第七章三角函数 7.1任意角的概念与弧度制 7.1.1角的推广 1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角， 课标定位 2.理解象限角的概念。 素养阐释 3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置。 4.体会数学抽象的过程，加强直观想象、数学运算能力的培养 课前·基础认知 一、角的概念的推广 的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第 【问题思考】 几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何 1.我们用扳手拧螺丝，扳手手柄从起始位置开始转动一 象限 段时，是否形成一个角？ 3.做一做：(1)钝角是第 象限角： 提示是. (2)一423°角是第 象限角： 2.用扳手拧螺丝时，扳手手柄转过的角度可以比360°大 (3)-360°角 象限角 吗？扳手手柄有几个运动方向？ 答案(1)二 (2)四(3)不是 提示可以；两个，顺时针和逆时针 三、终边相同的角 3.填空： 【问题思考】 (1)角的形成：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所 1.60°，一300°，420°，-1020这四个角的终边有什么关系？ 形成的图形称为角。 提示相同. 这两条射线分别称为角的始边和终边. 2.与60°角的终边相同的角有什么特点？ (2)角的分类： 提示若a与60°角的终边相同，则a=60°+k·360°， 按旋转方向可将角分为如下三类： k∈Z. ①正角：按照逆时针方向旋转而成的角； 3.填空：所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集 ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角： 合可记为S={83=a十k·360°，k∈Z. ③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称 4.做一做：(1)与0°角终边相同的角的集合为 为零角， 这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角， (2)与一17°角终边相同的角的集合为 4.做一做：钟表的时针从12点开始，转到6点位置时， 形成的角是 ;转到9点位置时，形成的角是 :时针第二次到达3点位置时，形成的角是 答案(1){a|a=k·360°，k∈Z}(2){a|a=k· 360°-17°，k∈Z 答案-180° -270° -450 【思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 二、象限角 “、/”,错误的画“X” 【问题思考】 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定 1,若将角的顶点放在坐标原点，始边落在x轴的正半 相同. (/) 轴上，则120°，一90°，一135°角的终边落在什么位置？ (2)终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍. 提示它们的终边分别落在第二象限、y轴的负半轴 (√) 上、第三象限」 (3)终边相同的角的表示不唯一 (/) 2.填空： (4)-70°角是第四象限角。 () 为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨 (5)第三象限的角必大于第二象限的角」 (X) 论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴
第七章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角的推广 课标定位 素养阐释 1.了解角的概念的推广,能正确区分正角、负角和零角. 2.理解象限角的概念. 3.掌握终边相同的角的表示方法,并能判断角所在的位置. 4.体会数学抽象的过程,加强直观想象、数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、角的概念的推广 【问题思考】 1.我们用扳手拧螺丝,扳手手柄从起始位置开始转动一 段时,是否形成一个角? 提示 是. 2.用扳手拧螺丝时,扳手手柄转过的角度可以比360°大 吗? 扳手手柄有几个运动方向? 提示 可以;两个,顺时针和逆时针. 3.填空: (1)角的形成:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所 形成的图形称为角. 这两条射线分别称为角的始边和终边. (2)角的分类: 按旋转方向可将角分为如下三类: ①正角:按照逆时针方向旋转而成的角; ②负角:按照顺时针方向旋转而成的角; ③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,称 为零角. 这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为转角. 4.做一做:钟表的时针从12点开始,转到6点位置时, 形成的 角 是 ;转 到 9 点 位 置 时,形 成 的 角 是 ;时 针 第 二 次 到 达 3 点 位 置 时,形 成 的 角 是 . 答案 -180° -270° -450° 二、象限角 【问题思考】 1.若将角的顶点放在坐标原点,始边落在x 轴的正半 轴上,则120°,-90°,-135°角的终边落在什么位置? 提示 它们的终边分别落在第二象限、y 轴的负半轴 上、第三象限. 2.填空: 为了方便起见,通常将角放在平面直角坐标系中来讨 论,并约定:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x 轴 的正半轴上,这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第 几象限角,如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何 象限. 3.