6.2.3平面向量的坐标及其运算 第1课时 平面向量的坐标运算 基础巩固 1.己知A(3,1),B(2,-1),则BA的坐标是( A(2,-1) B.2,1) C.(1,2) D.(-1,-2) 解析：BA的坐标为(3-2,1-(-1)，即(1,2) 答案：C 2.若P(1,1)是线段MN的中点，已知M3,2),则线段MN的长及点N的坐标分别为 () A.2V5,(-1,0) B.5(-1,0) C.20,(0,-1) D.210,(-1,0) 解析设N则1=告产1-2岁解得x=-1=0,即1,0 所以MN=(-1-3)2+(0-2)2=2V5 答案：A 3.已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b( A.平行于y轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于x轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 解析：由题意，得a+b的坐标为(0,1+x2),故它平行于y轴. 答案：A 4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4)若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三 角形，则向量c等于() A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,6) 解析：由题意，得4a+(3b-2a十c=0,则c=-2a-3b=-2(1,-3)3(-2,4)）=(4,-6) 答案D 5.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c用a,b表示为() A.ta+b B-ab C.zaib D.a+
6.2.3 平面向量的坐标及其运算 第 1 课时 平面向量的坐标运算 基础巩固 1.已知 A(3,1),B(2,-1),则𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是( ) A.(-2,-1) B.(2,1) C.(1,2) D.(-1,-2) 解析:𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(3-2,1-(-1)),即(1,2). 答案:C 2.若 P(1,1)是线段 MN 的中点,已知 M(3,2),则线段 MN 的长及点 N 的坐标分别为 ( ) A.2√5,(-1,0) B.√5,(-1,0) C.20,(0,-1) D.2√10,(-1,0) 解析:设 N(x,y),则 1= 3+𝑥 2 ,1= 2+𝑦 2 ,解得 x=-1,y=0,即 N(-1,0), 所以 MN=√(-1-3) 2 + (0-2) 2=2√5. 答案:A 3.已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x 2 ),则向量 a+b( ) A.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 x 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 解析:由题意,得 a+b 的坐标为(0,1+x2 ),故它平行于 y 轴. 答案:A 4.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4).若表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三 角形,则向量 c 等于( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 解析:由题意,得 4a+(3b-2a)+c=0,则 c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6). 答案:D 5.若 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 用 a,b 表示为( ) A.- 1 2 a+ 3 2 b B. 1 2 a- 3 2 b C. 3 2 a- 1 2 b D.- 3 2 a+ 1 2 b
解折说ca∈R12=10,即化”2将 x=2 y=.3 故c2ab 答案B 6.己知向量A丽=(2,4)，AC=(0,2),则2B元=() A.(-2,-2) B.(2,2) C.(1,1) D.(1,-1) 解析BC=(AC-AB)=-2,-2)=(1,-1),故选D. 答案D 7.已知O是坐标原点，点A在第一象限，OA=6,∠xOA=30°，则向量0A的坐标 为 解析：设Ax,y),则x=6×cos30°=3V3y=6×sin30°=3， ∴.A3V33),∴.0A的坐标为(3V3,3) 答案：(3V3,3) 8.己知M3,-2),N-5,-1),且MP=MN,则点P的坐标为 解析：MN=(-8,1)设点P的坐标为(xy),则MP=(x-3y+2) 由m=m得子28，部得形=即P5 y+2=1, 答案(-5，-1) 9.已知边长为1的正方形ABCD,若点A与坐标原点重合，边AB,AD分别落在x 轴、y轴的正方向上，则向量2AB+3BC+AC的坐标为 解析：由题意，得A(0,0),B1,0),C1,1),D0,1),∴.AB=(1,0),BC=(0,1),AC=(1,1) ∴.2AB+3BC+AC-21,0)+3(0,1)+(1,1)=(3,4) 答案(3,4) 10.若向量1a=bl=1,且a+b=(1,0),求a与b的坐标 解：设a=(m,n),b=(p,q), fm2+n2=1, m=p=2, (m=p=i 则卫2+g2=1解得{g= m+p=1, 2 或q= 2 n+q=0, (n=v3 故a-（69b-(9支a=号9b-(,) 11.(1)已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1,8),求AB,AC,AB+AC,AB-AC,2AB+ C (2)已知a=(1,2),b=(-3,4),求向量a+b,a-b,3a-4b的坐标 解(1)因为A(4,6),B(7,5),C(1,8)
