4.2.2 对数运算法则 基础巩固 1.若a>0,且a时1，x∈Ry∈R,且y>0,则下列各式不恒成立的是() ①1ogax2=2 logax;: ②logax2=2 logalxl; 3loga(xy)=logax+logay, 4loga(xy)=logax+logalyl. A.②④ B.①③ C.①④ D.②③ 解析：y>0,.①中若x<0则不成立；③中若x<0y<0也不成立，故选B. 答案B 2化简log宁+log号+log子++loe号等于() A.5 B.4 C.-5 D.-4 解析：原式=log(传x××…×)=1og7=-5 答案：C 3.若lga,lgb是方程3x2+6x+1=0的两个实根，则ab的值等于() A.2 c品 D.V10 解析：，lga,lgb是方程3x2+6r+1=0的两个实根，由根与系数的关系， 得lga+lgb=-2,∴ab=。故选C 答案：C 4计算2+1二等于( 1og19 A.lg 3 B.-Ig 3 c D1 解桥位+ og+log-og4+og5-log2+logs5-log310 1 答案：C 5.已知2=3b=k(件1)，且2a+b=ab,则实数k的值为( A.6 B.9 C.12 D.18 解析：.2a=3b=1), ∴.a=log2k,b=log3k ∴2=log2,2=og43
4.2.2 对数运算法则 基础巩固 1.若 a>0,且 a≠1,x∈R,y∈R,且 xy>0,则下列各式不恒成立的是( ) ①logax 2=2logax; ②logax 2=2loga|x|; ③loga(xy)=logax+logay; ④loga(xy)=loga|x|+loga|y|. A.②④ B.①③ C.①④ D.②③ 解析:∵xy>0,∴①中若 x<0 则不成立;③中若 x<0,y<0 也不成立,故选 B. 答案:B 2.化简:log2 1 2 +log2 2 3 +log2 3 4 +…+log2 31 32等于( ) A.5 B.4 C.-5 D.-4 解析:原式=log2( 1 2 × 2 3 × 3 4 × … × 31 32)=log2 1 32 =-5. 答案:C 3.若 lg a,lg b 是方程 3x 2+6x+1=0 的两个实根,则 ab 的值等于( ) A.2 B. 1 2 C. 1 100 D.√10 解析:∵lg a,lg b 是方程 3x 2+6x+1=0 的两个实根,由根与系数的关系, 得 lg a+lg b=-2,∴ab= 1 100 .故选 C. 答案:C 4.计算: 1 log1 4 1 9 + 1 log1 5 1 3 等于( ) A.lg 3 B.-lg 3 C. 1 lg3 D.- 1 lg3 解析: 1 log1 4 1 9 + 1 log1 5 1 3 =log1 9 1 4 +log1 3 1 5 =log94+log35=log32+log35=log310= 1 lg3 . 答案:C 5.已知 2 a=3 b=k(k≠1),且 2a+b=ab,则实数 k 的值为( ) A.6 B.9 C.12 D.18 解析:∵2 a=3 b=k(k≠1), ∴a=log2k,b=log3k, ∴ 1 𝑎 =logk2,1 𝑏 =logk3
.2a+b=ab, ÷号+2-2log3+log2=logu9+log2=logu18=l, .k=18 答案D 6.已知3a-2,3b=1则32a-b- 解析：3=2,30=5两边取对数得a=log2,b=log5=-log35, .'.2a-b=2l0g32+l0g35=10g320, .32a-b=20. 答案20 7.i计算：100g9-e2)0g98-l0g4V3= 解析：100g9gp.0g810g45=10s÷104罗.罗=：-光 1g91g4 4-23282=4-2 答案2 8.己知x,y∈(0,1)，若lgx+lgy=lg(x+y),则1g(1-x)+lg(1-y)= 解析：lg(x+y)=lgx+lgy=lgxy)→x+y=xy,lg(1-x)+lg(1-y)=lg[(1-x(1y]=lg(1-x- y+xy)=lg 1=0. 答案：0 9.计算=z+logW3+V店-V35 lo gs+logz 解：原式=ogV2log9+log4(W3+V厉-V3-V5} =2og23og23+log4(3+V5+3-V5-2W95)=+log2=2+2-l, 10.已知a=lg(1+),b=lg(1+),用含a,b的式子表示lg2和lg7 解a=le(1+)-glg号=3g2-g7,b=g(1+)-g号-4g兴-24g22g7， 联之，得方根侣-2经2 g2=2(2a-b+2), 解得 g7=(a-3b+6), 拓展提高 1.已知2=3，og号y,则x+2y的值为 A.3 B.8 C.4 D.1og48 解析：由2r=3,得x=l0g23. x+2y-10g23+210g2-log23+2o8a10g23+31og2.10g23 1og24 答案A