做一做:(1)钝角是第 象限角; (2)-423°角是第 象限角; (3)-360°角 象限角. 答案 (1)二 (2)四 (3)不是 三、终边相同的角 【问题思考】 1.60°,-300°,420°,-1020°这四个角的终边有什么关系? 提示 相同. 2.与60°角的终边相同的角有什么特点? 提示 若α与60°角的终边相同,则α=60°+k·360°, k∈Z. 3.填空:所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集 合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 4.做一做:(1)与0°角终边相同的角的集合为 ; (2)与-17°角终边相同的角的集合为 . 答案 (1){α|α=k·360°,k∈Z} (2){α|α=k· 360°-17°,k∈Z} 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定 相同. (√) (2)终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍. (√) (3)终边相同的角的表示不唯一. (√) (4)-70°角是第四象限角. (√) (5)第三象限的角必大于第二象限的角. (×) 1
数学 必修第三册 配人教B版 课堂 ·重难突破 250°-360°=-110°，250°-720°=-470° 探究一任意角的概念 故0=-110°或0=-470° 【例1】给出下列说法： 飞反思感悟 ①锐角都是第一象限角： 1.将任意角化为a十k·360°(k∈Z,0°≤a<360) 的形式，关键是确定k,可以用观察法（当α的绝对值不 ②第一象限角一定不是负角： 大时)，也可以用除法 ③第二象限角是钝角： ④小于180°的角是钝角、直角或锐角。 2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角 其中正确说法的序号为」 时，可先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依 条件构建不等式，求出k的值 解析①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一 象限，故是第一象限角，所以①正确。 【变式训练2】在0到360°范围内，找出与下列各角终 ②一330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确」 边相同的角，并判定它们是第几象限角。 ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确」 (1)-150°：(2)650°：(3)-950°15' ④0°角小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐 解(1)因为-150°=-360°+210°，所以在0°到360°范 角，故④不正确 国内，与一150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角. 答案① (2)因为650°=360°+290°，所以在0°到360°范围内，与 飞反思感悟 650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角」 解题的关键是理解象限角、锐角、钝角、小于180° (3)因为-950°15=-3×360°+129°45，所以在0°到 的角等概念，判断时也可以采用排除法，当判断一个说 360°范围内，与一950°15角终边相同的角是129°45角，它是 法错误时，只需举一反例。 第二象限角， 【变式训练1】下列说法正确的是( ) 探究三象限角或区间角的表示 A.三角形的内角一定是第一、第二象限角 B.钝角不一定是第二象限角 【例3】如图，角B的终边在阴影部分内，试指出角B的 C.终边与始边重合的角是零角 取值范围 D.钟表的时针旋转而成的角是负角 解析90°角不是象限角，故A不正确：钝角必是第二象 限角，故B不正确：360°角的终边与始边也重合，故C不正确： 75 609 由于钟表的时针是按顺时针旋转的，故形成的角必为负角。 答案D 探究二终边相同的角 找出0°~360°内阴+k·360°适合题意的 【例2】已知a=-1910°.试把a写成g+k·360°(k∈ 分析 影部分的角的集合(k∈Z)角的集合 Z,0°3<360°)的形式，并指出它是第几象限角」 解终边落在工轴上方阴影部分的角的集合为： 解-1910°=-6×360°+250°， A={lk·360°+60°≤9<k·360°+105°，k∈Z. ,∴.a=-6×360°+250°」 终边落在x轴下方阴影部分的角的集合为：B={B引k· ,250°角是第三象限角，∴.角α是第三象限角」 360°+240°3<k·360°+285°，k∈Z}. 延伸探究 所以终边落在阴影部分内角3的取值范国围是AUB,即 已知a=-1910° {Blk·360°+60°≤B<k·360°+105°，k∈Z}U{3|k· (1)求与α终边相同的最小正角和最大负角： 360°+240°≤3k·360°+285°，k∈Z},其中B可以化为： (2)求0，使0与α的终边相同，且-720°≤0<0° {3|k·360°+180°+60°≤3<k·360°+180°+105°，k∈Z}. 解与a终边相同的角的集合为{y|y=一1910°+k· 即{3|(2m+1)×180°+60°≤3<(2m+1)×180°+ 360°，k∈Z}. 105°，m∈Z}. (1)与a终边相同的最小正角是250°，最大负角是一110°」 集合A可以化为： (2)由例2知，a与250°角终边相同， {3l2×180°+60°≤3<2m×180°+105°，m∈Z. 令0=250°+k×360°(k∈Z), 故AUB可化为：{3|n·180°+60°≤3<n·180°+ 取k=一1，一2就得到适合一720°≤00°的角， 105°，n∈Z}
