5.2三角函数的概念 5.2.1三角函数的概念 第1课时三角函数的定义 基础巩固 1已知角a的终边与单位圆的交点r52四，则sina+cosa( 55 A9 B. 29 答案：B 解析：根据三角函载在单位圆中的定义可知sma一华9csa导 所以sina+cosa=25+5-5 5 55 2.若角a的终边上有一点P(0,3),则下列式子无意义的是 () A.tan a B.sin a C.cos a D.cosa sina 答案：A 解析：由三角函数的定义知，sina子cos a-i tan a-(r为角a终边上一点到原点的距离，(x)为 角a终边上任意一点的坐标)，可知tana无意义. 3.下列说法正确的个数是() ①正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的，零角的三角函数值是0： ②角a的终边上有一点P(x,y),则sina的值随y的增大而增大； ③对任意的角a若a终边上一点的坐标为x以，则都有tana关 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：A 4.设角a的终边上有一点P(-4a,3a(a<0),则2sina+cosa的值为() B或号 5 c号 D.与a有关 答案：C 解析：.a<0,∴.点P到原点的距离r=(-4a)2+(3a)2-5a=-5a ∴.cosa-4sina=3 5 2sina+c0sa-号 5.已知角a的终边经过点P(-b,4,且sina-则b等于() A.3 B.-3 C.±3 D.5 答案：C 解析点P到原点的距离=D2+16,sina4=手b=士3. Vb+16 6.已知角a的终边经过点(-8m,-6c0s60),且cosa=号则m的值是(
5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念 第 1 课时 三角函数的定义 基础巩固 1.已知角 α 的终边与单位圆的交点 P √5 5 ,- 2√5 5 ,则 sin α+cos α=( ) A.√5 5 B.- √5 5 C.2√5 5 D.- 2√5 5 答案:B 解析:根据三角函数在单位圆中的定义可知,sin α=- 2√5 5 ,cos α= √5 5 , 所以 sin α+cos α=- 2√5 5 + √5 5 =- √5 5 . 2.若角 α 的终边上有一点 P(0,3),则下列式子无意义的是 ( ) A.tan α B.sin α C.cos α D.cos𝛼 sin𝛼 答案:A 解析:由三角函数的定义知,sin α= 𝑦 𝑟 ,cos α= 𝑥 𝑟 ,tan α= 𝑦 𝑥 (r 为角 α 终边上一点到原点的距离,(x,y)为 角 α 终边上任意一点的坐标),可知 tan α 无意义. 3.下列说法正确的个数是( ) ①正角的三角函数值是正的,负角的三角函数值是负的,零角的三角函数值是 0; ②角 α 的终边上有一点 P(x,y),则 sin α 的值随 y 的增大而增大; ③对任意的角 α,若 α 终边上一点的坐标为(x,y),则都有 tan α= 𝑦 𝑥 . A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A 4.设角 α 的终边上有一点 P(-4a,3a)(a<0),则 2sin α+cos α 的值为( ) A.2 5 B.2 5 或- 2 5 C.- 2 5 D.与 a 有关 答案:C 解析:∵a<0,∴点 P 到原点的距离 r=√(-4𝑎) 2 + (3𝑎) 2=5|a|=-5a, ∴cos α= 4 5 ,sin α=- 3 5 . ∴2sin α+cos α=- 2 5 . 5.已知角 α 的终边经过点 P(-b,4),且 sin α= 4 5 ,则 b 等于( ) A.3 B.-3 C.±3 D.5 答案:C 解析:点 P 到原点的距离 r=√𝑏 2 + 16,sin α= 4 √𝑏 2+16 = 4 5 ,∴b=±3. 6.已知角 α 的终边经过点(-8m,-6cos 60°),且 cos α=- 4 5 ,则 m 的值是( )
