6.3平面向量线性运算的应用 课后·训练提升 1.在四边形ABCD中，AB=DC,且AB=BCL,则四边形ABCD为() A.平行四边形B.菱形 C.长方形 D.正方形 解析：由AB=DC知四边形ABCD为平行四边形. 由AB|=BC知口ABCD的邻边相等，故四边形ABCD为菱形 答案B 2.已知两个力F1,F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为 60°，则F1的大小为( A.53N B.5N C.10N D.5V2 N 解析：依据题意作出示意图，如图，则F1=F卧cos60°=10×2=5N) 60 答案B 3.己知点A(7,1),B(1,4),直线y=ar与线段AB交于点C,且AC=2CB,则a等于 () A.2 B.1 c D 解析：设C(x,y),则由AC=2CB,得(x-7y-1)=(2-2x,8-2y) -1=4代-3a3) 将C3,3)代入y2r,得3=x3,解得a=2 答案：A 4.若向量0F=(2,2),0F=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则F1+F2=() A.(0,5) B.(4,-1) C.2y2 D.5 解析：，F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5), ∴.F1+F2=V02+5z=5. 答案D 5.一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为V1、水速为V2.已知船可垂直到达对岸， 则() A.VIv2
6.3 平面向量线性运算的应用 课后· 1.在四边形 ABCD 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |,则四边形 ABCD 为( ) A.平行四边形 B.菱形 C.长方形 D.正方形 解析:由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 知四边形 ABCD 为平行四边形. 由|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |知▱ABCD 的邻边相等,故四边形 ABCD 为菱形. 答案:B 2.已知两个力 F1,F2 的夹角为 90°,它们的合力大小为 10 N,合力与 F1 的夹角为 60°,则 F1 的大小为( ) A.5√3 N B.5 N C.10 N D.5√2 N 解析:依据题意作出示意图,如图,则|F1|=|F|·cos 60°=10× 1 2 =5(N). 答案:B 3.已知点 A(7,1),B(1,4),直线 y= 1 2 ax 与线段 AB 交于点 C,且𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ,则 a 等于 ( ) A.2 B.1 C. 4 5 D. 5 3 解析:设 C(x,y),则由𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ,得(x-7,y-1)=(2-2x,8-2y), ∴{ 𝑥-7 = 2-2𝑥, 𝑦-1 = 8-2𝑦, 解得{ 𝑥 = 3, 𝑦 = 3. ∴C(3,3). 将 C(3,3)代入 y= 1 2 ax,得 3= 1 2 a×3,解得 a=2. 答案:A 4.若向量𝑂𝐹1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),𝑂𝐹2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,3)分别表示两个力 F1,F2,则|F1+F2|=( ) A.(0,5) B.(4,-1) C.2√2 D.5 解析:∵F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5), ∴|F1+F2|=√0 2 + 5 2=5. 答案:D 5.一船从某河的一岸驶向另一岸,船速为 v1、水速为 v2.已知船可垂直到达对岸, 则( ) A.|v1||v2|
C.vl≤v2lD.vl≥v2 解析：如图，OA=V2,OB=V1, 由图知OB>BC1 .BCI=0AL ∴.OE>OA,即1>v2 答案B 6.在△ABC中，D为边BC的中点.已知AB=a,AC=b,则下列向量中与AD同方向的是 () Aa+b la+bl B+台 C.a-b Da一b la-bl a 解析AD=A丽+AC=a+b),而t物是与a+b同方向的单位向量，故选A. la+bl 答案A 7.点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同， 且每秒移动的距离为v个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10)，则5s后点P的 坐标为 解析：设5s后点P的坐标为(x,y), 徐题老得形=i0格写10即105 答案：(10，-5) 8.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10/s的速度驶向对岸，则小 船在静水中的速度大小为 解析：由题意知v=2m/s,v=10m/s,作出示意图如图 x=2 m/s ∴.=√102+2z=2v26(m/s) 答案：2V26m/s 9.在△ABC中，若(OA+OB+OC)=OG,则点G是△ABC的 解析rCG=0G-0C=(OA+0E+0C)00 =(0A+0B-20元)=0A-0元+0元-0元)=(CA+c®)， ∴.G在CADB的对角线CD的三分点处（靠近点C),.G是△ABC的重心
C.|v1|≤|v2| D.|v1|≥|v2| 解析:如图,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =v2,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =v1, 由图知|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |>|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |. ∵|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |=|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |>|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |,即|v1|>|v2|. 答案:B 6.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =b,则下列向量中与𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的是 ( ) A. 𝑎+𝑏 |𝑎+𝑏| B. 𝑎 |𝑎| + 𝑏 |𝑏| C. 𝑎-𝑏 |𝑎-𝑏| D. 𝑎 |𝑎| − 𝑏 |𝑏| 解析:𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (a+b),而 𝑎+𝑏 |𝑎+𝑏|是与 a+b 同方向的单位向量,故选 A. 答案:A 7.点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3)(即点 P 的运动方向与 v 相同, 且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点 P 的坐标为(-10,10),则 5 s 后点 P 的 坐标为 . 解析:设 5 s 后点 P 的坐标为(x,y), 依题意得{ 𝑥 = -10 + 4 × 5 = 10, 𝑦 = 10 + (-3) × 5 = -5, 即 P(10,-5). 答案:(10,-5) 8.河水的流速为 2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,则小 船在静水中的速度大小为 . 解析:由题意知|v 水|=2 m/s,|v 船|=10 m/s,作出示意图如图. ∴|v|=√10 2 + 2 2=2√26(m/s). 答案:2√26 m/s 9.在△ABC 中,若 1 3 (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ )=𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点 G 是△ABC 的 . 解析:∵𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 3 (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ )-𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 3 (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ )= 1 3 (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ )= 1 3 (𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ), ∴G 在▱CADB 的对角线 CD 的三分点处(靠近点 C),∴G 是△ABC 的重心