∵2a+b=ab, ∴ 2 𝑏 + 1 𝑎 =2logk3+logk2=logk9+logk2=logk18=1, ∴k=18. 答案:D 6.已知 3 a=2,3b= 1 5 ,则 3 2a-b= . 解析:∵3 a=2,3b= 1 5 ,两边取对数得 a=log32,b=log3 1 5 =-log35, ∴2a-b=2log32+log35=log320, ∴3 2a-b=20. 答案:20 7.计算:100 ( 1 2 lg9-lg2) -log98·log4√3 3 = . 解析:100 ( 1 2 𝑙𝑔9-𝑙𝑔2) -log98·log4√3 3 =10lg 9÷10lg 4 - lg8 lg9 · 1 3 lg3 lg4 = 9 4 − 3lg2 2lg3 · 1 3 lg3 2lg2 = 9 4 − 1 4 =2. 答案:2 8.已知 x,y∈(0,1),若 lg x+lg y=lg(x+y),则 lg(1-x)+lg(1-y)= . 解析:lg(x+y)=lg x+lg y=lg(xy)⇒x+y=xy,lg(1-x)+lg(1-y)=lg[(1-x)(1-y)]=lg(1-xy+xy)=lg 1=0. 答案:0 9.计算: log5√2·log7 9 log5 1 3 ·log7 √4 3 +log2(√3 + √5 − √3-√5). 解:原式=lo𝑔1 3 √2·log √4 3 9+log4(√3 + √5 − √3-√5) 2 =- 1 2 log32·3log23+log4(3+√5+3-√5-2√9-5)=- 3 2 +log42=- 3 2 + 1 2 =-1. 10.已知 a=lg(1 + 1 7 ),b=lg(1 + 1 49),用含 a,b 的式子表示 lg 2 和 lg 7. 解:a=lg(1 + 1 7 )=lg 8 7 =lg 2 3 7 =3lg 2-lg 7,b=lg(1 + 1 49)=lg 50 49 =lg 10 2 2×7 2=2-lg 2-2lg 7, 联立,得方程组{ 𝑎 = 3lg2-lg7, 𝑏 = 2-lg2-2lg7, 解得{ lg2 = 1 7 (2𝑎-𝑏 + 2), lg7 = 1 7 (-𝑎-3𝑏 + 6). 拓展提高 1.已知 2 x=3,log4 8 3 =y,则 x+2y 的值为( ) A.3 B.8 C.4 D.log48 解析:由 2 x=3,得 x=log23. 故 x+2y=log23+2log4 8 3 =log23+ 2log2 8 3 log2 4 =log23+(3log22-log23)=3. 答案:A
2.若xog34=1,则4r+4x的值为() A B号 C.2 D.1 析：x0g4=l,xo 1 -=l0g43, .4+4r=4o843+41og43=3+2=10 答案B 3.已知x6)=10g2x,那么8)等于() A号 B.8 C.18 D时 解析：由x6=8,得x=8后 则8)=l0g286=l0g222=号故选D. 答案D 4若gxg=则g(囹）3g(=() A.3t B C.t D 解析1g(囹°-g()）=3g3lg兰=3g产=3gx-lg)=3弘 答案：A 5.己知log29=a,log25=b,则1og275的值为() AB2+号 B.b2+/a C.2b+a D.4b+a 解析10g275=log25+1og23-2l0g25+log3-2b+号=0 2 答案D 6.已知3)=4xlog23+234,则2)+4)+…+28)= 解析：.3)=4xlog23+234=4log23r+234, .x)=4log2x+234. ∴.2)+4)+…+28)=8×234+4×(1og22+1og24+…+l0g228)=1 872+4×(1+2+…+8)=1872+144=2016 答案：2016 7.若方程lgx)2+g7+lg5)gx+lg7lg5=0的两根是a,则c= 解析：方程(gx2+(lg7+lg5)gx+lg7lg5=0可以看成关于lgx的二次方程 α，B是原方程的两根， lga,lgB可以看成关于lgx的二次方程的两根. 由根与系数的关系，得lga+lgB=-(g7+lg5)=g5 lg=lga+lgB=-lg云af=3 答案号 8.里氏地震震级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里克特和古腾 堡共同制定的它与震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关震级M=gE
2.若 xlog34=1,则 4 x+4 -x 的值为( ) A. 8 3 B. 10 3 C.2 D.1 解析:∵xlog34=1,∴x= 1 log3 4 =log43, ∴4 x+4 -x=4 log43 + 4 -log4 3=3+ 1 3 = 10 3 . 答案:B 3.已知 f(x 6 )=log2x,那么 f(8)等于( ) A. 4 3 B.8 C.18 D. 1 2 解析:由 x 6=8,得 x=8 1 6, 则 f(8)=log28 1 6=log22 1 2 = 1 2 .故选 D. 答案:D 4.若 lg x-lg y=t,则 lg( 𝑥 2 ) 3 -lg( 𝑦 2 ) 3 =( ) A.3t B. 3 2 t C.t D. 𝑡 2 解析:lg( 𝑥 2 ) 3 -lg( 𝑦 2 ) 3 =3lg 𝑥 2 -3lg 𝑦 2 =3lg 𝑥 𝑦 =3(lg x-lg y)=3t. 答案:A 5.