第六章测评 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知44,6，B(-3,)有下列向量：①a=(告3®b-(7,》③c=(兰-3)，④d=( 7,9) 其中，与AB平行的向量是( A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④ 解析A正=（7，》 :a=(世3)(7，》= b=(7,)=(7)AE, c-(兰3)=丽 ∴.与AB平行的向量是①②③ 答案：C 2.若3x-2(x-a)=0,则x=() A.2a B.-2a C.a D.a 解析：若3x-2(x-a)=0,则X=-2a,故选B, 答案B 3.如图，在四边形ABCD中，AB=DC,N,M分别是AD,BC上的点，且CN=MA,则图 中与向量DN相等的向量是( A.CN B.CM C.NA D.MB 解析：DN=DC+CN,MB=MA+AB, 因为AB=DC,CN=MA,所以DN=MB.故选D 答案D 4.设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1+(10-y)e2=(4y- 7)e1+2xe2,则实数y的值为() A.3 B.4 c D 解析：因为3xre1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2
第六章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知 A(4,6),B(-3, 3 2 ),有下列向量:①a=( 14 3 ,3);②b=(7, 9 2 );③c=(- 14 3 ,-3);④d=(- 7,9). 其中,与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量是( ) A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④ 解析:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (-7,- 9 2 ). ∵a=( 14 3 ,3)=- 2 3 (-7,- 9 2 )=- 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , b=(7, 9 2 )=-(-7,- 9 2 )=-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , c=(- 14 3 ,-3) = 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量是①②③. 答案:C 2.若 3x-2(x-a)=0,则 x=( ) A.2a B.-2a C. 2 5 a D.- 2 5 a 解析:若 3x-2(x-a)=0,则 x=-2a,故选 B. 答案:B 3.如图,在四边形 ABCD 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,N,M 分别是 AD,BC 上的点,且𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则图 中与向量𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ B.𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ C.𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗ D.𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选 D. 答案:D 4.设向量 e1 和 e2 是某一平面内所有向量的一组基底,若 3xe1+(10-y)e2=(4y- 7)e1+2xe2,则实数 y 的值为( ) A.3 B.4 C.- 1 4 D.- 3 4 解析:因为 3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2
所以(3x-4y+7)e1+(10-y-2x)e2=0 又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底， 所以67.0解得代选B 答案B 5.在△ABC中，点D是边BC上的点，且满足BC=4DC,AD=mAB+nAC,则严的值为 () A号 B.4 c D.3 解析：因为在△ABC中，点D是边BC上的，点，且满足BC=4DC 所以A而=AE+BD=AB+BC=AB+(4C-AB)=2AB+2AC 又AD=mA正+nAC,所以m=子n=子 所以”=故选C 答案C 6.己知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐 标为( ) A(2,) B(2》 C.(3,2) D.(1,3) 解析：设点D(m,n),则由题意，得(4,3)=2(m,n-2)=(2m,2n-4), 剥伦4解 m=2, 即点D(2,),故选A 答案：A 7.若点M是△ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是( A.AB+BC+AC B.AM+MB+BC C.AM+BM+CM D.3AM+AC 解析：A中AB+BC+AC=2AC,与AB不共线：B中AM+MB+B元=AB+BC= AC,与AB不共线：C中AM+BM+CM=0,与AB共线：D显然与AB不共线.故选C 答案：C 8.若M为△ABC所在平面内一点，且满足MB-MC=MB+MC-2MA,则△ABC 的形状为( A.正三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等腰直角三角形 解析：由MB-MC=MB+MC2MA,可得CB=AB+AC,它的几何意义是以 ABAC为邻边的平行四边形的两条对角线相等，所以AB⊥AC,△ABC是直角三角 形故选B
所以(3x-4y+7)e1+(10-y-2x)e2=0. 又因为 e1 和 e2 是某一平面内所有向量的一组基底, 所以{ 3𝑥-4𝑦 + 7 = 0, 10-𝑦-2𝑥 = 0, 解得{ 𝑥 = 3, 𝑦 = 4, 故选 B. 答案:B 5.在△ABC 中,点 D 是边 BC 上的点,且满足𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =4𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =m𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +n𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,则 𝑚 𝑛 的值为 ( ) A. 1 4 B.4 C. 1 3 D.3 解析:因为在△ABC 中,点 D 是边 BC 上的点,且满足𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =4𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 4 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 4 (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )= 1 4 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 4 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ . 又𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =m𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +n𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,所以 m= 1 4 ,n= 3 4 . 所以𝑚 𝑛 = 1 3 .故选 C. 答案:C 6.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,则顶点 D 的坐 标为( ) A.(2, 7 2 ) B.(2,- 1 2 ) C.(3,2) D.(1,3) 解析:设点 D(m,n),则由题意,得(4,3)=2(m,n-2)=(2m,2n-4), 则{ 2𝑚 = 4, 2𝑛-4 = 3, 解得{ 𝑚 = 2, 𝑛 = 7 2 , 即点 D(2, 7 2 ),故选 A. 答案:A 7.若点 M 是△ABC 的重心,则下列各向量中与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的是( ) A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ B.𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ C.𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ D.3𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ 解析:A 中𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线;B 中𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线;C 中𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ =0,与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 共线;D 显然与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线.故选 C. 答案:C 8.若 M 为△ABC 所在平面内一点,且满足|𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ -2𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则△ABC 的形状为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:由|𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ -2𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,可得|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |,它的几何意义是以 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线相等,所以 AB⊥AC,△ABC 是直角三角 形.故选 B
答案B 9.己知O是平面内一定点，A,B,C是平面内不共线的三点，动点P满足OP= OA+(AB+AC),1∈[0，+o),则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 解析：设AB+AC=AD,则可知四边形BACD是平行四边形 又OP=OA+1AD,得AP=AD,则A,P,D三点共线 又D在线段BC的中，点所在的直线上，1∈[0，+o),于是点P的轨迹一定通过△ABC 的重心.故选D 答案D I0.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD=DC,过点D任意作直线分别 交直线AB,AC于M,N.若AM=mAB,AN=nAC,则( A.m+n=2 B.2m+n=3 C+片2 D品+片3 n 解析：因为M,D,N三点共线，所以AD=AM+(1-)AN=mAB+(1-nAC 又BD=DC,则BD=BC,所以AD=AB+BD=AB+BC=AB+AC A丽=AC+A正，于是有 (am=. 整理得二+二-3.故选D 1-m= n n 答案D 11.对于n个向量a1,a2,a3,…,am,若存在n个不全为0的实数k1,k2,k3,…,km,使得 k1a1+2a2+k3a3+…+knan=0成立，则称向量al,a2,a3,…,a,是线性相关的.按此规定，若 使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)线性相关的实数为k1,2,3,则k1+2k2的值为 () A.-1 B.0 c.1 D.2 解析：.向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)线性相关，∴.k1a1+k2a2+k3a3=0, 即k(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0, ∴.k1+k2+2k3=0,-2+2k3=0, ∴.k+2k=0 答案B 12.如图，A,B分别是射线OM,ON上的点，给出下列向量：
答案:B 9.已知 O 是平面内一定点,A,B,C 是平面内不共线的三点,动点 P 满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ),λ∈[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 解析:设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,则可知四边形 BACD 是平行四边形. 又𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 A,P,D 三点共线. 又 D 在线段 BC 的中点所在的直线上,λ∈[0,+∞),于是点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心.故选 D. 答案:D 10.如图,在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且满足 BD=1 2 DC,过点 D 任意作直线分别 交直线 AB,AC 于 M,N.若𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗ =n𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.m+n=2 B.2m+n=3 C. 1 𝑚 + 1 𝑛 =2 D. 2 𝑚 + 1 𝑛 =3 解析:因为 M,D,N 三点共线,所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗ =λm𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)n𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ . 又𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ,所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ + 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是有{ 𝜆𝑚 = 2 3 , (1-𝜆)𝑛 = 1 3 , 整理得2 𝑚 + 1 𝑛 =3.故选 D. 答案:D 11.对于 n 个向量 a1,a2,a3,…,an,若存在 n 个不全为 0 的实数 k1,k2,k3,…,kn,使得 k1a1+k2a2+k3a3+…+knan=0 成立,则称向量 a1,a2,a3,…,an是线性相关的.按此规定,若 使向量 a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)线性相关的实数为 k1,k2,k3,则 k1+2k2 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:∵向量 a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)线性相关,∴k1a1+k2a2+k3a3=0, 即 k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0, ∴k1+k2+2k3=0,-k2+2k3=0, ∴k1+2k2=0. 答案:B 12.如图,A,B 分别是射线 OM,ON 上的点,给出下列向量:
B N ①0A+20B:②20A+0B,③20A+0B,④20A+0B:⑤是0A-0B.若这些向 量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有() A.①② B.②④C.①③D.③⑤ 解析：在射线ON上取一点C,使得OC=2OB,以OA,OC为邻边作平行四边形 OCDA,则OD=OA+2OB,其终点不在阴影区域内，排除选项A和C:在线段OA上 取一点E,使得AE=OA,作EF∥OB,交AB于F,则EF=OB.因为EF<OB,所以 三OA+OB的终点不在阴影区域内，排除选项D,故选B. 答案B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在题中的横线上） 13.己知四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC,下列各式：①AB=DC,②AD=BC,③ AC=BD:④AB≠DC1:⑤A丽ICD.其中所有正确的式子的序号是 答案：③④⑤ 14.已知e1=(2,1),e=2,-1),点P的坐标x)满足方程y2-1.若O丽=ae1+be2(a,b∈ R,O为坐标原点)，则a,b满足的一个等式是 解析：，e1=(2,1),e2=(2,-1), ∴.0p=ae1+be2=a(2,1)+b(2,-1)=(2a,a)+(2b,-b)=(2a+2b,-b) ,点P的坐标为(xy), 2丽-形=26+20 :x满足方程子2-1， :.2a+2b2a-b}=1, 4 化简可得4ab=1,此即为a,b满足的一个等式。 答案：4ab=1 15.若向量a=(2x-l,x+3),b=(x,2x+1),c=(1,2),且(a-b)∥c,则实数x的值 为 解析：由题意知a-b=(x-1,2-x). (a-b)∥c,∴.2x-1)=1×(2-x), 解得x手 答案 16.如图，A,B,C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的 一点D.若OC=mOA+nOB,则m+n的取值范围是
①𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ;② 1 2 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ;③ 3 4 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ;④ 3 4 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 5 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑤ 3 4 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 1 5 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .若这些向 量均以 O 为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( ) A.①② B.②④ C.①③ D.③⑤ 解析:在射线 ON 上取一点 C,使得 OC=2OB,以 OA,OC 为邻边作平行四边形 OCDA,则𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,其终点不在阴影区域内,排除选项 A 和 C;在线段 OA 上 取一点 E,使得 AE=1 4 OA,作 EF∥OB,交 AB 于 F,则 EF=1 4 OB.因为 EF<1 3 OB,所以 3 4 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 的终点不在阴影区域内,排除选项 D,故选 B. 答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案写在题中的横线上) 13.已知四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥DC,下列各式:①𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ;②𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ;③ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ |;④|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |;⑤𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ .其中所有正确的式子的序号是 . 答案:③④⑤ 14.已知 e1=(2,1),e2=(2,-1),点 P 的坐标(x,y)满足方程𝑥 2 4 -y 2=1.若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =ae1+be2(a,b∈ R,O 为坐标原点),则 a,b 满足的一个等式是 . 解析:∵e1=(2,1),e2=(2,-1), ∴𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =ae1+be2=a(2,1)+b(2,-1)=(2a,a)+(2b,-b)=(2a+2b,a-b). ∵点 P 的坐标为(x,y), ∴𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),即{ 𝑥 = 2𝑎 + 2𝑏, 𝑦 = 𝑎-𝑏. ∵(x,y)满足方程𝑥 2 4 -y 2=1, ∴ (2𝑎+2𝑏) 2 4 -(a-b) 2=1, 化简可得 4ab=1,此即为 a,b 满足的一个等式. 答案:4ab=1 15.若向量 a=(2x-1,x+3),b=(x,2x+1),c=(1,2),且(a-b)∥c,则实数 x 的值 为 . 解析:由题意知 a-b=(x-1,2-x). ∵(a-b)∥c,∴2(x-1)=1×(2-x), 解得 x= 4 3 . 答案: 4 3 16.如图,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的 一点 D.若𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =m𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +n𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 m+n 的取值范围是
