第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 第1课时 空间向量的概念与运算 1.通过类比平面向量，掌握空间向量的有关概念 课标定位 2,掌握空间向量的加法、减法与数乘运算。 素养阐释 3.体会数学抽象的过程，加强直观想象和逻辑推理、运算能力的培养， 课前·基础认知 一、空间向量的概念 D.D.CCL.CIC.DC.CD 【问题思考】 二、空间向量的加法运算 1.在一个平面上，若两个非零向量a,b的方向相同，则 【问题思考】 ā仍.将此命题中的“在一个平面上”改为“在空间中”，命题 1,平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边 是否仍成立？ 形法则对于空间向量是否适用？ 提示成立 提示适用 2.将平面向量的有关概念与约定推广到空间中，是否仍 2.填空：(1)空间向量的加法运算 成立？ 已知空间中任意两个向量a,b,在空间中任取一点O, 提示成立. 作OA=a,AB=b,如图所示. 3.填空：(1)空间中既有大小又有方向的量称为空间向 量（简称为向量） (2)大小相等、方向相同的向量称为相等的向量」 (3)方向相同或者相反的两个非零向量互相平行. ①三角形法则 (4)一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线 在O,A,B三点确定的平面a内，O店=OA+A店=a十b 段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面：否 ②平行四边形法则 则，称这些向量不共面 如图，取OA=a,OC=b,则在O,A,B三点确定的平 4.做一做：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 面内，Oi=OA+AB=OA+O元=a+b: AD=3,AA1=4,AB=5.在长方体的所有棱对应的向量中， D ③向量加法的运算律 D 交换律：a十b=b+a: 结合律：(a十b)十c=a十(b十c). (1)与AA,相等的向量有 (2)多边形法则 (2)与AA,平行的向量有 为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依 次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向 (3)与AA,D元共面的向量有 量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量. 3.做一做：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列 答案(1)BB,CC,DD 向量的表达式 (2)BBI.CCI,DD1,AA,BB,CIC,DD (1)AB+BC+CCI=AC (3)AA,AB.BA,BB.BB.A B.B A,CD.DD. (2)AB+CD+BC=AD
第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 第1课时 空间向量的概念与运算 课标定位 素养阐释 1.通过类比平面向量,掌握空间向量的有关概念. 2.掌握空间向量的加法、减法与数乘运算. 3.体会数学抽象的过程,加强直观想象和逻辑推理、运算能力的培养. 课前·基础认知 一、空间向量的概念 【问题思考】 1.在一个平面上,若两个非零向量a,b 的方向相同,则 a∥b.将此命题中的“在一个平面上”改为“在空间中”,命题 是否仍成立? 提示 成立. 2.将平面向量的有关概念与约定推广到空间中,是否仍 成立? 提示 成立. 3.填空:(1)空间中既有大小又有方向的量称为空间向 量(简称为向量). (2)大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. (3)方向相同或者相反的两个非零向量互相平行. (4)一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线 段通过平移之后,都能在同一平面内,则称这些向量共面;否 则,称这些向量不共面. 4.做 一 做:如 图,在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中, AD=3,AA1=4,AB=5.在长方体的所有棱对应的向量中, (1)与AA1 → 相等的向量有 . (2)与AA1 → 平行的向量有 . (3)与AA1 →,D→C 共面的向量有 . 答案 (1)BB1 →,CC1 →,DD1 → (2)BB1 →,CC1 →,DD1 →,A1 →A,B1 →B,C1 →C,D1 →D (3)A1 →A,A→B,B→A,BB1 →,B1 →B,A1B1 →,B1A1 →,C→D,DD1 →, D1 →D,CC1 →,C1 →C,D1C1 →,C1D1 → 二、空间向量的加法运算 【问题思考】 1.平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边 形法则对于空间向量是否适用? 提示 适用. 2.填空:(1)空间向量的加法运算 已知空间中任意两个向量a,b,在空间中任取一点O, 作O→A=a,A→B=b,如图所示. ①三角形法则 在O,A,B 三点确定的平面α内,O→B=O→A+A→B=a+b. ②平行四边形法则 如图,取O→A=a,O→C=b,则在O,A,B 三点确定的平 面内,O→B=O→A+A→B=O→A+O→C=a+b. ③向量加法的运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (2)多边形法则 为了得到有限个空间向量的和,只需将这些空间向量依 次首尾相接,那么以第一个向量的始点为始点,最后一个向 量的终点为终点的向量,就是这些向量的和向量. 3.做一做:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,化简下列 向量的表达式. (1)A→B+B→C+CC1 →=AC1 →; (2)A→B+C→D+B→C=A→D. 1
数学 选择性必修 第一册 配人教B版 三、空间向量的线性运算 当λ=0或a=0时，Aa=0 【问题思考】 ②空间向量的数乘运算满足如下运算律：对于实数入与 1.已知a是空间中的一非零向量，则a(入∈R)的方向 4,向量a与b有a十a=(a十4)a,A(a十b)=λa十Ab, 与a的方向有何关系？ ③若存在实数入，使得b=Aa,则b∥a 提示当入>0时，Aa与a的方向相同；当入=0时，a 3.做一做：已知入∈R,a≠0，则下列结论正确的是( 的方向是任意的：当10时，与a的方向相同： (5)空间向量只有大小，没有方向， (X) 当入<0时，与a的方向相反； 课堂·重难突破 探究一空间向量的概念 ②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比 【例1】给出下列命题： 较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的。 ①若将空间中所有单位向量的起点移到同一个点，则它 但向量的模是可以比较大小的， 们的终点构成一个圆： 【变式训练1】如图，以长方体ABCD-ABCD1的 ②若空间向量a,b满足|a=bl,则a=b: 八个顶点的两点为始点和终点的向量中， ③在正方体ABCD-AB1CD1中，必有AC=AC: D ④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等， 其中假命题有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析①是假命题，将空间中所有单位向量的起点移到 (1)试写出与AB相等的所有向量； 同一点时，它们的终点构成一个球面，而不是一个圆.②是假 (2)试写出AA1的相反向量。 命题，根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅其模要 相等，方向也要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同. 解(1)与向量AB相等的所有向量（除它自身之外）有 ③是真命题，在正方体ABCD-AB,C1D1中，向量AC与 A1B1,DC及D,C共3个 AC的方向相同，模也相等，必有AC=A1C.④是真命题. (2)向量AA1的相反向量为A1A,BB,CC,D, ⑤是假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但其方 向不一定相同，故两个单位向量不一定相等.故选C 探究二 空间向量的加法、减法运算 答案C 【例2】如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列 反思感悟 向量表达式，并在图中标出化简结果的向量. 解决向量概念问题应把握的两个要素和两个关系 (1)AA'-CB: (1)两个要素 (2)AA+AB+B'C 判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主 D 要要素，即大小与方向，两者缺一不可 (2)两个关系 ①模相等与向量相等的关系：若两个向量的模相 等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量（非 B 零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. 分析(1)分析题意，将CB等价转化为DA,DA转化