数 学 必修 第三册 配人教B版 课堂·重难突破 探究一 任意角的概念 【例1】给出下列说法: ①锐角都是第一象限角; ②第一象限角一定不是负角; ③第二象限角是钝角; ④小于180°的角是钝角、直角或锐角. 其中正确说法的序号为 . 解析 ①锐角是大于0°且小于90°的角,终边落在第一 象限,故是第一象限角,所以①正确. ②-330°角是第一象限角,但它是负角,所以②不正确. ③480°角是第二象限角,但它不是钝角,所以③不正确. ④0°角小于180°角,但它既不是钝角,也不是直角或锐 角,故④不正确. 答案 ① 解题的关键是理解象限角、锐角、钝角、小于180° 的角等概念.判断时也可以采用排除法,当判断一个说 法错误时,只需举一反例. 【变式训练1】下列说法正确的是( ) A.三角形的内角一定是第一、第二象限角 B.钝角不一定是第二象限角 C.终边与始边重合的角是零角 D.钟表的时针旋转而成的角是负角 解析 90°角不是象限角,故 A不正确;钝角必是第二象 限角,故B不正确;360°角的终边与始边也重合,故C不正确; 由于钟表的时针是按顺时针旋转的,故形成的角必为负角. 答案 D 探究二 终边相同的角 【例2】已知α=-1910°.试把α写成β+k·360°(k∈ Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角. 解 ∵-1910°=-6×360°+250°, ∴α=-6×360°+250°. ∵250°角是第三象限角,∴角α是第三象限角. 已知α=-1910°. (1)求与α终边相同的最小正角和最大负角; (2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°. 解 与α终边相同的角的集合为{γ|γ=-1910°+k· 360°,k∈Z}. (1)与α终边相同的最小正角是250°,最大负角是-110°. (2)由例2知,α与250°角终边相同, 令θ=250°+k×360°(k∈Z), 取k=-1,-2就得到适合-720°≤θ<0°的角, 250°-360°=-110°,250°-720°=-470°. 故θ=-110°或θ=-470°. 1.将任意角化为α+k·360°(k∈Z,0°≤α<360°) 的形式,关键是确定k,可以用观察法(当α的绝对值不 大时),也可以用除法. 2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角 时,可先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依 条件构建不等式,求出k的值. 【变式训练2】在0°到360°范围内,找出与下列各角终 边相同的角,并判定它们是第几象限角. (1)-150°; (2)650°; (3)-950°15'. 解 (1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°到360°范 围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角. (2)因为650°=360°+290°,所以在0°到360°范围内,与 650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角. (3)因为-950°15'=-3×360°+129°45',所以在0°到 360°范围内,与-950°15'角终边相同的角是129°45'角,它是 第二象限角. 探究三 象限角或区间角的表示 【例3】如图,角β的终边在阴影部分内,试指出角β的 取值范围. 分析 找出0°~360°内阴 影部分的角的集合 +k·360° (k∈Z) → 适合题意的 角的集合 解 终边落在x 轴上方阴影部分的角的集合为: A={β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}. 终边落在x 轴下方阴影部分的角的集合为:B={β|k· 360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}. 所以终边落在阴影部分内角β的取值范围是A∪B,即 {β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}∪{β|k· 360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z},其中B 可以化为: {β|k·360°+180°+60°≤β<k·360°+180°+105°,k∈Z}. 即{β|(2m+1)×180°+60°≤β<(2m+1)×180°+ 105°,m∈Z}. 集合A 可以化为: {β|2m×180°+60°≤β<2m×180°+105°,m∈Z}. 故A∪B 可化为:{β|n·180°+60°≤β<n·180°+ 105°,n∈Z}. 2
第七章三角函数 ①反思感悟 解，a是第二象限角， 表示区间角的三个步骤： .90°+k·360°<a<180°+k·360°(k∈Z), 第一步，先按逆时针的方向找到区域的起始和终 止边界. ∴46+合80w<号<90+ -·360°(k∈Z) 第二步，按由小到大分别标出起始和终止边界对 当k为偶数时，令k=2,n∈Z, 应的一360°~360°范围内的角a和B,写出最简区间 {x|a<x<3},其中B-a<360°. 则45+n·360<号<90+n·360, 第三步，区域起始、终止边界对应角α，3再加上 k·360°(k∈Z),即得区间角集合.对顶区域，始边、终 此时，号为第一象限角： 边再加上k·180°(k∈Z)即得区间角集合. 当k为奇数时，令k=2m十1，n∈Z, 【变式训练3】写出图中阴影部 450 则225°+n·360°<g<270°+n·360°， 2 分（不含边界）表示的角的集合， 解在一180°~180°内终边落在 此时，受为第三象限角。 阴影部分角的集合为大于一45°且小 “受为第一象限角或第三象限角。 于45°，所以终边落在阴影部分（不含 边界)的角的集合为{a|一45°+k· 随堂训练·。。·。。。 360°<a<45°+k·360°，k∈Z. 1.与405°角终边相同的角是() 思想方法 A.k·360°-45°，k∈Z 用分类讨论法确定角所在的象限 B.k.180°-45°，k∈Z C.k·360°+45°，k∈Z 【典例】已知。