第四章测评 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.函数y= log(x-1)的定义域是( A.(1,+o) B.(2,+0) C.(-0,2] D.(1,2] 解析：由log=x-1)≥0，得00, 2.已知函数x)= 若关于x的方程x)=k有两个不等的实根，则实数k 2x,x≤0. 的取值范围是( A.(0,+0) B.(-0,1) C.(1,+o) D.(0,1] 解析：画函数的大致图象如图，由图知若方程x)=k有两个不等实根，则需0<k≤1， 故选D 9八 答案D 3.若xlog23=1,则3r+9r的值为( A.3 B 2 C.6 D 解析：xl0g23=1, ∴.3x=2 .3+9r=2+22=6. 答案C 4.下列函数x)中，满足“任意x1,x2∈(0，+oo),且x1x2,(x12)x1)2)】<0”的是 () Ax)=2 Bx)=x-1川 C.fx)=-x D.f(x)=In(x+1)
第四章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.函数 y=√log1 3 (𝑥-1)的定义域是( ) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2] D.(1,2] 解析:由 log1 3 (x-1)≥0,得 0 0, 2 𝑥 ,𝑥 ≤ 0. 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等的实根,则实数 k 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(0,1] 解析:画函数的大致图象如图,由图知若方程 f(x)=k 有两个不等实根,则需 0<k≤1. 故选 D. 答案:D 3.若 xlog23=1,则 3 x+9 x 的值为( ) A.3 B. 5 2 C.6 D. 1 2 解析:∵xlog23=1, ∴3 x=2, ∴3 x+9 x=2+2 2=6. 答案:C 4.下列函数 f(x)中,满足“任意 x1,x2∈(0,+∞),且 x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”的是 ( ) A.f(x)=2 x B.f(x)=|x-1| C.f(x)= 1 𝑥 -x D.f(x)=ln(x+1)
解析：由题意知x)在区间(0，+∞)内是减函数，A,D中函数在区间(0，+o)内都是增 函数B中函数在区间(0,1]上单调递减，在区间(1，+o)内单调递增：而x)=x在区 间(0，+0)内是减函数， 答案：C 5.方程2=x2+的一个根位于区间( A(1,引 B(,2 c(o,) D(1 解析：由2=x2+2得2-x22=0,令x)=2x-x221)=2-12=>02)=4-42= 20(月=2--0， ∴)2)0),x∈(0，+o),若不等式x)0)的解集为o,将不等式x+婴0)的最大值为4，故当m≥4时，m1,0e>log2,因为 函数x)为偶函数，所以a=fln),b=log2),c=e,由偶函数的性质可知，函数在 区间(0，+oo)内单调递减，故lnπ)<e2)-logs2),即a<c<b 答案D 8函数)恶的图象大致为(
解析:由题意知,f(x)在区间(0,+∞)内是减函数,A,D 中函数在区间(0,+∞)内都是增 函数;B 中函数在区间(0,1]上单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;而 f(x)= 1 𝑥 -x 在区 间(0,+∞)内是减函数. 答案:C 5.方程 2 x=x2+ 1 2的一个根位于区间( ) A.(1, 3 2 ) B.( 3 2 ,2) C.(0, 1 2 ) D.( 1 2 ,1) 解析:由 2 x=x2+ 1 2 得 2 x -x 2 - 1 2 =0,令 f(x)=2 x -x 2 - 1 2 ,f(1)=2-1- 1 2 = 1 2 >0,f(2)=4-4- 1 2 =- 1 2 0, ∴f( 3 2 )·f(2)0),x∈(0,+∞),若不等式 f(x)0)的解集为⌀,将不等式 x+𝑚 𝑥 0)的最大值为 4,故当 m≥4 时,m1,0e - 1 2>log52,因为 函数 f(x)为偶函数,所以 a=f(ln π),b=f(log52),c=f(e - 1 2),由偶函数的性质可知,函数在 区间(0,+∞)内单调递减,故 f(ln π)<f(e - 1 2)<f(-log52),即 a<c<b. 答案:D 8.函数 f(x)= 2𝑥√1+𝑥 2 e 𝑥+e -𝑥 的图象大致为( )