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 三、空间向量的线性运算 【问题思考】 1.已知a是空间中的一非零向量,则λa(λ∈R)的方向 与a的方向有何关系? 提示 当λ>0时,λa 与a 的方向相同;当λ=0时,λa 的方向是任意的;当λ0时,与a的方向相同; 当λ<0时,与a的方向相反; 当λ=0或a=0时,λa=0. ②空间向量的数乘运算满足如下运算律:对于实数λ与 μ,向量a与b有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb. ③若存在实数λ,使得b=λa,则b∥a. 3.做一做:已知λ∈R,a≠0,则下列结论正确的是( ) A.λa与a同向 B.|λa|=λ|a| C.λa可能为0 D.|λa|=|λ|a 答案 C 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a∥b,则a与b同向. (×) (2)∃λ∈R,使λa=0. (×) (3)O→A-O→B=B→A. (√) (4)若PQ 是空间一条线段,O 为空间一点,且O→M = 1 2 O→P+ 1 2 O→Q,则M 是PQ 的中点. (√) (5)空间向量只有大小,没有方向. (×) 课堂·重难突破 探究一 空间向量的概念 【例1】给出下列命题: ①若将空间中所有单位向量的起点移到同一个点,则它 们的终点构成一个圆; ②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b; ③在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,必有A→C=A1C1 →; ④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中假命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 ①是假命题,将空间中所有单位向量的起点移到 同一点时,它们的终点构成一个球面,而不是一个圆.②是假 命题,根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅其模要 相等,方向也要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同. ③是真命题,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 A→C 与 A1C1 → 的方向相同,模也相等,必有A→C=A1C1 →.④是真命题. ⑤是假命题,空间中任意两个单位向量的模均为1,但其方 向不一定相同,故两个单位向量不一定相等.故选C. 答案 C 解决向量概念问题应把握的两个要素和两个关系. (1)两个要素 判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主 要要素,即大小与方向,两者缺一不可. (2)两个关系 ①模相等与向量相等的关系:若两个向量的模相 等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非 零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. ②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比 较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的. 但向量的模是可以比较大小的. 【变式训练1】如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1 的 八个顶点的两点为始点和终点的向量中, (1)试写出与A→B 相等的所有向量; (2)试写出AA1 → 的相反向量. 解 (1)与向量A→B 相等的所有向量(除它自身之外)有 A1B1 →,D→C 及D1C1 → 共3个. (2)向量AA1 → 的相反向量为A1 →A,B1 →B,C1 →C,D1 →D. 探究二 空间向量的加法、减法运算 【例2】如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列 向量表达式,并在图中标出化简结果的向量. (1)AA→'-C→B; (2)AA→'+A→B+B'C→'. 分析 (1)分析题意,将C→B 等价转化为D→A,D→A 转化 2
第一章空间向量与立体几何 为一AD,利用平行四边形法则得出结论 (2)应用平行四边形法则先求AA十AB,再应用三角 Bi)=A店+号[AC-AB)+(市-A店)]=3(A店+ 形法则求AB+BC AC+AD)】 解(1)A-C=AA-Di=A产+AD=AD 延伸探究 (2)AA+AB+BC 在本例中，若F是△ACD的重心，试用A店，A心，AD =(AA+AB)+BC 表示F =AB'+BC 解，F是△ACD的重心， =AC" 向量AD,AC心如图所示. 正=号证=号×宁成斗 反思感悟 化简向量表达式时主要利用平行四边形法则、三 市)=号C+市. 角形法则和多边形法则.而三角形法则和多边形法则 又店-店+aC+A). 更方便应用 【变式训练2】如图，在正方体 连接AG.“底-G-正-号（店+花+）- ABCD-A1B,C1D1中，下列各式中运 A 专心+市)=号应 算的结果为向量AC的有( ①反思感悟 ①(AB+BC)+CC 空间向量的数乘运算实质是空间向量的加减运算， ②(AA1+AD1)+DC 利用数乘运算解决问题时，要结合图形，灵活应用三角 ③(AB+BB1)+B,C1 形法则、多边形法则等，用已知向量表示目标向量. ④(AA1+A1B)+BC 【变式训练3】如图，M,N分别是四面体ABCD的棱 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 AB.CD的中点，求证：-之市+BC. 解析根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐 一进行判断： ①(A店+BC)+CC=AC+CC=AC. @(AA+AD)+DC=AD,+DCi=ACi. (AB+BB)+BCi=AB:+BC=ACi. (AA+AB)+BCi=ABi+BC=ACi. 因此，结果为向量AC,的有4个 证明由题意，得MN=Mi+AD+D示】 ⑦ 答案D MN=MB+BC+CN. 又Mi=-Mi.DN=-C,①+②，得2MN=AD+ 探究三空间向量的数乘运算 武，因此=子市+BC). 【例3】如图，设A是△BCD所 在平面外的一点，G是△BCD的重 思想方法 心求证，心=专+C+ 利用数形结合法求解空间向量问题 【典例】已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',点M是 分析借助于平行四边形法则 B 棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA'=2:1. 和三角形法则，结合数乘向量，用 设Ci=a,CB=b,CC=c,试用向量a,b,c表示向量Ci, AB,AC和AD表示出AG. CA.CM.CG. 证明连接BG,延长后交CD 解如图，C=C+C市= D' 于点E,由G为△BCD的重心，知 a十b, 成=硫 CA产=CA+AA=CA+ 由题意知E为CD的中点， C=a十b+c, CM-CA+AM-CB+CD+ 则成=成+成 过=a+6+2c. 故花=店+成=店+号酝=店+专（武+ ==号a+b+e以