为第二象限角，试判断？是第几象限角。 D.k·180°+45°，k∈Z 分析由。的范国，确定出号的范国，最后确定号是第 解析首先找出0°一360°范图内与405°角终边相同的角， 405°=360°+45°，即为45°，则与405°角终边相同的角为 几象限角」 k·360°+45°，k∈Z. 解，α是第二象限角， 答案C ,90°+k,360°<a<180°+k·360°，k∈Z, 2.若a为第一象限角，则2a角的终边落在(） ∴30°+k120<号<60+k120,k∈Z A.第二象限 B.第一象限 当k=3m,n∈Z时，30°+n·360°<号<60°+·360， C.第一象限或第二象限 D.第一象限或第二象限或y轴的正半轴上 n∈乙，此时号为第一象限角： 解析因为k·360°<a<k·360°+90°(k∈Z),所以k· 720°<2ak·720°十180°(k∈Z),所以2a角的终边落在 当k=3m+1,n∈Z时，150+·360<号<180+n· 第一象限或第二象限或y轴的正半轴上， 360°，m∈Z,此时号为第二象限角： 答案D 3.如图，终边落在直线y=士x上的角a的集合是 当k=3m+2,n∈Z时，270+n·360°<号 <300°+n· 360°，n∈Z,此时号为第四象限角. 459 ∴号为第一第二象限角或第四象限角。 ①方法点晴 已知角α所在的象限，确定。所在象限时，运用分 解析因为终边落在直线y=工上的角a可表示为：a= 类讨论的思想方法，求解时要对k的取值分k被n整 45°+n·180°=45°+2n·90°(m∈Z),终边落在直线y= 除，k被n整除余1，k被n整除余2，k被n整除余 -x上的角a可表示为a=135°+n·180°=45°+(2n十 (一1)进行讨论，最后就讨论的情况作总结. 1)·90(n∈Z),所以终边落在直线y=土x上的角a的 集合是{ala=k·90°+45°，k∈Z. 【变式训练】已知。是第二象限角，则号是第几象限角？ 答案{aa=k·90°+45°，k∈Z 33
第七章 三角函数 表示区间角的三个步骤: 第一步,先按逆时针的方向找到区域的起始和终 止边界. 第二步,按由小到大分别标出起始和终止边界对 应的-360°~360°范围内的角α 和β,写出最简区间 {x|α<x<β},其中β-α<360°. 第三步,区域起始、终止边界对应角α,β 再加上 k·360°(k∈Z),即得区间角集合.对顶区域,始边、终 边再加上k·180°(k∈Z)即得区间角集合. 【变式训练3】写出图中阴影部 分(不含边界)表示的角的集合. 解 在-180°~180°内终边落在 阴影部分角的集合为大于-45°且小 于45°,所以终边落在阴影部分(不含 边界)的角的集合为{α|-45°+k· 360°<α<45°+k·360°,k∈Z}. 思 想 方 法 用分类讨论法确定角所在的象限 【典例】已知α为第二象限角,试判断 α 3 是第几象限角. 分析 由α的范围,确定出 α 3 的范围,最后确定 α 3 是第 几象限角. 解 ∵α是第二象限角, ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z, ∴30°+k·120°< α 3 <60°+k·120°,k∈Z. 当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°< α 3 <60°+n·360°, n∈Z,此时 α 3 为第一象限角; 当k=3n+1,n∈Z时,150°+n·360°< α 3 <180°+n· 360°,n∈Z,此时 α 3 为第二象限角; 当k=3n+2,n∈Z时,270°+n·360°< α 3 <300°+n· 360°,n∈Z,此时 α 3 为第四象限角. ∴ α 3 为第一、第二象限角或第四象限角. 已知角α所在的象限,确定 α n 所在象限时,运用分 类讨论的思想方法,求解时要对k 的取值分k 被n 整 除,k被n整除余1,k被n整除余2,……k被n整除余 (n-1)进行讨论,最后就讨论的情况作总结. 【变式训练】已知α是第二象限角,则 α 2 是第几象限角? 解 ∵α是第二象限角, ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z), ∴45°+ k 2 ·360°< α 2 <90°+ k 2 ·360°(k∈Z). 当k为偶数时,令k=2n,n∈Z, 则45°+n·360°< α 2 <90°+n·360°, 此时, α 2 为第一象限角; 当k为奇数时,令k=2n+1,n∈Z, 则225°+n·360°< α 2 <270°+n·360°, 此时, α 2 为第三象限角. ∴ α 2 为第一象限角或第三象限角. 随堂训练 1.与405°角终边相同的角是( ) A.k·360°-45°,k∈Z B.k·180°-45°,k∈Z C.k·360°+45°,k∈Z D.k·180°+45°,k∈Z 解析 首先找出0°~360°范围内与405°角终边相同的角, 405°=360°+45°,即为45°,则与405°角终边相同的角为 k·360°+45°,k∈Z. 答案 C 2.若α为第一象限角,则2α角的终边落在( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第一象限或第二象限 D.第一象限或第二象限或y轴的正半轴上 解析 因为k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z),所以k· 720°<2α<k·720°+180°(k∈Z),所以2α角的终边落在 第一象限或第二象限或y轴的正半轴上. 答案 D 3.如 图,终 边 落 在 直 线 y = ±x 上 的 角α 的 集 合 是 . 解析 因为终边落在直线y=x 上的角α 可表示为:α= 45°+n·180°=45°+2n·90°(n∈Z),终边落在直线y= -x 上的角α可表示为α=135°+n·180°=45°+(2n+ 1)·90°(n∈Z),所以终边落在直线y=±x 上的角α 的 集合是{α|α=k·90°+45°,k∈Z}. 答案 {α|α=k·90°+45°,k∈Z} 3
