第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 第1课时集合的相关概念 课前·基础认知 1,元素与集合的相关概念 2.元素与集合的关系 ()元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写 关系 概念 记法 读法 拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合：一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）， 如果a是集合A的元 属于 a∈A “a属于A” 常用大写拉丁字母A,B,C,…表示 素，就说a属于集合A (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就 如果a不是集合A的元 不属于 aGA “a不属于A” 称这两个集合是相等的. 素，就说a不属于集合A (4)集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性， 微解读(1)符号“∈”“任”刻画的是元素与集合之间 微思考某班身高高于175厘米的男生能否组成一 的关系.对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A” 个集合？ 与“a任A”这两种结果 提示某班身高高于175厘米的男生能组成一个集合， (2)“∈”和“任”具有方向性，左边是元素，右边是集合， 因为标准确定 形如R∈0是错误的。 微训练英语单词mathematics(数学)中所有英文字 3.常用的数集及其记法 母构成的集合有 _个元素 非负整数集 数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 答案8 (自然数集) 记法 N N'或N R 课堂 重难突破 集合的基本概念 规律总结」判断一组对象能不能组成一个集合的依据 及切入点 典例剖析 (1)依据：元素的确定性是判断的依据.如果考察的 1判断下列说法是否正确，并说明理由： 对象是确定的，那么它们就能组成一个集合，否则不能组 (1)某个公司里所有的年轻人组成一个集合： 成一个集合 ②)由1，号号-引，号组成的集合中有5个 (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特 征，即确定性、互异性和无序性」 元素； (3)当a,b,c互不相等时，由a,b,c组成的集合与由b, 二 元素与集合的关系 a,c组成的集合是相等的. 典例剖析 解(1)不正确.因为“年轻人”没有确定的标准，对象不 具有确定性，所以不能组成一个集合 2.(1)下列所给关系正确的有()个 不正确由于=只引=由合中元准 ①π∈R:②2tQ:③0∈N':④|-5|tN" A.1 B.2C.3 D.4 的豆异性知，这个条合是由1，子宁这3个元素组成的。 (2)满足“a∈A,且4-a∈A,a∈N,且4-a∈N",有且 只有2个元素的集合A的个数是() (3)正确.集合中的元素相同，只是顺序不同，所以它们 A.0 B.1 组成的集合是相等的. C.2 D.3
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第1课时 集合的相关概念 课前·基础认知 1.元素与集合的相关概念 (1)元素:一般地,把 研究对象 统称为元素,常用小写 拉丁字母 a,b,c,… 表示. (2)集合:一些 元素 组成的总体叫做集合(简称为集), 常用大写拉丁字母 A,B,C,… 表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的元素是 一样 的,就 称这两个集合是相等的. (4)集合中元素的特征:确定性 、互异性 和 无序性 . 微思考 某班身高高于175厘米的男生能否组成一 个集合? 提示 某班身高高于175厘米的男生能组成一个集合, 因为标准确定. 微训练 英语单词 mathematics(数学)中所有英文字 母构成的集合有 个元素. 答案 8 2.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a 是 集合A 的元 素,就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a 不是 集合A 的元 素,就说a不属于集合A a∉A “a不属于A” 微解读 (1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间 的关系.对于一个元素a 与一个集合A 而言,只有“a∈A” 与“a∉A”这两种结果. (2)“∈”和“∉”具有方向性,左边是元素,右边是集合, 形如R∈0是错误的. 3.常用的数集及其记法 数集 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N *或N+ Z Q R 课堂·重难突破 一 集合的基本概念 典例剖析 1.判断下列说法是否正确,并说明理由: (1)某个公司里所有的年轻人组成一个集合; (2)由 1, 3 2 , 6 4 , - 1 2 , 1 2 组 成 的 集 合 中 有 5 个 元素; (3)当a,b,c互不相等时,由a,b,c组成的集合与由b, a,c组成的集合是相等的. 解 (1)不正确.因为“年轻人”没有确定的标准,对象不 具有确定性,所以不能组成一个集合. (2)不正确.由于 3 2 = 6 4 , - 1 2 = 1 2 ,由集合中元素 的互异性知,这个集合是由1, 3 2 , 1 2 这3个元素组成的. (3)正确.集合中的元素相同,只是顺序不同,所以它们 组成的集合是相等的. 判断一组对象能不能组成一个集合的依据 及切入点 (1)依据:元素的确定性是判断的依据.如果考察的 对象是确定的,那么它们就能组成一个集合,否则不能组 成一个集合. (2)切入点:解答此类问题的切入点是集合元素的特 征,即确定性、互异性和无序性. 二 元素与集合的关系 典例剖析 2.(1)下列所给关系正确的有( )个. ①π∈R;② 2∉Q;③0∈N* ;④|-5|∉N* . A.1 B.2 C.3 D.4 (2)满足“a∈A,且4-a∈A,a∈N,且4-a∈N”,有且 只有2个元素的集合A 的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1
数学 必修第一册 配人教A版 答案(1)B(2)C 三 集合中元素的特征及其应用 解析(1)①π是实数，所以π∈R正确： ②2是无理数，所以√2庄Q正确：③0不是正整数，所以0∈ 典例剖析 N”错误：④引一5=5为正整数，所以川一5任N“错误故选B 3.已知集合A中含有2个元素1和a2,若a∈A,求实 (2)因为a∈A,且4-a∈A,a∈N,且4-a∈N, 数a的值 所以，若a=0,则4一a=4,此时集合A中有0,4两个 解由题意可知，a=1或a2=a, 元素，满足要求；若a=1,则4一a=3,此时集合A中有13 若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾，故a≠1. 两个元素，满足要求：若a=2,则4一a=2,此时集合A只含 若a2=a,则a=0或a=1(舍去).当a=0时，A中含 有1个元素，不满足要求，故有且只有2个元素的集合A有2个 有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.综上可 规律总结」判断元素与集合关系的两种方法 知，实数a的值为0. (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要 规律总结」1.