B月 c里 答案：A 解析：由题意可知，角a的终边经过点(-8m,-3), 根据三角函数的定义得cosa -8m 4 v64m2+污 解得m号 7.己知角0的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P(4y)是角0终边上 的一点，且s如0-25则)= 答案-8 解析0P川一√伞+严根据任意角的三角函数的定义，得sn0y=2解得=-8 V42+y25 8.若角a的终边经过点(2sin30°，-2cos30),则sina= 答案9 解析：所给点的坐标为(1，-V了)。 故sna-孚 9已知点M是以原点O为圆心的单位圆上的一点，以射线OM为终边的角a的正弦值为.三 求cosa和tana的值 解：设点M的坐标为(xy). 由题意知ma一号 即号 点M在单位圆上，且圆心与原点O重合， x2+y2-1, 即+(1 解得x竖或x一 2 当x马时，c0sa号 2 2,tan a=-1; 当=受.co=竖ama=l 拓展提高 1.已知角a的终边与单位圆交于点P(2y),则cosa等于() A号 B片 c里 D号 答案B 解析根据三角函数在单位圆中的定义可知，c0sa=之 已知角a的终边落在直线y=2x上，则sina等于() A B.2 5 D±25 5
A.1 2 B.- 1 2 C.- √3 2 D.√3 2 答案:A 解析:由题意可知,角 α 的终边经过点(-8m,-3), 根据三角函数的定义得 cos α= -8𝑚 √64𝑚2 +9 =- 4 5 , 解得 m= 1 2 . 7.已知角 θ 的顶点与坐标原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,若点 P(4,y)是角 θ 终边上 的一点,且 sin θ=- 2√5 5 ,则 y= . 答案:-8 解析:|OP|=√4 2 + 𝑦 2.根据任意角的三角函数的定义,得 sin θ= 𝑦 √4 2+𝑦2 =- 2√5 5 ,解得 y=-8. 8.若角 α 的终边经过点(2sin 30°,-2cos 30°),则 sin α= . 答案:- √3 2 解析:所给点的坐标为(1,-√3), 故 sin α=- √3 2 . 9.已知点 M 是以原点 O 为圆心的单位圆上的一点,以射线 OM 为终边的角 α 的正弦值为- √2 2 , 求 cos α 和 tan α 的值. 解:设点 M 的坐标为(x,y). 由题意知,sin α=- √2 2 , 即 y=- √2 2 . ∵点 M 在单位圆上,且圆心与原点 O 重合, ∴x 2+y2=1, 即 x 2+(- √2 2 ) 2 =1, 解得 x= √2 2 或 x=- √2 2 . 当 x= √2 2 时,cos α= √2 2 ,tan α=-1; 当 x=- √2 2 时,cos α=- √2 2 ,tan α=1. 拓展提高 1.已知角 α 的终边与单位圆交于点 P(- 1 2 ,𝑦),则 cos α 等于( ) A.- √3 3 B.- 1 2 C.- √3 2 D.±1 2 答案:B 解析:根据三角函数在单位圆中的定义可知,cos α=- 1 2 . 2.已知角 α 的终边落在直线 y=2x 上,则 sin α 等于( ) A.√5 5 B.2√5 5 C.±√5 5 D.±2√5 5