数学 必修第三册 配人教B版 4.一1040°角是第 象限角」 解析-1040°=-360°×3十40°， .-1040°角是第一象限角. 30 答案一 5.如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着 909 再旋转一30°到OC的位置，求∠AOC的度数. 解∠AOC=90°+(-30)=60° 课后·训练提升 1.下列说法正确的是() 解析若a,B终边相同，则a和3相差360°的整数倍，即 A.终边在y轴正半轴上的角是直角 a一3=k·360(k∈Z),其终边落在x轴的正半轴上. B.第二象限角一定小于180° 答案A C第四象限角一定是负角 6.在集合{ak·180°+45°≤a≤k·180°+90°，k∈Z}中，角 D.若B=a十k·360(k∈Z),则a与B的终边相同 α所表示的范围（阴影部分）正确的是( 解析一270°角终边在y轴正半轴上，而一270°角不是 直角，A不正确： :460°角是第二象限角，而460>180°， B不正确， :300°角是第四象限角， C不正确：D正确. 解析终边落在直线y=x上的角a=k·180°十45°(k∈ 答案D Z),而终边落在y轴上的角a=k·180°十90°(k∈Z),则 2.与120°角终边相同的角是( k·180°十45°ak·180°十90°对应的区域为C A.-600°+k·360°，k∈Z 答案C B.-120°+k·360°，k∈Z 7.与角一2019终边相同的最小正角为 C.120°+(2k+1)·180°，k∈Z 解析，与一2019°角终边相同的角为k·360°一2019°， D.660°+k·360°，k∈Z 解析一600°角与120°角终边相同，.A正确。 6∈Z÷由·360°-2019>0，解得k>52, 答案A ∴.当k=6时，取得最小正角为6×360°-2019°= 3.若α是第一象限角，则下面各角中是第四象限角的是 141° 答案141° A.90°-a B.90°+a 8.设集合A={x|k·360°+60°<x<k·360°+300°，k∈ C.360°-a D.180°+a Z},B={xk·360°-210°<x<k·360°，k∈Z},则A∩ 解析α是第一象限角， B= ,.一a为第四象限角，而360°一a与一a的终边相同 答案{xlk·360°+150°<x<k·360°+300°，k∈Z} 故选C. 9.时间经过2小时20分钟，分针转过的角度为 答案C 解析分针按顺时针方向旋转得到负角，大小为2X 4.角a=30°十k·180°，k∈Z的终边落在( 360°+120°=840° A.第一象限或第三象限 答案一840° B.第一象限或第二象限 10.若角a满足180°<a<360°，角5a与a有相同的始边，且 C,第二象限或第四象限 又有相同的终边，则角α= D.第三象限或第四象限 解析，5a与a有相同的始边和终边， 解析当k为偶数时，α的终边落在第一象限，当k为奇 .5a-a=k·360°， 数时，a的终边落在第三象限，故答案A正确。 即4a=k·360°，a=k·90° 答案A 又180°a<360°，∴.180°<k·90°360°， 5.已知角a,3的终边相同，那么a一B的终边在() 解得2<k<4,则k=3. A.x轴的正半轴上 B.y轴的正半轴上 .a=270° C.x轴的负半轴上 D.y轴的负半轴上 答案270°
数 学 必修 第三册 配人教B版 4.-1040°角是第 象限角. 解析 ∵-1040°=-360°×3+40°, ∴-1040°角是第一象限角. 答案 一 5.如图,射线OA 绕端点O 旋转90°到射线OB 的位置,接着 再旋转-30°到OC 的位置,求∠AOC 的度数. 解 ∠AOC=90°+(-30°)=60°. 课后·训练提升 1.下列说法正确的是( ) A.终边在y轴正半轴上的角是直角 B.第二象限角一定小于180° C.第四象限角一定是负角 D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β的终边相同 解析 ∵-270°角终边在y 轴正半轴上,而-270°角不是 直角,∴A不正确; ∵460°角是第二象限角,而460°>180°, ∴B不正确, ∵300°角是第四象限角, ∴C不正确;D正确. 答案 D 2.与120°角终边相同的角是( ) A.-600°+k·360°,k∈Z B.-120°+k·360°,k∈Z C.120°+(2k+1)·180°,k∈Z D.660°+k·360°,k∈Z 解析 ∵-600°角与120°角终边相同,∴A正确. 答案 A 3.若α是第一象限角,则下面各角中是第四象限角的是 ( ) A.90°-α B.90°+α C.360°-α D.180°+α 解析 ∵α是第一象限角, ∴-α为第四象限角,而360°-α与-α的终边相同, 故选C. 答案 C 4.角α=30°+k·180°,k∈Z的终边落在( ) A.第一象限或第三象限 B.第一象限或第二象限 C.第二象限或第四象限 D.第三象限或第四象限 解析 当k为偶数时,α 的终边落在第一象限,当k 为奇 数时,α的终边落在第三象限,故答案 A正确. 答案 A 5.已知角α,β的终边相同,那么α-β的终边在( ) A.x 轴的正半轴上 B.y轴的正半轴上 C.x 轴的负半轴上 D.y轴的负半轴上 解析 若α,β终边相同,则α 和β相差360°的整数倍,即 α-β=k·360°(k∈Z),其终边落在x 轴的正半轴上. 答案 A 6.在集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中,角 α所表示的范围(阴影部分)正确的是( ) 解析 终边落在直线y=x 上的角α=k·180°+45°(k∈ Z),而终边落在y轴上的角α=k·180°+90°(k∈Z),则 k·180°+45°≤α≤k·180°+90°对应的区域为C. 答案 C 7.与角-2019°终边相同的最小正角为 . 解析 ∵与-2019°角终边相同的角为k·360°-2019°, k∈Z,∴由k·360°-2019°>0°,解得k>5 72 120 , ∴当k=6时,取得最小正角为6×360°-2019°= 141°. 答案 141° 8.设集合A={x|k·360°+60°<x<k·360°+300°,k∈ Z},B={x|k·360°-210°<x<k·360°,k∈Z},则A∩ B= . 答案 {x|k·360°+150°<x<k·360°+300°,k∈Z} 9.时间经过2小时20分钟,分针转过的角度为 . 解析 分针按顺时针方向旋转得到负角,大小为 2× 360°+120°=840°. 答案 -840° 10.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且 又有相同的终边,则角α= . 解析 ∵5α与α有相同的始边和终边, ∴5α-α=k·360°, 即4α=k·360°,α=k·90°. 又180°<α<360°,∴180°<k·90°<360°, 解得2<k<4,则k=3. ∴α=270°. 答案 270° 4