解决集合中元素含有字母的问题，常用 判断该元素在已知集合中是否出现即可， 到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类 (2)推理法：对于一些没有直接表示出来的集合，只 标准. 要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可， 2.本题在求得a的值后，常因忘记验证集合中元素 此时应明确已知集合中的元素具有什么特征】 的互异性，而造成过程性失分」 课后·训练提升 基础：巩固 -个元素0.当a0时，v厅=la=仁，a0.所以- a,a>0, 1.下列各组对象能组成集合的是() 定与a或一a中的一个相等.故组成的集合中有2个元 ①一切很大的书： 素.故选B ②所有的等腰三角形： 6.若集合A中含有3个元素a一3,2a一1，a2一4，且一3 ③函数y=2x一10的图象上的所有点， A,则实数a的值为 A①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案0或1 答案B 解析①若a一3=一3，则a=0,此时集合A中元素为 2.已知集合A中有4个元素0,1,2,3，集合B中有3个元素 一3，一1，一4，满足题意. 0,l,2,且元素a∈A,a年B,则a的值为() ②若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中元素为 A.0 B.1 C.2 D.3 一4，一3，一3，不满足元素的互异性 答案D ③若a2一4=一3，则a=士1.当a=1时，A中元素为 3.已知集合A中只含有元素1和a2+a十1，且3∈A,则a 一2,1，一3，满足题意：当a=一1时，由②知不符合题意. 的值为( 综上可知，a=0或a=l. A.1 B.-2 C.1或-2D.-1或2 7.已知方程x2一2x一3=0的解与集合A中的元素相同，若 答案C 集合A中的元素是a,b,则a十b= 解析由题意得a2十a十1=3，解得a=1或a=一2故选C 答案2 4.已知集合M中含有2个元素x十1x2-2x一3，则x满足 解析由题意知，a十b的值为方程x2-2x一3=0的两根 的条件是() 之和，故a十b=2. A.x≠一1 B.x≠4 拓展·提高 C.x=一1或x=4 D.x≠一1，且x≠4 答案D 1.由a2,2-a,4组成一个集合A,若A中含有3个元素，则 实数a可以是( ) 解析由集合中元素的互异性知，x十1≠x2一2x一3，解 A.1 B.-2 C.6 D.2 得x≠一1，且x≠4.故选D 答案C 5.由实数一a,a,la|,√a所组成的集合最多含有的元素个 解析由题设知a2,2一a,4互不相等， 数是( 1a2≠2-a, A.1 B.2 C.3 D.4 即a2≠4，解得a≠-2，a≠1，且a≠2.结合四个 答案B 2-a≠4， 解析当a=0时，这4个数都是0，所组成的集合只含有 选项可知，选C
数 学 必修 第一册 配人教 A版 答案 (1)B (2)C 解析 (1)①π是实数,所以π∈R正确; ② 2是无理数,所以2∉Q正确;③0不是正整数,所以0∈ N*错误;④|-5|=5为正整数,所以|-5|∉N*错误.故选B. (2)因为a∈A,且4-a∈A,a∈N,且4-a∈N, 所以,若a=0,则4-a=4,此时集合A 中有0,4两个 元素,满足要求;若a=1,则4-a=3,此时集合A 中有1,3 两个元素,满足要求;若a=2,则4-a=2,此时集合A 只含 有1个元素,不满足要求.故有且只有2个元素的集合A 有2个. 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要 判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法:对于一些没有直接表示出来的集合,只 要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可, 此时应明确已知集合中的元素具有什么特征. 三 集合中元素的特征及其应用 典例剖析 3.已知集合A 中含有2个元素1和a2,若a∈A,求实 数a的值. 解 由题意可知,a=1或a2=a, 若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1. 若a2=a,则a=0或a=1(舍去).当a=0时,A 中含 有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可 知,实数a的值为0. 1.解决集合中元素含有字母的问题,常用 到分类讨论的思想,在进行分类讨论时,务必明确分类 标准. 2.本题在求得a 的值后,常因忘记验证集合中元素 的互异性,而造成过程性失分. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列各组对象能组成集合的是( ) ①一切很大的书; ②所有的等腰三角形; ③函数y=2x-10的图象上的所有点. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案 B 2.已知集合A 中有4个元素0,1,2,3,集合B 中有3个元素 0,1,2,且元素a∈A,a∉B,则a的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 3.已知集合A 中只含有元素1和a2+a+1,且3∈A,则a 的值为( ) A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1或2 答案 C 解析 由题意得a2+a+1=3,解得a=1或a=-2.故选C. 4.已知集合M 中含有2个元素x+1,x2-2x-3,则x 满足 的条件是( ) A.x≠-1 B.x≠4 C.x=-1或x=4 D.x≠-1,且x≠4 答案 D 解析 由集合中元素的互异性知,x+1≠x2-2x-3,解 得x≠-1,且x≠4.故选D. 5.由实数-a,a,|a|, a2 所组成的集合最多含有的元素个 数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 当a=0时,这4个数都是0,所组成的集合只含有 一个元素0.当a≠0时, a2 =|a|= a,a>0, -a,a<0, 所以一 定与a或-a 中的一个相等.故组成的集合中有2个元 素.故选B. 6.若集合A 中含有3个元素a-3,2a-1,a2-4,且-3∈ A,则实数a的值为 . 答案 0或1 解析 ①若a-3=-3,则a=0,此时集合A 中元素为 -3,-1,-4,满足题意. ②若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A 中元素为 -4,-3,-3,不满足元素的互异性. ③若a2-4=-3,则a=±1.当a=1时,A 中元素为 -2,1,-3,满足题意;当a=-1时,由②知不符合题意. 综上可知,a=0或a=1. 7.已知方程x2-2x-3=0的解与集合A 中的元素相同,若 集合A 中的元素是a,b,则a+b= . 答案 2 解析 由题意知,a+b的值为方程x2-2x-3=0的两根 之和,故a+b=2. 拓展 提高 1.由a2,2-a,4组成一个集合A,若A 中含有3个元素,则 实数a可以是( ) A.1 B.-2 C.6 D.2 答案 C 解析 由题设知a2,2-a,4互不相等, 即 a2≠2-a, a2≠4, 2-a≠4, 解得a≠-2,a≠1,且a≠2.结合四个 选项可知,选C. 2
第一章」 集合与常用逻辑用语 2.已知集合A中的元素x满足x=2k十1(k∈Z),则下列关 6>0时，al+16l+l6l =-1+1-1=-1:当a>0 系正确的是( a b ab A.-1EA B.2∈A C.3∈A 0，b>0时，lal+lh+lah=3:当a0的整数解
