6.1.31 向量的减法 课后·训练提升 1.下列各式不能化简为P可的是() A.AB+(PA+BQ) B.(AB +PC)+(BA-QC) c.Q元-Qp+c0 D.PA+AB-BQ 解析：A中，原式=AB+BQ+PA=AQ+PA=PQ B中，原式=AB+P元+BA-QC=PC-QC=PO C中，原式=QC-Qp+C0=P0: D中，PA+AB-BO=PB-BQ.故选D. 答案D 2.下列说法错误的是() A.若0D+0E=0M,则0M-0E=0D B.若0D+0E=OM,则OM+D0=0E C.若0D+0E=0M,则0D-E0=0M D.若0D+0E=OM,则D0+E0=0M 解析：由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A,B,C都正确；由相反向量知，若 OD+OE=OM,则D0+E0=-0D-OE=-(OD+0E)=-0M,故D错误 答案D 3.若AB1=8,AC=5,则BC1的取值范围是( A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 解析：B元=AC-AB, .AB-AC≤BC1≤AB1+AC: 即3≤BC≤13. 答案：C 4.在平面上有A,B,C三点，设m=AB+BC,n=AB-BC.若m与n的长度恰好相等 则有() AA,B,C三点必在一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形，且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形，且∠B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形 解析：以BA,BC为邻边作平行四边形
6.1.3 向量的减法 课后· 1.下列各式不能化简为𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ) B.(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗ )+(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗ ) C.𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗ D.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:A 中,原式=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ; B 中,原式=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐶⃗⃗⃗ − 𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ; C 中,原式=𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ; D 中,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ .故选 D. 答案:D 2.下列说法错误的是( ) A.若𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ B.若𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ C.若𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.若𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:由向量的减法就是向量加法的逆运算可知,A,B,C 都正确;由相反向量知,若 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ =-𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =-(𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ )=-𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故 D 错误. 答案:D 3.若|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |=5,则|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 解析:∵𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |-|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |≤|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |≤|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |+|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |, 即 3≤|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |≤13. 答案:C 4.在平面上有 A,B,C 三点,设 m=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ,n=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ .若 m 与 n 的长度恰好相等, 则有( ) A.A,B,C 三点必在一条直线上 B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角 C.△ABC 必为直角三角形,且∠B 为直角 D.△ABC 必为等腰直角三角形 解析:以 BA,BC 为邻边作平行四边形
m=AB+BC AC.n=AB-BC AB-AD DB. 由m,n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形.故选C 答案：C 5.已知M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2=16,AB+AC1=AB-ACL, 则AM=() A.8 B.4 C.2 D.1 解析：如图，由AB+AC1=AB-AC,得AD1=CB1, ∴.四边形ABDC为矩形，且BC=4. ,M是BC的中点， ∴.AM=号BC1=2. 答案：C 6.在边长为1的正方形ABCD中，设AB=a,BC=b,AC=c,lc-a-b= 解析：如图， Ic-a-bl=c-(a+b)=c-cl=0=0. 答案：0 7.如图，在正六边形ABCDEF中，与OA-O元+CD相等的向量有（填序号） ①CF,②AD:③DA:④BE,⑤CE+BC,⑥CA-CD:⑦AB+AE 解析：OA-O元+CD=CA+CD=CF CE+B元=BC+CE=BE≠CF CA-CD=DA≠CF;AB+AE=AD≠CF 答案：① 8.己知a=1,bl=3,且a/∥b,则a-bl= 解析：当a与b同向时，la-b=2;当a与b反向时，a-b=4
则 m=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,n=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗ . 由 m,n 的长度相等可知,两对角线相等,因此平行四边形一定是矩形.故选 C. 答案:C 5.已知 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ | 2=16,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |, 则|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A.8 B.4 C.2 D.1 解析:如图,由|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |,得|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ |, ∴四边形 ABDC 为矩形,且|BC|=4. ∵M 是 BC 的中点, ∴|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 2 |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |=2. 答案:C 6.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =b,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =c,|c-a-b|= . 解析:如图, |c-a-b|=|c-(a+b)|=|c-c|=|0|=0. 答案:0 7.如图,在正六边形 ABCDEF 中,与𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 .(填序号) ①𝐶𝐹⃗⃗⃗ ;②𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ;③𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ;④𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ ;⑤𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ;⑥𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑦𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ . 解析:𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐹⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝐶𝐹⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝐶𝐹⃗⃗⃗ ;𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝐶𝐹⃗⃗⃗ . 答案:① 8.已知|a|=1,|b|=3,且 a∥b,则|a-b|= . 解析:当 a 与 b 同向时,|a-b|=2;当 a 与 b 反向时,|a-b|=4
答案2或4 9.如图，己知a,b,c,求作a-c+b. /A 解：如图，在平面内任取一点O,作0A=a0B=b,0元=c 连接AC,则CA=a-c. 过，点B作BD∥AC,且BD=AC,则BD=CA 所以0D=0B+BD=b+a-c=a-c+b. 10.如图，已知0A=a,0B=b,0C=c,0D=d,0F=f,试用a,b,c,d,f表示以下向量： (1)AC; (2)AD (3)AD-AB: (4)AB CF; (5)BF-BD 解(1)AC=0C-0A=c-a (2)AD=A0+0D=-0A+0D=-a+d. (3)AD-AB =BD=d-b (4)AB+CF=0B-0A+CO+OF=b-a-c+f. (5)BF-BD=0F-0B-(0D-0B)=f-b-d+b. 11.在△OAB中，0A=a,0B=b,满足Ia=b=la-b=2,求a+b1与△OAB的面积 解：由已知得OA=OBL,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则可知其为菱形， 且0元=a+b,BA=a-b. al=b=a-b,O4=OB=BA, ∴.△OAB为正三角形， ∴.la+bl=0C=2×v3=2v3
答案:2 或 4 9.如图,已知 a,b,c,求作 a-c+b. 解:如图,在平面内任取一点 O,作𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =b,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =c. 连接 AC,则𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ =a-c. 过点 B 作 BD∥AC,且 BD=AC,则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ . 所以𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =b+a-c=a-c+b. 10.如图,已知𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =b,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =c,𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ =d,𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =f,试用 a,b,c,d,f 表示以下向量: (1)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ; (2)𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; (4)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐹⃗⃗⃗ ; (5)𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ . 解:(1)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =c-a. (2)𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ =-𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ =-a+d. (3)𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =d-b. (4)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐹⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a-c+f. (5)𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -(𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )=f-b-d+b. 11.在△OAB 中,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =b,满足|a|=|b|=|a-b|=2,求|a+b|与△OAB 的面积. 解:由已知得|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则可知其为菱形, 且𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =a+b,𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b. ∵|a|=|b|=|a-b|,则 OA=OB=BA, ∴△OAB 为正三角形, ∴|a+b|=|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ |=2×√3=2√3
SAOB-ix2xV3=V3
S△OAB= 1 2 ×2×√3 = √3