第七章 三角函数 11.在与530°角终边相同的角中，求满足下列条件的角 12.如图所示。 45 (1)最大的负角： (1)分别写出终边落在OA, (2)最小的正角： OB位置上的角的集合： (3)一720°到一360°的角 (2)写出终边落在阴影部分 (包括边界)的角的集合. 300E 解与530°终边相同的角为k·360°+530°，k∈Z B (1)由-360°<k·360°+530°<0°，且k∈Z可得 解(1)终边落在OA位置上 k=一2，故所求的最大负角为一190° 的角的集合为{ala=90°+45°+k·360°，k∈Z}={aa= (2)由0°k·360°+530°360°，且k∈Z可得k= 135°十k·360°，k∈Z,终边落在OB位置上的角的集合 -1,故所求的最小正角为170° 为{33=-30°+k·360°，k∈Z. (3)由-720°≤k·360°+530°≤-360°，且k∈Z得 (2)由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 k=-3,故所求的角为-550° {a|-30°+k·360°a≤135°+k·360°，k∈Z}. 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 课标定位 1.了解孤度制，能熟练地进行孤度制与角度制之间的换算」 素养阐释 2.掌握孤度制中扇形的面积公式 3。加强数学抽象能力和数学运算能力的培养。 课前·基础认知 一、孤度制 3.做一做：(1)120°= rad; 【问题思考】 1.如图，在射线OA上有一点M,OA经旋转 A 2- 后得到角a,此时点M运动的路程为s,路程s与角 M 答案(1受 (2)-60° a有关系吗？ 提示有.s越大，a越大. 0 三、扇形面积公式 2.填空(1)用度作单位来度量角的制度称为角度制，规 【问题思考】 定1°=60,1'=60 1已知扇形的弧长为，半径为2，则扇形的面积是多少 (2)①长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的 2π 角，以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制， ②在半径为r的圆中，若弧长为1的弧所对的圆心角为 提示扇彩的国心商为哥-=子d=60,故S- arad,则a= 60 r ×x= 3.做一做：在半径为2的圆周上有一段弧的长度为3， 2.填空：若扇形的弧长为1，半径为r,则扇形面积S= 则这段弧所对的圆心角为 rad,圆周角为 rad. 答案是月 3.做一做：已知扇形的圆心角为1rad,半径为1，则扇形 面积S= 二、孤度制与角度制的换算 【问题思考】 解析扇形的孤长1=ar=1X1=1,故S==号× 1.如图，AB是⊙O的直径，∠AOB 是平角，是180°，它是多少弧度？ 1X1=7 3 提示圆心角∠AOB所对孤为半 答案司 圆孤，设圆半径为r,则l=,故 【思考辨析】 ∠AOB=" =π孤度 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 2.填空：(1)设一个角的角度数为n,弧度数为a,则 “√”，错误的画“X”. n a (1)1弧度是1度的圆心角所对的弧 (×) 180=元 (2)1弧度是长度为半径的弧 (×) (2)180°=πrad. (3)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角 5
第七章 三角函数 11.在与530°角终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; (2)最小的正角; (3)-720°到-360°的角. 解 与530°终边相同的角为k·360°+530°,k∈Z. (1)由-360°<k·360°+530°<0°,且k∈Z可得 k=-2,故所求的最大负角为-190°. (2)由0°<k·360°+530°<360°,且k∈Z可得k= -1,故所求的最小正角为170°. (3)由-720°≤k·360°+530°≤-360°,且k∈Z得 k=-3,故所求的角为-550°. 12.如图所示. (1)分别写出终边落在OA, OB 位置上的角的集合; (2)写出终边落在阴影部分 (包括边界)的角的集合. 解 (1)终边落在OA 位置上 的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α= 135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB 位置上的角的集合 为{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}. (2)由题图可知,终边落在阴影部分的角的集合为 {α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}. 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 课标定位 素养阐释 1.了解弧度制,能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算. 2.掌握弧度制中扇形的面积公式. 3.