6.1.4 数乘向量 课后·训练提升 1.若点C在直线AB上，且AC=3AB,则BC等于() A.-2AB BA丽 C丽 D.2AB 解析：如图所示，易知BC=2AB AB 答案D 2.己知点C在线段AB上，且AC=三AB.若AC=BC,则1=() A号 B月 c号 D 解析：易知C=三而AC与BC共线且反向， 所以配=B配，所以X= 答案D 3.己知正方形ABCD的边长为1，AB=a,AC=c,BC=b,则a+b+cl的值为() A.0 B.v2 C.3 D.2√2 解析：.a+b+c=AB+BC+AC=AC+AC=2AC, ..a+b+cl=2AC=2AC=2v2 答案D 4.已知m∈R,则下列说法正确的是() A.若ma=0,则必有m=0 B.若m≠0，a≠0，则ma与a的方向相同 C.若m≠0，a≠0，则lma=mla D.若m≠0，a≠0，则ma与a共线 解析：若ma=0,则m=0或a=0,故A错；若m<0,则ma与a的方向相反，故B错；若 m<0,则ma≠mla,故C错；显然D正确. 答案D 5.如图，已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2OA+OB+ 0元=0，则()
6.1.4 数乘向量 课后· 1.若点 C 在直线 AB 上,且𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ B. 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ C.- 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ D.2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:如图所示,易知𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:D 2.已知点 C 在线段 AB 上,且𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 3 5 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =λ𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ,则 λ=( ) A. 2 3 B. 3 2 C.- 2 3 D.- 3 2 解析:易知|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | = 3 2 ,而𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ 与𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ 共线且反向, 所以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =- 3 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ,所以 λ=- 3 2 . 答案:D 3.已知正方形 ABCD 的边长为 1,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =c,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =b,则|a+b+c|的值为( ) A.0 B.√2 C.3 D.2√2 解析:∵a+b+c=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ , ∴|a+b+c|=|2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |=2|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |=2√2. 答案:D 4.已知 m∈R,则下列说法正确的是( ) A.若 ma=0,则必有 m=0 B.若 m≠0,a≠0,则 ma 与 a 的方向相同 C.若 m≠0,a≠0,则|ma|=m|a| D.若 m≠0,a≠0,则 ma 与 a 共线 解析:若 ma=0,则 m=0 或 a=0,故 A 错;若 m<0,则 ma 与 a 的方向相反,故 B 错;若 m<0,则|ma|≠m|a|,故 C 错;显然 D 正确. 答案:D 5.如图,已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为边 BC 的中点,且 2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =0,则( )
A.AO-OD B.A0=20D C.A0=30D D.2A0=0D 解析：由20A+0丽+0C=0,得0B+0元=-20A而由向量加法的平行四边形法则 易知0B+O元=20D,显然有A0=0D.故选A. 答案：A 6.己知四边形ABCD为菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A,C),则AP等于 () A.1AB+AD),1∈(0,1) B(aE+BC)A∈(0， C.1AB-AD),1∈(0,1) D(a丽-BC1∈(0，盟 解析：由向量的运算法则，得AC=AB+AD,点P在对角线AC上（不包括端点 A,C),∴AP与AC同向，且AP<AC1.∴.AP=AE+AD)∈(0,1) 答案：A 7己知点C在线段AB上，且告=则C- AB,BC= AB. 解析：告=点C在线段AB上如图， L .设AC=3,则CB=2,.AB=5, ∴AC=3AB,B元=2AB 答案子 8己知PP=PP,若Pp=PP则= 解析PP=PP∴P1PIPP,且P1,P,P2三点共线，PP=PP 如图，：PP=加可=名 答案 9.己知a0,则与a的方向相同的单位向量为 :与a的方向相反的单位 向量为 答案 1
A.𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ B.𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ C.𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ D.2𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ 解析:由 2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =0,得𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =-2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ .而由向量加法的平行四边形法则 易知𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ ,显然有𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ .故选 A. 答案:A 6.已知四边形 ABCD 为菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A,C),则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A.λ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) B.λ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0, √2 2 ) C.λ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) D.λ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0, √2 2 ) 解析:由向量的运算法则,得𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A,C),∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ 与𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ 同向,且|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ |<|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |.∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =λ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1). 