第一章 空间向量与立体几何 为-A→D,利用平行四边形法则得出结论. (2)应用平行四边形法则先求AA→'+A→B,再应用三角 形法则求AB→'+B'C→'. 解 (1)AA→'-C→B=AA→'-D→A=AA→'+A→D=AD→'. (2)AA→'+A→B+B'C→' =(AA→'+A→B)+B'C→' =AB→'+B'C→' =AC→'. 向量AD→',AC→'如图所示. 化简向量表达式时主要利用平行四边形法则、三 角形法则和多边形法则.而三角形法则和多边形法则 更方便应用. 【变式训练2】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运 算的结果为向量AC1 → 的有( ) ①(A→B+B→C)+CC1 → ②(AA1 →+A1D1 →)+D1C1 → ③(A→B+BB1 →)+B1C1 → ④(AA1 →+A1B1 →)+B1C1 → A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐 一进行判断: ①(A→B+B→C)+CC1 →=A→C+CC1 →=AC1 →. ②(AA1 →+A1D1 →)+D1C1 →=AD1 →+D1C1 →=AC1 →. ③(A→B+BB1 →)+B1C1 →=AB1 →+B1C1 →=AC1 →. ④(AA1 →+A1B1 →)+B1C1 →=AB1 →+B1C1 →=AC1 →. 因此,结果为向量AC1 → 的有4个. 答案 D 探究三 空间向量的数乘运算 【例3】如图,设A 是△BCD 所 在平面外的一点,G 是△BCD 的重 心.求证:A→G= 1 3 (A→B+A→C+A→D). 分析 借助于平行四边形法则 和三角形法则,结合数乘向量,用 A→B,A→C 和A→D 表示出A→G. 证明 连接BG,延长后交CD 于点E,由G 为△BCD 的重心,知 B→G= 2 3 B→E. 由题意知E 为CD 的中点, 则B→E= 1 2 B→C+ 1 2 B→D. 故A→G=A→B +B→G=A→B + 2 3 B→E =A→B + 1 3 (B→C+ B→D)=A→B+ 1 3 [(A→C-A→B)+(A→D-A→B)]= 1 3 (A→B+ A→C+A→D). 在本例中,若F 是△ACD 的重心,试用 A→B,A→C,A→D 表示F→G. 解 ∵F 是△ACD 的重心, ∴A→F= 2 3 A→E= 2 3 × 1 2 (A→C+ A→D)= 1 3 (A→C+A→D). 又A→G= 1 3 (A→B+A→C+A→D), 连接AG,∴F→G =A→G -A→F = 1 3 (A→B +A→C +A→D)- 1 3 (A→C+A→D)= 1 3 A→B. 空间向量的数乘运算实质是空间向量的加减运算. 利用数乘运算解决问题时,要结合图形,灵活应用三角 形法则、多边形法则等,用已知向量表示目标向量. 【变式训练3】如图,M,N 分别是四面体ABCD 的棱 AB,CD 的中点,求证:M→N= 1 2 (A→D+B→C). 证明 由题意,得M→N=M→A+A→D+D→N, ① M→N=M→B+B→C+C→N. ② 又M→A=-M→B,D→N=-C→N,①+②,得2M→N=A→D+ B→C,因此M→N= 1 2 (A→D+B→C). 思 想 方 法 利用数形结合法求解空间向量问题 【典例】已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',点 M 是 棱AA'的中点,点G 在对角线A'C 上,且CG∶GA'=2∶1. 设C→D=a,C→B=b,CC→'=c,试用向量a,b,c表示向量C→A, CA→',C→M,C→G. 解 如 图,C→A =C→B +C→D = a+b, CA→'=C→A + AA→' =C→A + CC→'=a+b+c, C→M=C→A+A→M=C→B+C→D+ 1 2 CC→'=a+b+ 1 2 c, C→G= 2 3 CA→'= 2 3 (a+b+c). 3
数学 选择性必修第一册 配人教B版 ①方法点睛 对于③，OA-O币+Ai=DA+AD=0: 要用a,b,c表示目标向量，必须结合图形，构造三 对于④，NQ+Q+MN-M=(N+Q妒)+ 角形、平行四边形、多边形等，再运用空间向量的加法、 (M示-M)=NP+PN=0. 减法及数乘向量求解。 综上所述，结果为零向量的个数是4 【变式训练】证明平行六面体的体对角线相交于一 答案D 点，且在交点处互相平分 3.如图，在空间四边形OABC中，点M,N分别在OA,BC 证明如图，在平行六面体 D' 上，OM=2MA,BN=CN,则MN= (用OA, ABCD-A'B'C'D'中，设点O是AC' O.0元表示). 的中点，剥ò=号C=号（十 AD-AA). 设P,M,N分别是BD',CA', DB'的中点，则AP=AB+B驴= +号前=店+号（耐+武+丽） A+(-Ai+市+AM)=,A+A市+A). 解析M=+A店+B示=号Oi+O成-耐+ 同理可证：A=店+A市+A),N=A馆+ 20心-0)=-i+2诚+2记 AD+A).由此可知O,P,M,N四点重合 故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相 答案-号i+2成+号心 平分 4.在直三棱柱ABC-A1BC1中，若CA=a,C克=b,CC= c,则A1B= (用a,b,c表示). 随堂训练。。。。。。。 解析A1B=AA+AB=-CC+C-Ci=-c+b 1.下列命题是假命题的是() a=b-a-c. A.向量AB与BA的长度相等 答案b-a一c B.两个相等的向量，若始点相同，则终点也相同 5.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面 C.只有零向量的模等于0 ABCD是平行四边形，E为OC的 D.在同一条直线上的单位向量都相等 中点.设OA=a,Oi=b,O币=d. 答案D 试用a,b,d表示AE 2.化简：①AB+BC+Ci:②Ai-AC+BD-Ci:③Oi OD+AD;④NQ+QP+MN-M正.结果为零向量的个 解正=0苑-0耐=2心 数是( A.1 B.2 C.3 D.4 a=号0i+成)-0i=号0+市)-0i- 解析对于①，AB+B武+CA=AC+C=0: 对于②，AB-AC+Bd-Ci=(AB+BD)-(AC+ 20+0-0i)-0i=-2i+0+2元- CD)=AD-AD=0; 3 1 2a+2b+d. 课后·训练提升 L.如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则AB+ A.AD B.BG C.CD D.AG 2(成+武)等于() 解析店+之(B配+B武)=+B武=AG 答案D 2.如图，四棱柱ABCD-AB,CD D 的底面是平行四边形，M是AC 与BD的交点.若AB=a,AD= b,AA1=c,则CM可以表示 为() 4
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 要用a,b,c表示目标向量,必须结合图形,构造三 角形、平行四边形、多边形等,再运用空间向量的加法、 减法及数乘向量求解. 【变式训练】证明平行六面体的体对角线相交于一 点,且在交点处互相平分. 证明 如 图,在 平 行 六 面 体 ABCD-A'B'C'D'中,设点O 是AC' 的中点,则A→O= 1 2 AC→'= 1 2 (A→B+ A→D+AA→'). 设P,M,N 分别是BD',CA', DB'的中点,则 A→P =A→B +B→P = A→B+ 1 2 BD→' = A→B + 1 2 (B→A + B→C + BB→')= A→B+ 1 2 (-A→B+A→D+AA→')= 1 2 (A→B+A→D+AA→'). 同理可证:A→M= 1 2 (A→B+A→D+AA→'),A→N= 1 2 (A→B+ A→D+AA→').由此可知O,P,M,N 四点重合. 故平行六面体的体对角线相交于一点,且在交点处互相 平分. 随堂训练 1.下列命题是假命题的是( ) A.向量A→B 与B→A 的长度相等 B.两个相等的向量,若始点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.在同一条直线上的单位向量都相等 答案 D 2.化简:①A→B+B→C+C→A;②A→B-A→C+B→D-C→D;③O→AO→D+A→D;④N→Q+Q→P+M→N-M→P.结果为零向量的个 数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 对于①,A→B+B→C+C→A=A→C+C→A=0; 对于②,A→B-A→C+B→D-C→D=(A→B+B→D)-(A→C+ C→D)=A→D-A→D=0; 对于③,O→A-O→D+A→D=D→A+A→D=0; 对于④,N→Q +Q→P +M→N -M→P = (N→Q +Q→P)+ (M→N-M→P)=N→P+P→N=0. 