加强数学抽象能力和数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、弧度制 【问题思考】 1.如图,在射线OA 上有一点M,OA 经旋转 后得到角α,此时点M 运动的路程为s,路程s与角 α有关系吗? 提示 有.s越大,|α|越大. 2.填空:(1)用度作单位来度量角的制度称为角度制,规 定1°=60',1'=60″. (2)①长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的 角,以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制. ②在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对的圆心角为 αrad,则α= l r . 3.做一做:在半径为2的圆周上有一段弧的长度为3, 则这 段 弧 所 对 的 圆 心 角 为 rad,圆 周 角 为 rad. 答案 3 2 3 4 二、弧度制与角度制的换算 【问题思考】 1.如图,AB 是☉O 的直径,∠AOB 是平角,是180°,它是多少弧度? 提示 圆心角∠AOB 所对弧为半 圆弧,设圆半径为r,则lA︵B =πr,故 ∠AOB= πr r =π弧度. 2.填空:(1)设一个角的角度数为n,弧度数为α,则 n 180 = α π . (2)180°=πrad. 3.做一做:(1)120°= rad; (2)- π 3 = . 答案 (1) 2π 3 (2)-60° 三、扇形面积公式 【问题思考】 1.已知扇形的弧长为 2π 3 ,半径为2,则扇形的面积是多少? 提示 扇形的圆心角为 2π 3 2 = π 3 rad=60°,故 S扇 = 60 360 ×π×22= 2π 3 . 2.填空:若扇形的弧长为l,半径为r,则扇形面积S= 1 2 lr. 3.做一做:已知扇形的圆心角为1rad,半径为1,则扇形 面积S= . 解析 扇形的弧长l=αr=1×1=1,故S= 1 2 lr= 1 2 × 1×1= 1 2 . 答案 1 2 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)1弧度是1度的圆心角所对的弧. (×) (2)1弧度是长度为半径的弧. (×) (3)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角,它是角 5
数学 必修第三册 配人教B版 的一种度量单位 (√) (5)用弧度制度量角，与圆的半径的长短有关」 (X) (4)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应. (6)30rad=30° (X) (√) 课堂·重难突破 探究一角度制与弧度制的互化 解a120-(罗）-罗×高-段 【例】设a1=-5702,a=750,A=晋=-于 3π (2)- 登=爱×(）=-5 (1)将a1,a2用弧度制表示出来，并指出它们各自是第 探究二 用弧度制表示角的集合 几象限角： (2)将B1,B2用角度制表示出来，并找出在一720°~0之 【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的正 间所有与它们终边相同的角。 半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如 分析利用公式180°=πrad实现角度和孤度的互化. 下图) 利用终边相同的角的表示方法写出与B1,B2终边相同的角 的集合，进而求得满足条件的角 2元 解(1)180°=πrad, -570°= 570π19π 180 6 3 01=-1g=-2x2x+ 6 同理0，=750°=750x=25x=2X2x ② ② 1806 6 观察图形的 分析 确定角的始 ∴a1是第二象限角，a2是第一象限角. 阴影部分 边和终边 写出集合 (2a-晋=g×180=10s 解（1如通题图①，以0A为终边的角为看十2x:∈ 设0=k·360°+108(k∈Z), ,-720≤0<0°， Z):以0B为终边的角为-+2张xk∈D. 3 .-720°≤k·360°+108<0° 所以终边落在阴影部分内的角的集合为 .k=一2或k=一1， .在一720°~0°之间与B1终边相同的角是一612°角和 a-号+k<a<晋+2ke7. -252°角 (2)知题图②，以0A为终边的角为写+2kx(k∈ZD:以 =-吾=-×180=-60 设Y=k·360°-60°(k∈Z),则由-720°≤y<0°得 0B为终边的角为+2x∈Z:不坊设终边落在右边阴 -720°≤k·360°-60°<0°， 影部分的角的集合为M1,终边落在左边阴影部分的角的集 k=-1或k=0, ∴，在一720°~0°之间与B2终边相同的角是一420°角. 合为M,则M={e2kx<a<号+2张x,k∈2Z,M,= ①反思感悟 角度制与弧度制互化的原则及方法： 所以终边落在阴影部分的角的集合为M1UM2= (1)原则：牢记180=元rad,充分利用1°=180 rad 2k<a<5+2k元，或2+2k<a<x十2k，k∈Z a 和1ad=（(9）线行换算 ①反思感悟 (2)方法：设一个角的弧度数为a,角度数为n,则 1.根据已知图形写出区域角的集合的步骤： (1)仔细观察图形 (2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围的角， 【变式训练1】将下列角度与弧度进行互化 2.注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注 (1)11230': 2- 意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错. 6
