5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 基础巩固 1设函数x)=sin(受-2x)x∈R,则x)是( A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为元的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 答案B 解析由函数)-sin传-2x-e0s2x,可知)是偶函数，最小正周期T-元 2.函数fx)=2sinx的最小正周期为() A.2π B受 C.元 D 答案：C 解析：，sin(x+π)=-sinx,lsinx=-sinx, ∴x+π)=x),.函数fx)=2|sinx的最小正周期为π故选C 3.函数x)=x+sinx,x∈R( A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，又不是偶函数 答案：A 解析：由几-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-x),可知x)是奇函数 4.下列函数中，周期为2π的是() Ay-sin吃 B.y=sin 2x C.y=sin D.y=|sin 2xl 答案C 标折的周期了变红 n2x的周期7受-元 y=sin的周期T=2x y=sin2x的周期T-7故选C. 5.已知定义在R上的函数x)的周期为元，且是奇函数()=1，则（四）的值为) A.1 B.-1 c.0 D.2 答案B 解析四)π)=()-用)=-1 6.下列函数：①y=x2sinx②y=sinx,x∈[0,2π：③y=sinx,x∈[-元，π；④y=xCOSx,其中奇函数的个数 为 () A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：①③④是奇函数，故选C 7.若0<a<受gx)=sin(2x+平+a是偶函数，则a的值为
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第 1 课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 基础巩固 1.设函数 f(x)=sin( π 2 -2𝑥),x∈R,则 f(x)是( ) A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 C.最小正周期为π 2的奇函数 D.最小正周期为π 2的偶函数 答案:B 解析:由函数 f(x)=sin( π 2 -2𝑥)=cos 2x,可知 f(x)是偶函数,最小正周期 T=2π 2 =π. 2.函数 f(x)=2|sin x|的最小正周期为( ) A.2π B.3π 2 C.π D.π 2 答案:C 解析:∵sin(x+π)=-sin x,|sin x|=|-sin x|, ∴f(x+π)=f(x),∴函数 f(x)=2|sin x|的最小正周期为 π.故选 C. 3.函数 f(x)=x+sin x,x∈R( ) A.是奇函数,但不是偶函数 B.是偶函数,但不是奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数 答案:A 解析:由 f(-x)=-x-sin x=-(x+sin x)=-f(x),可知 f(x)是奇函数. 4.下列函数中,周期为 2π 的是( ) A.y=sin𝑥 2 B.y=sin 2x C.y=|sin 𝑥 2 | D.y=|sin 2x| 答案:C 解析:y=sin𝑥 2的周期 T=2π 1 2 =4π; y=sin 2x 的周期 T=2π 2 =π; y=|sin𝑥 2 |的周期 T=2π; y=|sin 2x|的周期 T=π 2 .故选 C. 5.已知定义在 R 上的函数 f(x)的周期为 π,且是奇函数,f( π 4 )=1,则 f( 3π 4 )的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 答案:B 解析:f( 3π 4 )=f(π- π 4 )=f(- π 4 )=-f( π 4 )=-1. 6.下列函数:①y=x2 sin x;②y=sin x,x∈[0,2π];③y=sin x,x∈[-π,π];④y=xcos x,其中奇函数的个数 为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:①③④是奇函数,故选 C. 7.若 0<α< π 2 ,g(x)=sin(2𝑥 + π 4 + 𝛼)是偶函数,则 α 的值为
答案！ 解析：要使gx)=sin(2x+平+a为偶函数，则须好+a=km+k∈Z所以a=k+平k∈Z国为 00)的最小正周期为元，则ω= 答案2 解析国为哥@>0)，所以@-2 9.判断函数fx)=cos(2π-x)-x3sin京的奇偶性 解fx)=cos(2π-x-x3sinr=cosx-x3sin京的定义域为R/-x)=cos(-x)-(-x)3sin-x)=cosx sinx=x),所以x)为偶函数. 拓展提高 1.在下列函数中，图象关于坐标原点对称的是( A.y=lgx B.y=sin x C.y=cosx D.y=x 答案B 解析：根据函数的性质可知奇函数的图象关于坐标原点对称，偶函数的图象关于y轴对称对 于Ay=lgx是非奇非偶函数；对于B,y=six为奇函数，图象关于坐标原点对称；对于Cy=cosx 为偶函数，图象关于y轴对称；对于Dy=x为偶函数，图象关于y轴对称 2.