6.1.5 向量的线性运算 课后·训练提升 1.设P是△ABC所在平面内一点，且BC+BA=2BP,则( A.PA+PB=0 B.PC+PA=0 C.PB+PC=0 D.PA+PB+PC=0 解析：，BC+BA=2BP,∴.点P为边AC的中点， ..PC+PA-0. 答案B 2.在四边形ABCD中，AB=a+2b,BC=-4a-b,BD=-5a-3b,其中a,b不共线，则四边形 ABCD是() A.梯形 B.平行四边形 C菱形 D.矩形 解析：，CD=BD-BC=(-5a-3b)H(-4a-b)=-a-2b=-AB ∴A丽ICD,且AE=CD,AB-CD, ∴.四边形ABCD为平行四边形 答案B 3.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是() AABD B.A,B,C C.B,C.D D.A,C,D 解析：，BD=BC+CD=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2AB,.AB II BD 又AB和BD有公共点B,∴A,B,D三点共线 答案：A 4.设a,b为不共线向量，AB=a+b,BC=-4a-b,CD=-5a-2b,则下列关系式正确的是 () A.AD=BC B.AD=2BC C.AD=-BC D.AD=-2BC 解析：AD=AB+BC+CD=(a+b)+(-4a-b)+(-5a-2b)=-8a-2b=2BC 答案B 5.在△ABC中，AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD=() A.b+c C. D.b+c 解析：如图
6.1.5 向量的线性运算 课后· 1.设 P 是△ABC 所在平面内一点,且𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ =0 B.𝑃𝐶⃗⃗⃗ + 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ =0 C.𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗ =0 D.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗ =0 解析:∵𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗ ,∴点 P 为边 AC 的中点, ∴𝑃𝐶⃗⃗⃗ + 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ =0. 答案:B 2.在四边形 ABCD 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =-4a-b,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =-5a-3b,其中 a,b 不共线,则四边形 ABCD 是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 解析:∵𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =(-5a-3b)-(-4a-b)=-a-2b=-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴AB CD, ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:B 3.已知向量 a,b,且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a+2b,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =-5a+6b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =7a-2b,则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 解析:∵𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ . 又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 和𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ 有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. 答案:A 4.设 a,b 为不共线向量,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =-4a-b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a-2b,则下列关系式正确的是 ( ) A.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ B.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ C.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =-𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ D.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =-2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ 解析:𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b)+(-4a-b)+(-5a-2b)=-8a-2b=2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ . 答案:B 5.在△ABC 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =c,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =b.若点 D 满足𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2 3 b+ 1 3 c B. 3 5 c- 2 3 b C. 2 3 b- 1 3 c D. 1 3 b+ 2 3 c 解析:如图
..BD=2DC,.'.BD=2BC=(AC-AB)=(b-c). ∴Ad=AB+BD=c+bc-b+c 答案：A 6.在△ABC中，P为一动点，且OP=OA+1AB+AC),1∈[0，+o),则点P的轨迹一定 通过△ABC的() A.外心 B.内心 C重心D垂心 解析：如图 取BC的中点D,连接AD,并延长AD至点E,使得AD=DE,连接BE,CE, 'D 则四边形ABEC为平行四边形， ∴.AB+AC=AE=2AD 由OP=OA+(AB+AC) 得OP-OA=(AB+AC), AP=AE=2AD,∴A,P,D三点共线 ,AD是△ABC的边BC上的中线， 又1∈[0，+oo),∴，点P的轨迹一定通过△ABC的重心 答案C 7.若0A=3e1,0B=3e2,且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量0P用e1,2 可表示为0P= 解析：OP=0A+AP=0A+2AB=0A+3(0B-0A=0A+20B-=2e1+e2. 答案：2e1+e2 8.已知e1与e2不平行，若a=2e1-e2与b=e1+e2共线，则实数1= 解析：.a∥b,.b=ka,∴.e1+1e2=k2e1-e2)=2ke1-ke2, ÷很=北解得 答案} 9.己知D,E分别是△ABC的边BC,CA上的点，且BD=BC,C正=CA设 AB=a,AC=b,则DE= .(用a,b表示)
∵𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 2 3 (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )= 2 3 (b-c), ∴𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =c+ 2 3 b- 2 3 c= 2 3 b+ 1 3 c. 答案:A 6.在△ABC 中,P 为一动点,且𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ),λ∈[0,+∞),则点 P 的轨迹一定 通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析:如图, 取 BC 的中点 D,连接 AD,并延长 AD 至点 E,使得 AD=DE,连接 BE,CE, 则四边形 ABEC 为平行四边形, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . 由𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ), 得𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ), ∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ =2λ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴A,P,D 三点共线. ∵AD 是△ABC 的边 BC 上的中线, 又 λ∈[0,+∞),∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心. 