第2课时向量平行的坐标表示 基础巩固 1.已知向量a=(1,2),b=(x,4),若向量a∥b,则x=( A片 B 2 C.-2 D.2 解析：，a/∥b,∴.1×4-2x=0,∴x=2. 答案D 2.己知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=() A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4) 解析：.a∥b,∴.1×m-2×(-2)=0,∴.m=-4 ∴.2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8) 答案B 3.若a=(1,2),b=(-1,1),ka+b与a-b共线，则k的值为( A.2 B.1 C.0 D.-1 解析：ka+b=(k-1,2k+1),a-b=(2,1)】 由题意可知，k-1-2(2k+1)=0, ∴.k=-1 答案D 4.已知A(2,-1),B(3,1),则与AB平行且方向相反的向量a是() A.(2,1) B.(-6,-3) C.(-1,2) D.(-4,-8) 解析：AB=(1,2),∴.(-4，-8)=-4(1,2) 答案D 5.己知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为() A(层) B() c() D(引 解析：由已知得AB=(3,-4),所以AB=5 因此与A丽同方向的单位向量是AB=(后，) 答案：A 6.若A(3,-6),B(-5,2),C(6y)三点共线，则y=() A.13 B.-13 C.9 D.-9 解析：AB=(-8,8),AC=(3y+6)
第 2 课时 向量平行的坐标表示 基础巩固 1.已知向量 a=(1,2),b=(x,4),若向量 a∥b,则 x=( ) A.- 1 2 B. 1 2 C.-2 D.2 解析:∵a∥b,∴1×4-2x=0,∴x=2. 答案:D 2.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( ) A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4) 解析:∵a∥b,∴1×m-2×(-2)=0,∴m=-4. ∴2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8). 答案:B 3.若 a=(1,2),b=(-1,1),ka+b 与 a-b 共线,则 k 的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 解析:ka+b=(k-1,2k+1),a-b=(2,1). 由题意可知,k-1-2(2k+1)=0, ∴k=-1. 答案:D 4.已知 A(2,-1),B(3,1),则与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且方向相反的向量 a 是( ) A.(2,1) B.(-6,-3) C.(-1,2) D.(-4,-8) 解析:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),∴(-4,-8)=-4(1,2). 答案:D 5.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A.( 3 5 ,- 4 5 ) B.( 4 5 ,- 3 5 ) C.(- 3 5 , 4 5 ) D.(- 4 5 , 3 5 ) 解析:由已知得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),所以|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=5, 因此与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量是1 5 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 3 5 ,- 4 5 ). 答案:A 6.若 A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则 y=( ) A.13 B.-13 C.9 D.-9 解析:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(-8,8),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(3,y+6)
A,B,C三点共线，.AB‖AC .-80y+6)-24=0.∴.y=-9 答案D 7.己知四点A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),则AB与CD的关系是 (填“共 线”或“不共线) 解析：AB=(2,4),CD=(6,12)】 .2×12-4×6=0,∴.AB与CD共线， 答案共线 8.己知向量a=(1,2),b=(-3,2),若向量a+b与2a-b共线，则k= 解析：.a=(1,2),b=(-3,2) ∴.ka+b=(k-3,2k+2),2a-b=(5,2) :向量a+b与2ab共线， ∴.2(-3)-5(2k+2)=0,解得k=-2 答案-2 9.己知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的始点为A(1,2),终点B在坐标轴上，则点B的坐 标为 解析：设B(0,y)或(x,0) 则b=(-1y-2)或b=(x-1,-2)》 ,a∥b, ∴.-20y2)=-1×3或3(x-1)=-2×(-2) y子或x=子即B(0,)或B(G0 答案(0，)或(G,0) 10.设ij分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，己知0A=2i,0B=4i+2j,AB=-2AC, 则点C的坐标为 解析：由已知0A=(2,0),0B=(4,2) 则AB=(2,2) 设点C的坐标为(x,y),则AC=(x-2,y) .AB=-2AC,∴.(2,2)=-2x-2y), ÷222 点C的坐标为(1，-1) 答案(1，-1) 11.己知点A-1,2),B2,8),AC=AB,DA=BA,求点C,D和向量CD的坐标 解：设点C(x11),D(x22)月 由题意可得AC=(x1+1y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-2,2-2),BA=(-3,-6)
∵A,B,C 三点共线,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ . ∴-8(y+6)-24=0.∴y=-9. 答案:D 7.已知四点 A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系是 .(填“共 线”或“不共线”) 解析:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,12). ∵2×12-4×6=0,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 答案:共线 8.已知向量 a=(1,2),b=(-3,2),若向量 ka+b 与 2a-b 共线,则 k= . 解析:∵a=(1,2),b=(-3,2), ∴ka+b=(k-3,2k+2),2a-b=(5,2). ∵向量 ka+b 与 2a-b 共线, ∴2(k-3)-5(2k+2)=0,解得 k=-2. 答案:-2 9.已知向量 a=(-2,3),b∥a,向量 b 的始点为 A(1,2),终点 B 在坐标轴上,则点 B 的坐 标为 . 