4.2 对数与对数函数 4.2.1j 对数运算 课后·训练提升 1.有下列说法： ①零和负数没有对数 ②任何一个指数式都可以化成对数式： ③以10为底的对数叫做常用对数： ④自然对数无底数， 其中正确说法的个数为( A.1 B.2 C.3 D.0 解析：②④不正确.(-2)3=-8不能化对数式，nx是以e为底数的. 答案B 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A.20=1与1og21=0B.85=-2与1og2-号 C.l0g24-2与42-2D.1og33-1与31-3 答案：C 3.若loga6=c,则下列关系式中正确的是( A.b=asc B.b5=a C.b=5a D.b=c5a 解析：由loga√b=c,得a=Vb,故b=(a)泸=a5c 答案：A 4.方程2ox=的解是( Ax号 B.x C.x=V3 D.x=9 解析20*=}22，l0g3x=2,∴x=32-号 A 答案：A 5.已知log7log3(log2x)]=0,那么x2等于( A号 B店 D店 解析：，log7log3(log2x)]=0,∴.log3(log2x)=1, log2x=3,x=8,xi=87=2 答案：C 6.在对数式log a-√下=b中，下列对a,b,N的限制条件中正确的是( A.a>1,N≥0，b∈R B.a>1且a≠2，N≥0，b>0
4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算 课后· 1.有下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以 10 为底的对数叫做常用对数; ④自然对数无底数. 其中正确说法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 解析:②④不正确.(-2)3=-8 不能化对数式,ln x 是以 e 为底数的. 答案:B 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.2 0=1 与 log21=0B.8 1 3=2 与 log82= 1 3 C.log24=2 与4 1 2=2 D.log33=1 与 3 1=3 答案:C 3.若 loga√b 5 =c,则下列关系式中正确的是( ) A.b=a5c B.b 5=ac C.b=5a c D.b=c5a 解析:由 loga√𝑏 5 =c,得 a c=√𝑏 5 ,故 b=(a c ) 5=a5c . 答案:A 4.方程2 log3 𝑥 = 1 4 的解是( ) A.x= 1 9 B.x= √3 3 C.x=√3 D.x=9 解析:∵2 log3𝑥 = 1 4 =2 -2 ,∴log3x=-2,∴x=3 -2= 1 9 . 答案:A 5.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么𝑥 - 1 2等于( ) A. 1 3 B. 1 2√3 C. 1 2√2 D. 1 3√3 解析:∵log7[log3(log2x)]=0,∴log3(log2x)=1, ∴log2x=3,∴x=8,∴𝑥 - 1 2 = 8 - 1 2 = 1 2√2 . 答案:C 6.在对数式 log√𝑎-1√𝑁=b 中,下列对 a,b,N 的限制条件中正确的是( ) A.a>1,N≥0,b∈R B.a>1 且 a≠2,N≥0,b>0
C.a>1且a+2,N>0,b∈R D.a>1且a≠2，N>0,b>0 解析>0，Va-1>0且Va-1≠1，故N>0,a>1,且a2. 答案：C 7.方程lgx)2-lgx=ln1的解是 解析：n1=0,lgx(lgx-1)=0, lgx=0或lgx=1,.x=1或x=10 答案x=10或x=1 822+1o825+3og27+lg10-8= 解析：22+10g25=22×2log25=4×5=20. 设10g27分=4则271=3=3431=4 设lg108=m,则10m=-108,∴.m=-8 ∴.原式=20-4-8=8. 答案：8 9.(1)若10)=x,求3)的值： (2)计算：23+1o23+35-10839 解(1)令=10，则x=lg1, ∴)=lgt,即x)=lgx ∴3)=lg3. （223+oa3+3o&,9=23-208:3+3-23x3+号=24+27=51 10.设M={0,1},N={11-a,lga,2a,a,是否存在实数a,使M∩N={1}? 解：若MnN={1},则1∈N. ①若11-a=1,则a=10,于是lga=1,这与集合中元素的互异性矛盾； ②若lga=1,则a=10,于是11-a=1,这与集合中元素的互异性矛盾， ③若2a=1,则a=0,这与a>0矛盾； ④若a=1,则11-a=10,lga=0,2a=2,N={10,0,2,1},于是M∩N={0,1},这与M∩N={1} 矛盾 综上可知，不存在实数a,使M∩N={1} 11.已知二次函数x)=(gar2+2x+4lga的最大值为3，求a的值. 解原禹数式可化为)=gx+)广- 1+41g a. x)有最大值3，∴lga<0. 并且g+4ga-3,整理得4gP-3ga-l=0,解得1ga=1或1ga-片 lga<0,∴取lga=子 ∴.a=10年
C.a>1 且 a≠2,N>0,b∈R D.a>1 且 a≠2,N>0,b>0 解析:√𝑁>0,√𝑎-1>0 且√𝑎-1≠1,故 N>0,a>1,且 a≠2. 答案:C 7.方程(lg x) 2 -lg x=ln 1 的解是 . 解析:∵ln 1=0,∴lg x(lg x-1)=0, ∴lg x=0 或 lg x=1,∴x=1 或 x=10. 答案:x=10 或 x=1 8.2 2+log25+3log27 1 81 +lg 10-8= . 解析:2 2+log2 5=2 2×2 log2 5=4×5=20. 设 log27 1 81 =t,则 27t= 1 81 ,∴3 3t=3 -4 ,∴3t=-4. 设 lg 10-8=m,则 10m=10-8 ,∴m=-8, ∴原式=20-4-8=8. 答案:8 9.(1)若 f(10x )=x,求 f(3)的值; (2)计算:2 3+log23 + 3 5-log3 9 . 解:(1)令 t=10x ,则 x=lg t, ∴f(t)=lg t,即 f(x)=lg x. ∴f(3)=lg 3. (2)2 3+log23 + 3 5-log39=2 3·2 log23 + 3 5 3 log3 9=2 3×3+ 3 5 9 =24+27=51. 10.设 M={0,1},N={11-a,lg a,2a ,a},是否存在实数 a,使 M∩N={1}? 解:若 M∩N={1},则 1∈N. ①若 11-a=1,则 a=10,于是 lg a=1,这与集合中元素的互异性矛盾; ②若 lg a=1,则 a=10,于是 11-a=1,这与集合中元素的互异性矛盾; ③若 2 a=1,则 a=0,这与 a>0 矛盾; ④若 a=1,则 11-a=10,lg a=0,2a=2,N={10,0,2,1},于是 M∩N={0,1},这与 M∩N={1} 矛盾. 综上可知,不存在实数 a,使 M∩N={1}. 11.已知二次函数 f(x)=(lg a)x 2+2x+4lg a 的最大值为 3,求 a 的值. 解:原函数式可化为 f(x)=(lg a)(𝑥 + 1 lg𝑎 ) 2 − 1 lg𝑎 +4lg a. ∵f(x)有最大值 3,∴lg a<0. 并且- 1 lg𝑎 +4lg a=3,整理得 4(lg a) 2 -3lg a-1=0,解得 lg a=1 或 lg a=- 1 4 . ∵lg a<0,∴取 lg a=- 1 4 . ∴a=10 - 1 4