第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.1 实数指数幂及其运算 基础巩固 1.下列各式正确的是( A.(Va)=a B.(V74=-7 C.(Va)5=lal D.Va6-a 答案：A 2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是() A.-V=(x)x0) B.x方=反 c(佾=图o D.y2=yz(v<0) 解析AV反-xBx=云C(食=伯=图，正确D=成0 答案：C 3.将(a元+bn)表示成根式的形式是( A.Va+b B.(Va+Vb) C.a+b D.ai+bi 解析品=Va,b点=V6.(a+b芹=Va+V砺 答案：C 4.如果x=1+2b,y=1+2b,那么用x表示y等于() A B.+1 x-1 c D 析：由x=1+20得20=xl,y=1+20=1+分-1+=奇 答案D 5.当V2-x有意义时，化简Vx2.4x+4-Vx2-6x+9的结果是() A.2x-5 B.-2x-1 C.-1 D.5-2x 解析：V2-x有意义，.2-x≥0，即x≤2
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.1 实数指数幂及其运算 基础巩固 1.下列各式正确的是( ) A.(√a 3 ) 3=a B.(√7 4 ) 4=-7 C.(√𝑎 5 ) 5=|a| D.√𝑎 6 6=a 答案:A 2.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( ) A.-√𝑥=(-x) - 1 2(x≠0) B.𝑥 - 1 3=-√x 3 C.( x y ) - 3 4 = √( 𝑦 𝑥 ) 4 3 (xy≠0) D.√𝑦 4 2 = 𝑦 1 2(y<0) 解析:A:-√𝑥=-𝑥 1 2;B:𝑥 - 1 3 = 1 √x 3 ;C:( x y ) - 3 4 = ( y x ) 3 4 = √( 𝑦 𝑥 ) 4 3 ,正确;D:√𝑦 4 2=(-y) 1 2(y<0). 答案:C 3.将(𝑎 1 𝑛 + 𝑏 1 𝑛 ) 1 3表示成根式的形式是( ) A.√ √𝑎 + 𝑏 3 𝑛 B.( √𝑎 𝑛 + √𝑏 𝑛 ) 1 3 C.√ √𝑎 𝑛 + √𝑏 3 𝑛 D.√𝑎 1 3 + 𝑏 1 3 3 解析:∵𝑎 1 𝑛 = √a 𝑛 ,𝑏 1 𝑛 = √𝑏 𝑛 ,∴(𝑎 1 𝑛 + 𝑏 1 𝑛 ) 1 3 = √ √𝑎 𝑛 + √𝑏 3 𝑛 . 答案:C 4.如果 x=1+2 b ,y=1+2 -b ,那么用 x 表示 y 等于( ) A. 𝑥+1 𝑥-1 B. 𝑥+1 𝑥 C. 𝑥-1 𝑥+1 D. 𝑥 𝑥-1 解析:由 x=1+2 b 得 2 b=x-1,y=1+2 -b=1+ 1 2 𝑏=1+ 1 𝑥-1 = 𝑥 𝑥-1 . 答案:D 5.当√2-𝑥有意义时,化简√𝑥 2 -4𝑥 + 4 − √𝑥 2 -6𝑥 + 9的结果是( ) A.2x-5 B.-2x-1 C.-1 D.5-2x 解析:∵√2-𝑥有意义,∴2-x≥0,即 x≤2
Vx2.4x+4-Vx2-6x+9 =x-22-6x-32 =x-2-x-3=2-x-(3-x) =2-x-3+x=-1. 答案：C 6.己知30=2,3b-1则32a-b=」 解析32号-=号20 答案20 76+W54+W54= 解析：-6)3=-6，N5-4=V54=4-V5 W5.43=54, .原式=-6+4-√5+√5-4=-6 答案：-6 8.若x>0,则(2x+3(2x-34x(-x)= 解析：原式=4x2-33-4x2+4=-23 答案：-23 9求值(1W2.1p+(9）+W@元 20.027-(（3+25605+(周° 解(1W210+(9)+V⑧-1++}-2 20.027-(3)+25605+周月°=936+641=32 10,化简Va÷V壶÷后 815 2 =Va÷a÷Va =a5÷(a):(c2月 =ai÷ai÷ai=a&÷a号 227 =i÷==d 拓展提高