第一章 集合与常用逻辑用语 2.已知集合A 中的元素x 满足x=2k+1(k∈Z),则下列关 系正确的是( ) A.-1∉A B.2∈A C.3∈A D. 5 2 ∈A 答案 C 解析 令2k+1=-1,解得k=-1∈Z,所以-1∈A,故 A不正确;令2k+1=2,解得k= 1 2 ∉Z,所以2∉A,故B 不正确;令2k+1=3,解得k=1∈Z,所以3∈A,故C正 确;令2k+1= 5 2 ,解得k= 3 4 ∉Z,所以 5 2 ∉A,故D不正确. 3.已知集合M 是关于x 的方程x2-x+m=0的解组成的 集合,若2∈M,则下列结论正确的是( ) A.0∈M B.1∈M C.-2∈M D.-1∈M 答案 D 解析 由2∈M 知,2是关于x 的方程x2-x+m=0的一 个解,则4-2+m=0,解得m=-2.所以原方程为x2- x-2=0,所以该方程的另一根为-1,所以-1∈M.故选D. 4.已知集合P 中含有1,2,3三个元素,集合Q 中含有4,5,6 三个元素.定义集合P+Q 中的元素为a+b,其中a∈P, b∈Q,则集合P+Q 中的元素个数是( ) A.5 B.6 C.8 D.9 答案 A 解析 由已知得a+b的值依次为5,6,7;6,7,8;7,8,9.根 据集合中元素的互异性可知集合P+Q 中的元素个数是5. 5.已知a,b是非零的实数,代数式 |a| a + |b| b + |ab| ab 的值组 成的集合是M,则下列结论正确的是( ) A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M 答案 B 解析 当a>0,b>0时, |a| a + |b| b + |ab| ab =3;当a0时, |a| a + |b| b + |ab| ab =-1+1-1=-1;当a>0, b0的整数解 3
数学 必修 第一册 配人教A版 组成的集合为( C.{x∈Zlx>1} D.{2,3,4,…} A.{x-1>0} B.{x∈Rlx>1V 答案C 课堂·重难突破 一 用列举法表示集合 一个为0，即xy=0,故在平面直角坐标系中，坐标轴上的点 组成的集合可表示为{(x,y)xy=O}, 典例剖析 (4)由不等式3x一20，k∈R},若-2∈A,则 (3)集合中的元素不能重复，且无顺序。 k的取值范围是 (4)集合中的元素不能遗漏。 答案(1)D(2)k0，解得k<1 (4)不等式3x一2<4的解集 解(1)偶数可用式子x=21m∈Z表示，但此题要求为正偶 规律总结 1.若已知集合是用描述法给出的，则读懂 数，故限定n∈N”,所以正偶数集可表示为{xx=2,n∈N. 集合的代表元素及其属性是解题的关键， (2)设被3除余2的数为x,则x=3m十2，n∈Z,但元素 2.与方程ax2-8x十16=0的根有关的问题易忽视 为正整数，故x=3m十2，n∈N,所以被3除余2的正整数组 a=0的情况. 成的集合可表示为{x|x=3m十2，n∈N. (3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有 课后·训练提升 基础·巩固 2.若集合M={xlx-1<√2}，则() A.2∈M,-2∈M B.2∈M,-2EM 1.下列集合恰有两个元素的是() C.2任M,-2tM D.2tM,-2∈M A.{x2-x=0} B.(rly=r2-x) 答案A C.(yly2-y=0) D.(yly=r2-x) 解析若x=2,则x一1=1<2，所以2∈M:若x=一2， 答案C
数 学 必修 第一册 配人教 A版 组成的集合为( ) A.{x-1>0} B.{x∈R|x>1} C.{x∈Z|x>1} D.{2,3,4,…} 答案 C 课堂·重难突破 一 用列举法表示集合 典例剖析 1.用列举法表示下列集合: (1)大于3且小于15的偶数组成的集合; (2)所有正整数组成的集合; (3)方程组 x+y=3, x-y=1 的解集. 解 (1)因为大于3且小于15的偶数有4,6,8,10,12, 14,所以该集合可表示为{4,6,8,10,12,14}. (2)因为所有正整数为1,2,3,…,所以该集合可表示为 {1,2,3,…}. (3)因为方程组 x+y=3, x-y=1 的解为 x=2, y=1, 所以该集合 可表示为{(2,1)}. 用列举法表示集合的4个注意点 (1)用列举法表示集合,要注意集合是数集还是点 集,或其他形式的集合. (2)元素与元素之间必须用“,”隔开. (3)集合中的元素不能重复,且无顺序. (4)集合中的元素不能遗漏. 二 用描述法表示集合 典例剖析 2.用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; (2)被3除余2的正整数组成的集合; (3)在平面直角坐标系中,坐标轴上的点组成的集合; (4)不等式3x-20,k∈R},若-2∈A,则 k的取值范围是 . 答案 (1)D (2)k0,解得k<1. 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂 集合的代表元素及其属性是解题的关键. 2.与方程ax2-8x+16=0的根有关的问题易忽视 a=0的情况. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列集合恰有两个元素的是( ) A.{x2-x=0} B.{x|y=x2-x} C.{y|y 2-y=0} D.{y|y=x2-x} 答案 C 2.若集合M={x|x-1< 2},则( ) A.2∈M,-2∈M B.2∈M,-2∉M C.2∉M,-2∉M D.2∉M,-2∈M 答案 A 解析 若x=2,则x-1=1< 2,所以2∈M;若x=-2, 4
第一章集合与常用逻辑用语 则x一1=-3<瓦，所以-2∈M.故选A 答案{1,3} 3.(多选题)下列集合的表示方法正确的是( 解析由题意知，-5是方程x2-ax-5=0的一个根，则 A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)川xy≤0，x∈ (-5)2+5a-5=0,解得a=-4,于是方程x2+a.r十3= R,y∈R} 0,即x2-4x十3=0，解得x=1或x=3, B.不等式x-1<4的解集为{xlx<5} 所以{x|x2-4x十3=0}={1,3}. C.{全体整数} D.实数集可表示为R 拓展·提高 答案BD 1.已知集合A={yly=x2+1,x∈R},B={(x,y)ly= 解析选项A中应是xy<O;选项B符合描述法的规范格 x2十1，x∈R,y∈R},则选项中元素与集合的关系都正确 式，正确：选项C的“{}”与“全体”意思重复 的是() 选项D显然正确 A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B x十y=1, C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B 4.方程组2-y2=9 解集是( ) 答案C A.(-5,4) B.(5,-4) 解析因为集合A中的元素是实数，不是点，集合B中的 C.{(-5,4)》 D.{(5,-4)} 元素是点而不是实数，所以(1,2)∈A,(3.10)∈A,2∈B 答案D 不正确，故选C 解析解方程组 x+y=1, 得 x2-y2=9, 红=5，故所求解集为 2.集合{(x,y)川x十y=4,x∈N“,y∈N}用列举法可表示 y=-4, 为() {(5,-4)} A.{1,2,3,4} B.{(1,3),(2,2)} 5.已知集合M={a2-a,0},若a∈M,则实数a的值为 C.{(3,1),(2,2)} D.{(1,3).(2.2).(3,1)》 答案D A.0 B.2 3.