若函数y=sin(o-x)是奇函数，则p的值可能是(） A.30° B.60° C.90° D.1809 答案D 解析：要使此函数为奇函数，必须不改变函数名称，结合选项可知，当p=180°时y=si(180° x)=sinx是奇函数 3.若函数x)=cos(wx+)(@>0)的相邻两个零点之间的距离为号，则o的值为() A.3 B.6 C.12 D.24 答案B 解析函数)=cos(ωx+)(@>0)的相邻两个零点之间的距离为5所以最小正周期T-2x= g-导解得@6 4函数sin(2x+引+2的最小正周期为 答案 5.设函数)=si学，则1)+2)+3)+.+2020)=. 答案9 解折沉树-e好：的周期1宁6 .∴1)+2)+3)+..+2020) =336[1)+f2)+3)+4)+5)+6】]+2017)+2018)+2019)+2020) -336(-sin写+sin+sin元+sin号+sin号+sin2-）1)+2)+3)+4 =336×0+/1)+2)+3)+4) =sn+sin号+inin9-9
答案: π 4 解析:要使 g(x)=sin(2𝑥 + π 4 + 𝛼)为偶函数,则须π 4 +α=kπ+ π 2 ,k∈Z.所以 α=kπ+ π 4 ,k∈Z.因为 00)的最小正周期为 π,则 ω= . 答案:2 解析:因为2π |𝜔| =π(ω>0),所以 ω=2. 9.判断函数 f(x)=cos(2π-x)-x 3 sin1 2 x 的奇偶性. 解:f(x)=cos(2π-x)-x 3 sin1 2 x=cos x-x 3 sin1 2 x 的定义域为 R,f(-x)=cos(-x)-(-x) 3 sin1 2 (-x)=cos xx 3 sin1 2 x=f(x),所以 f(x)为偶函数. 拓展提高 1.在下列函数中,图象关于坐标原点对称的是( ) A.y=lg x B.y=sin x C.y=cos x D.y=|x| 答案:B 解析:根据函数的性质可知奇函数的图象关于坐标原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称.对 于 A,y=lg x 是非奇非偶函数;对于 B,y=sin x 为奇函数,图象关于坐标原点对称;对于 C,y=cos x 为偶函数,图象关于 y 轴对称;对于 D,y=|x|为偶函数,图象关于 y 轴对称. 2.若函数 y=sin(φ-x)是奇函数,则 φ 的值可能是( ) A.30° B.60° C.90° D.180° 答案:D 解析:要使此函数为奇函数,必须不改变函数名称,结合选项可知,当 φ=180°时,y=sin(180°- x)=sin x 是奇函数. 3.若函数 f(x)=cos(𝜔𝑥 + π 4 )(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π 6 ,则 ω 的值为( ) A.3 B.6 C.12 D.24 答案:B 解析:函数 f(x)=cos(𝜔𝑥 + π 4 )(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π 6 ,所以最小正周期 T=2×π 6 = π 3 . 由 2π 𝜔 = π 3 ,解得 ω=6. 4.函数 y=|sin(2𝑥 + π 4 )|+2 的最小正周期为 . 答案: π 2 5.设函数 f(x)=sinπ 3 x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)= . 答案: √3 2 解析:∵f(x)=sinπ 3 x 的周期 T=2π π 3 =6, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020) =336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020) =336( sinπ 3 +sin2π 3 +sin π+sin4π 3 +sin5π 3 +sin 2π )+f(1)+f(2)+f(3)+f(4) =336×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4) =sinπ 3 +sin2π 3 +sin π+sin4π 3 = √3 2
挑战创新 判断函数x)=ln(sinx+√1+sin2x)的奇偶性. 解：，sinx+V1+sin2x2sinx+l≥0， 若两处等号同时取到，则sinx=0且sinx=-1矛盾， ∴.对x∈R,都有sinx+V1+sin2x>0. .'f-x)=In(-sinx+v1+sin2x) =In(V1 sin2x-sin x) =In(V1 sin2x+sin x) =-ln(sinx+√1+sin2x) =x), 几x)为奇函数
挑战创新 判断函数 f(x)=ln(sin x+√1 + sin 2𝑥)的奇偶性. 解:∵sin x+√1 + sin 2𝑥≥sin x+1≥0, 若两处等号同时取到,则 sin x=0 且 sin x=-1 矛盾, ∴对 x∈R,都有 sin x+√1 + sin 2𝑥>0. ∵f(-x)=ln(-sin x+√1 + sin 2𝑥) =ln(√1 + sin 2𝑥-sin x) =ln(√1 + sin 2𝑥+sin x) -1 =-ln(sin x+√1 + sin 2𝑥) =-f(x), ∴f(x)为奇函数