√𝑥 2 -4𝑥 + 4 − √𝑥 2 -6𝑥 + 9 =√(𝑥-2) 2 − √(𝑥-3) 2 =|x-2|-|x-3|=2-x-(3-x) =2-x-3+x=-1. 答案:C 6.已知 3 a=2,3b= 1 5 ,则 3 2a-b= . 解析:3 2a-b= 3 2𝑎 3 𝑏 = (3 𝑎 ) 2 3 𝑏 = 2 2 1 5 =20. 答案:20 7.√(-6) 3 3 + √(√5-4) 4 4 + √(√5-4) 3 3 = . 解析:∵√(-6) 3 3 =-6,√(√5-4) 4 4 =|√5-4|=4-√5, √(√5-4) 3 3 = √5-4, ∴原式=-6+4-√5 + √5-4=-6. 答案:-6 8.若 x>0,则(2𝑥 1 4 + 3 3 2 )(2𝑥 1 4 -3 3 2)-4𝑥 - 1 2·(x-𝑥 1 2)= . 解析:原式=4𝑥 1 2-3 3 -4𝑥 1 2+4=-23. 答案:-23 9.求值:(1)(√2-1)0+( 16 9 ) - 1 2+(√8) - 4 3; (2)0.027 - 1 3 − (- 1 6 ) -2 +2560.75 - 1 3 + ( 1 9 ) 0 . 解:(1)(√2-1)0+( 16 9 ) - 1 2+(√8) - 4 3=1+ 3 4 + 1 4 =2. (2)0.027 - 1 3 − (- 1 6 ) -2 +2560.75 - 1 3 + ( 1 9 ) 0 = 10 3 -36+64- 1 3 +1=32. 10.化简:√𝑎 7 2√𝑎 -3 3 ÷ √√𝑎 3 -8 √𝑎 3 15 ÷ √√𝑎 -3√𝑎 -1 3 . 解:原式=√𝑎 7 2 𝑎 - 3 2 3 ÷ √𝑎 - 8 3 𝑎 15 3 ÷ √𝑎 - 3 2 𝑎 - 1 2 3 =√𝑎 3 2 ÷ √𝑎 7 3 ÷ √𝑎 3 -2 =𝑎 2 3÷(𝑎 7 3 ) 1 2÷(a -2 ) 1 3 =𝑎 2 3 ÷ 𝑎 7 6 ÷ 𝑎 - 2 3 = 𝑎 2 3 - 7 6 ÷ 𝑎 - 2 3 =𝑎 - 1 2 ÷ 𝑎 - 2 3 = 𝑎 - 1 2 + 2 3 = 𝑎 1 6. 拓展提高
1.下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是() A(1)和1)后 B.0-2和0 C.22和4 D.4和) 解析：选项A中，(1)和(1均符合分数指数幂的定义，但(1)==1，(1)话= 1-1,故A不满足题意选项B中，0的负分教指数幂漫有意义，故B不满足题 意，选项D中，4和()虽符合分数指教暴的定义，但值不相等，故D不满足题意 选项C中，22=VZ,4=V2=2i=√2，满足题意，故选C 答案：C 2.已知n∈N,>1,那么(5)2n等于() A.5 B.-5 C.-5或5 D.不能确定 解析：，n∈N,n>1,∴.2n为偶数， 5jm=5 答案A 3设应-左=m则( A.m2-2 B.2-m2 C.m2+2 D.m2 解析：将a2-a立=m平方得(a-ay=m2,即a-2+rl=m2,所以a+rl=m+2,即 a+后m2+2-m2+2 答案：C 4.已知a=3,则+之+名+#的值为 1+a41-a41+a2 解析：1+凸++4 1+a41-a41+a2 1+a +品+ 2 (1+a4)(1-a④)1+a2 2 +4 4 (1-a2(1+a2) 1+a 品+= 8 答案：1 5.设a2=b4=m(a>0,b>0),且a+b=6,则m=」 解析：.a2=b4=m(a>0,b>0), ∴.a=m2,b=m4,a=b2
1.下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( ) A.(-1) 1 3和(-1) 2 6 B.0 -2 和0 1 2 C.2 1 2和4 1 4 D.4 - 3 2和( 1 2 ) -3 解析:选项 A 中,(-1) 1 3和(-1) 2 6均符合分数指数幂的定义,但(-1) 1 3 = √-1 3 =-1,(-1) 2 6 = √(-1) 2 6 =1,故 A 不满足题意;选项 B 中,0 的负分数指数幂没有意义,故 B 不满足题 意;选项 D 中,4 - 3 2和( 1 2 ) -3 虽符合分数指数幂的定义,但值不相等,故 D 不满足题意; 选项 C 中,2 1 2 = √2,4 1 4 = √2 4 2 = 2 1 2 = √2,满足题意,故选 C. 答案:C 2.已知 n∈N,n>1,那么 √(-5) 2𝑛 2𝑛 等于( ) A.5 B.-5 C.-5 或 5 D.不能确定 解析:∵n∈N,n>1,∴2n 为偶数, ∴ √(-5) 2𝑛 2𝑛 = √5 2𝑛 2𝑛=5. 答案:A 3.设𝑎 1 2 − 𝑎 - 1 2=m,则 𝑎 2 +1 𝑎 =( ) A.m2 -2 B.2-m2 C.m2+2 D.m2 解析:将𝑎 1 2 − 𝑎 - 1 2=m 平方得(𝑎 1 2 − 𝑎 - 1 2) 2=m2 ,即 a-2+a-1=m2 ,所以 a+a-1=m2+2,即 a+1 𝑎 =m2+2⇒ 𝑎 2 +1 𝑎 =m2+2. 