已知集合A={1,2,4},B={ ,x∈A,y∈A},则 C.2或0 D.2或-2 答案B 集合B中元素的个数是( 解析由a∈M,可得a2-a=a或a=0.解得a=0或a= A.4 B.5 C.6 D.7 2.当a=0时，a2一a=0,不满足集合中元素的互异性，故 答案B 舍去a=0,故选B. 解析依题意，可用列举法表示出集合B,B=1,2, 11 6.已知集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈ A},则集合B等于() 2,4.故选B. A.{-4,0,4} B.{-4,4} 4.定义PQ={abla∈P,b∈Q},若P={0,1,2},Q={1, C.{-4,0} D.{0} 2,3},则P*Q中元素的个数是( 答案A A.6 B.7 C.8 D.9 解析当x=一2，y=一2时，m=一4；当x=2,y=2时， 答案A m=4:当x=一2，y=2或x=2,y=-2时，m=0.所以 解析若a=0,则ab=0:若a=1,则ab=1或2或3：若 集合B={-4,0,4}.故选A a=2,则ab=2或4或6.故PQ={0,1,2,3,4,6},共6 7.已知集合M={yly=x2},用自然语言描述M应为 个元素 5.已知集合A={-1,0,1},B={y|y=|x|,x∈A},则 A.满足y=x2的所有函数值y组成的集合 B= B.满足y=x2的所有自变量x的取值组成的集合 答案{0,1} C.函数y=x2图象上的所有点组成的集合 D.函数y=x2的图象 解析，x∈A,∴.当x=-1时，y=x=1;当x=0时， 答案A y=lx|=0;当x=1时y=|x|=1..B={0,1. 6.用描述法表示图中阴影部分的点组成的集合为 8.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若A=B, 则实数a= 答案1 解析由集合相等的概念，得 a2-1=0. a2-3a=-2. 解得a=1. 9.若-5∈{x|x2-a.x-5=0,a∈R},则集合{xx2十ax十 3=0,a∈R}= 答案{(xy)0≤x≤2,0≤y≤1}
第一章 集合与常用逻辑用语 则x-1=-3< 2,所以-2∈M.故选 A. 3.(多选题)下列集合的表示方法正确的是( ) A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈ R,y∈R} B.不等式x-1<4的解集为{x|x<5} C.{全体整数} D.实数集可表示为R 答案 BD 解析 选项 A中应是xy<0;选项B符合描述法的规范格 式,正确;选项C的“{ }”与“全体”意思重复. 选项D显然正确. 4.方程组 x+y=1, x2-y 2=9 的解集是( ) A.(-5,4) B.(5,-4) C.{(-5,4)} D.{(5,-4)} 答案 D 解析 解方程组 x+y=1, x2-y 2=9, 得 x=5, y=-4, 故所求解集为 {(5,-4)}. 5.已知集合M={a2-a,0},若a∈M,则实数a的值为 ( ) A.0 B.2 C.2或0 D.2或-2 答案 B 解析 由a∈M,可得a2-a=a或a=0.解得a=0或a= 2.当a=0时,a2-a=0,不满足集合中元素的互异性,故 舍去a=0,故选B. 6.已知集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈ A},则集合B 等于( ) A.{-4,0,4} B.{-4,4} C.{-4,0} D.{0} 答案 A 解析 当x=-2,y=-2时,m=-4;当x=2,y=2时, m=4;当x=-2,y=2或x=2,y=-2时,m=0.所以 集合B={-4,0,4}.故选 A. 7.已知集合M={y|y=x2},用自然语言描述M 应为 ( ) A.满足y=x2 的所有函数值y组成的集合 B.满足y=x2 的所有自变量x 的取值组成的集合 C.函数y=x2 图象上的所有点组成的集合 D.函数y=x2 的图象 答案 A 8.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若A=B, 则实数a= . 答案 1 解析 由集合相等的概念,得 a2-1=0, a2-3a=-2, 解得a=1. 9.若-5∈{x|x2-ax-5=0,a∈R},则集合{x|x2+ax+ 3=0,a∈R}= . 答案 {1,3} 解析 由题意知,-5是方程x2-ax-5=0的一个根,则 (-5)2+5a-5=0,解得a=-4,于是方程x2+ax+3= 0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3, 所以{x|x2-4x+3=0}={1,3}. 拓展 提高 1.已知集合A={y|y=x2+1,x∈R},B={(x,y)|y= x2+1,x∈R,y∈R},则选项中元素与集合的关系都正确 的是( ) A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B 答案 C 解析 因为集合A 中的元素是实数,不是点,集合B 中的 元素是点而不是实数,所以(1,2)∈A,(3,10)∈A,2∈B 不正确,故选C. 2.集合{(x,y)|x+y=4,x∈N* ,y∈N* }用列举法可表示 为( ) A.{1,2,3,4} B.{(1,3),(2,2)} C.{(3,1),(2,2)} D.{(1,3),(2,2),(3,1)} 答案 D 3.已知集合A={1,2,4},B= z z= x y ,x∈A,y∈A ,则 集合B 中元素的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 解析 依题意,可用列举法表示出集合B,B= 1, 1 2 , 1 4 , 2,4 .故选B. 4.定义P*Q={ab|a∈P,b∈Q},若P={0,1,2},Q={1, 2,3},则P*Q 中元素的个数是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 A 解析 若a=0,则ab=0;若a=1,则ab=1或2或3;若 a=2,则ab=2或4或6.故P*Q={0,1,2,3,4,6},共6 个元素. 5.已知集合A={-1,0,1},B={y|y=|x|,x∈A},则 B= . 答案 {0,1} 解析 ∵x∈A,∴当x=-1时,y=|x|=1;当x=0时, y=|x|=0;当x=1时,y=|x|=1.∴B={0,1}. 6.用描述法表示图中阴影部分的点组成的集合为 . 答案 {(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1} 5