已知 log29=a,log25=b,则 log275 的值为( ) A.b 2+ 𝑎 2 B.b 2+√𝑎 C.2b+a D. 4𝑏+𝑎 2 解析:log275=log225+log23=2log25+log23=2b+𝑎 2 = 4𝑏+𝑎 2 . 答案:D 6.已知 f(3x )=4xlog23+234,则 f(2)+f(4)+…+f(28 )= . 解析:∵f(3x )=4xlog23+234=4log23 x+234, ∴f(x)=4log2x+234. ∴f(2)+f(4)+…+f(28 )=8×234+4×(log22+log24+…+log22 8 )=1 872+4×(1+2+…+8)=1 872+144=2 016. 答案:2 016 7.若方程(lg x) 2+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0 的两根是 α,β,则 αβ= . 解析:方程(lg x) 2+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0 可以看成关于 lg x 的二次方程. ∵α,β 是原方程的两根, ∴lg α,lg β 可以看成关于 lg x 的二次方程的两根. 由根与系数的关系,得 lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=lg 1 35 , ∴lg αβ=lg α+lg β=lg 1 35 ,∴αβ= 1 35 . 答案: 1 35 8.里氏地震震级最早是在 1935 年由美国加州理工学院的地震学家里克特和古腾 堡共同制定的.它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级 M=2 3 lg E-
3.2,其中E(单位：J)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的 能量相当于1颗原子弹的能量，那么8.0级大地震所释放的能量相当于 颗原子弹 解析：设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2,E1. 则8-6-g E2-g E,即略-3. 营-103=100，即80级大地震所释放的能量相当于1000颗原子弹的能量. 答案：1000 9.己知lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根，求lg(ab)(logab+logba)的值 解：由题设，得lga+lgb=2,g a-lg b=-之 所以lg(ab)r(logab+loga) -0ga+g创（偿+器） =(Ig a+lg b)a+(b) Iga-lgb -(Ig a+lg b)a +b)2-ga-b Iga-Igb -2x2-12 =2×2 挑战创新 己知loga(x2+4)+loga02+1)=loga5+loga(2xy-1(a>0,af1),求log8兰的值. 解：根据对数的运算法则，原等式可化为 loga[x2+4)0y2+1)]=loga[5(2xy-1月， .(x2+4)02+1)=5(2xy-1) 整理得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,① 配方得(xy-3)2+(x-2y2=0. 批- =log-log吃=
3.2,其中 E(单位:J)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏 6.0 级地震释放的 能量相当于 1 颗原子弹的能量,那么 8.0 级大地震所释放的能量相当于 颗原子弹. 解析:设里氏 8.0 级、6.0 级地震释放的能量分别为 E2,E1. 则 8-6= 2 3 (lg E2-lg E1),即 lg𝐸2 𝐸1 =3. ∴ 𝐸2 𝐸1 =103=1 000,即 8.0 级大地震所释放的能量相当于 1 000 颗原子弹的能量. 答案:1 000 9.已知 lg a,lg b 是方程 2x 2 -4x+1=0 的两个根,求 lg(ab)·(logab+logba)的值. 解:由题设,得 lg a+lg b=2,lg a·lg b=1 2 . 所以 lg(ab)·(logab+logba) =(lg a+lg b)·( lg𝑏 lg𝑎 + lg𝑎 lg𝑏 ) =(lg a+lg b)· (lg𝑎 ) 2+(lg𝑏) 2 lg𝑎·lg𝑏 =(lg a+lg b)· (lg𝑎 +lg𝑏) 2 -2lg𝑎·lg𝑏 lg𝑎·lg𝑏 =2× 2 2 -2× 1 2 1 2 =12. 挑战创新 已知 loga(x 2+4)+loga(y 2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,a≠1),求 log8 𝑦 𝑥 的值. 解:根据对数的运算法则,原等式可化为 loga[(x 2+4)·(y 2+1)]=loga[5(2xy-1)], ∴(x 2+4)(y 2+1)=5(2xy-1), 整理得 x 2y 2+x2+4y 2 -10xy+9=0,① 配方得(xy-3)2+(x-2y) 2=0. ∴{ 𝑥𝑦 = 3, 𝑥 = 2𝑦, ∴ 𝑦 𝑥 = 1 2 ,∴log8 𝑦 𝑥 =log8 1 2 =- 1 3