解析:设 c=xa+yb(x,y∈R),则(-1,2)=x(1,1)+y(1,-1),即{ 𝑥 + 𝑦 = -1, 𝑥-𝑦 = 2, 解得{ 𝑥 = 1 2 , 𝑦 = - 3 2 , 故 c= 1 2 a- 3 2 b. 答案:B 6.已知向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(0,2),则 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-2,-2) B.(2,2) C.(1,1) D.(-1,-1) 解析: 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )= 1 2 (-2,-2)=(-1,-1),故选 D. 答案:D 7.已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,∠xOA=30°,则向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标 为 . 解析:设 A(x,y),则 x=6×cos 30°=3√3,y=6×sin 30°=3, ∴A(3√3,3),∴𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(3√3,3). 答案:(3√3,3) 8.已知 M(3,-2),N(-5,-1),且𝑀𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点 P 的坐标为 . 解析:𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ =(-8,1).设点 P 的坐标为(x,y),则𝑀𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-3,y+2). 由𝑀𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{ 𝑥-3 = -8, 𝑦 + 2 = 1, 解得{ 𝑥 = -5, 𝑦 = -1, 即 P(-5,-1). 答案:(-5,-1) 9.已知边长为 1 的正方形 ABCD,若点 A 与坐标原点重合,边 AB,AD 分别落在 x 轴、y 轴的正方向上,则向量 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 . 解析:由题意,得 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =(0,1),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(1,1), ∴2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =2(1,0)+3(0,1)+(1,1)=(3,4). 答案:(3,4) 10.若向量|a|=|b|=1,且 a+b=(1,0),求 a 与 b 的坐标. 解:设 a=(m,n),b=(p,q), 则 { 𝑚2 + 𝑛 2 = 1, 𝑝 2 + 𝑞 2 = 1, 𝑚 + 𝑝 = 1, 𝑛 + 𝑞 = 0, 解得 { 𝑚 = 𝑝 = 1 2 , 𝑞 = - √3 2 , 𝑛 = √3 2 或 { 𝑚 = 𝑝 = 1 2 , 𝑞 = √3 2 , 𝑛 = - √3 2 . 故 a=( 1 2 , √3 2 ),b=( 1 2 ,- √3 2 )或 a= 1 2 ,- √3 2 ,b=( 1 2 , √3 2 ). 11.(1)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ,2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ; (2)已知 a=(1,2),b=(-3,4),求向量 a+b,a-b,3a-4b 的坐标. 解:(1)因为 A(4,6),B(7,5),C(1,8)
所以AB=(7,5)H(4,6)=(3,-1) AC=(1,8)(4,6)=(-3,2) AB+AC=(3,-1)+(-3,2)=(0,1)为 AB-AC=(3,-1)(-3,2)=(6,-3)为 2A+2AC=23,-1)+-3,2) =6,2)+(1)=(（1) (2)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6), a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2), 3a-46=31,2)4(-3,4)=(15,-10) 12.己知平行四边形ABCD的顶点A(4,3),B1,-1),C(2,1),求： (1)点D的坐标；(2)点B,D之间的距离. 解设4C与BD交于点0,0则x=告-3-安-2，即03,2) m+1=3, (1)设D(m,n),则 2 3解得m=5即D5,5 =2 (n=5. 2 (2)点B,D之间的距离BD= (5-1)2+(5+1)2=213 拓展提高 1.己知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐 标为() A(2) B(2) C.(3,2) D.(1,3) 解析：设顶，点D的坐标为(x,y),则BC=(4,3),AD=(xJ-2) 由B元=2AD,得(4,3)=2(xy-2), 即023解 x=2, {y=2故选A 2 答案：C 2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD等于 () A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) 解析：如图，BC=AC-AB=(1,-1), BD=B元+CD=BC+BA=BC-AB=(-1,-1)(2,4)=(-3,-5),故选B 答案B
