1.2 集合间的基本关系 基础巩固 1.下列关系式不正确的是( A.{1}s{1,2} B.{0}≤{1,2} C.{2}S{1,2} D.1∈{1,2) 答案B 解析：，0E{1,2},∴.{0}二{1,2}不正确：根据子集的概念可知A,C正确：D显然正确. 2.已知集合A={x1<x<2},B={x1<x<1},则 A.A车B B.BSA C.ACB D.B=A 答案B 3.若集合A满足A二B,ACC,B={0,1,2,3},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A的个数为 () A.0 B.1 C.2 D.4 答案D 解析：ACB,A二C,∴A中最多能含有0,2两个元素 ∴.集合A可以为2，{0}，2；，{0,2，共4个 4.已知集合A={xax2.5x+6=0,a∈R;,若2∈A,则集合A的子集个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案：A 解析：依题意得4a-10+6=0,解得a=1,则x2-5x+6=0,解得x1=2,2=3,所以A={2,3},所以集合A 的子集个数为22=4.故选A 5.已知集合U=R,则正确表示集合U,M={-l,0,1},N={xx2+x=0}之间关系的Venn图是() 答案B 解析：因为N={xx2+x=0}={0,-1}, 所以N军M故选B. 6.已知集合A={xx=2n+1,n∈Z,集合B={xx=4灶1，k∈Z),则A与B间的关系是 答案：A=B 解析：因为整数包括奇数与偶数，所以n=2k或n=2k-1(k∈Z,当n=2k∈Z)时，2n+1=4k+1(k∈ ZD,当n=2k-1(k∈Z时，2n+1=4k-1(k∈ZD,故A=B. 7.已知非空集合A满足：①A二{1,2,3,4}：②若x∈A,则5-x∈A,则满足上述要求的集合A的个数 为 答案：3 解析：由题意知，满足题中要求的集合A可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个 8.定义集合A*B={xx∈A,且xEB},若A={1,2,3,4,5},B={2,4,5},则A*B的子集个数 是」 答案4 解析：在集合A*B中，x∈A,∴x可能取1,23,4,5
1.2 集合间的基本关系 基础巩固 1.下列关系式不正确的是( ) A.{1}⊆{1,2} B.{0}⊆{1,2} C.{2}⊆{1,2} D.1∈{1,2} 答案:B 解析:∵0∉{1,2},∴{0}⊆{1,2}不正确;根据子集的概念可知 A,C 正确;D 显然正确. 2.已知集合 A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则 ( ) A.A⫋B B.B⫋A C.A⊆B D.B=A 答案:B 3.若集合 A 满足 A⊆B,A⊆C,B={0,1,2,3},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合 A 的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案:D 解析:∵A⊆B,A⊆C,∴A 中最多能含有 0,2 两个元素, ∴集合 A 可以为⌀,{0},{2},{0,2},共 4 个. 4.已知集合 A={x|ax2 -5x+6=0,a∈R},若 2∈A,则集合 A 的子集个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案:A 解析:依题意得 4a-10+6=0,解得 a=1,则 x 2 -5x+6=0,解得 x1=2,x2=3,所以 A={2,3},所以集合 A 的子集个数为 2 2=4.故选 A. 5.已知集合 U=R,则正确表示集合 U,M={-1,0,1},N={x|x2+x=0}之间关系的 Venn 图是( ) 答案:B 解析:因为 N={x|x2+x=0}={0,-1}, 所以 N⫋M.故选 B. 6.已知集合 A={x|x=2n+1,n∈Z},集合 B={x|x=4k±1,k∈Z},则 A 与 B 间的关系是 . 