解析由题意，函教满足)1宁 -恶一即浅奇画数图象关千 原点对称，排除B,又由当x>0时，x)>0恒成立，排除A,D,故选C 答案：C 9.己知函数x)=log1(2-x-log2(x+4),则下列结论正确的是() A.函数x)的定义域是[4,2] B.函数y=x-1)是偶函数 C.函数x)在区间[-1,2)内是减函数 D.函数x)的图象关于直线x=1对称 解析：函数x)=log=(2-x)og2(x+4)=-log2(2-x)1og2(x+4)=-l1og2(2-x)(4+x),由2- x>0,x+4>0,可得4log(（1+)③a*aa2+后，其中 成立的是( A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④
解析:由题意,函数满足 f(-x)= -2𝑥√1+(-𝑥) 2 e -𝑥+e 𝑥 =- 2𝑥√1+𝑥 2 e 𝑥+e -𝑥 =-f(x),即 f(x)是奇函数,图象关于 原点对称,排除 B,又由当 x>0 时,f(x)>0 恒成立,排除 A,D,故选 C. 答案:C 9.已知函数 f(x)=log1 2 (2-x)-log2(x+4),则下列结论正确的是( ) A.函数 f(x)的定义域是[-4,2] B.函数 y=f(x-1)是偶函数 C.函数 f(x)在区间[-1,2)内是减函数 D.函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称 解析:函数 f(x)=log1 2 (2-x)-log2(x+4)=-log2(2-x)-log2(x+4)=-log2(2-x)(4+x),由 2- x>0,x+4>0,可得-4loga(1 + 1 𝑎 );③a 1+a𝑎 1+ 1 𝑎,其中 成立的是( ) A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④
解析：由0log(1+),故①错②对ala>a+培，则 ③错④对，故选D. 答案D 12.若偶函数x)的图象关于直线x=1对称，且当x∈[0,1]时x)=x,则函数 g(x)=x)lgx的零点个数为() A.14 B.16 C.18 D.20 解析：由g(x)=0得x)=lgx,即求函数y=x)与y=lgx图象的交点个数，而y=fx) 是偶函数且图象关于直线x=1对称，由题意画出两个函数当x>0时的图象如图所 示，且两个都是偶函数，可知两函数图象交点个数为2×9=18（个），故选C. f(x) 1glxl 12345678910x 答案：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在题中的横线上） 13.己知函数x)的反函数gx)=1+2lgx(x>0),则1)+g(1)= 解析：g1)=1+2g1=1,由1=1+2lgx=0,得x=1,即1)=1， ∴.1)+g(1)=2 答案：2 14化简器 +@3+v万3 a-vab+b 解折瑞+-a-V6+a+V6=2a a-vab+b 答案2√a 15.已知幂函数y=xm.9(m∈N+)的图象关于y轴对称，且在x∈(0，+o)内单调递减， 则m= 解析：由题意可得m290, 取值范围是 解析：由题意，知当x≤0时，3r+1>1,所以x+1>0,解得-10时，log2x>1,解得x>2 综上所述，-12
解析:由 0loga(1 + 1 𝑎 ),故①错②对;a 1+a>𝑎 1+ 1 𝑎 ,则 ③错④对,故选 D. 答案:D 12.若偶函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 g(x)=f(x)-lg|x|的零点个数为( ) A.14 B.16 C.18 D.20 解析:由 g(x)=0 得 f(x)=lg|x|,即求函数 y=f(x)与 y=lg|x|图象的交点个数,而 y=f(x) 是偶函数且图象关于直线 x=1 对称,由题意画出两个函数当 x>0 时的图象如图所 示,且两个都是偶函数,可知两函数图象交点个数为 2×9=18(个),故选 C. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案写在题中的横线上) 13.