综上所述,结果为零向量的个数是4. 答案 D 3.如图,在空间四边形OABC 中,点M,N 分别在OA,BC 上,OM=2MA,BN=CN,则 M→N= (用O→A, O→B,O→C 表示). 解析 M→N =M→A +A→B +B→N= 1 3 O→A +O→B -O→A + 1 2 (O→C-O→B)=- 2 3 O→A+ 1 2 O→B+ 1 2 O→C. 答案 - 2 3 O→A+ 1 2 O→B+ 1 2 O→C 4.在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,若C→A=a,C→B=b,CC1 →= c,则A1 →B= (用a,b,c表示). 解析 A1 →B=A1 →A+A→B=-CC1 →+C→B-C→A=-c+ba=b-a-c. 答案 b-a-c 5.如图,在四棱锥O-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,E 为OC 的 中点.设O→A=a,O→B=b,O→D=d, 试用a,b,d表示A→E. 解 A→E =O→E -O→A = 1 2 O→C - O→A= 1 2 (O→B +B→C)-O→A = 1 2 (O→B +A→D)-O→A = 1 2 (O→B+O→D-O→A)-O→A=- 3 2 O→A+ 1 2 O→B+ 1 2 O→D= - 3 2 a+ 1 2 b+ 1 2 d. 课后·训练提升 1.如图,在四面体ABCD 中,设G 是CD 的中点,则A→B+ 1 2 (B→D+B→C)等于( ) A.A→D B.B→G C.C→D D.A→G 解析 A→B+ 1 2 (B→D+B→C)=A→B+B→G=A→G. 答案 D 2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面是平行四边形,M 是AC 与BD 的交点.若A→B=a,A→D= b,AA1 → =c,则C1 →M 可以表示 为( ) 4
第一章空间向量与立体几何 A.atb+ze B-za-zbte 答案D 5.(多选题)下列命题是假命题的是() C.-a-7b-e D.za+zbte A.方向相反的两个向量是相反向量 B.若向量a,b满足|a>b|,且a,b同向，则a>b 解析，四棱柱ABCD-ABCD1的底面是平行四边 C.不相等的两个空间向量的模必不相等 形，M是AC与BD的交点， D.对于任何向量a,b,必有la十b|≤Ia|十|b :C.M-CC+CM-AA-](AB+AD)--c- 解析对于A:长度相等，且方向相反的两个向量是相反 t(atb)--te-tb-c. 1 向量，故A是假命题：对于B:向量是不能比较大小的，故 B是假命题：对于C:不相等的两个空间向量的模也可以 答案C 相等，故C是假命题：D是真命题， 3.在四面体0-ABC中，OA=a,OB=b,O元=c,D为BC 答案ABC 的中点，E为AD的中点，则OE=() 6.化简AB-AC+BC-BD-DA= A.te-totte B.a-20+立 1 解析AB-AC+B武-BD-DA=AB+B元+CA+ AD+DB=AC+CA+AD+DB=AB. c+b+ D.ta+zb+ie 答案AB 解析O求=Oi+A正=Oi+ 7.在正方体ABCD-A1B,CD1中，向量表达式AB-CD+ BC-DA的化简结果为 市=0成+号×2（店+ 解析AB-CD+BC-DA=(AB+BC)-(CD+ AC)-Oi+(O成-Oi+0元 DA)=AC-CA=2AC 答案24C )=耐+成+元= 8.如图，已知在四面体A-BCD中，AB=a-2c,CD=5a十 6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则EF= 0+b+c 1 (用向量a,b,c表示). 答案C 4.如图，在正方体ABCD-ABCD中，点M,N分别是面 对角线AB与BD1的中点.若DA=a,DC=-b,DD,= c,则M=( D 解析设G为BC的中点，连接EG, FG. 则萨-成+示-店+市 1 =2(a-2c)+z(5a+6b-8c) A.(c+b-a) 且a+b-e) =3a+3b-5c. Ca-e) 答案3a+3b-5c D.z(c-a) 9.已知A是△BCD所在平面外一点，M,N分别是△ABC 解析M=MA+A,D,+DN, 和△ACD的重心，若BD=4,试求MN的长. AB=AB-AA=DC-DDi=b-c, 解如图，连接AM并延长与BC相交 于点E,连接AN并延长与CD相交于 M=-2Ai=-2b-e. 点F,则E,F分别是BC和CD的中点， :AD=-Di=-a,D=号Di+D心)= 连接EF 由M=-M=号萨- 2a+b. 证-号（萨-）-号成--应)= m=--c)-a+a+b)=- 2a+ (2市-2)=ò-)=ò.得11= e-(e-a), 5
第一章 空间向量与立体几何 A.a+b+ 1 2 c B.- 1 2 a- 1 2 b+c C.- 1 2 a- 1 2 b-c D. 1 2 a+ 1 2 b+c 解析 ∵四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是平行四边 形,M 是AC 与BD 的交点, ∴C1 →M=C1 →C+C→M=A1 →A- 1 2 (A→B+A→D)=-c- 1 2 (a+b)=- 1 2 a- 1 2 b-c. 答案 C 3.在四面体O-ABC 中,O→A=a,O→B=b,O→C=c,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则O→E=( ) A. 1 2 a- 1 4 b+ 1 4 c B.a- 1 2 b+ 1 2 c C. 1 2 a+ 1 4 b+ 1 4 c D. 1 4 a+ 1 2 b+ 1 4 c 解析 O→E =O→A +A→E =O→A + 1 2 A→D =O→A + 1 2 × 1 2 (A→B + A→C)=O→A+ 1 4 (O→B-O→A+O→CO→A)= 1 2 O→A+ 1 4 O→B+ 1 4 O→C= 1 2 a+ 1 4 b+ 1 4 c. 答案 C 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点M,N 分别是面 对角线A1B 与B1D1 的中点.若D→A=a,D→C=b,DD1 →= c,则M→N=( ) A. 1 2 (c+b-a) B. 1 2 (a+b-c) C. 1 2 (a-c) D. 1 2 (c-a) 解析 ∵M→N=MA1 →+A1D1 →+D1 →N, A1 →B=A→B-AA1 →=D→C-DD1 →=b-c, ∴MA1 →=- 1 2 A1 →B=- 1 2 (b-c). ∵A1D1 →= -D→A = -a,D1 →N = 1 2 (D→A +D→C)= 1 2 (a+b), ∴M→N=- 1 2 (b-c)-a+ 1 2 (a+b)=- 1 2 a+ 1 2 c= 1 2 (c-a). 答案 D 5.(多选题)下列命题是假命题的是( ) A.方向相反的两个向量是相反向量 B.若向量a,b满足|a|>|b|,且a,b同向,则a>b C.不相等的两个空间向量的模必不相等 D.对于任何向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b| 解析 对于 A:长度相等,且方向相反的两个向量是相反 向量,故 A是假命题;对于B:向量是不能比较大小的,故 B是假命题;对于 C:不相等的两个空间向量的模也可以 相等,故C是假命题;D是真命题. 答案 ABC 6.化简A→B-A→C+B→C-B→D-D→A= . 解析 A→B-A→C+B→C-B→D -D→A=A→B+B→C+C→A+ A→D+D→B=A→C+C→A+A→D+D→B=A→B. 答案 A→B 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,向量表达式A→B-C→D+ B→C-D→A 的化简结果为 . 解析 A→B-C→D +B→C -D→A = (A→B +B→C)- (C→D + D→A)=A→C-C→A=2A→C. 答案 2A→C 8.如图,已知在四面体A-BCD 中,A→B=a-2c,C→D=5a+ 6b-8c,对角线 AC,BD 的中点分别为E,F,则 E→F= (用向量a,b,c表示). 解析 设G 为BC 的中点,连接 EG, FG, 则E→F=E→G+G→F= 1 2 A→B+ 1 2 C→D = 1 2 (a-2c)+ 1 2 (5a+6b-8c) =3a+3b-5c. 答案 3a+3b-5c 9.已知A 是△BCD 所在平面外一点,M,N 分别是△ABC 和△ACD 的重心,若BD=4,试求MN 的长. 解 如图,连接AM 并延长与BC 相交 于点E,连接AN 并延长与CD 相交于 点F,则E,F 分别是BC 和CD 的中点, 连接EF. 由 M→N =A→N -A→M = 2 3 A→F - 2 3 A→E= 2 3 (A→F -A→E)= 2 3 E→F = 2 3 (C→F-C→E)= 2 3 1 2 C→D- 1 2 C→B = 1 3 (C→D-C→B)= 1 3 B→D,得|M→N|= 5