答案:A=B 解析:因为整数包括奇数与偶数,所以 n=2k 或 n=2k-1(k∈Z),当 n=2k(k∈Z)时,2n+1=4k+1(k∈ Z),当 n=2k-1(k∈Z)时,2n+1=4k-1(k∈Z),故 A=B. 7.已知非空集合 A 满足:①A⊆{1,2,3,4};②若 x∈A,则 5-x∈A,则满足上述要求的集合 A 的个数 为 . 答案:3 解析:由题意知,满足题中要求的集合 A 可以是{1,4},{2,3},{1,2,3,4},共 3 个. 8.定义集合 A*B={x|x∈A,且 x∉B},若 A={1,2,3,4,5},B={2,4,5},则 A*B 的子集个数 是 . 答案:4 解析:在集合 A*B 中,x∈A,∴x 可能取 1,2,3,4,5
又xeB,x不能取2,4,5. 因此x的可能取值只有1和3. ∴.A*B={1,3},其子集个数为4 拓展提高 1.己知集合A-{1,a,B={1,2,3},则下列说法正确的是 A若a=3,则AcB B.若ASB,则a=3 C.若a=3,则A=B D.若ACB,则a=2 答案：A 解析：当a=3时，A={1,3},因为B={1,2,3}, 所以AcB.当ASB时，a=2或3. 2.满足{a}M军{a,b,c,d的集合M共有() A6个 B.7个 C.8个 D.15个 答案：A 解析：因为{aM{a,b,c,d},所以集合M中含有b,c,d中的1个或2个，即M可以为 {a,b},{a,c,{a,d,{a,b,c,{a,b,d},{a,c,d.所以集合M共有6个 3.己知集合A={x(a-1)x2+3x-2=0,a∈R}有且仅有两个子集，则实数a=() A日 B.1 c或1 D.-8或1 答案C 解析：由题意，知集合A={x(a-1)x2+3x-2=0,a∈R}中有且仅有一个元素，即关于x的方程(a- 1)x+3x-2=0有且仅有一个根当a=1时，方程只有一根x子符合要求；当味1时，由△-32 4×(a-1)×(-2)=0,解得a=日故实数a的值为1或日 4.若集合B={1,2;,A={xrSB;,则A与B的关系是 () A.A∈B B.B∈A C.ACB D.B≤A 答案B 解析：因为集合B的子集为{1}，{2}，{1,2，O,所以A={xxSB}={{1},{2},{1,2},©}，所以B∈A 5.(多选题)下列选项中的两个集合相等的有() A.P={xx=2n,n∈Z,Q={xr=2(n+l),n∈Z B.P={xx=2n-l,n∈N},Q={xx=2n+l,n∈N} CP=2x=0,Q-x=±nez D.P=(xly=x+1),Q={(x,y)ly=x+1) 答案：AC 解析：选项A中集合P,Q都表示所有偶数组成的集合，所以P=Q,选项B中集合P是由 1,3,5,…(所有正奇数)组成的集合，Q是由3,5,7，（所有大于1的正奇数）组成的集合，1Q,所以 P0,选项C中集合P=0,1,当n为奇数时x1:0,当n为偶数时x1+=l,所以 2 2 Q={0,1},所以P=Q:选项D中，P表示直线y=x+1上，点的横坐标构成的集合，而Q表示直线 y=x+1上，点的坐标构成的集合，所以P≠Q.综上可知，选AC
又 x∉B,∴x 不能取 2,4,5. 因此 x 的可能取值只有 1 和 3, ∴A*B={1,3},其子集个数为 4. 拓展提高 1.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则下列说法正确的是 ( ) A.若 a=3,则 A⊆B B.若 A⊆B,则 a=3 C.若 a=3,则 A=B D.若 A⊆B,则 a=2 答案:A 解析:当 a=3 时,A={1,3},因为 B={1,2,3}, 所以 A⊆B.当 A⊆B 时,a=2 或 3. 2.满足{a}⫋M⫋{a,b,c,d}的集合 M 共有( ) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.15 个 答案:A 解析:因为{a}⫋M⫋{a,b,c,d},所以集合 M 中含有 b,c,d 中的 1 个或 2 个,即 M 可以为 {a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d}.所以集合 M 共有 6 个. 3.