所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,5)-(4,6)=(3,-1), 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(1,8)-(4,6)=(-3,2), 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(3,-1)+(-3,2)=(0,1), 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(3,-1)-(-3,2)=(6,-3), 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =2(3,-1)+ 1 2 (-3,2) =(6,-2)+(- 3 2 ,1) = ( 9 2 ,-1). (2)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6), a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2), 3a-4b=3(1,2)-4(-3,4)=(15,-10). 12.已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(4,3),B(1,-1),C(2,1),求: (1)点 D 的坐标;(2)点 B,D 之间的距离. 解:设 AC 与 BD 交于点 O,O(x,y),则 x= 4+2 2 =3,y= 3+1 2 =2,即 O(3,2). (1)设 D(m,n),则{ 𝑚+1 2 = 3, 𝑛-1 2 = 2, 解得{ 𝑚 = 5, 𝑛 = 5, 即 D(5,5). (2)点 B,D 之间的距离 BD=√(5-1) 2 + (5 + 1) 2=2√13. 拓展提高 1.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,则顶点 D 的坐 标为( ) A.(2, 7 2 ) B.(2,- 1 2 ) C.(3,2) D.(1,3) 解析:设顶点 D 的坐标为(x,y),则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =(4,3),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-2). 由𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(4,3)=2(x,y-2), 即{ 2𝑥 = 4, 2(𝑦-2) = 3, 解得{ 𝑥 = 2, 𝑦 = 7 2 , 故选 A. 答案:C 2.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线.若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ =(1,3),则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) 解析:如图,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1), 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5),故选 B. 答案:B
3在四边形ABCD中，正=DC-(1,0),哥+需=票则四边形ABCD的面积是 () A月 B./3 C D 解析：，AB=DC=(1,0),∴.四边形ABCD为平行四边形. 又哥+器=需BD平分∠ABC ∴.四边形ABCD为菱形，且边长为1， 对角钱BD=1:△BD的高M=2自=票 “Sma5HBCD=2 SABD=-2×2×1×号=写 2 答案D 4.已知原点O为正六边形ABCDEF的中心，0A=(-1,V3,0B=(1,√3，则OC等于 () A.(2,0) B.(-2,0) C.(0,-2v3) D.0,v3 解析：易知四边形OABC为平行四边形，则OC=OB-OA=(2,0)】 答案：A 5.设点A(2,0),B(4,2),点P在直线AB上，且AB1=2APL,则点P的坐标为 解析：，点P在直线AB上，且AB=2AP,当，点P在线段AB上时，P为线段AB的 中点， 则P(生，)，即P3,1) 当点P在线段BA的延长线上时，AB=-2AP 设Pxy),则-2AF=(4-2x,-2y), ÷8=2配1 答案(3,1)或(1，-1) 6.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点，点C在∠AOB内，1OC1=2V2,且∠AOC=45°. 若0元=0A+0B(1∈R),则1= 解析：结合图形易得C(-2,2),.0C=(-2,2) 又0元=10A+0B=(-31,2) -3=2,解得号 答案子 7.己知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),点A(-1,-2) (I)求线段BD的中点M的坐标： (2)若点P(2,y)满足PB=BDU∈R),求1与y的值
3.在四边形 ABCD 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0), 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | = ⃗𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ |⃗𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ | ,则四边形 ABCD 的面积是 ( ) A. 3 2 B.√3 C. √3 4 D. √3 2 解析:∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),∴四边形 ABCD 为平行四边形. 又 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | = ⃗𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ |⃗𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ | ,∴BD 平分∠ABC, ∴四边形 ABCD 为菱形,且边长为 1, 对角线 BD=1.∵△ABD 的高 h=√1 2 - ( 1 2 ) 2 = √3 2 , ∴S 四边形 ABCD=2S△ABD=2× 1 2 ×1× √3 2 = √3 2 . 答案:D 4.已知原点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-√3),则𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(0,-2√3) D.(0,√3) 解析:易知四边形 OABC 为平行四边形,则𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0). 答案:A 5.设点 A(2,0),B(4,2),点 P 在直线 AB 上,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ |,则点 P 的坐标为 . 