数学 选择性必修第一册 配人教B版 号励=子故MN的长为号 10.如图，在平行六面体ABCD-AB1CD1中，AM= 号d.A=2N.设店=a.A市=6，=c,试用 a,b,c表示M D 则M示=-成=+A-号花= B 不+号A市-专+成)=不+号（茄- aA-合+a=c+号b-e)-子a+b) 解如图，连接AN, 第2课时 空间向量的数量积 课标定位 1.了解两个向量的夹角的概念。 2.掌握空间中两个向量的数量积定义及运算律和性质， 素养阐释 3.加强数学运算能力的培养 课前·基础认知 一、空间向量的夹角 提示向量. 【问题思考】 2.平面向量的数量积的概念与性质，能否将它们从平面 1.空间中任意两个向量是否一定共面？ 推广到空间中？ 提示一定共面。 提示能. 2.平面上两向量夹角的定义对于空间向量适用吗？ 3.填空： 提示适用 (1)定义：空间中，两个非零向量a与b的数量积（也称 3.填空：空间向量的夹角 为内积)定义为a·b=allblcos(a,b2. 已知两个非零向量a,b,任意在空间中选定一点O, (2)空间向量的数量积的性质 定义 作OA=a,O=b,则大小在[0，π]内的∠AOB称为 ①a⊥b台a·b=0. a与b的夹角 ②a·a=|al2=a2. ③la·bl≤|allb. 记法 (a,b〉 ④(aa)·b=a(a·b). 范围 (a,b)∈[0，.当(a,b)=2时，a⊥b ⑤a·b=b·a(交换律). 4.做一做：如图，在正方体ABCD-A1B,C,D1中， ⑥(a十b)·c=a·c十b·c(分配律). D 4.做一做：在正四面体O-ABC中，若其棱长为1，则 AC.OB= B 解析AC.O=(O元-Oi).O=O元.O成- OA.Oi=1×1Xcos60°-1×1Xcos60°=0. 答案0 【思考辨析】 (AC.DD,)= 判断正误.（正确的画“、/”，错误的画“X”) (A D.AC)= (1)两个向量的夹角的范围是[0，π). (X) 答案乞普 (2)对于非零向量a,b,必有(a,b)=(-a,-b).(/) (3)la·bl=la|·lbl. (×) 二、空间向量的数量积 (4)(a·b)·c=a·(b·c) (X) 【问题思考】 (5)若a·b=b·c,则a=c. (×) 1.向量a在向量b上的投影是向量还是实数？ (6)(a十b)2=a2+2a·b+b2 (√) 6
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 1 3 |B→D|= 4 3 .故MN 的长为 4 3 . 10.如 图,在 平 行 六 面 体 ABCD-A1B1C1D1 中,A→M = 1 2 M→C,A1 →N=2N→D,设A→B=a,A→D=b,AA1 →=c,试用 a,b,c表示M→N. 解 如图,连接AN, 则 M→N =A→N -A→M =AA1 → +A1 →N - 1 3 A→C = AA1 →+ 2 3 A1 →D - 1 3 (A→B+B→C)=AA1 →+ 2 3 (A→D - AA1 →)- 1 3 (A→B+A→D)=c+ 2 3 (b-c)- 1 3 (a+b)= - 1 3 a+ 1 3 b+ 1 3 c. 第2课时 空间向量的数量积 课标定位 素养阐释 1.了解两个向量的夹角的概念. 2.掌握空间中两个向量的数量积定义及运算律和性质. 3.加强数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、空间向量的夹角 【问题思考】 1.空间中任意两个向量是否一定共面? 提示 一定共面. 2.平面上两向量夹角的定义对于空间向量适用吗? 提示 适用. 3.填空:空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a,b,任意在空间中选定一点O, 作O→A=a,O→B=b,则大小在[0,π]内的∠AOB 称为 a与b的夹角 记法 范围 ∈[0,π].当= π 2 时,a⊥b 4.做一做:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, = ; = . 答案 π 2 π 4 二、空间向量的数量积 【问题思考】 1.向量a在向量b上的投影是向量还是实数? 提示 向量. 2.平面向量的数量积的概念与性质,能否将它们从平面 推广到空间中? 提示 能. 3.填空: (1)定义:空间中,两个非零向量a 与b的数量积(也称 为内积)定义为a·b=|a||b|cos. (2)空间向量的数量积的性质 ①a⊥b⇔a·b=0. ②a·a=|a|2=a2. ③|a·b|≤|a||b|. ④(λa)·b=λ(a·b). ⑤a·b=b·a(交换律). ⑥(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 4.做一做:在正四面体O-ABC 中,若其棱长为1,则 A→C·O→B= . 解析 A→C·O→B = (O→C-O→A)·O→B =O→C·O→BO→A·O→B=1×1×cos60°-1×1×cos60°=0. 答案 0 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个向量的夹角的范围是[0,π). (×) (2)对于非零向量a,b,必有=. (√) (3)|a·b|=|a|·|b|. (×) (4)(a·b)·c=a·(b·c). (×) (5)若a·b=b·c,则a=c. (×) (6)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (√) 6
第一章空间向量与立体几何 课堂·重难突破 (3)(OA+OB)·(CA+CB)=(OA+OB)·(OA 探究一空间向量的数量积运算 OC+OB-OC)=(OA+OB)(OA+OB-20C)=0A*+ 【例1】已知长方体ABCD-A'B'C'D',AB=AA'=2, 0A.0i-20i.0元+0i.0i+0i2-20i.0元=1+ AD=4,E为侧面AB'的中心，F为A'D'的中点，求下列向 -2x2+1-2x-1 11 量的数量积： (1)AB·AB; 探究二求空间向量的夹角 (2)BC ED'; (3)E序.F 【例2】如图，在正方体ABCD- D 解如图，设AB=a,AD= A'BC'D'中，求向量AC与向量 A b,AA=c,则由题意，得Ia=B AB,B,AD,CD,BD的夹角. lcl=2,1b|=4,lAB1=22, 解连接BD,因为在正方体 D AB,AB)=45°，a·b=b·c= ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD, c·a=0. ∠BAC=45°，AC=AD'=CD', 1)A店.AB=|A店11A1os(A店，AB)=2X 所以(AC,AB)=(AC,AB)= 2x9=4 45°，(AC,BA)=(AC,BA)=180°- (AC,AB)=135°，(AC,AD)= ∠D'AC=60°，(AC,CD)=180° (2.前-成.[2-)+a而]=b: (C,CD)=180°-60°=120°，(AC, [2c-a)+b]=b1:=16, BD)=(AC,Bd)=90°. 延伸探究 (3)萨.FC=(E+A)·(2AD+DC） 在本例中，求异面直线A'B与AC所成的角. [2e-a+2](号b+a)=-号laP+lb1=2 解易求cosA店AC)=A店·A交=1 1AM元=2：A弦. ①反思感悟 [0id= 求两个向量m,n的数量积，一般有两种方法：一 是结合图形确定向量m,n的模及〈m,n〉的大小，直接 “并面直线AB与AC所成的角为号 利用空间向量的数量积的定义来求，此种情况下要注 反思感悟 意向量夹角的正确性：二是选定一组基向量表示向量 a·b m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之 求两向量的夹角需应用公式cos(a,b)=ab, 间的数量积来求. 