已知集合 A={x|(a-1)x 2+3x-2=0,a∈R}有且仅有两个子集,则实数 a=( ) A.- 1 8 B.1 C.- 1 8或 1 D.-8 或 1 答案:C 解析:由题意,知集合 A={x|(a-1)x 2+3x-2=0,a∈R}中有且仅有一个元素,即关于 x 的方程(a- 1)x 2+3x-2=0 有且仅有一个根.当 a=1 时,方程只有一根 x= 2 3 ,符合要求;当 a≠1 时,由 Δ=3 2 - 4×(a-1)×(-2)=0,解得 a=- 1 8 .故实数 a 的值为 1 或- 1 8 . 4.若集合 B={1,2},A={x|x⊆B},则 A 与 B 的关系是 ( ) A.A∈B B.B∈A C.A⊆B D.B⊆A 答案:B 解析:因为集合 B 的子集为{1},{2},{1,2},⌀,所以 A={x|x⊆B}={{1},{2},{1,2},⌀},所以 B∈A. 5.(多选题)下列选项中的两个集合相等的有( ) A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z} B.P={x|x=2n-1,n∈N * },Q={x|x=2n+1,n∈N * } C.P={x|x2 -x=0},Q= x|𝑥 = 1+(-1) 𝑛 2 ,n∈Z D.P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1} 答案:AC 解析:选项 A 中集合 P,Q 都表示所有偶数组成的集合,所以 P=Q;选项 B 中集合 P 是由 1,3,5,…(所有正奇数)组成的集合,Q 是由 3,5,7,…(所有大于 1 的正奇数)组成的集合,1∉Q,所以 P≠Q;选项 C 中集合 P={0,1},当 n 为奇数时,x= 1+(-1) 𝑛 2 =0,当 n 为偶数时,x= 1+(-1) 𝑛 2 =1,所以 Q={0,1},所以 P=Q;选项 D 中,P 表示直线 y=x+1 上点的横坐标构成的集合,而 Q 表示直线 y=x+1 上点的坐标构成的集合,所以 P≠Q.综上可知,选 AC
6.若集合M={xx2+x-6=0},N={xax-1=0,a∈R},且NcM,则实数a的值为 答案0号 解析集合M=2+x-6=0}=2,-3头.当a0时，N=e,满足NcM当a0时，N=am1-0}=得 因为cM所以2或3，解得a技a=号综上，a的值为0号 挑战创新 已知集合M={xx2+2x-a=0,a∈R} (I)若oM,求实数a的取值范围： (2)若N={xx2+x=O},且M仁N,求实数a的取值范围。 解(1)由题意得，方程x2+2x-a=0有实数解 故△=22.4(-a)≥0，得2-1. (2)W={xx2+x=0}={0,-1},又MCN,若M=o,则△=22.4(-a)0，即a>-1时，M中有两个元素， 由Me义得M-从日0子a无解 综上，a的取值范围为{aa心-l}
6.若集合 M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0,a∈R},且 N⊆M,则实数 a 的值为 . 答案:0,1 2 ,- 1 3 解析:集合 M={x|x2+x-6=0}={2,-3}.当 a=0 时,N=⌀,满足 N⊆M;当 a≠0 时,N={x|ax-1=0}={ 1 𝑎 }. 因为 N⊆M,所以1 𝑎 =2 或 1 𝑎 =-3,解得 a= 1 2或 a=- 1 3 .综上,a 的值为 0,1 2 ,- 1 3 . 挑战创新 已知集合 M={x|x2+2x-a=0,a∈R}. (1)若⌀⫋M,求实数 a 的取值范围; (2)若 N={x|x2+x=0},且 M⊆N,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由题意得,方程 x 2+2x-a=0 有实数解, 故 Δ=2 2 -4(-a)≥0,得 a≥-1. (2)N={x|x2+x=0}={0,-1},又 M⊆N,若 M=⌀,则 Δ=2 2 -4(-a)0,即 a>-1 时,M 中有两个元素, 由 M⊆N,得 M=N,从而{ -1 + 0 = -2, (-1) × 0 = -𝑎,无解. 综上,a 的取值范围为{a|a≤-1}