已知函数 f(x)的反函数 g(x)=1+2lg x(x>0),则 f(1)+g(1)= . 解析:∵g(1)=1+2lg 1=1,由 1=1+2lg x=0,得 x=1,即 f(1)=1, ∴f(1)+g(1)=2. 答案:2 14.化简: 𝑎-𝑏 √𝑎+√𝑏 + (√𝑎) 3+(√𝑏) 3 𝑎-√𝑎𝑏+𝑏 = . 解析: 𝑎-𝑏 √𝑎+√𝑏 + (√𝑎) 3+(√𝑏) 3 𝑎-√𝑎𝑏+𝑏 = √𝑎 − √𝑏 + √𝑎 + √𝑏=2√𝑎. 答案:2√𝑎 15.已知幂函数 y=𝑥 𝑚2 -9 (m∈N+)的图象关于 y 轴对称,且在 x∈(0,+∞)内单调递减, 则 m= . 解析:由题意可得 m2 -9 0, 则使函数 f(x)的图象恒位于直线 y=1 上方的 x 的 取值范围是 . 解析:由题意,知当 x≤0 时,3x+1>1,所以 x+1>0,解得-10 时,log2x>1,解得 x>2. 综上所述,-12
答案：(-1,0]U(2,+∞) 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(10分)化简下列各式： 0.064r25f-3号 21g2+1g3 (2h+g0.36+g16 解（①原式 =护-， -台-f 号-210 2- (2)原式 21g2+lg3 1+2g0.62+1g2 =1g22+1g3 1+lg0.6+lg2 lg(4×3) 1g(10×0.6×2) -92-1 1g12 18.(12分)已知函数x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0,且a味1) (1)求函数x)的定义域： (2)当00,且x+3>0, -3<x<1 函数x)的定义域为(3,1)】 (2)/x)=loga[(1-x)x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4], .0<-(x+1)2+4≤4 又当0<a<1时y=logax为减函数， ∴，x)≥loga4. ∴.当x=-1时x)的最小值为loga4 19.(12分)已知x)为定义在区间[-1,1上的奇函数，当x∈【-1,0]时，函数解析式为 )京-安 (1)求x)在区间[0,1]上的解析式 (2)求x)在区间[0,1]上的最值 解(1)设x∈[0,1]，则-x∈[-1,0] 所以)=京一=4华2 又因为-x)=x)=4-2x,所以x)=2r-4
答案:(-1,0]∪(2,+∞) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(10 分)化简下列各式: (1)[(0.064 1 5) -2.5 ] 2 3 − √3 3 8 3 -π 0 ; (2) 2𝑙𝑔2+𝑙𝑔3 1+ 1 2 𝑙𝑔0.36 + 1 4 𝑙𝑔16 . 解:(1)原式={[( 64 1 000 ) 1 5 ] - 5 2 } 2 3 − ( 27 8 ) 1 3 -1 =[( 4 10) 3 ] 1 5 ×(- 5 2 )× 2 3 − [( 3 2 ) 3 ] 1 3 -1 = 5 2 − 3 2 -1=0. (2)原式= 2𝑙𝑔2 +𝑙𝑔3 1+ 1 2 𝑙𝑔0.6 2+ 1 4 𝑙𝑔2 4 = 𝑙𝑔2 2 +𝑙𝑔3 1+𝑙𝑔0.6+𝑙𝑔2 = 𝑙𝑔(4×3) 𝑙𝑔(10×0.6×2) = 𝑙𝑔12 𝑙𝑔12 =1. 18.(12 分)已知函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0,且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)当 00,且 x+3>0, ∴-3<x<1. ∴函数 f(x)的定义域为(-3,1). (2)f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x 2 -2x+3)=loga[-(x+1)2+4]. ∵0<-(x+1)2+4≤4, 又当 0<a<1 时,y=logax 为减函数, ∴f(x)≥loga4. ∴当 x=-1 时,f(x)的最小值为 loga4. 19.(12 分)已知 f(x)为定义在区间[-1,1]上的奇函数,当 x∈[-1,0]时,函数解析式为 f(x)= 1 4 𝑥 − 1 2 𝑥 . (1)求 f(x)在区间[0,1]上的解析式; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最值. 解:(1)设 x∈[0,1],则-x∈[-1,0]. 所以 f(-x)= 1 4 -𝑥 − 1 2 -𝑥=4 x -2 x , 又因为 f(-x)=-f(x)=4 x -2 x ,所以 f(x)=2 x -4 x