答案D 解析：因为角α的终边落在直线y=2x上，直线y=2x过第一和第三象限，所以可取终边上的点 P(12)和P1,2,则1OP=OP=V5(其中0为坐标原点)，所以sna=2 3.某点从(1,0)出发，沿单位圆2+y2=1按逆时针方向运动到达点Q,则点Q的坐标为() A( (副 c( () 答案：A 解析：由三角函数定义可得.(cos号sn).co吗-sn子=是 故点Q的坐标为马， 2’2 4.已知角0的终边上有一点P(x,-1(x≠0)，且tan0=-x,则sin0+cos0= 答案0或V2 解析：角0的终边过点P(x,-1)≠0)， ÷tan0- 又tan0=-x, ∴x2-1,即x=±1 当x=1时，sin0= 2,cos 0-v2 7 则sin0+cos0=0. 当x=-1时，sn0= 2,cos0- 2 则sin0+cos0=-√2. 故sin0+cos0的值为0或-√2 5.已知角a的终边经过点P(-5,12),则加mC的值为 答案品 解析：角a的终边经过点P(-5,12), 12 12 12 tana 6.若角a的终边在直线y=3x上，且sina<0,又点P(m,n)是a终边上一点，且IOP-V10(O为坐 标原点)，则m-n= 答案2 解析：，点P(m,n)在直线y=3x上，且sina<0, 点P位于第三象限 .m<0,n<0,n=3m 又10P=m2+(3m)2=V10mz=V10, ∴.m=-1,n=-3 ,∴.m-n=2. 挑战创新
答案:D 解析:因为角 α 的终边落在直线 y=2x 上,直线 y=2x 过第一和第三象限,所以可取终边上的点 P1(1,2)和 P2(-1,-2),则|OP1|=|OP2|=√5(其中 O 为坐标原点),所以 sin α=± 2√5 5 . 3.某点从(1,0)出发,沿单位圆 x 2+y2=1 按逆时针方向运动2π 3 到达点 Q,则点 Q 的坐标为( ) A.(- 1 2 , √3 2 ) B.(- √3 2 ,- 1 2 ) C.(- 1 2 ,- √3 2 ) D.(- √3 2 , 1 2 ) 答案:A 解析:由三角函数定义可得,Q(cos 2π 3 ,sin2π 3 ),cos 2π 3 =- 1 2 ,sin2π 3 = √3 2 , 故点 Q 的坐标为 - 1 2 , √3 2 . 4.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,则 sin θ+cos θ= . 答案:0 或-√2 解析:∵角 θ 的终边过点 P(x,-1)(x≠0), ∴tan θ=- 1 𝑥 . 又 tan θ=-x, ∴x 2=1,即 x=±1. 当 x=1 时,sin θ=- √2 2 ,cos θ= √2 2 , 则 sin θ+cos θ=0. 当 x=-1 时,sin θ=- √2 2 ,cos θ=- √2 2 , 则 sin θ+cos θ=-√2. 故 sin θ+cos θ 的值为 0 或-√2. 5.已知角 α 的终边经过点 P(-5,12),则 sin𝛼 tan𝛼的值为 . 答案:- 5 13 解析:∵角 α 的终边经过点 P(-5,12), ∴sin α= 12 √25+144 = 12 13,tan α= 12 -5 =- 12 5 , 故 sin𝛼 tan𝛼 = 12 13 - 12 5 =- 5 13. 6.若角 α 的终边在直线 y=3x 上,且 sin α<0,又点 P(m,n)是 α 终边上一点,且|OP|=√10(O 为坐 标原点),则 m-n= . 答案:2 解析:∵点 P(m,n)在直线 y=3x 上,且 sin α<0, ∴点 P 位于第三象限, ∴m<0,n<0,n=3m. 又|OP|=√𝑚2 + (3𝑚) 2 = √10𝑚2 = √10, ∴m=-1,n=-3, ∴m-n=2. 挑战创新
己知P(2)是角a终边上的一点且sma一导求cosa与ama的值 解：因为点P到原点的距离=√4+y2, 所以sina=》=5 4+y25 所以y2+4=5y2,所以y2=1. 又易知y<0, 所以y=-1, 所以r=√5， 225」 所以cosa-房等，ama是=克
已知 P(-2,y)是角 α 终边上的一点,且 sin α=- √5 5 ,求 cos α 与 tan α 的值. 解:因为点 P 到原点的距离 r=√4 + 𝑦 2, 所以 sin α= 𝑦 √4+𝑦2 =- √5 5 , 所以 y 2+4=5y 2 ,所以 y 2=1. 又易知 y<0, 所以 y=-1, 所以 r=√5, 所以 cos α= -2 √5 =- 2√5 5 ,tan α= -1 -2 = 1 2