解析：由题意，得O元=kOD(k<0) 又肉-11<k0 又B,A,D三点共线， ∴.0D=0A+(1-)0B ..m0A+n0B=ka0A+k(1-)0B. ∴.m=k,n=k1-入)，∴.m+n=k ∴.m+n∈(-1,0)月 答案(-1,0) 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(10分)如图，已知a,b,试作出2a-b. 解(1)任选一点O,作0A=2a (2)作0B=b. (3)连接AB,则BA即为所求 18.(12分)化简下列各式 (1)）2(a+2b-cH2c+b-ai 22(a-2b+c)-b+3c)+(a-c) 解：(1)原式=2a+4b-2c-2c-b+a=3a+3b4c 2)原式=2a-4b+cb-c+a-(2+h+(4》bc-a-bc 19.(12分)已知L,M,N分别是△ABC三边AC,AB,BC的中点，O是△ABC所在平面 内的任意一点，求证：0A+OB+0元=O+OM+ON. 证明：，L,M,N分别为AC,AB,BC的中点， ∴.由向量加法的平行四边形法则知， 0A+0B=20M,① 0A+0C-20L.② 0B+0元=20N.③
解析:由题意,得𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =k𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ (k<0). 又|k|=|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | <1,∴-1<k<0. 又 B,A,D 三点共线, ∴𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ =λ𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴m𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +n𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =kλ𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +k(1-λ)𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴m=kλ,n=k(1-λ),∴m+n=k, ∴m+n∈(-1,0). 答案:(-1,0) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(10 分)如图,已知 a,b,试作出 2a-b. 解:(1)任选一点 O,作𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =2a. (2)作𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =b. (3)连接 AB,则𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求. 18.(12 分)化简下列各式: (1)2(a+2b-c)-(2c+b-a); (2)2(𝑎-2𝑏 + 1 2 𝑐) − 1 3 (b+3c)+ 1 2 (𝑎- 2 3 𝑐). 解:(1)原式=2a+4b-2c-2c-b+a=3a+3b-4c. (2)原式=2a-4b+c- 1 3 b-c+1 2 a- 1 3 c=(2 + 1 2 )a+(-4- 1 3 )b- 1 3 c= 5 2 a- 13 3 b- 1 3 c. 19.(12 分)已知 L,M,N 分别是△ABC 三边 AC,AB,BC 的中点,O 是△ABC 所在平面 内的任意一点,求证:𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐿⃗⃗⃗ + 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ . 证明:∵L,M,N 分别为 AC,AB,BC 的中点, ∴由向量加法的平行四边形法则知, 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,① 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝑂𝐿⃗⃗⃗ ,② 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ .③
①②③式相加得，20A+0B+0C)=20M+0i+0N),∴.0A+0B+0元=0i+ OM+ON 20.(12分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,且AB=AD1=1,OA+ OC=0丽+0币=-0，cos∠DAB-2,求DC+BC与CD+BC 解：.0A+0元=0B+0D=0,∴.0A=C0,0B=D0 .四边形ABCD为平行四边形 又AB=AD=1,∴.四边形ABCD为菱形 :cos∠DAB-克.∠DAB=60°， ∴.△ABD为正三角形 .'DC BC=AB+AD=ACI=2AO=V3,ICD+BCI=BDI=AB =1. 21.(I2分)在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分 别交AB,AC于M,N两点若AM=xAB,AN=AC,试问二+二是否为定值？并说明理 由 解+为定值理由如下 AB=a.AC=b,AM=xa.AN=yb,AG =AD =(AB+AC)=(a+b). MG =AG-AM =(a+b)-xa=x)a+b.MN AN-AM=yb-xa=-xa+yb. .MG与MN共线， .存在实数1，使MG=MN ∴(（任-x)a+b=(exa+b)=xa+b, ,a与b不共线 =w 消去，得+1=4，即+上为定值 22.(12分)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E,使得DE=CD,连接AE.若动 点P从点A出发，按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D,其中AP=AB+AE (I)当点P为BC的中点时，求1+4的值； (2)满足1+=1的点P有几个？ 解(I)连接AC,因为点P为BC的中点