所以x)在区间[0,1]上的解析式为x)=2x4 (2)当x∈[0,1]时x)=2x-4=-(22+2x, 所以设=2(D0),则y=-2+t 因为x∈[0,1]，所以1∈[1,2]， 当t仁1时x=0,x)max=0. 当1=2时x=1儿x)min=-2 所以，函数x)在区间[0,1]上的最大值与最小值分别为0，-2 20.(12分)为了让市民吃上放心蔬菜，某企业于2021年投入100万元研发资金，用 于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增 长10%. (1)）写出第x年(2022年为第一年)该企业投入的资金数（单位：万元）与x的函数关 系式，并指出函数的定义域 (2)该企业从第几年开始(2022年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万 元？（参考数据lg0.11≈-0.959，lg1.10.041,lg11≈1.041，lg20.301)） 解(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元，第二年投入的资金数为 100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元， 第x年(2022年为第一年)该企业投入的资金数（单位：万元）与x的函数关系式为 y=100(1+10%)r万元，其定义域为{x∈N+x≤10} (2)由100(1+10%>200可得1.1>2，即x>2≈3017.3，即企业从第11年开始 1g1.1 0.041 (2022年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元 21.(12分)定义在区间[-1,1]上的函数x)满足：①对任意a,b∈[-1,1]，且a+b≠0，都有 @+f@0成立：②x)在区间-1,1]上是奇函数，且1)=1. a+b (1)求证x)在区间[-1,1]上是单调递增函数 (2)解关于x的不等式x)x+1) (3)若x)≤m2-2am-2对所有的x∈[1,1]及a∈[-1,1]恒成立，求实数m的取值范 围 (1)证明：任取x1,x2∈[-1,1]，且x10,x1-xn<0, X1-X2 x1)x2)K0,则x)是区间[-1,1]上的增函数 (2)解：若x)x+1),则-1≤x<x+1≤1，解得x∈1,0]，故不等式x)径x+1) 的解集为[-1,0] (3)解：要使x)≤m2-2am-2对所有的x∈[-l,1],a∈[1,1]恒成立，只须x)max≤m2 2am-2,即1≤m2-2am-2对任意的a∈[-1,1]恒成立，亦即m2-2am-3≥0对任意的a ∈[-1,1]恒成立
所以 f(x)在区间[0,1]上的解析式为 f(x)=2 x -4 x . (2)当 x∈[0,1]时,f(x)=2 x -4 x=-(2x ) 2+2 x , 所以设 t=2 x (t>0),则 y=-t 2+t. 因为 x∈[0,1],所以 t∈[1,2], 当 t=1 时 x=0,f(x)max=0. 当 t=2 时 x=1,f(x)min=-2. 所以,函数 f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值分别为 0,-2. 20.(12 分)为了让市民吃上放心蔬菜,某企业于 2021 年投入 100 万元研发资金,用 于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增 长 10%. (1)写出第 x 年(2022 年为第一年)该企业投入的资金数 y(单位:万元)与 x 的函数关 系式,并指出函数的定义域; (2)该企业从第几年开始(2022 年为第一年),每年投入的资金数将超过 200 万 元?