答案:C 7.若𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =3e1,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =3e2,且 P 是线段 AB 靠近点 A 的一个三等分点,则向量𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 用 e1,e2 可表示为𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = . 解析:𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 (𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ )= 2 3 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =2e1+e2. 答案:2e1+e2 8.已知 e1 与 e2 不平行,若 a=2e1-e2 与 b=e1+λe2共线,则实数 λ= . 解析:∵a∥b,∴b=ka,∴e1+λe2=k(2e1-e2)=2ke1-ke2, ∴{ 1 = 2𝑘, 𝜆 = -𝑘, 解得 λ=- 1 2 . 答案:- 1 2 9.已知 D,E 分别是△ABC 的边 BC,CA 上的点,且𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ,𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ .设 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =b,则𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用 a,b 表示)
解析：D正=DC+C正-BC+CA-4C-A®+CA-AC-A正-AC= c-死=b子a 答案：2a+b 10.设a=3i+25b=2j,试用i表示向量号引4a-3b)+b-6a-7b) 解号[4a-3b)+b-6a-7b 4a-3b)+号6a-7b) go-26+b-at 6 -(-1)+(2+号+ 曲 3i+2品2j =5i9片+总兰+合 11.如图，四边形OADB是以OA,OB为邻边的平行四边形.又OA=a,0B=b, BM-BC,CN-=CD,试用a,b表示OM,ON,MN 0 解：BM=BC=BA=上(OA-0B)=a-b, 2 所以0M=0丽+BM=b+ab-=2a+b,CN=c而=0d, 所以0N=0C+cN-0而+0而=0而-(0A+0B)=a+b)=a+b M=0N-0丽=a+bbb 12.在△OAB的边OA,OB上分别有一点P,Q,且OP:PA=1:2,OQ:QB=3:2.连 接AQ,在AQ上取一点R,满足AR:RQ=5:1. (1)用0A,0B表示BR: (2)求证：点R在线段BP上 (1)解0P:PA=1:2,∴.0丽=0A :00:QB=3:2,00=20B :AR:RQ=5:1,AR=5A0, 又A0=00-0A=20B-0A
解析:𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ = 2 3 (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )+ 1 3 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 1 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 2 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 b- 2 3 a. 答案:- 2 3 a+ 1 3 b 10.设 a=3i+2j,b=2i-j,试用 i,j 表示向量2 3 [(4𝑎-3𝑏) + 1 3 𝑏- 1 4 (6𝑎-7𝑏)]. 解: 2 3 [(4𝑎-3𝑏) + 1 3 𝑏- 1 4 (6𝑎-7𝑏)] = 2 3 (4a-3b)+ 2 9 b- 1 6 (6a-7b) = 8 3 a-2b+2 9 b-a+7 6 b =( 8 3 -1)a+(-2 + 2 9 + 7 6 )b = 5 3 a- 11 18 b = 5 3 (3i+2j)- 11 18 (2i-j) =5i+10 3 j- 11 9 i+11 18 j=34 9 i+71 18 j. 11.如图,四边形 OADB 是以 OA,OB 为邻边的平行四边形.又𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =b, BM=1 3 BC,CN=1 3 CD,试用 a,b 表示𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 6 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 6 (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )= 1 6 (a-b), 所以𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+ 1 6 a- 1 6 b= 1 6 a+ 5 6 b,𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 6 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ , 所以𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ + 1 6 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ = 2 3 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗ = 2 3 (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )= 2 3 (a+b)= 2 3 a+ 2 3 b. 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 3 a+ 2 3 b- 1 6 a- 5 6 b= 1 2 a- 1 6 b. 12.在△OAB 的边 OA,OB 上分别有一点 P,Q,且 OP∶PA=1∶2,OQ∶QB=3∶2.连 接 AQ,在 AQ 上取一点 R,满足 AR∶RQ=5∶1. (1)用𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 表示𝐵𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)求证:点 R 在线段 BP 上. (1)解:∵OP∶PA=1∶2,∴𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵OQ∶QB=3∶2,∴𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗ = 3 5 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵AR∶RQ=5∶1,∴𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗ = 5 6 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ . 又𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 5 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
∴A丽=0丽-0A ∴.BR-A-AB=0丽-0A-(0B-0A=20A-0B (2)证明：Bp=0P-0B=0A-0B=2(20A-30B)=2BR, BP,BR共线 又BP,BR有公共点B, 点R在线段BP上
∴𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 5 6 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴𝐵𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 5 6 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ -(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ )= 1 6 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 1 2 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)证明:∵𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =2( 1 6 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ − 1 2 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )=2𝐵𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点 B, ∴点 R 在线段 BP 上