数学必修 第一册 配人教A版 解析依题设知，该集合为一点集，且点的横坐标满足0≤ 解A是方程x2十ax十1=0的解组成的集合. x2,纵坐标满足0y1,所以该集合为{(x,y)|0 (1)当a=2时，x2+ax十1=0，即x2+2x十1=0，解 x2,0y1}. 得x1=x2=-1,所以A={-1. 挑战·创新 (2)A中只有一个元素，即方程x2+.x十1=0有两 个相等的实数根，由△=a2-4=0,得a=士2. 设集合A={xlx2+ax十1=0，a∈R). 所以当a=士2时，集合A中只有一个元素. (1)当a=2时，试求出集合A: (3)A中有两个元素，即方程x2+ax十1=0有两个 (2)当α为何值时，集合A中只有一个元素？ 不相等的实根，由△=a2-4>0,得a2. (3)当a为何值时，集合A中有两个元素？ 所以当a2时，集合A中有两个元素。 1.2 集合间的基本关系 课前·基础认知 1.Venn图的优点及其表示 这两个集合就没有包含关系 (1)优点：形象直观. (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系； (2)表示：经常用平面上封闭曲线的内部代表集合. 而“二”表示集合与集合间的关系。 2.子集、真子集、集合相等的相关概念 3.空集 集合B中任意一个元素(1)都是 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为⑦ 集合A中的元素 -Venn图： A(B) (2)规定：空集是任何集合的子集， A与B 相等 微思考2{0}与0相同吗？ 集合A -符号表示：(2)A=B 中任意 提示不同.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个 个元 Venn图： BA 元素0：而⑦表示空集，其不含有任何元素，故{0}与⑦不 素都 A是B的 子集 集合B中 符号表示：4A二B或5)B2A 相同. 的元素 A是B的 Venn图：(BA○ 4.集合间关系的性质 真子集 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A二A. 符号表示：6ASB或(7)B星A (3)A≠B (2)对于集合A,B,C, 截思考D(1)任何两个集合之间是不是都有包含关系？ ①若A二B,且B二C,则A二C: (2)符号“∈”与“二”有何不同？ ②若AB,BC,则AC. (3)若A≤B,A≠B,则AB. 提示(1)不一定.如集合A={0,1,2},B={一1,0,1}， 课堂·重难突破 集合间关系的判断 ..MCN. 又2∈N,且2tM,.MN. 典例剖析 故选C (2)用数轴表示集合A,B,如图所示 1(1)已知集合M={x|x2-x=0},N={0,1,2},则 M与N间的关系表示正确的是( ) A.M=N B.M∈N C.MN D.N≤M 由图可知，AB (2)已知集合A={x|一1<x<4},B={xlx<5},则 规律总结」判断集合问关系的方法 ( ) (1)观察法：将元素一一列举观察， A.A∈B B.ASB (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清 C.B车A D.BCA 集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. 答案(1)C(2)B (3)数形结合法：利用数轴或Venn图， 解析(1)解方程x2一x=0,得x=0或x=1,则M= 提醒：若A二B和AB同时成立，则A军B更能准 {1,0}. 确表达集合A,B之间的关系， .1∈M,且1∈N,0∈M,且0∈N, 6
数 学 必修 第一册 配人教 A版 解析 依题设知,该集合为一点集,且点的横坐标满足0≤ x≤2,纵坐标满足0≤y≤1,所以该集合为{(x,y)|0≤ x≤2,0≤y≤1}. 挑战 创新 设集合A={x|x2+ax+1=0,a∈R}. (1)当a=2时,试求出集合A; (2)当a为何值时,集合A 中只有一个元素? (3)当a为何值时,集合A 中有两个元素? 解 A 是方程x2+ax+1=0的解组成的集合. (1)当a=2时,x2+ax+1=0,即x2+2x+1=0,解 得x1=x2=-1,所以A={-1}. (2)A 中只有一个元素,即方程x2+ax+1=0有两 个相等的实数根,由Δ=a2-4=0,得a=±2. 所以当a=±2时,集合A 中只有一个元素. (3)A 中有两个元素,即方程x2+ax+1=0有两个 不相等的实根,由Δ=a2-4>0,得a2. 所以当a2时,集合A 中有两个元素. 1.2 集合间的基本关系 课前·基础认知 1.Venn图的优点及其表示 (1)优点:形象直观. (2)表示:经常用平面上 封闭 曲线的 内部 代表集合. 2.子集、真子集、集合相等的相关概念 微思考 1 (1)任何两个集合之间是不是都有包含关系? (2)符号“∈”与“⊆”有何不同? 提示 (1)不一定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1}, 这两个集合就没有包含关系. (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系; 而“⊆”表示集合与集合间的关系. 3.空集 (1)定义:不含 任何 元素的集合叫做空集,记为 ⌀ . (2)规定:空集 是任何集合的子集. 微思考 2 {0}与⌀相同吗? 提示 不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个 元素0;而⌀表示空集,其不含有任何元素,故{0}与⌀不 相同. 4.集合间关系的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A. (2)对于集合A,B,C, ①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C; ②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C. (3)若A⊆B,A≠B,则A⫋B. 课堂·重难突破 一 集合间关系的判断 典例剖析 1.(1)已知集合 M ={x|x2-x=0},N={0,1,2},则 M 与N 间的关系表示正确的是( ) A.M=N B.M∈N C.M⫋N D.N⊆M (2)已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},则 ( ) A.A∈B B.A⫋B C.B⫋A D.B⊆A 答案 (1)C (2)B 解析 (1)解方程x2-x=0,得x=0或x=1,则 M= {1,0}. ∵1∈M,且1∈N,0∈M,且0∈N, ∴M⊆N. 又2∈N,且2∉M,∴M⫋N. 故选C. (2)用数轴表示集合A,B,如图所示. 由图可知,A⫋B. 判断集合间关系的方法 (1)观察法:将元素一一列举观察. (2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清 集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或 Venn图. 提醒:若A⊆B 和A⫋B 同时成立,则A⫋B 更能准 确表达集合A,B 之间的关系. 6
第一章集合与常用逻辑用语 二子集、真子集的个数问题 三 由集合间的关系求参数 典例剖析 典例剖析 2.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B= 3.已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m十1≤x≤ {x∈NOx2m-1,得m-2, C军B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4} 由图可得2m-1+12m-1≥m+1, 解得2m3. 规律总结1求一个集合的子集、真子集个数的3个 综上可得，m的取值范围是{mm≤3} 步骤 规律总结」1.利用集合间的关系求参数的取值范围问题 判断 根据子集、真子集的概念判断出集合中 含有元素的可能情况 (1)利用集合间的关系求参数的取值范围问题，常涉 及两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为静集 分类 根据集合中元素的多少进行分类 合（具体的），解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需 列举一 采用列举法逐一写出每种情况的子集 特别注意端点问题， (2)空集是任何集合的子集，因此在解A二B(B≠ 2.与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n(n∈N·)个元素，则有 )的含参数的问题时，要注意讨论A=☑和A≠0两种 情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面， (1)A的子集的个数为2" 2.