6.2向量基本定理与向量的坐标 6.2.1向量基本定理 基础巩固 1.设e1,e2不共线，b=e1+1e2与a=2e1-e2共线，则实数1的值为) A月 B月 C.1 D.-1 解析：.b与a共线， ∴.存在实数k,使得b=ka,即e1+e2=k2e1-e2),即(1-2k)e1=(-k-)e2. e1与e不共线：1：2k=0解得 k= -k-λ=0， 1=2 答案B 2.已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则( AA,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 CA,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 解析：.BC+CD=BD=2a+6b=2(a+3b)=2AB BD与AB共线， 又它们有公共点B,A,BD三点共线 答案B 3.设在四边形ABCD中，有DC=二AE,且AD1=BC1,则这个四边形是( A.平行四边形B.矩形 C.等腰梯形D菱形 解析：DC=A正∴.DC∥AB,且DCAB. 又AD=BCL,∴.这个四边形为等腰梯形 答案：C 4.设a,b不共线，AB=a+他，AC=ma+b(k,m∈R),则当A,B,C三点共线时，有( A.k=m B.km-1=0 C.km+1=0 D.k+m=0 解析：A,B,C三点共线，.AB与AC共线，∴.存在唯一实数1，使AB=AC,即 h-ma+b,即a=ma+一无m=-1即6ml-0 答案B 5.已知AD与BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线，且AD=a,BE=b,则BC等于 ()
6.2 向量基本定理与向量的坐标 6.2.1 向量基本定理 基础巩固 1.设 e1,e2 不共线,b=e1+λe2 与 a=2e1-e2共线,则实数 λ 的值为( ) A. 1 2 B.- 1 2 C.1 D.-1 解析:∵b 与 a 共线, ∴存在实数 k,使得 b=ka,即 e1+λe2=k(2e1-e2),即(1-2k)e1=(-k-λ)e2. ∵e1 与 e2 不共线,∴{ 1-2𝑘 = 0, -𝑘-𝜆 = 0, 解得{ 𝑘 = 1 2 , 𝜆 = - 1 2 . 答案:B 2.已知向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a+3b,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =5a+3b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a+3b,则( ) A.A,B,C 三点共线 B.A,B,D 三点共线 C.A,C,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线 解析:∵𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =2a+6b=2(a+3b)=2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ 与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又它们有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. 答案:B 3.设在四边形 ABCD 中,有𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析:∵𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴DC∥AB,且 DC≠AB. 又|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |,∴这个四边形为等腰梯形. 答案:C 4.设 a,b 不共线,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a+kb,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =ma+b(k,m∈R),则当 A,B,C 三点共线时,有( ) A.k=m B.km-1=0 C.km+1=0 D.k+m=0 解析:∵A,B,C 三点共线,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ 共线,∴存在唯一实数 λ,使𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,即 a+kb=λ(ma+b),即 a+kb=λma+λb,∴{ 𝜆𝑚 = 1, 𝜆 = 𝑘. ∴km=1,即 km-1=0. 答案:B 5.已知 AD 与 BE 分别为△ABC 的边 BC,AC 上的中线,且𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ =b,则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )
B.2a+4b Ca D.2a+2b 33 解析：如图，AD=AB+BD=A丽+BC,BE=BA+BC, ∴AB+BC=a2BA+BC=b 两式消去正，得C=a+b, 答案B 6.设一直线上三点A,B,P满足AP=PB(1≠士1)，0为平面内任意一点，则OP用 0A,0B表示为() A.0p=0A+0B B.0P=0A+(1+)0B C.0p=0+Ao远 1+ D.0丽=0M+点0丽 解析：，AP=PB,∴.0P=OA+PB=OA+(OB-OP)=0A+0B-OP ∴.(1+)0P=0A+0B .0P=0+0正 1+1 答案：C 7.下列向量中，a,b共线的有 (填序号)》 ①a=2e,b=-2e; ②a=e1-e2,b=-2e1+2e2; ③a=4ele,b=e1e ④a=e1+e2,b=2e1-2e2 解析：①中a=b,②中a=b,③中a=4b,由共线向量基本定理可知，①②③中a,b均 共线；④中a,b不共线， 答案：①②③ 8.如图，在正方形ABCD中，设AB=a,AD=b,BD=c,则当以a,b为基底时，AC可表示 为 ;当以ac为基底时，AC可表示为
A. 4 3 a+ 2 3 b B. 2 3 a+ 4 3 b C. 2 3 a- 2 3 b D.- 2 3 a+ 2 3 b 解析:如图,∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ , ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =a, 1 2 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =b, 两式消去𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,得𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 2 3 a+ 4 3 b. 答案:B 6.设一直线上三点 A,B,P 满足𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =λ𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ (λ≠±1),O 为平面内任意一点,则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 用 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 表示为( ) A.𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ B.𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =λ𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ C.𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 1+𝜆 D.𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝜆 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 1-𝜆 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:∵𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =λ𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ,∴𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ )=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -λ𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(1+λ)𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 1+𝜆 . 答案:C 7.下列向量中,a,b 共线的有 .(填序号) ①a=2e,b=-2e; ②a=e1-e2,b=-2e1+2e2; ③a=4e1- 2 5 e2,b=e1- 1 10 e2; ④a=e1+e2,b=2e1-2e2. 解析:①中 a=-b,②中 a=- 1 2 b,③中 a=4b,由共线向量基本定理可知,①②③中 a,b 均 共线;④中 a,b 不共线. 答案:①②③ 8.如图,在正方形 ABCD 中,设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =b,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =c,则当以 a,b 为基底时,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ 可表示 为 ;当以 a,c 为基底时,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ 可表示为
解析：当以a,c为基底时，将BD平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边 形法则即得答案。 答案a+b2a+c 9.如图，已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用a,b表示AD,则AD= 解析AD=AB+BD=A丽+2BC=A丽+2(AC-AB)=A丽+AC=A+b 答案a+b 10.已知e1,e2不共线，a=e1+2e2,b=2e1+1e2,要使a,b能作为平面内所有向量的一组 基底，则实数1的取值范围是 解析：若向量a,b共线，则1=4.故当向量a,b不共线时，≠4. 答案1≠4 11.己知ij是两个不共线的向量，AB=3i+2j,CB=i+j,CD=-2i+j若A,B,D三点共 线，试求实数1的值 解：.BD=CD-CB=(-2i+j)i+)=-3i+(1-)j, A,B,D三点共线」 ∴.向量AB与BD共线 ∴.存在实数4，使得AB=uBD,即3i+2j=[-3i+(1-川=-3i+(1-j :i与j是两个不共线向量，3=3，。 (1-)=2, = 故当A,B,D三点共线时=3 12.已知四边形ABCD为矩形，且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形，F为ED 的中点，EA=e1,EF=e2,选择{e1,e2}作为基底，用基底表示向量AF,AB,AD,BD 解：如图，.e1=EA,e2=EF .'.AF EF-EA=e2-e1. ,AD=2AB=DE,且F为DE的中点， ∴.四边形ABDF为平行四边形 .'.AB FD EF=e2.AD ED-EA=2EF-EA=2e2-e1,BD AF=e2-e1. 拓展提高
解析:当以 a,c 为基底时,将 BD 平移,使 B 与 A 重合,再由三角形法则或平行四边 形法则即得答案. 答案:a+b 2a+c 9.如图,已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =b,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =3𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,用 a,b 表示𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = . 解析:𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 4 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 4 (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )= 1 4 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 4 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 4 a+ 3 4 b. 答案: 1 4 a+ 3 4 b 10.已知 e1,e2 不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使 a,b 能作为平面内所有向量的一组 基底,则实数 λ 的取值范围是 . 解析:若向量 a,b 共线,则 λ=4.故当向量 a,b 不共线时,λ≠4. 答案:λ≠4 11.已知 i,j 是两个不共线的向量,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =3i+2j,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ =i+λj,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =-2i+j.若 A,B,D 三点共 线,试求实数 λ 的值. 解:∵𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ =(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j, ∵A,B,D 三点共线, ∴向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ 共线. ∴存在实数 μ,使得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =μ𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ ,即 3i+2j=μ[-3i+(1-λ)j]=-3μi+μ(1-λ)j. ∵i 与 j 是两个不共线向量,{ -3𝜇 = 3, 𝜇(1-𝜆) = 2, ∴{ 𝜇 = -1, 𝜆 = 3. 故当 A,B,D 三点共线时,λ=3. 12.已知四边形 ABCD 为矩形,且 AD=2AB,又△ADE 为等腰直角三角形,F 为 ED 的中点,𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗ =e1,𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ =e2,选择{e1,e2}作为基底,用基底表示向量𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ . 解:如图,∵e1=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗ ,e2=𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ , ∴𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ − 𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗ =e2-e1. ∵AD=2AB=DE,且 F 为 DE 的中点, ∴四边形 ABDF 为平行四边形. ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ =e2,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗ =2𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ − 𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗ =2e2-e1,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ =e2-e1. 拓展提高
1.如图，AB是⊙O的直径，点C,D是半圆弧AB上的三等分点，AB=a,AC=b,则 AD=() A.Ja+b B.a-b C.atb D.ab 解析：连接OD,CD,则四边形AODC是平行四边形， 所以D=A0+AC=丽+AC=a+b,故选A 答案：A 2.己知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且0A,OB,OC,OD满足等式OA+ O元=OB+OD,则四边形ABCD是() A.平行四边形B.菱形 C.梯形 D等腰梯形 解析：.0A+0元=0B+0D,∴.0A-0B=OD-O元 ÷BA=CD.即BA-CD, ∴.四边形ABCD是平行四边形 答案：A 3.若e1,2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的 是() A.e1和e1+e2 B.e1-2e2和e2-2e1 C.e1-2e2和4e2-2e1 D.e1+e2和e1-e2 解析：因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以e1-2e2与4e2-2e1共线，故e1-2e2与4e2-2e1不能 作为一组基底 答案：C 4.在△ABC中，AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD= 解析：AD=AC+CD,BD=2DC, ∴.C=C丽=AC+A丽，Ad=AC-AC+A丽-号AC+丽=b+c 答案b+0
1.如图,AB 是☉O 的直径,点 C,D 是半圆弧 AB 上的三等分点,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =b,则 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 2 a+b B. 1 2 a-b C.a+1 2 b D.a- 1 2 b 解析:连接 OD,CD,则四边形 AODC 是平行四边形, 所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 2 a+b,故选 A. 答案:A 2.已知 O 是四边形 ABCD 所在平面内的一点,且𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ,𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ 满足等式𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ ,则四边形 ABCD 是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.等腰梯形 解析:∵𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ ,∴𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ , ∴𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,即 BA CD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 答案:A 3.若 e1,e2 是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为一组基底的 是( ) A.e1 和 e1+e2 B.e1-2e2 和 e2-2e1 C.e1-2e2 和 4e2-2e1 D.e1+e2 和 e1-e2 解析:因为 4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以 e1-2e2 与 4e2-2e1 共线,故 e1-2e2与 4e2-2e1不能 作为一组基底. 答案:C 4.在△ABC 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =c,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =b.若点 D 满足𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = . 解析:∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ = 1 3 (-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 1 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 3 b+ 1 3 c. 答案: 2 3 b+ 1 3 c
5.己知a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,若用b与c表示a,则应有 a= 解析：设a=b+uc(a,u∈R), 则-e1+3e2=1(4e1+2e2)+4(-3e1+12e2)=(4-3u)e1+(21+12)e2, 4-3μ+1=0,21=, 即4-3μ+1e1+(22+12-3e2=0,则2十12-3=0， 解得 μ= 27 故a=b+0 答案b+e 6.如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若 BE=BA+BD(u∈R),则1+u= 解析：BE=BA+uBD=BA+2BO. E为A0的中点，=2克 解得=京∴+u-子 答案子 7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD-AB,BE-BC.若 DE=1AB+2AC(11,2为实数)，则11+2的值为 解析：由题意，得DE=BE-BD=BC-BA=子(AC-AB)+2AB=2AB+AC 故+=+号= 6 答 8.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC,AM与BN相 交于点P,求证：AP:PM=4:1. 证明设A正=b,AC=c,则AM=b+2c,AN=AC,B=BA+AN=c-b, .AP II AM,BP II BN,∴.存在1，μ∈R, 使得AP=AM,BP=uBN 又AP+PB=AB,∴.AM-BN=AB ∴由b+c)(后c-b)-b
