相等的向量的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:向量加法满足交换律,所以所给 5 个向量均等于 a+b+c. 答案:A 4.已知下列各式: ①𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ; ②(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗ ; ④𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中结果为 0 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由向量加法的运算法则知①④的结果为 0. 答案:B 5.下列式子不能化简为𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ) B.(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗ )+(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗ ) C.𝑃𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗ D.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
解析：根据向量加法的运算律与向量加法法则知A,B,C均可化简为P可，D中，PA+ AB+QB=PB+QB≠P可 答案D 6.在平行四边形ABCD中，若BC+BA=BC+AB,则四边形ABCD是() A菱形 B.矩形 C.正方形 D不确定 解析：由图知BC+BA=BD 又BC+AB=AC, .BDI=AC .平行四边形ABCD为矩形 答案B 7.在△ABC中，AB=a,BC=bCA=c,则a+b+c 解析：a+b+c=AB+BC+CA=0 答案0 8.已知a=8,b=10,则a+b的最大值比最小值大 解析：由la-bl≤a+b≤a+b知，a+b的最大值为18，最小值为2,18-2=16. 答案：16 9.设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是任一非零向量，有下列结论 ①a∥b:②a+b=a:③a+b=b:④la+bl<a+bl;⑤la+bl=la+lbl 其中，正确的结论为 (填序号) 解析：a=(AB+CD)+(BC+DA)=(AB+BC)+(CD+DA)=AC+CA=O,从而易知① ③⑤正确 答案：①③⑤ 10.若正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b,则a+bl= 解析：a+b=AB+BC=AC,即正方形ABCD的对角线长 ,正方形ABCD的边长为1，∴.AC=√12+1严=√2 答案V2 11.在正六边形ABCDEF中，化简：AC+BD+CE+DF+EA+FB 解：原式=(AC+CE+EA)+(BD+DF+FB)=0+0=0 12.如图，P,Q是△ABC的边BC上两点，且BP=QC
解析:根据向量加法的运算律与向量加法法则知 A,B,C 均可化简为𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ;D 中,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:D 6.在平行四边形 ABCD 中,若|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形 ABCD 是( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 解析:由图知|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ |. 又|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |, ∴|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |. ∴平行四边形 ABCD 为矩形. 答案:B 7.在△ABC 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =b,𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ =c,则 a+b+c= . 解析:a+b+c=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ =0. 答案:0 8.已知|a|=8,|b|=10,则|a+b|的最大值比最小值大 . 解析:由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知,|a+b|的最大值为 18,最小值为 2,18-2=16. 答案:16 9.设 a=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ )+(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,有下列结论: ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|. 其中,正确的结论为 .(填序号) 解析:a=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ )+(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ )=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ )+(𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ )=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ =0,从而易知① ③⑤正确. 答案:①③⑤ 10.若正方形 ABCD 的边长为 1,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =b,则|a+b|= . 解析:|a+b|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |,即正方形 ABCD 的对角线长. ∵正方形 ABCD 的边长为 1,∴AC=√1 2 + 1 2 = √2. 答案:√2 11.在正六边形 ABCDEF 中,化简:𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ . 解:原式=(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗ )+(𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ )=0+0=0. 12.如图,P,Q 是△ABC 的边 BC 上两点,且 BP=QC
求证：AB+AC=AP+A可 证明：，AB=AP+PB,AC=AQ+QC,∴.AB+AC=AP+PB+AQ+QC PB与QC的大小相等，方向相反，∴PB+QC=0, ..AB+AC=AP+A0+0=AP+AO
求证:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ . 证明:∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗ ,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗ . ∵𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ 与𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗ 的大小相等,方向相反,∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗ =0, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ +0=𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