第2课时 对数函数及其性质的应用 基础巩固 1.己知02 解析：.0logaa2=2. 答案D 2.方程1og2(x+4)=2x的实数解的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析：方程解的个数即函数y=l0g2(x+4)与y=2图象交点的个数，作出两函数图象， 由图象易知两图象有两个交，点， 答案：C 3.若x∈(e1,1),a=lnx,b=2lnx,c=(lnx)3,则( A.a0. .c>a. 答案：C 4.函数y=log=(x2-2x)的单调递增区间是( A.(1,+o) B.(2,+oo) C.(-0,1) D.(-0,0) 解析：由x2-2x>0得x2,又y=log2x在区间(0，+o)内是减函数，故函数 y=log1(x2-2x)的单调递增区间为(-o,0) 答案D 5.若函数x)= flogax,x >1, 是R上的增函数，则实数a的取值范围为( (8-a)x-4,x≤11 A.(1,+o) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8) a>1, 解析：由题可得{8-a>0,故4≤a<8.选D 8-a-4≤0， 答案D 6.函数y=log0.8(-x2+4x)的单调递减区间是
第 2 课时 对数函数及其性质的应用 基础巩固 1.已知 02 解析:∵0logaa 2=2. 答案:D 2.方程 log2(x+4)=2 x 的实数解的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:方程解的个数即函数 y=log2(x+4)与 y=2 x 图象交点的个数,作出两函数图象, 由图象易知两图象有两个交点. 答案:C 3.若 x∈(e-1 ,1),a=ln x,b=2ln x,c=(ln x) 3 ,则( ) A.a0, ∴c>a. 答案:C 4.函数 y=log1 π (x 2 -2x)的单调递增区间是( ) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,0) 解析:由 x 2 -2x>0 得 x2,又 y=log1 π x 在区间(0,+∞)内是减函数,故函数 y=log1 π (x 2 -2x)的单调递增区间为(-∞,0). 答案:D 5.若函数 f(x)={ log𝑎𝑥,𝑥 > 1, (8-𝑎)𝑥-4,𝑥 ≤ 1 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8) 解析:由题可得{ 𝑎 > 1, 8-𝑎 > 0, 8-𝑎-4 ≤ 0, 故 4≤a<8.选 D. 答案:D 6.函数 y=log0.8(-x 2+4x)的单调递减区间是
解析：令-x2+4x>0得00,且a时1) (1)求函数x)的定义域： (2)判断函数x)的奇偶性，并加以证明： (3)设a=2解不等式x)>0, 解(0)由题意知货0解得-<1所以函致的定义城为1)
解析:令-x 2+4x>0 得 0 0, 1-𝑥 > 0, 得-10,且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并加以证明; (3)设 a= 1 2 ,解不等式 f(x)>0. 解:(1)由题意知{ 𝑥 + 1 > 0, 1-𝑥 > 0, 解得-1<x<1,所以函数 f(x)的定义域为(-1,1)
(2)函数x)为奇函数. 证明如下：由(1)知函数x)的定义域为(-1,1)，对任意x∈(1,1)-x)=loga(-x+1) loga[1-(-x】=-loga(x+1)Hoga(1-x】=-x),所以函数x)是奇函数 (x+1>0, (3)由题意知log=x+1)>log=1-x,则有1-x>0,解得-10的解集为{x-1日B)>2) c)2>D2> 解析：x)=llogaxl的图象如图所示， 当0) 2)=llog,2I--log2=log) >得)故选B 答案B 0g2x,x>0, 2.已知函数x)-1og2(x),x-ad),得2a>0, 从图象可知a的取值范围是(-1,0)U(1,+o),故选D. 答案D 3.若函数x)=xn(x+Va2+x2)为偶函数，则a的值为( A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 解析x)为偶函数，-x)x)=0 Ep-xIn(-x+va2 +x2)-xIn(x+Va2+x2)=0
(2)函数 f(x)为奇函数. 证明如下:由(1)知函数 f(x)的定义域为(-1,1),对任意 x∈(-1,1),f(-x)=loga(-x+1)- loga[1-(-x)]=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),所以函数 f(x)是奇函数. (3)由题意知 log1 2 (x+1)>log1 2 (1-x),则有{ 𝑥 + 1 > 0, 1-𝑥 > 0, 𝑥 + 1 0 的解集为{x|-1f( 1 3 )>f( 1 4 ) B.f( 1 4 )>f( 1 3 )>f(2) C.f( 1 3 )>f(2)>f( 1 4 ) D.f( 1 4 )>f(2)>f( 1 3 ) 解析:f(x)=|logax|的图象如图所示, 当 0 1 4 ,∴f( 1 3 ) 1 3 ,∴f( 1 2 ) 0, log1 2 (-𝑥),𝑥 f(-a),则实数 a 的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞) 解析:f(x)的图象如图所示, 则 f(x)是奇函数,由 f(a)>f(-a),得 2f(a)>0, 从图象可知 a 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞),故选 D. 