解析:设 B(0,y)或(x,0), 则 b=(-1,y-2)或 b=(x-1,-2). ∵a∥b, ∴-2(y-2)=-1×3 或 3(x-1)=-2×(-2). ∴y= 7 2 或 x= 7 3 ,即 B(0, 7 2 )或 B( 7 3 ,0). 答案:(0, 7 2 )或 ( 7 3 ,0) 10.设 i,j 分别为 x 轴、y 轴正方向上的单位向量,已知𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =2i,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =4i+2j,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =-2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ , 则点 C 的坐标为 . 解析:由已知𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2), 则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2). 设点 C 的坐标为(x,y),则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y). ∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =-2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,∴(2,2)=-2(x-2,y), ∴{ -2(𝑥-2) = 2, -2𝑦 = 2, 解得{ 𝑥 = 1, 𝑦 = -1. ∴点 C 的坐标为(1,-1). 答案:(1,-1) 11.已知点 A(-1,2),B(2,8),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =- 1 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ,求点 C,D 和向量𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标. 解:设点 C(x1,y1),D(x2,y2), 由题意可得𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(x1+1,y1-2),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6),𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x2,2-y2),𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-6)
因为AC=AB,DA=BA 所以1+1M1-2)=33,6)=(1,2)1-2,22)=-3,-6)=(1,2), 则布支2和仔士 (2-y2=2, 解货=骨和货=子 所以点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0)，CD=(-2,-4) 12.己知点A1,-2),向量AB与a=(2,3)同向，AB1=2V13,求点B的坐标. 解：设AB=(xy),AB与a同向， ∴.AB=1a(1>0),则(xy)=1(2,3) 北设 又AB=2√13，.x2+y2=52. .42+912=52,解得1=2(1>0)， 即AB=(4,6),.点B的坐标为(5,4) 拓展提高 1.若三点4A(2,2),B(a,0),C(0,b(ab0)共线，则片+=(） A号 B.1 C D.4 解析：AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2)】 点AB,C共线 ∴.AB II AC,∴.(a-2)b-2)-4=0 ∴.ab-2(a+b)=0. .ab+0 将等式两边同除以ab,得1-2(+日)=0， += 答案：A 2.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么() A.k=1,且c与d同向 B.k=1,且c与d反向 C.k=-1,且c与d同向 D.k=-1,且c与d反向 解析：，c∥d,∴.c=d,即a+b=(a-b) 又山不共筑货品公 ∴c=-d,.c与d反向. 答案D
因为𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =- 1 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(x1+1,y1-2)= 1 3 (3,6)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=- 1 3 (-3,-6)=(1,2), 则有{ 𝑥1 + 1 = 1, 𝑦1 -2 = 2 和{ -1-𝑥2 = 1, 2-𝑦2 = 2, 解得{ 𝑥1 = 0, 𝑦1 = 4 和{ 𝑥2 = -2, 𝑦2 = 0. 所以点 C,D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0),𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-4). 12.已知点 A(1,-2),向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与 a=(2,3)同向,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13,求点 B 的坐标. 解:设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与 a 同向, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =λa(λ>0),则(x,y)=λ(2,3), ∴{ 𝑥 = 2𝜆, 𝑦 = 3𝜆. 又|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13,∴x 2+y2=52. ∴4λ 2+9λ 2=52,解得 λ=2(λ>0), 即𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,6),∴点 B 的坐标为(5,4). 拓展提高 1.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 1 𝑎 + 1 𝑏 =( ) A. 1 2 B.1 C.2 D.4 解析:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,-2),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(-2,b-2). ∵点 A,B,C 共线, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,∴(a-2)(b-2)-4=0, ∴ab-2(a+b)=0. ∵ab≠0, ∴将等式两边同除以 ab,得 1-2( 1 𝑏 + 1 𝑎 )=0, ∴ 1 𝑎 + 1 𝑏 = 1 2 . 答案:A 2.已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d,那么( ) A.k=1,且 c 与 d 同向 B.k=1,且 c 与 d 反向 C.k=-1,且 c 与 d 同向 D.k=-1,且 c 与 d 反向 解析:∵c∥d,∴c=λd,即 ka+b=λ(a-b). 又 a,b 不共线,∴{ 𝑘 = 𝜆, 1 = -𝜆, ∴ { 𝜆 = -1, 𝑘 = -1. ∴c=-d,∴c 与 d 反向. 答案:D