数学素养的建立 (2)A的非空子集的个数为2一1. 通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动 (3)A的真子集的个数为2"-1. 态变化中学会用分类讨论的思想解决问题. (4)A的非空真子集的个数为2"一2. 课后·训练提升 基础·巩固 4.已知集合A={xla.x2-5x十6=0，a∈R},若2∈A,则集 合A的子集个数为( 1.下列关系式不正确的是( A.4 B.3 C.2 D.1 A.{1}二{1,2》 答案A B.{0}二{1,2} 解析依题意得4a一10十6=0，解得a=1,则x2一5x十 C.{2}二{1,2} D.1∈{1,2} 6=0,解得x1=2,x2=3,所以A={2,3},所以集合A的 答案B 子集个数为2=4.故选A 5.已知集合U=R,则正确表示集合U,M={-1,0,1},N= 解析0庄{1,2}，∴{0}三{1,2}不正确：根据子集的概 {xlx2+x=0}之间关系的Venn图是( 念可知A,C正确：D显然正确 2.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则 M(N ( A.A￥B B.B￥A D C.A二B D.B=A 答案B 答案B 3.若集合A满足A二B,A二C,B={0,1,2,3},C={0,2,4, 解析图为N={xx2十x=0}={0,-1} 8},则满足上述条件的集合A的个数为( 所以NM故选B. A.0 B.1 C.2 D.4 6.已知集合A={x|x=2m+1,n∈Z},集合B={x|x= 答案D 4k士1，k∈Z,则A与B间的关系是 解析：A二B,A二C,∴A中最多能含有0,2两个元素， 答案A=B .集合A可以为☑，{0}，{2}，{0,2}，共4个. 解析因为整数包括奇数与偶数，所以n=2k或n=2k一 7
第一章 集合与常用逻辑用语 二 子集、真子集的个数问题 典例剖析 2.已 知 集 合 A = {x ∈R|x2 -3x +2=0},B = {x∈N|02m-1,得m-2, 2m-1≤5, 2m-1≥m+1, 解得2≤m≤3. 综上可得,m 的取值范围是{m|m≤3}. 1.利用集合间的关系求参数的取值范围问题 (1)利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉 及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为静集 合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需 特别注意端点问题. (2)空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠ ⌀)的含参数的问题时,要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种 情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面. 2.数学素养的建立 通过本例尝试建立数形结合的思想意识,以及在动 态变化中学会用分类讨论的思想解决问题. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列关系式不正确的是( ) A.{1}⊆{1,2} B.{0}⊆{1,2} C.{2}⊆{1,2} D.1∈{1,2} 答案 B 解析 ∵0∉{1,2},∴{0}⊆{1,2}不正确;根据子集的概 念可知 A,C正确;D显然正确. 2.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则 ( ) A.A⫋B B.B⫋A C.A⊆B D.B=A 答案 B 3.若集合A 满足A⊆B,A⊆C,B={0,1,2,3},C={0,2,4, 8},则满足上述条件的集合A 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D 解析 ∵A⊆B,A⊆C,∴A 中最多能含有0,2两个元素, ∴集合A 可以为⌀,{0},{2},{0,2},共4个. 4.已知集合A={x|ax2-5x+6=0,a∈R},若2∈A,则集 合A 的子集个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A 解析 依题意得4a-10+6=0,解得a=1,则x2-5x+ 6=0,解得x1=2,x2=3,所以A={2,3},所以集合A 的 子集个数为22=4.故选 A. 5.已知集合U=R,则正确表示集合U,M={-1,0,1},N= {x|x2+x=0}之间关系的 Venn图是( ) 答案 B 解析 因为N={x|x2+x=0}={0,-1}, 所以N⫋M.故选B. 6.已知集合A={x|x=2n+1,n∈Z},集合B={x|x= 4k±1,k∈Z},则A 与B 间的关系是 . 答案 A=B 解析 因为整数包括奇数与偶数,所以n=2k或n=2k- 7
数学必修第一册 配人教A版 1(k∈Z),当n=2k(k∈Z)时，2n十1=4k+1(k∈Z),当 A.A∈B B.B∈A n=2k一1(k∈Z)时，2n十1=4k一1(k∈Z),故A=B. C,A二B D.BCA 7.已知非空集合A满足：①A二{1,2,3,4}：②若x∈A,则 答案B 5一x∈A,则满足上述要求的集合A的个数为 解析因为集合B的子集为{1}，{2}，{1.2}，0，所以A= {x|x二B}={{1},{2},{1,2},⑦}，所以B∈A. 答案3 5.(多选题)下列选项中的两个集合相等的有() 解析由题意知，满足题中要求的集合A可以是{1,4}， A.P={xlx=2n,n∈Z},Q={xlx=2(n+1),n∈Z {2,3},{1,2,3,4},共3个. B.P=(rlx=2n-1,nEN'),Q=(zIx=2n+1, 8.定义集合AB={x|x∈A,且x任B},若A={1,2,3, n∈N} 4,5},B={2,4,5},则A*B的子集个数是 cP=zlr-r=o.Q={女= +(-1yneZ☑ 答案4 2 解析在集合A*B中，x∈A,∴x可能取1,2,3,4,5. D.P=(rly=x+1),Q=((x.y)ly=x+1) 又x任B,.x不能取2,4,5. 答案AC 因此x的可能取值只有1和3， 解析选项A中集合P,Q都表示所有偶数组成的集合， .A*B={1,3},其子集个数为4， 所以P=Q:选项B中集合P是由1,3,5，…（所有正奇 数)组成的集合，Q是由3,5,7，…（所有大于1的正奇数） 拓展·提高 组成的集合，1任Q,所以P≠Q:选项C中集合P={0, 1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则下列说法正确的是 1,当n为奇数时，=十（1少=0，当n为偶数时x一 2 A.若a=3,则A二B 1十(-1)=1，所以Q={0,1,所以P=Q:选项D中，P 2 B.若A二B,则a=3 C.若a=3,则A=B 表示直线y=x十1上点的横坐标构成的集合，而Q表示 D.若A二B,则a=2 直线y=x十1上点的坐标构成的集合，所以P≠Q.综上 可知，选AC 答案A 6.若集合M={xlx2+x-6=0},N={x|ax-1=0,a∈ 解析当a=3时，A={1,3},因为B={1,2,3}, R},且N二M,则实数a的值为 所以A二B.当A二B时，a=2或3. 11 2.满足{a}军M至{a,b,c,d}的集合M共有( 答案0,2-3 A.6个 B.7个 解析集合M={x|x2十x-6=0}={2,-3}.