4.4 幂函数 课后·训练提升 1.若幂函数x)的图象过点(2，m),且m)=16,则实数m的值为( A.4或 B.±2 C.4或好 D或2 解析：设x)=xa,由x)图象过点(2，m),得2a=m, ∴.m)=2)=(2=16 ∴.c2=4,a=士2，故m=2a=4或2 答案：C 2.给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( A.①y=x5,②y=x2,③y=x2,④y=x B.①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=x C.①y=x2,②y=x3,③y=x2,④y=x D.①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=xl 解析：因为y=x3的定义域为R且为奇函数，所以其图象应为图①y=x2的图象为开 口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确 答案B 3.己知幂函数x)=x,当x>1时，恒有x)0 D.a1时x)水x恒成立，即xa-1,所以a-1<0,解得a<1,故选B. 答案B 4.已知幂函数x)的图象经过点(4,2)，则x)的单调递增区间为( A.(-0,+0) B.(-0,0) C.(0,+o) D.(1,+o 解析：设幂函数x)=x”,则4"=2，解得n=2即有x)=V元，则有x≥0，则增区间为 (0,+oo)故选C 答案：C 5.若(a+1)z<(3-2a)z,则a的取值范围是(
4.4 幂函数 课后· 1.若幂函数 f(x)的图象过点(2,m),且 f(m)=16,则实数 m 的值为( ) A.4 或 1 2 B.±2 C.4 或 1 4 D. 1 4或 2 解析:设 f(x)=xα ,由 f(x)图象过点(2,m),得 2 α=m, ∴f(m)=f(2α )=(2α ) α=16, ∴α 2=4,α=±2,故 m=2 α=4 或 1 4 . 答案:C 2.给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是( ) A.①y=𝑥 1 3,②y=x2 ,③y=𝑥 1 2,④y=x-1 B.①y=x3 ,②y=x2 ,③y=𝑥 1 2,④y=x-1 C.①y=x2 ,②y=x3 ,③y=𝑥 1 2,④y=x-1 D.①y=x3 ,②y=𝑥 1 2,③y=x2 ,④y=x-1 解析:因为 y=x3 的定义域为 R 且为奇函数,所以其图象应为图①;y=x2 的图象为开 口向上的抛物线且顶点为原点,应为图②.同理可得出选项 B 正确. 答案:B 3.已知幂函数 f(x)=xa ,当 x>1 时,恒有 f(x)0 D.a1 时,f(x)1,所以 a-1<0,解得 a<1,故选 B. 答案:B 4.已知幂函数 f(x)的图象经过点(4,2),则 f(x)的单调递增区间为( ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 解析:设幂函数 f(x)=xn ,则 4 n=2,解得 n= 1 2 ,即有 f(x)=√𝑥,则有 x≥0,则增区间为 (0,+∞).故选 C. 答案:C 5.若(a+1) - 1 2<(3-2a) - 1 2,则 a 的取值范围是( )
A(任引 B() c(62 D(任，+m） 解析：令)=x方=云剩)的定义城是0，+四且在区间0，+四)内是成函数，故原 (a+1>0, 不等式等价于3-2a>0, 解得3-2a, 答案B 6.己知x)=x2,若0台1>b>a>0. 又x)=x2在区间[0，+o)内是增函数， ∴)>>a 答案：C 7.若幂函数y=(m2-2m-2)x4m2在区间(0，+oo)内为减函数，则实数m的值 是 解析：因为函数y=(m2-2m-2)x4m-2既是幂函数又是区间(0，+oo)内的减函数，所以 m2m2.1.→m=3或m=-1 解得m=3 -4m-2克 答案：3 8.0.16,0.25,6.25从小到大依次是 解析：0.257=0.5()”，则n 解析()”>(（)”， ∴y=x”在区间(-0,0)内为减函数 又n∈{-2，-1,0,1,2,3} .n=-1或n=2. 答案：-1或2 10.有四个幂函数：①x)=xl;②x)=x2:③x)=x3:④x)=x.某同学研究了其中的一 个函数，他给出这个函数的三个性质： (1)偶函数：(2)值域是{yy∈R,且y≠0}：3)在区间(-∞，0)内是增函数