由cos(a,b)的值确定(a,b)大小时，要特别注意向量夹 角的范围是[0，π]. 【变式训练1】如图，已知正四面体 O-ABC的棱长为1，点E,F分别是OA, 【变式训练2】如图，在直三棱 OC的中点.求下列向量的数量积： 柱ABC-A,B,C,中，侧棱AA1⊥平 (1)OA·OB: 面ABC.若AB=AC=AA1=1, B (2)E.CB: BC=2,则异面直线AC与BC (3)(Oi+O).(Ci+C$). 所成的角为 解(1)已知正四面体的棱长为1，则1OA1=O1=1 解析由题意，得BC∥BC1 又△OAB为等边三角形，∠AOB=60°，故Oi·OB= 则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所 Oi11Oi1cos(OA,Oi)=|Oi1·I1Oi1cos∠AOB=1× 成的角. 1Xcos60°=2 在直三棱柱ABC-A1BC:中，侧棱AA1⊥平面ABC. 若AB=AC=AA1=1,则BC=√2，BA1=2,CA1=√2，即 (2)因为E,F分别是OA,OC的中点，所以EFL △BCA1是正三角形，故异面直线AC与BC1所成的角为 之AC,于是亦.C=1序11C1os(萨，C)= 于故答案为 21C1 CB1oos(c.ci)=7×1×1Xcos120°=- 答案号
第一章 空间向量与立体几何 课堂·重难突破 探究一 空间向量的数量积运算 【例1】已知长方体ABCD-A'B'C'D',AB=AA'=2, AD=4,E 为侧面AB'的中心,F 为A'D'的中点,求下列向 量的数量积: (1)A→B·AB→'; (2)B→C·ED→'; (3)E→F·FC→'. 解 如图,设 A→B=a,A→D= b,AA→'=c,则由题意,得|a|= |c|=2,|b|=4,|AB→'|=22, =45°,a·b=b·c= c·a=0. (1)A→B·AB→'=|A→B||AB→'|cos=2× 22× 2 2 =4; (2)B→C·ED→'=B→C· 1 2 (AA→'-A→B)+A'D→' =b· 1 2 (c-a)+b =|b|2=16; (3)E→F·FC→'=(EA→'+A'→F)· 1 2 A'D→'+D'C→' = 1 2 (c-a)+ 1 2 b · 1 2 b+a =- 1 2 |a|2+ 1 4 |b|2=2. 求两个向量m,n 的数量积,一般有两种方法:一 是结合图形确定向量m,n 的模及的大小,直接 利用空间向量的数量积的定义来求,此种情况下要注 意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量 m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之 间的数量积来求. 【变式训练1】如图,已知正四面体 O-ABC 的棱长为1,点E,F 分别是OA, OC 的中点.求下列向量的数量积: (1)O→A·O→B; (2)E→F·C→B; (3)(O→A+O→B)·(C→A+C→B). 解 (1)已知正四面体的棱长为1,则|O→A|=|O→B|=1. 又△OAB 为等边三角形,∠AOB=60°,故O→A·O→B= |O→A||O→B|cos=|O→A|·|O→B|cos∠AOB=1× 1×cos60°= 1 2 . (2)因为 E,F 分别是OA,OC 的中点,所以 EF 1 2 AC,于 是 E→F ·C→B =|E→F||C→B|cos= 1 2 |A→C||C→B|cos= 1 2 ×1×1×cos120°=- 1 4 . (3)(O→A+O→B)·(C→A+C→B)=(O→A+O→B)·(O→AO→C+O→B-O→C)=(O→A+O→B)·(O→A+O→B-2O→C)=O→A2+ O→A·O→B-2O→A·O→C+O→B·O→A+O→B2-2O→B·O→C=1+ 1 2 -2× 1 2 + 1 2 +1-2× 1 2 =1. 探究二 求空间向量的夹角 【例2】如图,在正方体ABCDA'B'C'D'中,求 向 量 A→C 与 向 量 A'B→',B'A→',AD→',CD→',B'D→'的夹角. 解 连 接 BD,因 为 在 正 方 体 ABCD-A'B'C'D' 中,AC⊥ BD, ∠BAC=45°,AC=AD'=CD', 所以 = = 45°,==180°- = 135°,= ∠D'AC=60°,=180°- =180°-60°=120°,==90°. 在本例中,求异面直线A'B 与AC 所成的角. 解 易求cos= A'→B·A→C |A'→B||A→C| = 1 2 .∵∈[0,π],∴= π 3 , ∴异面直线A'B 与AC 所成的角为 π 3 . 求两向量的夹角需应用公式cos= a·b |a||b| , 由cos的值确定大小时,要特别注意向量夹 角的范围是[0,π]. 【变式训练2】如图,在直三棱 柱ABC-A1B1C1 中,侧棱AA1⊥平 面ABC.若 AB=AC=AA1 =1, BC= 2,则异面直线A1C 与B1C1 所成的角为 . 解析 由题意,得 BC∥B1C1, 则直线A1C 与BC 所成的角就是异面直线A1C 与B1C1 所 成的角. 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,侧棱AA1⊥平面ABC. 若AB=AC=AA1=1,则BC= 2,BA1= 2,CA1= 2,即 △BCA1 是正三角形,故异面直线A1C 与B1C1 所成的角为 π 3 .故答案为 π 3 . 答案 π 3 7
数学 选择性必修第一册 配人教B版 探究三求向量的模 2X(←）×2x2Xms60°=1+1+4-1=5， 【例3】如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，从 所以EF|=5, 同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是 易错辨析 60°，求对角线AC1和BD1的长. 因忽视角的范围致误 D 【典例】在三棱锥O-ABC中，各棱长都相等，E,F分 别为AB,OC的中点，求异面直线OE与BF所成的角的余 弦值. 错解如图，取OA=a,O=b,O元=c,且lal=lb1= cl=1, 分析将线段长度转化为向量的模，进而转化为已知向 量的模，应用数量积求解。 解AC=AB+AD+AAi, ∴.1ACI2=AC·AC=(AB+AD+AAi)·(AB+ AD+AA)=1ABI+AD+AA1+2(AB.AD+ AB.A41+AD·AA1)=1+1+1+2(cos60°+cos60°+ 则a·b=b·c=c·a=2 c0s60°)=6. .AC|=6,即对角线AC1的长为6 o=号a+6).萨=2c-b,10=1= 同理，|BD1I2=BD,·BD1=(AD+AA1-AB)· (AD+AA-AB)=1AD+AA+AB+(AD. g0正.球=2a+b).(经c-b)-ae+b AA-AB.AA-AD.AB)=1+1+1+2(cos 60- cos60°-c0s60)=2. c- 1ō1 ∴.|BDI=√2，即对角线BD1的长为2 反思感悟… 3· 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将 ∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为一号 此线段用向量表示，再用其他已知夹角和模的向量表 示此向量，最后利用la2=a·a,通过向量运算去求 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ la|,即得所求距离. 你如何改正？你如何防范？ 提示错解中混淆了异面直线所成角和两向量的夹角， 【变式训练3】已知正三棱柱ABC-A1B,C1的各棱长 都为2，E,F分别是AB,AC1的中点，求EF的长 两异面直线所成角的范国是(0，引 解如图，设AB=a,AC=b,AA=c 正解如图，取Oi=a, 0 Oi=b.O元=c,且lal=|b|= lcl=l,则a·b=b·c=c·a= 是0宽-2a+b.盛-2-b, 11-成-9 由题意知la|=|b|=lcl=2, 0庞.亦=a+b)(分c-b)=ae+ 且(a,b〉=60°，(a,c〉=(b,c〉=90° c-ab-b1=-2 因为萨=耐++A=-号++号花= ∴.cos(OE,B)= OE.BF 2 -zatc+2b. OEB=-子 :异面直线夹角的范围为(0，】“异面直线0E与 所以|EF12=|E序1？=EF:= 4a2+ b2+c2+ BF所成角的余弦值为号 8