3.若AB=i+2j,DC=(3-x)i+(4y)j(其中ij的方向分别与x轴、y轴正方向相同且为 单位向量)，AB与DC共线，则x,y的值可能分别为() A.12 B.2.2 C.3,2 D.2,4 解析：由题意，得AB=(1,2),DC=(3-x,4y). ,AB II DC,∴.1×(4-y)=2×(3-x) 即2x-y-2=0,经检验知选B. 答案B 4.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),若该平面内不是所有的向量都能写成xa+b(x,y∈ R)的形式，则m的值为( A号 B.2 C.-3 D.3 解析：由题意知a∥b,∴.3m=2m-3,.m=-3. 答案：C 5.己知向量a=(1,0),b=(1,1),则与2a+b同向的单位向量的坐标表示为 解析：.2a+b=21,0)+(1,1)=(3,1), “与2a+b同向的单位向量为()即（晋，细》 答案（西，西 1010 6.若向量a=(1,2),向量b与a共线，且b=4al,则b=三 解析：.b∥a,∴.b=a=(亿，-2) 又b=4|a,∴.2+(-2)2=16×[12+(-22] .512=16×5,.1=±4..b=(4,-8)或(4,8) 答案(4，-8)或(4,8) 7.已知0A=(1,1),0B=(3,-1),0C=(a,b),其中O为坐标原点 (1)若A,B,C三点共线，求a,b的关系： (2)若AC=2AB,求点C的坐标 解：由题意知，AB=0B-0A=(2,-2),AC=0C-0A=(a-1,b-1) (1)若A,B,C三点共线，则AB II AC 即2(b-1)(-2)×(a-1)=0,故a+b=2 (2)AC=2AB,∴.(a-1,b-1)=(4,-4) 18 即点C的坐标为(5，-3) 挑战创新 已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF: FC=2:1,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积
3.若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =i+2j,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-x)i+(4-y)j(其中 i,j 的方向分别与 x 轴、y 轴正方向相同且为 单位向量),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则 x,y 的值可能分别为( ) A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4 解析:由题意,得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-x,4-y). ∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴1×(4-y)=2×(3-x), 即 2x-y-2=0,经检验知选 B. 答案:B 4.已知向量 a=(1,3),b=(m,2m-3),若该平面内不是所有的向量都能写成 xa+yb(x,y∈ R)的形式,则 m 的值为( ) A.- 9 7 B. 9 7 C.-3 D.3 解析:由题意知 a∥b,∴3m=2m-3,∴m=-3. 答案:C 5.已知向量 a=(1,0),b=(1,1),则与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为 . 解析:∵2a+b=2(1,0)+(1,1)=(3,1), ∴与 2a+b 同向的单位向量为( 3 √3 2 +1 , 1 √3 2 +1 ),即( 3√10 10 , √10 10 ). 答案:( 3√10 10 , √10 10 ) 6.若向量 a=(1,-2),向量 b 与 a 共线,且|b|=4|a|,则 b= . 解析:∵b∥a,∴b=λa=(λ,-2λ). 又|b|=4|a|,∴λ 2+(-2λ) 2=16×[12+(-2)2 ]. ∴5λ 2=16×5,∴λ=±4.∴b=(4,-8)或(-4,8). 答案:(4,-8)或(-4,8) 7.已知𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-1),𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =(a,b),其中 O 为坐标原点. (1)若 A,B,C 三点共线,求 a,b 的关系; (2)若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,求点 C 的坐标. 解:由题意知,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-1,b-1). (1)若 A,B,C 三点共线,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ , 即 2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,故 a+b=2. (2)∵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(a-1,b-1)=(4,-4), ∴{ 𝑎-1 = 4, 𝑏-1 = -4, ∴{ 𝑎 = 5, 𝑏 = -3, 即点 C 的坐标为(5,-3). 挑战创新 已知四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形,E 为 AB 的中点,点 F 在 BC 上,且 BF∶ FC=2∶1,AF 与 EC 相交于点 P,求四边形 APCD 的面积
解：以A为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，如图所示， A(O)E B 则A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),F6,4),E(3,0) 设P(xy),AP=(xy),AF=(6,4),EP=(x-3,y),EC=(3,6) 由，点A,P,F和点C,P,E分别共线， 83”-0年 x=2 21 y=3, 故Sat5APCD=S至#ABCD-SAAFP-SACEB=36X3×3X3X6-经
解:以 A 为坐标原点,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 为 x 轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则 A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),F(6,4),E(3,0). 设 P(x,y),𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =(x,y),𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ =(6,4),𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗ =(x-3,y),𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗ =(3,6). 由点 A,P,F 和点 C,P,E 分别共线, 得{ 4𝑥-6𝑦 = 0, 6(𝑥-3)-3𝑦 = 0, 解得{ 𝑥 = 9 2 , 𝑦 = 3, 故 S 四边形 APCD=S 正方形 ABCD-S△AEP-S△CEB=36- 1 2 ×3×3- 1 2 ×3×6= 45 2