答案:C 4.已知 a=3,则 1 1+𝑎 1 4 + 1 1-𝑎 1 4 + 2 1+𝑎 1 2 + 4 1+𝑎的值为 . 解析: 1 1+𝑎 1 4 + 1 1-𝑎 1 4 + 2 1+𝑎 1 2 + 4 1+𝑎 = 2 (1+𝑎 1 4)(1-𝑎 1 4) + 2 1+𝑎 1 2 + 4 1+𝑎 = 2 1-𝑎 1 2 + 2 1+𝑎 1 2 + 4 1+𝑎 = 4 (1-𝑎 1 2)(1+𝑎 1 2) + 4 1+𝑎 = 4 1-𝑎 + 4 1+𝑎 = 8 1-𝑎 2=-1. 答案:-1 5.设 a 2=b4=m(a>0,b>0),且 a+b=6,则 m= . 解析:∵a 2=b4=m(a>0,b>0), ∴a=𝑚 1 2 ,b=𝑚 1 4,a=b2
由a+b=6,得b2+b-6=0, 解得b=2或b=-3(舍去) ∴.mi=2,m=24=16. 答案：16 6已知a6是方程6+4-0的两实数根，且a>b-0求温二的值 解ab是方程6+40的两实我根仍。”6 a>b>0, ∴va>i (盒 a+b-2Vab 6-24 +b+2V品 6+2√4 E 7.己知ax3=by3=c23,且++1-1，求证：(ar2+by2+c-2后=a+b后+c. 证明：令axr3=by3=cz3=1, 则am2-2-c2号 因为++经1，所以++4 即ar2+by2+cz2=t 所以(a++e=台=〔很+与+)=++g=店+6i+d 挑战创新 计算(1+知)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+) 解：原式=-(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+(1-)×2 =(1+)(1+)(1+)(1+(1+)×(1-)×2 =（1+)(1+)(1+)(1+)(1-为)×2 =(1+)(1+)(1+)(1-)x2 =(1+)(1+)(1-品)×2 (1+)(1-)×2 1-)2 2
由 a+b=6,得 b 2+b-6=0, 解得 b=2 或 b=-3(舍去). ∴𝑚 1 4=2,m=2 4=16. 答案:16 6.已知 a,b 是方程 x 2 -6x+4=0 的两实数根,且 a>b>0,求 √𝑎-√𝑏 √𝑎+√𝑏的值. 解:∵a,b 是方程 x 2 -6x+4=0 的两实数根,∴{ 𝑎 + 𝑏 = 6, 𝑎𝑏 = 4. ∵a>b>0, ∴√𝑎 > √𝑏. 又( √𝑎-√𝑏 √𝑎+√𝑏 ) 2 = 𝑎+𝑏-2√𝑎𝑏 𝑎+𝑏+2√𝑎𝑏 = 6-2√4 6+2√4 = 1 5 , ∴ √𝑎-√𝑏 √𝑎+√𝑏 = √ 1 5 = √5 5 . 7.已知 ax3=by3=cz3 ,且 1 𝑥 + 1 𝑦 + 1 𝑧 =1,求证:(ax2+by2+cz2 ) 1 3 = 𝑎 1 3 + 𝑏 1 3 + 𝑐 1 3 . 证明:令 ax3=by3=cz3=t, 则 ax2= 𝑡 𝑥 ,by2= 𝑡 𝑦 ,cz2= 𝑡 𝑧 . 因为1 𝑥 + 1 𝑦 + 1 𝑧 =1,所以𝑡 𝑥 + 𝑡 𝑦 + 𝑡 𝑧 =t, 即 ax2+by2+cz2=t. 所以(ax2+by2+cz2 ) 1 3 = 𝑡 1 3 = 𝑡 1 3 ( 1 𝑥 + 1 𝑦 + 1 𝑧 ) = (𝑎𝑥 3 ) 1 3 𝑥 + (𝑏𝑦 3 ) 1 3 𝑦 + (𝑐𝑧 3 ) 1 3 𝑧 = 𝑎 1 3 + 𝑏 1 3 + 𝑐 1 3. 挑战创新 计算:(1 + 1 2 32 ) (1 + 1 2 16 ) (1 + 1 2 8 ) (1 + 1 2 4 ) (1 + 1 2 2 ) (1 + 1 2 ). 解:原式=(1 + 1 2 32 ) (1 + 1 2 16 ) (1 + 1 2 8 ) (1 + 1 2 4 ) (1 + 1 2 2 ) (1 + 1 2 ) (1 − 1 2 )×2 =(1 + 1 2 32 ) (1 + 1 2 16 ) (1 + 1 2 8 ) (1 + 1 2 4 ) (1 + 1 2 2 )×(1 − 1 2 2 )×2 =(1 + 1 2 32 ) (1 + 1 2 16 ) (1 + 1 2 8 ) (1 + 1 2 4 ) (1 − 1 2 4 )×2 =(1 + 1 2 32 ) (1 + 1 2 16 ) (1 + 1 2 8 ) (1 − 1 2 8 )×2 =(1 + 1 2 32 ) (1 + 1 2 16 ) (1 − 1 2 16 )×2 =(1 + 1 2 32 ) (1 − 1 2 32 )×2 =(1 − 1 2 64 )×2 =2- 1 2 63