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 探究三 求向量的模 【例3】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,从 同一顶点出发的三条棱的长都等于1,且彼此的夹角都是 60°,求对角线AC1 和BD1 的长. 分析 将线段长度转化为向量的模,进而转化为已知向 量的模,应用数量积求解. 解 ∵AC1 →=A→B+A→D+AA1 →, ∴|AC1 →|2=AC1 →·AC1 →=(A→B+A→D+AA1 →)·(A→B+ A→D+AA1 →)=|A→B|2+|A→D|2+|AA1 →|2+2(A→B·A→D+ A→B·AA1 →+A→D·AA1 →)=1+1+1+2(cos60°+cos60°+ cos60°)=6. ∴|AC1 →|= 6,即对角线AC1 的长为 6. 同理,|BD1 →|2=BD1 →·BD1 →=(A→D +AA1 →-A→B)· (A→D+AA1 →-A→B)=|A→D|2+|AA1 →|2+|A→B|2+2(A→D· AA1 →-A→B·AA1 →-A→D·A→B)=1+1+1+2(cos60°- cos60°-cos60°)=2. ∴|BD1 →|= 2,即对角线BD1 的长为 2. 求两点间的距离或某条线段的长度的方法:先将 此线段用向量表示,再用其他已知夹角和模的向量表 示此向量,最后利用|a|2=a·a,通过向量运算去求 |a|,即得所求距离. 【变式训练3】已知正三棱柱ABC-A1B1C1 的各棱长 都为2,E,F 分别是AB,A1C1 的中点,求EF 的长. 解 如图,设A→B=a,A→C=b,AA1 →=c. 由题意知|a|=|b|=|c|=2, 且=60°,==90°. 因为E→F=E→A+AA1 →+A1 →F=- 1 2 A→B+AA1 →+ 1 2 A→C= - 1 2 a+c+ 1 2 b, 所以|EF|2 =|E→F|2 =E→F2 = 1 4 a2 + 1 4 b2 +c2 + 2 - 1 4 a·b+ 1 2 b·c- 1 2 a·c = 1 4 ×22+ 1 4 ×22+22+ 2× - 1 4 ×2×2×cos60°=1+1+4-1=5, 所以|EF|= 5. 易 错 辨 析 因忽视角的范围致误 【典例】在三棱锥O-ABC 中,各棱长都相等,E,F 分 别为AB,OC 的中点,求异面直线OE 与BF 所成的角的余 弦值. 错解 如图,取O→A=a,O→B=b,O→C=c,且|a|=|b|= |c|=1, 则a·b=b·c=c·a= 1 2 . ∵O→E= 1 2 (a+b),B→F= 1 2 c-b,|O→E|= 3 2 ,|B→F|= 3 2 ,∴O→E·B→F= 1 2 (a+b)· 1 2 c-b = 1 4 a·c+ 1 4 b· c- 1 2 a·b- 1 2 |b|2=- 1 2 .∴cos= O→E·B→F |O→E||B→F| = - 2 3 . ∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为- 2 3 . 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错解中混淆了异面直线所成角和两向量的夹角, 两异面直线所成角的范围是 0, π 2 . 正解 如 图,取 O→A =a, O→B=b,O→C=c,且|a|=|b|= |c|=1,则a·b=b·c=c·a= 1 2 .∵O→E= 1 2 (a+b),B→F= 1 2 c-b, |O→E|= 3 2 ,|B→F|= 3 2 , ∴O→E·B→F= 1 2 (a+b)· 1 2 c-b = 1 4 a·c+ 1 4 b· c- 1 2 a·b- 1 2 |b|2=- 1 2 . ∴cos= O→E·B→F |O→E||B→F| =- 2 3 . ∵异面直线夹角的范围为 0, π 2 ,∴异面直线OE 与 BF 所成角的余弦值为 2 3 . 8
第一章空间向量与立体几何 ①防范措施 √2 弄清两向量的夹角与异面直线所成角的区别和联系， ,所以a,b)=3 ,故该命题是真命题：④向量a在向 4 事实上，两向量夹角的取值范围是[0，π]，异面直 线所或的角的范国是(0，引，设异面直线14，☑所成 量6上的投彩的数量天6-号成该今题是真命题 故真命题的个数为2， 的角为0，方向向量分别为a.b,当0AE.CD 9
第一章 空间向量与立体几何 弄清两向量的夹角与异面直线所成角的区别和联系. 事实上,两向量夹角的取值范围是[0,π],异面直 线所成的角的范围是 0, π 2 .设异面直线l1,l2 所成 的角为θ,方向向量分别为a,b,当0≤ π 2 时, θ=,即cosθ=cos;当 π 2 ,即cosθ=|cos|. 【变式训练】如图,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC= 5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求 O→A 与 B→C 夹角的余弦值. 解 ∵B→C=A→C-A→B, ∴O→A·B→C=O→A· (A→C-A→B)= O→A·A→C-O→A·A→B=|O→A||A→C|cos-|O→A||A→B|· cos=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24- 162. ∴cos= O→A·B→C |O→A||B→C| = 24-162 8×5 = 3-22 5 . 随堂训练 1.给出下列命题: ①零向量与任何向量的数量积仍然是零向量; ②若a·b为钝角; ③若a·b=-1,|a|=1,|b|= 2,则= 3π 4 ; ④若a·b=-2,|a|=4,|b|=3,则向量a在向量b上的 投影的数量为- 2 3 .其中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ①零向量与任何向量的数量积为零,而不是零向 量,故该命题是假命题;②若a·b为钝角或 平角,故该命题是假命题;③因为cos= a·b |a||b| = - 2 2 ,所以= 3π 4 ,故该命题是真命题;④向量a在向 量b上的投影的数量是 a·b |b| =- 2 3 ,故该命题是真命题. 故真命题的个数为2. 答案 C 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各对向量夹角为 45°的是( ) A.A→B 与A1C1 → B.A→B 与C1A1 → C.A→B 与A1D1 → D.A→B 与B1A1 → 答案 A 3.已知|p|=|q|=1,且=90°,a=3p-2q,b=p+q, 则a·b= . 答案 1 4.若a,b,c 为空间两两夹角都是60°的三个单位向量,则 |a-b+2c|= . 答案 5 5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于a,点 M,N 分别是边AB,CD 的中点,求|M→N|. 解 如图,设A→B=p,A→C=q, A→D=r, ∴|p|=|q|=|r|=a, 且p,q,r 三向量两两夹 角均为60°, ∴M→N =A→N -A→M = 1 2 (A→C+A→D)- 1 2 A→B= 1 2 (q+r-p). ∴|M→N|2=M→N2= 1 4 (q+r-p)2= 1 4 [q 2+r2+ p 2+2(q·r-q·p-r·p)]= 1 4 a2+a2+a2+2 a2 2 - a2 2 - a2 2 = a2 2 . ∴|M→N|= 2 2 a. 课后·训练提升 基础 巩固 1.若a,b均为非零向量,则“a·b=|a||b|”是“a 与b 共 线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a与b共线有同向和异向两种情况,只有a 与b同 向时才有a·b=|a||b|成立. 答案 A 2.已知非零向量a,b不共线,且其模相等,则a+b与a-b 的关系是( ) A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能 解析 ∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,∴a+b 与a-b 垂直. 答案 A 3.如图,已知空间四边形ABCD 的 各边和对角线长均相等,E 是BC 的中点,则( ) A.A→E·B→CA→E·C→D 9