答案：重心 10.已知△AOB,点P在直线AB上，且满足OP=2PA+OB(1∈R),则 = 解析：，0P=2PA+t0B=2OA-OP)+10B .(21+1)0P=20A+0B .0P=t0A+0B 2t+1 2t+1 :A,BP三点共线票+1，解得l 答案1 11.在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),求以线段AB,AC为邻边 的平行四边形的两条对角线的长 解：由题意知AB=(3,5),AC=(-1,1), 则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4), 所以AB+AC=2V10,AB-AC1=4vZ 故所求的两条对角线的长分别为2V10,4v2 12.己知A(-1,2),B(0,-2),且2AD1=3BD1若点D在线段AB上，求点D的坐标 解：设D(x,y),因为2AD1=3BD,且，点D在线段AB上，所以2AD=3DB 即2(x+1y-2)=3(-x,-2-y) 所以份46解零 2 y=. 故点D的坐标为（后，） 13.有一艘在静水中速度为10k/h的船，现船沿与河岸成60°角的方向向河的上 游行驶.由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸设两岸平行，流速 均匀. (I)设船相对于河岸和静水的速度分别为ukmh,vkm/h,河水的流速为wkmh,求 u,V,w之间的关系式 (2)求这条河河水的流速 解(1)如图，山是垂直到达河对岸方向的速度，V是与河岸成60°角的静水中的船 速，则v与u的夹角为30° 由题意知，u,V,w三条有向线段构成一个直角三角形， 其中OB=v,0元=u,0A=BC=w. 由向量加法的三角形法则知，OC=OB+BC=OA+OB,即u=w+v
答案:重心 10.已知△AOB,点 P 在直线 AB 上,且满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =2t𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ +t𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (t∈R),则 t= . 解析:∵𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =2t𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ +t𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =2t(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ )+t𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(2t+1)𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =2t𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +t𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑡 2𝑡+1 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑡 2𝑡+1 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵A,B,P 三点共线,∴ 2𝑡 2𝑡+1 + 𝑡 2𝑡+1 =1,解得 t=1. 答案:1 11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),求以线段 AB,AC 为邻边 的平行四边形的两条对角线的长. 解:由题意知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(-1,1), 则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(2,6),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(4,4), 所以|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |=2√10,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |=4√2, 故所求的两条对角线的长分别为 2√10,4√2. 12.已知 A(-1,2),B(0,-2),且 2|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ |.若点 D 在线段 AB 上,求点 D 的坐标. 解:设 D(x,y),因为 2|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ |,且点 D 在线段 AB 上,所以 2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗ , 即 2(x+1,y-2)=3(-x,-2-y), 所以{ 2𝑥 + 2 = -3𝑥, 2𝑦-4 = -6-3𝑦, 解得{ 𝑥 = - 2 5 , 𝑦 = - 2 5 . 故点 D 的坐标为(- 2 5 ,- 2 5 ). 13.有一艘在静水中速度为 10 km/h 的船,现船沿与河岸成 60°角的方向向河的上 游行驶.由于受水流的影响,结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸.设两岸平行,流速 均匀. (1)设船相对于河岸和静水的速度分别为 u km/h,v km/h,河水的流速为 w km/h,求 u,v,w 之间的关系式; (2)求这条河河水的流速. 解:(1)如图,u 是垂直到达河对岸方向的速度,v 是与河岸成 60°角的静水中的船 速,则 v 与 u 的夹角为 30°. 由题意知,u,v,w 三条有向线段构成一个直角三角形, 其中𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =v,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =u,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =w. 由向量加法的三角形法则知,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,即 u=w+v
(2):=10kmh,而BC1=|0Bsin30°=10×2-5km/h), ∴.这条河河水的流速为5km/h,方向顺着河岸向下
(2)∵|v|=10 km/h,而|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |sin 30°=10× 1 2 =5(km/h), ∴这条河河水的流速为 5 km/h,方向顺着河岸向下