答案:D 3.若函数 f(x)=xln(x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )为偶函数,则 a 的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.1 或-1 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0, 即-xln(-x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )-xln(x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )=0
..In(x+Va2 +x2)+In(-x+Va2 +x2)=0, lnl(x+va2+x2)(-x+Va2+x2)]=0, 即na2=0 .a2=1,a=±1，故选D 答案D 4.己知函数x)=log(2r+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是 () A.01. 又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于-1和0之间，即-1的值域为R则实数a的取值范围是 解析：由题意知，当x>1时x)=2a+lnx>2a
∴ln(x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )+ln(-x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )=0, ∴ln[(x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )(-x+√𝑎 2 + 𝑥 2 )]=0, 即 ln a 2=0. ∴a 2=1,a=±1,故选 D. 答案:D 4.已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满足的关系是 ( ) A.01. 又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于-1 和 0 之间,即-1 1, 𝑎 + 1-𝑥 2 ,𝑥 ≤ 1 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 . 解析:由题意知,当 x>1 时,f(x)=2a+ln x>2a;
当x≤1时x)=a+1-x2≤a+1. 要使函数x)的值域为R,需满足2a≤a+1,即a≤1. 答案(-0,1] 7.已知函数x)-() -log2x,00b)>0或a)0,b)>0时，因为d=0,所以b0,且al,m1)是奇函数 (1)求实数m的值： (2)探究函数x)在区间(1，+∞)内的单调性： (3)若a=2,试求函数x)在区间[3,5]上的值域 解(1)由已知条件得-x)+x)=0对定义域中的x均成立. ∴logm+2+log-m=0,即mx+.-mx-1, -x-1 x.1 -x.1x.1 .m2x21=x21对定义域中的x均成立. ∴.m2=1,即m=1(舍去)或m=-1. (②)油1得=loe若 设仁牛1=1+2-1+2 x.1 x-1 1 当>1时hb品品=动0n1时，loga1时x)在区间(1，+o)内是减函数 同理当00,a时1)，且3)2)=1
当 x≤1 时,f(x)=a+1-x 2≤a+1. 要使函数 f(x)的值域为 R,需满足 2a≤a+1,即 a≤1. 答案:(-∞,1] 7.已知函数 f(x)=( 1 3 ) 𝑥 -log2x,0b;③dc. 其中可能成立的是 .(填序号) 解析:易知函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减. 因为 00,f(b)>0 或 f(a)0,f(b)>0 时,因为 f(d)=0,所以 b0,且 a≠1,m≠1)是奇函数. (1)求实数 m 的值; (2)探究函数 f(x)在区间(1,+∞)内的单调性; (3)若 a=2,试求函数 f(x)在区间[3,5]上的值域. 解:(1)由已知条件得 f(-x)+f(x)=0 对定义域中的 x 均成立. ∴loga 𝑚𝑥+1 -𝑥-1 +loga 1-𝑚𝑥 𝑥-1 =0,即 𝑚𝑥+1 -𝑥-1 · 1-𝑚𝑥 𝑥-1 =1, ∴m2x 2 -1=x2 -1 对定义域中的 x 均成立. ∴m2=1,即 m=1(舍去)或 m=-1. (2)由(1)得 f(x)=loga 1+𝑥 𝑥-1 . 设 t= 𝑥+1 𝑥-1 = 𝑥-1+2 𝑥-1 =1+ 2 𝑥-1 , ∴当 x1>x2>1 时,t1-t2= 2 𝑥1 -1 − 2 𝑥2 -1 = 2(𝑥2 -𝑥1 ) (𝑥1 -1)(𝑥2 -1) 1 时,logat11 时,f(x)在区间(1,+∞)内是减函数. 同理当 00,a≠1),且 f(3)-f(2)=1
(1)若3m-2)0, (1)由已知可得2m+5>0,所以2<m<7. 3m-2<2m+5, 2油(x到-=0g 即og:(c到=log号子所以x子=号 解得x=或x=4
(1)若 f(3m-2) 0, 2𝑚 + 5 > 0, 3𝑚-2 < 2𝑚 + 5, 所以2 3 <m<7. (2)由 f(𝑥- 2 𝑥 )=log3 2 7 2 , 即 log3 2 (𝑥- 2 𝑥 )=log3 2 7 2 ,所以 x- 2 𝑥 = 7 2 . 解得 x=- 1 2或 x=4