(参考数据:lg 0.11≈-0.959,lg 1.1≈0.041,lg 11≈1.041,lg 2≈0.301) 解:(1)第一年投入的资金数为 100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为 100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2 万元, 第 x 年(2022 年为第一年)该企业投入的资金数 y(单位:万元)与 x 的函数关系式为 y=100(1+10%)x 万元,其定义域为{x∈N+|x≤10}. (2)由 100(1+10%)x>200 可得 1.1 x>2,即 x> lg2 lg1.1 ≈ 0.301 0.041 ≈7.3,即企业从第 11 年开始 (2022 年为第一年),每年投入的资金数将超过 200 万元. 21.(12 分)定义在区间[-1,1]上的函数 f(x)满足:①对任意 a,b∈[-1,1],且 a+b≠0,都有 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏) 𝑎+𝑏 >0 成立;②f(x)在区间[-1,1]上是奇函数,且 f(1)=1. (1)求证:f(x)在区间[-1,1]上是单调递增函数; (2)解关于 x 的不等式 f(x)0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,则 f(x)是区间[-1,1]上的增函数. (2)解:若 f(x)<f( 1 2 𝑥 + 1),则-1≤x<1 2 x+1≤1,解得 x∈[-1,0],故不等式 f(x)<f( 1 2 𝑥 + 1) 的解集为[-1,0]. (3)解:要使 f(x)≤m2 -2am-2 对所有的 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,只须 f(x)max≤m2 - 2am-2,即 1≤m2 -2am-2 对任意的 a∈[-1,1]恒成立,亦即 m2 -2am-3≥0 对任意的 a ∈[-1,1]恒成立
令g(a=m2-2am-3, 只须9-1)=m2+2m-3≥0， (g(1)=m2-2m-3≥0， 解得m≤-3或m≥3 22(12分)已知函数x)-(（),函数gx)=1ogx (1)若gmx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围； (2)当x∈[-1,1]时，求函数y=(x)2-2ax)+3的最小值h(a: (3)是否存在实数m,n,使得函数y=2x+logx2)的定义域为[m,川，值域为4m,4n]?若 存在，求出m,n的值；若不存在，请说明理由. 解(1)由题意，mxr2+2x+m>0对任意实数x恒成立， ,m=0时显然不满足， 88 .m>1. 2)冷x)=(t∈居，3) 则y=2-2al+3=(t-a)2+3-a2 2a3. (3)假设存在m,n∈R,使命题成立 .'y=2x+log Ax2)=2x-x2, ∴.4n≤1， n子 .函数y=2x-x2在区间[m,n川上单调递增 ÷6机 又m<n, ∴.m=-2,n=0. 故存在m=-2,n=0使命题成立】
令 g(a)=m2 -2am-3, 只须{ 𝑔(-1) = 𝑚2 + 2𝑚-3 ≥ 0, 𝑔(1) = 𝑚2 -2𝑚-3 ≥ 0, 解得 m≤-3 或 m≥3. 22.(12 分)已知函数 f(x)=( 1 3 ) 𝑥 ,函数 g(x)=log3x. (1)若 g(mx2+2x+m)的定义域为 R,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈[-1,1]时,求函数 y=(f(x))2 -2af(x)+3 的最小值 h(a); (3)是否存在实数 m,n,使得函数 y=2x+log3f(x 2 )的定义域为[m,n],值域为[4m,4n]?若 存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)由题意,mx2+2x+m>0 对任意实数 x 恒成立, ∵m=0 时显然不满足, ∴{ 𝑚 > 0, 𝛥 1. (2)令 f(x)=t(𝑡∈ [ 1 3 ,3]), 则 y=t2 -2at+3=(t-a) 2+3-a 2 . ∴h(a)={ 28-6𝑎 9 ,𝑎 3. (3)假设存在 m,n∈R,使命题成立. ∵y=2x+log3f(x 2 )=2x-x 2 , ∴4n≤1, ∴n≤ 1 4 , ∴函数 y=2x-x 2 在区间[m,n]上单调递增, ∴{ 2𝑚-𝑚2 = 4𝑚, 2𝑛-𝑛 2 = 4𝑛. 又 m<n, ∴m=-2,n=0. 故存在 m=-2,n=0 使命题成立