解析:∵点 P 在直线 AB 上,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ |,当点 P 在线段 AB 上时,P 为线段 AB 的 中点, 则 P( 2+4 2 , 0+2 2 ),即 P(3,1). 当点 P 在线段 BA 的延长线上时,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =-2𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ , 设 P(x,y),则-2𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ =(4-2x,-2y), ∴{ 2 = 4-2𝑥, 2 = -2𝑦, 解得{ 𝑥 = 1, 𝑦 = -1. ∴P(1,-1). 答案:(3,1)或(1,-1) 6.已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|=2√2,且∠AOC=45°. 若𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =λ𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则 λ= . 解析:结合图形易得 C(-2,2),∴𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =(-2,2). 又𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ =λ𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,2), ∴-3λ=-2,解得 λ= 2 3 . 答案: 2 3 7.已知向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1),点 A(-1,-2). (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标; (2)若点 P(2,y)满足𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ =λ𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),求 λ 与 y 的值
解(1)设Bx11),因为AB=(4,3),4(-1,-2), 所以(x1+1y1+2)=(4,3), 所以化+1=4， y1+2=3, 解货所以B 同理可得D(4,-3)】 设BD的中点Mx22), 则=2受-山， 所以M(经1) (2)由PB=(3,1)-(2)=(1,1y), BD=(-4,-33,1)=(7,4) 又PB=BD(1∈R), 所以(1,1y)=(-7,-4)=(72,4), 所以74年 = (y= 挑战创新 己知直线上三点P1,P,P2满足PP-PP21,且P1(2,-1),P(1,3),求点P的坐标 解-子Pp, ∴PP=PP或P-pp 设Px,则6x-2y+1)=±1-x,3以， 即2-61 x-2=-(-1-x), y+1=(3-y). y+1=-3-y) 角军二三或二 y=-9 故点P的坐标为（信）或(8，-9)
解:(1)设 B(x1,y1),因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),A(-1,-2), 所以(x1+1,y1+2)=(4,3), 所以{ 𝑥1 + 1 = 4, 𝑦1 + 2 = 3, 解得{ 𝑥1 = 3, 𝑦1 = 1, 所以 B(3,1). 同理可得 D(-4,-3). 设 BD 的中点 M(x2,y2), 则 x2= 3-4 2 =- 1 2 ,y2= 1-3 2 =-1, 所以 M(- 1 2 ,-1). (2)由𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ =(3,1)-(2,y)=(1,1-y), 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 又𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ =λ𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ (λ∈R), 所以(1,1-y)=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ), 所以{ 1 = -7𝜆, 1-𝑦 = -4𝜆, 解得{ 𝜆 = - 1 7 , 𝑦 = 3 7 . 挑战创新 已知直线上三点 P1,P,P2 满足|𝑃⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗ |=2 3 |𝑃𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,且 P1(2,-1),P2(-1,3),求点 P 的坐标. 解:∵|𝑃⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗ |=2 3 |𝑃𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴𝑃⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗ = 2 3 𝑃𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 或𝑃⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗ =- 2 3 𝑃𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 设 P(x,y),则(x-2,y+1)=± 2 3 (-1-x,3-y), 即{ 𝑥-2 = 2 3 (-1-𝑥), 𝑦 + 1 = 2 3 (3-𝑦). 或 { 𝑥-2 = - 2 3 (-1-𝑥), 𝑦 + 1 = - 2 3 (3-𝑦). 解得{ 𝑥 = 4 5 , 𝑦 = 3 5 或 { 𝑥 = 8, 𝑦 = -9. 故点 P 的坐标为( 4 5 , 3 5 )或(8,-9)