5.已知 a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,若用 b 与 c 表示 a,则应有 a= . 解析:设 a=λb+μc(λ,μ∈R), 则-e1+3e2=λ(4e1+2e2)+μ(-3e1+12e2)=(4λ-3μ)e1+(2λ+12μ)e2, 即(4λ-3μ+1)e1+(2λ+12μ-3)e2=0,则{ 4𝜆-3𝜇 + 1 = 0, 2𝜆 + 12𝜇-3 = 0, 解得{ 𝜆 = - 1 18 , 𝜇 = 7 27 . 故 a=- 1 18 b+ 7 27 c. 答案:- 1 18 b+ 7 27 c 6.如图,在平行四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,E 为线段 AO 的中点.若 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ =λ𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +μ𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则 λ+μ= . 解析:𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ =λ𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +μ𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =λ𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +2μ𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵E 为 AO 的中点,∴λ=2μ= 1 2 , 解得 λ= 1 2 ,μ= 1 4 ,∴λ+μ= 3 4 . 答案: 3 4 7.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=1 2 AB,BE=2 3 BC.若 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2的值为 . 解析:由题意,得𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ − 1 2 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 3 (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )+ 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =- 1 6 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ , 故 λ1+λ2=- 1 6 + 2 3 = 1 2 . 答案: 1 2 8.如图,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相 交于点 P,求证:AP∶PM=4∶1. 证明:设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =b,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =c,则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 b+ 1 2 c,𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗ = 2 3 c-b. ∵𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗ ,∴存在 λ,μ∈R, 使得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗ =μ𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗ . 又𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -μ𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴由 λ( 1 2 𝑏 + 1 2 𝑐)-μ( 2 3 𝑐-𝑏)=b
得+n)b+(E-)c=b +4=1， λ=4 又b与c不共线， 2 解得 号弘=0，解 μ= ∴AP=AM,即AP:PM=4:1 挑战创新 平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA,OB,OC的中点分别为 E,F,G,BC,CA,AB的中点分别为L,MN,设OA=a,OB=b,OC=c (I)试用a,b,c表示向量EZ,FM,G (2)求证：线段EL,FM,GN交于一点且互相平分. (1)解：0正=a0元=b+c, ∴E瓦=0元-0E=b+c-a 同理F=a+c-b),G=a+b-c) 2)证明：设线段EL的中点为P1,则O严1=(O正+O)=a+b+c 设FMGN的中点分别为P2,P3,同理可求得OP2=a+b+c),OP3=a+b+c, 故0P1=0P2=0P, 即EL,FM,GN交于一点且互相平分
得( 1 2 𝜆 + 𝜇)b+( 1 2 𝜆- 2 3 𝜇)c=b. 又 b 与 c 不共线,∴{ 1 2 𝜆 + 𝜇 = 1, 1 2 𝜆- 2 3 𝜇 = 0, 解得{ 𝜆 = 4 5 , 𝜇 = 3 5 . ∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ = 4 5 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即 AP∶PM=4∶1. 挑战创新 平面内有一个△ABC 和一点 O(如图),线段 OA,OB,OC 的中点分别为 E,F,G,BC,CA,AB 的中点分别为 L,M,N,设𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =b,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =c. (1)试用 a,b,c 表示向量𝐸𝐿⃗⃗ , 𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗ ; (2)求证:线段 EL,FM,GN 交于一点且互相平分. (1)解:∵𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 a,𝑂𝐿⃗⃗⃗ = 1 2 (b+c), ∴𝐸𝐿⃗⃗ = 𝑂𝐿⃗⃗⃗ − 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (b+c-a). 同理𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (a+c-b),𝐺𝑁⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (a+b-c). (2)证明:设线段 EL 的中点为 P1,则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = 1 2 (𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐿⃗⃗⃗ )= 1 4 (a+b+c). 设 FM,GN 的中点分别为 P2,P3,同理可求得𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = 1 4 (a+b+c),𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 3 = 1 4 (a+b+c). 故𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = 𝑂𝑃3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即 EL,FM,GN 交于一点且互相平分