A.( 1 2 , 2 3 ) B.( 2 3 , 3 2 ) C.( 2 3 ,2) D.( 3 2 , + ∞) 解析:令 f(x)=𝑥 - 1 2 = 1 √𝑥 ,则 f(x)的定义域是(0,+∞),且在区间(0,+∞)内是减函数,故原 不等式等价于{ 𝑎 + 1 > 0, 3-2𝑎 > 0, 𝑎 + 1 > 3-2𝑎, 解得2 3 1 𝑏 >1>b>a>0. 又 f(x)=𝑥 1 2在区间[0,+∞)内是增函数, ∴f( 1 𝑎 )>f( 1 𝑏 )>f(b)>f(a). 答案:C 7.若幂函数 y=(m2 -2m-2)x -4m-2 在区间(0,+∞)内为减函数,则实数 m 的值 是 . 解析:因为函数 y=(m2 -2m-2)x -4m-2 既是幂函数又是区间(0,+∞)内的减函数,所以 { 𝑚2 -2𝑚-2 = 1, -4𝑚-2 - 1 2 , 解得 m=3. 答案:3 8.0.16 - 1 2,0.25 - 1 4,6.25 1 4从小到大依次是 . 解析:∵0.25 - 1 4=0.5 - 1 2 (- 1 3 ) 𝑛 ,则 n= . 解析:∵- 1 2 (- 1 3 ) 𝑛 , ∴y=xn 在区间(-∞,0)内为减函数. 又 n∈{-2,-1,0,1,2,3}, ∴n=-1 或 n=2. 答案:-1 或 2 10.有四个幂函数:①f(x)=x-1 ;②f(x)=x-2 ;③f(x)=x3 ;④f(x)=𝑥 1 3.某同学研究了其中的一 个函数,他给出这个函数的三个性质: (1)偶函数;(2)值域是{y|y∈R,且 y≠0};(3)在区间(-∞,0)内是增函数
若他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是 (填 序号) 解析：对于函数①x)=xl,这是一个奇函数，值域是{y∈R,且y≠0}，在区间(-0,0)内 是减函数，所以三个性质中有两个错误，不符合条件；对于函数②x)=x2,这是一个 偶函数，其值域是{yy∈R,且y>0},在区间(-0,0)内是增函数，所以三个性质中有两 个正确，符合条件；同理可判断函数③④不符合条件 答案：② 11.已知幂函数y=xm-2(m∈N)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，求m 的值，并画出函数的图象」 解：幂函数的图象与x轴、y轴都无交点， ∴.m-2≤0，即m≤2. 又m∈N,∴.m=0,1,2. .幂函数的图象关于y轴对称，∴.m=0或m=2 当m=0时，函数为y=x2,图象如图①所示； 当m=2时，函数为y=x0=1(x≠0)，图象如图②所示 ① 12.已知幂函数y=x)=x2m2.m+3,其中m∈{x-2<x<2,x∈Z},满足： (1)是区间(0，+o)内的增函数： (2)对任意的x∈R,都有-x)+x)=0.求同时满足(1)，(2)的幂函数x)的解析式，并 求x∈0,3]时x)的值域 解：因为m∈{x-2<x<2,x∈Z},所以m=-1,0,1. 因为对任意x∈R,都有-x)+x)=O, 即儿-x)=x),所以x)是奇函数 当m=-1时x)=x2只满足条件(1)而不满足条件(2)月 当m=1时x)=x”,条件(1)，(2)都不满足； 当m=0时x)=x3,条件(1)，(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数，所以x∈[0,3]时，函 数x)的值域为[0,27刀
若他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是 .(填 序号) 解析:对于函数①f(x)=x-1 ,这是一个奇函数,值域是{y|y∈R,且 y≠0},在区间(-∞,0)内 是减函数,所以三个性质中有两个错误,不符合条件;对于函数②f(x)=x-2 ,这是一个 偶函数,其值域是{y|y∈R,且 y>0},在区间(-∞,0)内是增函数,所以三个性质中有两 个正确,符合条件;同理可判断函数③④不符合条件. 答案:② 11.已知幂函数 y=xm-2 (m∈N)的图象与 x 轴、y 轴都无交点,且关于 y 轴对称,求 m 的值,并画出函数的图象. 解:∵幂函数的图象与 x 轴、y 轴都无交点, ∴m-2≤0,即 m≤2. 又 m∈N,∴m=0,1,2. ∵幂函数的图象关于 y 轴对称,∴m=0 或 m=2. 当 m=0 时,函数为 y=x-2 ,图象如图①所示; 当 m=2 时,函数为 y=x0=1(x≠0),图象如图②所示. 12.已知幂函数 y=f(x)=𝑥 -2𝑚2 -𝑚+3 ,其中 m∈{x|-2<x<2,x∈Z},满足: (1)是区间(0,+∞)内的增函数; (2)对任意的 x∈R,都有 f(-x)+f(x)=0.求同时满足(1),(2)的幂函数 f(x)的解析式,并 求 x∈[0,3]时 f(x)的值域. 解:因为 m∈{x|-2<x<2,x∈Z},所以 m=-1,0,1. 因为对任意 x∈R,都有 f(-x)+f(x)=0, 即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 当 m=-1 时,f(x)=x2 只满足条件(1)而不满足条件(2); 当 m=1 时,f(x)=x0 ,条件(1),(2)都不满足; 当 m=0 时,f(x)=x3 ,条件(1),(2)都满足,且在区间[0,3]上是增函数,所以 x∈[0,3]时,函 数 f(x)的值域为[0,27]