当a=0 C.8个 D.15个 时，N=0,满足N二M:当a≠0时，N={x|ax-l=0}= 答案A 解析图为{a}M军{a,b,c,d},所以集合M中含有b, 侣}因为NCM,所以日=2或=-3解得a=方或 a c,d中的1个或2个，即M可以为{a,b},{a,c},{a,d}, 11 a=- {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d}.所以集合M共有6个 3综上a的值为0,2-3 3.已知集合A={x(a-1)x2+3x-2=0,a∈R}有且仅有 挑战·创新 两个子集，则实数a=() A-言 已知集合M={xlx2+2x-a=0,a∈R}. B.1 (1)若⑦M,求实数a的取值范围： C-日或1 (2)若N={x|x2十x=0},且M二N,求实数a的取值 D.-8或1 范围. 答案C 解(1)由题意得，方程x2十2x一a=0有实数解， 解析由题意，知集合A={x|(a一1)x2十3x一2=0，a∈ 故△=22-4（一a)≥0，得a≥一1. R}中有且仅有一个元素，即关于x的方程(a-1)x2+ (2)N={x|x2+x=0}={0,一1}，又M二N,若 3x一2=0有且仅有一个根.当a=1时，方程只有一根 M=0,则△=22-4(-a)0，即a>-1时，M中有两个元素， 4.若集合B={1,2},A={x|x二B},则A与B的关系是 由MCN,得M=N,从而1+0=-2， 无解。 l(-1)×0=-a () 综上，a的取值范围为{a|a一1}. 8
数 学 必修 第一册 配人教 A版 1(k∈Z),当n=2k(k∈Z)时,2n+1=4k+1(k∈Z),当 n=2k-1(k∈Z)时,2n+1=4k-1(k∈Z),故A=B. 7.已知非空集合A 满足:①A⊆{1,2,3,4};②若x∈A,则 5-x ∈A,则 满 足 上 述 要 求 的 集 合 A 的 个 数 为 . 答案 3 解析 由题意知,满足题中要求的集合A 可以是{1,4}, {2,3},{1,2,3,4},共3个. 8.定义集合A*B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,2,3, 4,5},B={2,4,5},则A*B 的子集个数是 . 答案 4 解析 在集合A*B 中,x∈A,∴x 可能取1,2,3,4,5. 又x∉B,∴x 不能取2,4,5. 因此x 的可能取值只有1和3, ∴A*B={1,3},其子集个数为4. 拓展 提高 1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则下列说法正确的是 ( ) A.若a=3,则A⊆B B.若A⊆B,则a=3 C.若a=3,则A=B D.若A⊆B,则a=2 答案 A 解析 当a=3时,A={1,3},因为B={1,2,3}, 所以A⊆B.当A⊆B 时,a=2或3. 2.满足{a}⫋M⫋{a,b,c,d}的集合M 共有( ) A.6个 B.7个 C.8个 D.15个 答案 A 解析 因为{a}⫋M⫋{a,b,c,d},所以集合 M 中含有b, c,d 中的1个或2个,即 M 可以为{a,b},{a,c},{a,d}, {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d}.所以集合M 共有6个. 3.已知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0,a∈R}有且仅有 两个子集,则实数a=( ) A.- 1 8 B.1 C.- 1 8 或1 D.-8或1 答案 C 解析 由题意,知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0,a∈ R}中有且仅有一个元素,即关于x 的方程(a-1)x2+ 3x-2=0有且仅有一个根.当a=1时,方程只有一根 x= 2 3 ,符合要求;当a≠1时,由Δ=32-4×(a-1)× (-2)=0,解得a=- 1 8 .故实数a的值为1或- 1 8 . 4.若集合B={1,2},A={x|x⊆B},则A 与B 的关系是 ( ) A.A∈B B.B∈A C.A⊆B D.B⊆A 答案 B 解析 因为集合B 的子集为{1},{2},{1,2},⌀,所以A= {x|x⊆B}={{1},{2},{1,2},⌀},所以B∈A. 5.(多选题)下列选项中的两个集合相等的有( ) A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z} B.P={x|x=2n-1,n∈N* },Q = {x|x=2n+1, n∈N* } C.P={x|x2-x=0},Q= x x= 1+(-1)n 2 ,n∈Z D.P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1} 答案 AC 解析 选项 A中集合P,Q 都表示所有偶数组成的集合, 所以P=Q;选项 B中集合P 是由1,3,5,…(所有正奇 数)组成的集合,Q 是由3,5,7,…(所有大于1的正奇数) 组成的集合,1∉Q,所以P≠Q;选项 C中集合P={0, 1},当n为奇数时,x= 1+(-1)n 2 =0,当n为偶数时,x= 1+(-1)n 2 =1,所以Q={0,1},所以P=Q;选项 D中,P 表示直线y=x+1上点的横坐标构成的集合,而Q 表示 直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以P≠Q.综上 可知,选 AC. 6.若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0,a∈ R},且N⊆M,则实数a的值为 . 答案 0, 1 2 ,- 1 3 解析 集合 M ={x|x2+x-6=0}={2,-3}.当a=0 时,N=⌀,满足N⊆M;当a≠0时,N={x|ax-1=0}= 1 a .因为N⊆M,所以 1 a =2或 1 a =-3,解得a= 1 2 或 a=- 1 3 .综上,a的值为0, 1 2 ,- 1 3 . 挑战 创新 已知集合M={x|x2+2x-a=0,a∈R}. (1)若⌀⫋M,求实数a的取值范围; (2)若N={x|x2+x=0},且 M ⊆N,求实数a 的取值 范围. 解 (1)由题意得,方程x2+2x-a=0有实数解, 故Δ=22-4(-a)≥0,得a≥-1. (2)N ={x|x2+x=0}={0,-1},又 M ⊆N,若 M=⌀,则Δ=22-4(-a)0,即a>-1时,M 中有两个元素, 由M⊆N,得M=N,从而 -1+0=-2, (-1)×0=-a, 无解. 综上,a的取值范围为{a|a≤-1}. 8