数学 选择性必修 第一册 配人教B版 D.A正.BC与AE.C市不能比较大小 AB.CD 1 ∴.cos8= 答案C A11C市-2· 4.已知a,b均为单位向量，且它们的夹角为60°，则a十 又0°≤0≤180°，∴.0=60°. 3b1=() 答案60° A.7 B.√o C.√3 D.4 9.已知平行六面体ABCD- D 解析la+3b2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=|a2+ A1B1C1D1的棱长都为2， A B 6lallblcos(a,b)+91b12. ∠AAB=∠A1AD=∠BAD= la=|b|=1,a,b)=60°，∴.la+3b|2=13, 60°，E是DC的中点，F是B,C .la+3b1=√3. 的中点，求D, 答案C 解设A店=a,AD=b, 5.(多选题)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列结论正确 AA1=c,则由题意知|a=|b|=|c|=2,(a,b)=(b, 的是( c》=(a,c)=60° A.(AA+AD+AB)*=3AB :D市=-AD=+萨-AD,=a十？b+ B.AC·(AB-A1A)=0 C.AD,与AB的夹角为60 c-+e)-a-b-2 c. D.A1C·B1D1=0 D=(a-2b-2c)°=a+6+c 解析根据数量积的定义知A,B正确：AD,与A1B的夹 角为120°，故C错误：：A1C=A1A+A1D1+A1B1 ab-ae+2be=4+1+1-2-2+1=3 ..AC.BD=(AA+AD+AB).BD= 1DF1=5. A1A.B1D1+A1D1·B1D1+AB,·B1D1=0. 10.已知a十3b与7a一5b垂直，且a一4b与7a一2b垂直， D正确 求(a,b). 答案ABD 解由已知，得(a+3b)·(7a-5b)=7|a2-15lb12+ 6已知空间四边形ABCD,则AB.C可+B元.A心+C. 16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b12- BD= 30a·b=0,解得|b12=2a·b=|a|2,因此cos(a,b)= 解析设AB=a,AC=b,AD=c, a·b1 则原式=a·(c一b)十(b一a)·c一b·(c一a)=a· a1b=2,因为两个向量的夹角取值范国为[0，对]，所 c-a·b+b·c-a·c-b·c+b·a=0. 以(a,b)=60° 答案0 拓展·提高 7.如图，已知正四面体ABCD的棱长 为1，点E是棱CD的中点，则AE· L.在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2,∠BAD=90°， AB=. ∠BAC=60°，则A正.等于() A.-2 B.2 C.-25D.2√3 解析，正四面体ABCD的棱长为 解析A店.C=AB.(AD-A心)=AB.A市-A店· 1,点E是棱CD的中点， 正应=号成+动应 AC=0-2X2Xcos60°=-2. 答案A =号就.+市.店 2.已知在平行六面体ABCD D A,B,C,D1中，底面ABCD是边 B =×1x1x2+号×1x1×号 长为1的正方形，A41=2, ∠A1AB=∠A1AD=120°，则异 面直线AC1与A1D所成角的余 弦值为( D 答案司 8.已知a,b是异面直线，A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,AC⊥b, A B①0 5 BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是 c⑤ D①a 7 解析设(AB,CD)=0, 解析设AB=a,AD=b,AA1=c, .AB.CD=(AC+CD+DB).CD=ICDI2=1. 则a·b=0,a·c=b·c=1×2Xc0s120°=-1. AC=a+b+c, 10
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 D.A→E·B→C 与A→E·C→D 不能比较大小 答案 C 4.已知a,b 均为单位向量,且它们的夹角为60°,则|a+ 3b|=( ) A.7 B. 10 C. 13 D.4 解析 |a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=|a|2+ 6|a||b|cos+9|b|2. ∵|a|=|b|=1,=60°,∴|a+3b|2=13, ∴|a+3b|= 13. 答案 C 5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,下列结论正确 的是( ) A.(AA1 →+A→D+A→B)2=3A→B2 B.A1 →C·(A1B1 →-A1 →A)=0 C.AD1 → 与A1 →B 的夹角为60° D.A1 →C·B1D1 →=0 解析 根据数量积的定义知 A、B正确;AD1 → 与A1 →B 的夹 角为120°,故C错误;∵A1 →C=A1 →A+A1D1 →+A1B1 →, ∴A1 →C·B1D1 →=(A1 →A+A1D1 →+A1B1 →)·B1D1 →= A1 →A·B1D1 →+A1D1 →·B1D1 →+A1B1 →·B1D1 →=0. ∴D正确. 答案 ABD 6.已知空间四边形ABCD,则A→B·C→D+B→C·A→D+C→A· B→D= . 解析 设A→B=a,A→C=b,A→D=c, 则原式=a·(c-b)+(b-a)·c-b·(c-a)=a· c-a·b+b·c-a·c-b·c+b·a=0. 答案 0 7.如图,已知正四面体ABCD 的棱长 为1,点E 是棱CD 的中点,则A→E· A→B= . 解析 ∵正四面体ABCD 的棱长为 1,点E 是棱CD 的中点, ∴A→E·A→B= 1 2 (A→C+A→D)·A→B = 1 2 A→C·A→B+ 1 2 A→D·A→B = 1 2 ×1×1× 1 2 + 1 2 ×1×1× 1 2 = 1 2 . 答案 1 2 8.已知a,b是异面直线,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,AC⊥b, BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a 与b所成的角是 . 解析 设=θ, ∵A→B·C→D=(A→C+C→D+D→B)·C→D=|C→D|2=1, ∴cosθ= A→B·C→D |A→B||C→D| = 1 2 . 又0°≤θ≤180°,∴θ=60°. 答案 60° 9.已 知 平 行 六 面 体 ABCDA1B1C1D1 的 棱 长 都 为 2, ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD= 60°,E 是DC 的中点,F 是B1C 的中点,求|D1 →F|. 解 设 A→B =a,A→D =b, AA1 →=c,则由题意知|a|=|b|=|c|=2,===60°. ∵D1 →F=A→F-AD1 →=A→B+B→F-AD1 →=a+ 1 2 (b+ c)-(b+c)=a- 1 2 b- 1 2 c, ∴|D1 →F|2= a- 1 2 b- 1 2 c 2 =a2+ 1 4 b2+ 1 4 c2- a·b-a·c+ 1 2 b·c=4+1+1-2-2+1=3. ∴|D1 →F|= 3. 10.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b 与7a-2b 垂直, 求. 解 由已知,得(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+ 16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2- 30a·b=0,解得|b|2=2a·b=|a|2,因此cos= a·b |a||b| = 1 2 ,因为两个向量的夹角取值范围为[0,π],所 以=60°. 拓展 提高 1.在三棱锥A-BCD 中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°, ∠BAC=60°,则A→B·C→D 等于( ) A.-2 B.2 C.-23 D.23 解析 A→B·C→D=A→B·(A→D-A→C)=A→B·A→D-A→B· A→C=0-2×2×cos60°=-2. 答案 A 2.已 知 在 平 行 六 面 体 ABCDA1B1C1D1 中,底面ABCD 是边 长 为 1 的 正 方 形,AA1=2, ∠A1AB=∠A1AD=120°,则异 面直线AC1 与A1D 所成角的余 弦值为( ) A. 6 3 B. 10 5 C. 15 5 D. 14 7 解析 设A→B=a,A→D=b,AA1 →=c, 则a·b=0,a·c=b·c=1×2×cos120°=-1. ∵AC1 →=a+b+c, 10