①②③式相加得,2(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ )=2(𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐿⃗⃗⃗ + 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐿⃗⃗⃗ + 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ . 20.(12 分)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ =0,cos∠DAB=1 2 ,求|𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |与|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |. 解:∵𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ =0,∴𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗ . ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 又|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴四边形 ABCD 为菱形. ∵cos∠DAB=1 2 ,∴∠DAB=60°, ∴△ABD 为正三角形. ∴|𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |=2|𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 21.(12 分)在△ABC 中,D 为 BC 的中点,G 为 AD 的中点,过点 G 任作一直线 MN 分 别交 AB,AC 于 M,N 两点.若𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗ =y𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,试问: 1 𝑥 + 1 𝑦 是否为定值?并说明理 由. 解: 1 𝑥 + 1 𝑦 为定值.理由如下: 设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =b,则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xa,𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗ =yb,𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 4 (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ )= 1 4 (a+b), ∴𝑀𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 4 (a+b)-xa=( 1 4 -𝑥)a+ 1 4 b,𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yb-xa=-xa+yb. ∵𝑀𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴存在实数 λ,使𝑀𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴( 1 4 -𝑥)a+ 1 4 b=λ(-xa+yb)=-λxa+λyb. ∵a 与 b 不共线,∴{ 1 4 -𝑥 = -𝜆𝑥, 1 4 = 𝜆𝑦, 消去 λ,得 1 𝑥 + 1 𝑦 =4,即 1 𝑥 + 1 𝑦 为定值. 22.(12 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD,连接 AE.若动 点 P 从点 A 出发,按如下路线运动:A→B→C→D→E→A→D,其中𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +μ𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ . (1)当点 P 为 BC 的中点时,求 λ+μ 的值; (2)满足 λ+μ=1 的点 P 有几个? 解:(1)连接 AC,因为点 P 为 BC 的中点
所以A丽=AB+AC.① 因为DE=CD,所以CE=2CD 所以A正=AC+CE=AC+2CD=AC-2AB】 因为AP=AB+uAE 所以AP=(U-20)AB+uAC.② 因为AB,AC不共 由①②可得 2μ=立解得 =3 u= u=i. 所以1+u=2 (2)若1+u=1,则1=1-4 因为AP=AB+uAE,所以AP=(1)AB+uA正 所以AP-AB=(AE-AB),所以BP=HBE 所以BP,E三点共线 所以动点P运动至点B,E以及BE与边AD的交点时满足条件，即满足1+=1的 点P有3个
所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ .① 因为 DE=CD,所以𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ =2𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ +2𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ -2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +μ𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ , 所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =(λ-2μ)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +μ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ .② 因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ 不共线, 由①②可得{ 𝜆-2𝜇 = 1 2 , 𝜇 = 1 2 , 解得{ 𝜆 = 3 2 , 𝜇 = 1 2 , 所以 λ+μ=2. (2)若 λ+μ=1,则 λ=1-μ. 因为𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +μ𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ,所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =(1-μ)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +μ𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ . 所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗ =μ𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ . 所以 B,P,E 三点共线, 所以动点 P 运动至点 B,E 以及 BE 与边 AD 的交点时满足条件,即满足 λ+μ=1 的 点 P 有 3 个