第一章集合与常用逻辑用语 1.3集合的基本运算 第1课时并集、交集 课前 基础认知 1.并集 (2)不一定等于，AUB的元素个数小于或等于集合A 集合A与B的并集是由所有属于集合A或属 与集合B的元素个数之和. 于集合B的元素组成的集合，记作AUB 2.交集 (读作“A并B”) 密 AUB={xlr∈A,或r∈B] 自然 集合4与B的交集是由所有属于集合A且属 语言 于集合B的元素组成的集合，记作A∩B 图形 语言 A○B (读作“A交B”) AUB AnB={xKeA,且x∈B] 微思考(I)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ 图形 B (2)集合AUB的元素个数是否等于集合A与集合B 语言 A A∩B 的元素个数之和？ 提示(I)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情 3.并集与交集的运算性质 况：x∈A,但x任B:x∈B,但x任A:x∈A,且x∈B.用 并集的运算性质 交集的运算性质 Venn图表示如图所示， AUB=BUA A∩B=B∩A AB AOB○ x∈A,但xBx∈B,但x使A AUA-A A∩A=A CAB AUO=A A∩0=0 xeA,且x∈B 课堂 重难突破 并集的概念及其应用 规律总结」求集合并集的两种方法 (1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并 典例剖析 集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的 1.(1)设集合M={x|x2+2x=0},N={x|x2-2x= 结果 o},则MUN=( (2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助 A.{0 B.{0,2} 数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应 C.{-2.0} D.{-2,0,2} 用“空心圈”表示 (2)已知集合M={x|一35},则MUN=() A{xx-3} 典例剖析 B.{x|-55} 则A∩B等于() 答案(1)D(2)A A.{x|0≤x≤2} 解析(1)M={x|x2+2x=0}={0,-2},N={x| B.{x|1x2} x2-2x=0}={0,2},则MUN={-2,0,2}. C.{x|0≤r≤4} 故选D. D.{x|1≤x≤4} (2)在数轴上表示集合M,N,如图所示，由图可知， (2)已知集合A={xx=3m十2，n∈N},B={6,8,10, MUN={xlx-3. 12,14},则集合A∩B中元素的个数为 答案(1)A(2)2 -5-30 解析(1)在数轴上表示出集合A,B,如图所示， 9
第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集 课前·基础认知 1.并集 微思考 (1)“x∈A 或x∈B”包含哪几种情况? (2)集合A∪B 的元素个数是否等于集合A 与集合B 的元素个数之和? 提示 (1)“x∈A 或x∈B”这一条件包括下列三种情 况:x∈A,但x∉B;x∈B,但x∉A;x∈A,且x∈B.用 Venn图表示如图所示. (2)不一定等于,A∪B 的元素个数小于或等于集合A 与集合B 的元素个数之和. 2.交集 3.并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B=B∪A A∩B=B∩A A∪A= A A∩A= A A∪⌀= A A∩⌀= ⌀ 课堂·重难突破 一 并集的概念及其应用 典例剖析 1.(1)设集合M={x|x2+2x=0},N={x|x2-2x= 0},则M∪N=( ) A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} (2)已知集合M={x|-35},则M∪N=( ) A.{x|x-3} B.{x|-55} 答案 (1)D (2)A 解析 (1)M ={x|x2+2x=0}={0,-2},N ={x| x2-2x=0}={0,2},则M∪N={-2,0,2}. 故选D. (2)在数轴上表示集合 M,N,如图所示,由图可知, M∪N={x|x-3}. 求集合并集的两种方法 (1)定义法:若是用列举法表示的数集,可以根据并 集的定义直接观察或用 Venn 图表示出集合运算的 结果. (2)数形结合法:若是用描述法表示的数集,可借助 数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应 用“空心圈”表示. 二 交集的概念及其应用 典例剖析 2.(1)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4}, 则A∩B 等于( ) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} (2)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10, 12,14},则集合A∩B 中元素的个数为 . 答案 (1)A (2)2 解析 (1)在数轴上表示出集合A,B,如图所示, 9
数学 必修 第一册 配人教A版 1-32k一1时，ka,a∈R}.若 所以A∩B={2}.故选B A∩B=心，则实数a的取值范围是( 2.已知集合A={0,1,2,34,5},B={1,3,6,9},C={3,7, A.a≤1 B.a≥1 8},则(A∩B)UC等于( C.a≥0 D.a0 A.{0,1,2,6,8} B.{3,7,8} 答案B C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8} 解析因为A∩B=心，所以0任B,且1任B,结合选项，知 答案C a≥l.故选B. 解析因为集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},所以 6.满足{0,1}UA={0,1,2的所有集合A的个数为 A∩B={1,3}.因为C={3,7,8},所以(A∩B)UC={1 答案4 3,7,8}.故选C 3.设集合A={a,b},B={a十1,5}，若A∩B={2},则AU 解析由{0,1}UA={0,1,2},可知A={2}或A={0,2} B等于( 或A={1,2}或A={0,1,2},共4个 A.{1,2} B.{1,5} 7.已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m十1<x<2m- C.{2,5} D.{1,2.5} 1,m∈R},若A∩B=B,则实数m的取值范围是 答案D 解析A∩B={2}, 答案m≤4 .2∈A,2∈B, 解析由A∩B=B,得B二A. a十1=2，a=1,b=2, 当B=0时，有m十1≥2m一1，解得m≤2. 即A={1,2},B={2,5}, m+1<2m-1, AUB={1,2,5}.故选D 当B≠⑦时，《m十1≥一2，解得2<m4. 4.(多选题)已知集合M={1,2,3,4,5},M∩N={4,5},则 2m-1≤7， V可能为() 综上可知，实数m的取值范图是m≤4， 10
数 学 必修 第一册 配人教 A版 由图可知,A∩B={x|0≤x≤2}. (2)∵8=3×2+2,14=3×4+2,∴8∈A,14∈A, ∴A∩B={8,14}.故集合A∩B 中有2个元素. 求集合交集的两个注意点 (1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合的 元素特征尽量明朗化,然后根据交集的含义写出结果. (2)在求与不等式有关的集合的交集时,用数轴分析 更直观清晰. 三 集合交、并运算的性质及综合应用 典例剖析 3.已知集合A={x|-32k-1时,ka,a ∈R}.若 A∩B=⌀,则实数a的取值范围是( ) A.a≤1 B.a≥1 C.a≥0 D.a≤0 答案 B 解析 因为A∩B=⌀,所以0∉B,且1∉B,结合选项,知 a≥1.故选B. 6.满足{0,1}∪A={0,1,2}的所有集合A 的个数为 . 答案 4 解析 由{0,1}∪A={0,1,2},可知A={2}或A={0,2} 或A={1,2}或A={0,1,2},共4个. 7.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m- 1,m ∈R},若 A ∩B =B,则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 . 答案 m≤4 解析 由A∩B=B,得B⊆A. 当B=⌀时,有m+1≥2m-1,解得m≤2. 当B≠⌀时, m+1<2m-1, m+1≥-2, 2m-1≤7, 解得2<m≤4. 综上可知,实数m 的取值范围是m≤4. 10