答案:A 7.已知点 C 在线段 AB 上,且 𝐴𝐶 𝐶𝐵 = 3 2 ,则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析:∵ 𝐴𝐶 𝐶𝐵 = 3 2 ,点 C 在线段 AB 上,如图. ∴设 AC=3,则 CB=2,∴AB=5, ∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 3 5 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =- 2 5 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案: 3 5 - 2 5 8.已知𝑃⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗ = 2 3 𝑃𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若𝑃𝑃1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ𝑃1𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 λ= . 解析:∵𝑃⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗ = 2 3 𝑃𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴𝑃⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗ ∥ 𝑃𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且 P1,P,P2 三点共线,|𝑃⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗ |=2 3 |𝑃𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 如图,∵𝑃𝑃1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ𝑃1𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=- 2 5 . 答案:- 2 5 9.已知 a≠0,则与 a 的方向相同的单位向量为 ;与 a 的方向相反的单位 向量为 . 答案: 1 |𝑎| a - 1 |𝑎| a
10.己知A,BC三点共线，且怨=分别用C,CB表示A丽 AC 解：AB,C三点共线，且光 ∴B,C两点可能在点A的同侧，也可能在点A的异侧 如图①，当B,C两点在点A的同侧时， 怨=c=得AB-8C 又向量AB与BC的方向相同， ∴AB=2B=2CB 3 A B c iA c AB C B A C 图① 图② 如图②，当B,C两点在点A的异侧时， 是=C。=解得AB=BC ,向量AB与BC的方向相反， ∴AB=BC=CB 11.己知平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于点E,O是任意一点，如图所 示，求证：0A+0B+0元+0D=40E 证法一：因为E为平行四边形ABCD两对角线的交点，所以2O尼=OA+ 0元，20E=0B+0D 所以0A+0B+0元+0D=40E. 证法二：因为OE=OA+AE=OB+BE=OC+CE=OD+DE,而AE+ CE=0.BE DE=0, 所以0A+0B+0元+0D=40E 12.如图，已知0A=3OA,AB=3AB,求证：△OAB∽△OAB: 证明：.0B=0A+AB=30A+3AB=30B 0A1=310A,AB1=3AB1,10B1=310B1,即=画==3， OBI ∴.△OAB∽△OA'B
10.已知 A,B,C 三点共线,且 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 2 5 ,分别用𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ 表示𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:∵A,B,C 三点共线,且 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 2 5 , ∴B,C 两点可能在点 A 的同侧,也可能在点 A 的异侧. 如图①,当 B,C 两点在点 A 的同侧时, 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 𝐴𝐵+𝐵𝐶 = 2 5 ,得 AB=2 3 BC. 又向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ 的方向相同, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =- 2 3 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ . 图① 图② 如图②,当 B,C 两点在点 A 的异侧时, 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶-𝐴𝐵 = 2 5 ,解得 AB=2 7 BC. ∵向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ 的方向相反, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =- 2 7 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 2 7 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ . 11.已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC,BD 交于点 E,O 是任意一点,如图所 示,求证:𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ =4𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ . 证法一:因为 E 为平行四边形 ABCD 两对角线的交点,所以 2𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ,2𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ , 所以𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ =4𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ . 证法二:因为𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ,而𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ =0,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ =4𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ . 12.如图,已知𝑂𝐴' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴'𝐵' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:△OAB∽△OA'B'. 证明:∵𝑂𝐵' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴'𝐵' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|𝑂𝐴' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |,|𝐴'𝐵' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |,|𝑂𝐵' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |,即 |𝑂𝐴' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐴'𝐵' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑂𝐵' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | =3, ∴△OAB∽△OA'B