数 学 必修 第三册 配人教B版 的一种度量单位. (√) (4)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应. (√) (5)用弧度制度量角,与圆的半径的长短有关. (×) (6)30rad=30°. (×) 课堂·重难突破 探究一 角度制与弧度制的互化 【例1】设α1=-570°,α2=750°,β1= 3π 5 ,β2=- π 3 . (1)将α1,α2 用弧度制表示出来,并指出它们各自是第 几象限角; (2)将β1,β2 用角度制表示出来,并找出在-720°~0°之 间所有与它们终边相同的角. 分析 利用公式180°=πrad实现角度和弧度的互化. 利用终边相同的角的表示方法写出与β1,β2 终边相同的角 的集合,进而求得满足条件的角. 解 (1)∵180°=πrad, ∴-570°=- 570π 180 =- 19π 6 , ∴α1=- 19π 6 =-2×2π+ 5π 6 . 同理α2=750°= 750π 180 = 25π 6 =2×2π+ π 6 . ∴α1 是第二象限角,α2 是第一象限角. (2)β1= 3π 5 = 3 5 ×180°=108°. 设θ=k·360°+108°(k∈Z), ∵-720°≤θ<0°, ∴-720°≤k·360°+108°<0°, ∴k=-2或k=-1, ∴在-720°~0°之间与β1 终边相同的角是-612°角和 -252°角. β2=- π 3 =- 1 3 ×180°=-60°. 设γ=k·360°-60°(k∈Z),则由-720°≤γ<0°得 -720°≤k·360°-60°<0°, ∴k=-1或k=0, ∴在-720°~0°之间与β2 终边相同的角是-420°角. 角度制与弧度制互化的原则及方法: (1)原则:牢记180°=πrad,充分利用1°= π 180 rad 和1rad= 180 π °进行换算. (2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则 αrad= α· 180 π °;n°=n· π 180 rad. 【变式训练1】将下列角度与弧度进行互化. (1)112°30'; (2)- 5π 12 . 解 (1)112°30'= 225 2 °= 225 2 × π 180 = 5π 8 . (2)- 5π 12 =- 5π 12 × 180 π °=-75°. 探究二 用弧度制表示角的集合 【例2】用弧度表示顶点在原点,始边重合于x 轴的正 半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如 下图). 分析 观察图形的 阴影部分 → 确定角的始 边和终边 → 写出集合 解 (1)如题图①,以OA 为终边的角为 π 6 +2kπ(k∈ Z);以OB 为终边的角为- 2π 3 +2kπ(k∈Z). 所以终边落在阴影部分内的角的集合为 α - 2π 3 +2kπ<α< π 6 +2kπ,k∈Z . (2)如题图②,以OA 为终边的角为 π 3 +2kπ(k∈Z);以 OB 为终边的角为 2π 3 +2kπ(k∈Z);不妨设终边落在右边阴 影部分的角的集合为M1,终边落在左边阴影部分的角的集 合为M2,则 M1= α 2kπ<α< π 3 +2kπ,k∈Z ,M2= α 2π 3 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z . 所以终边 落 在 阴 影 部 分 的 角 的 集 合 为 M1 ∪M2 = α 2kπ<α< π 3 +2kπ,或 2π 3 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z . 1.根据已知图形写出区域角的集合的步骤: (1)仔细观察图形. (2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围的角. 2.注意事项:用不等式表示区域角的范围时,要注 意角的集合形式是否能够合并,这一点容易出错. 6
第七章三角函数 【变式训练2】用弧度制表 r=1或r=9. 示顶点在原点，始边重合于x轴 30A 当=1时，1=18.则0=1=18=18>2x(含). 的正半轴，终边落在如图所示的 阴影部分内（不包括边界）的角日 当r=9时，1=2，则0=L= 2 的集合 r 9 B 解30=石210- 210 即扇形圖心角的孤度数为 2 6 角0的集合为+2kx<0<受+2张mk∈U 思想方法 |石+2k<0<+2kk∈Z 利用函数思想求扇形面积的最值 【典例】已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆 即{0+2x<0< +2kπ，k∈zZU0+(2k+ 心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 分析正确使用扇形孤长公式及面积公式. 1)<0<2+(2k+1)π，k∈Z, 周长2r+三40 二次 表示 代入 关于r的 二次表 函数结 角0的集合为{日否十k<0<受+π，k∈Z 面积 S=jIr 达式 最值的果 表示 求法 探究三扇形面积公式的应用 解设扇形的圆心角为0，半径为rcm,弧长为lcm,面 积为Scm,则l十2r=40, 【例3】已知扇形的面积为1，周长为4，求扇形圆心角 的弧度数. 1=0-2(9<<2刘） 解设扇形的半径为R,孤长为1，则2R十l=4, S=1 2×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+ r= 1=4-2R,根据扇形画面积公式S=2R,得1= 1 100. 2(4-2R)·R. .当半径r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为 100cm,此时0=↓=40-2X10=2 10 R=1l=2a=R=1=2, 个方法点睛 即扇形的圆心角为2rad, 当扇形的周长一定时，其面积有最大值，最大值的 延伸探究 求法是先把面积S转化为r的函数，再求函数的最值. 将例3中扇形面积改为S,周长仍为定值4，当S取得 最大值时圆心角的弧度数是多少？ 【变式训练】已知扇形的周长为30cm,当它的半径和 圆心角（大于0）分别取什么值时，才能使扇形的面积最大？ 解，2R十l=4,∴l=4-2R, 最大面积是多少？ S=R=号（4-2R)R=-R2+2R=-R- 解设扇形的圆心角为a,半径为rcm,面积为Scm2, 1)2+1. 孤长为1cm,则有1+2r=30,,l=30-2r. 易知当R=1时，S有最大值，此时l=4-2=2, 2·r三，·30=2)·r=-r2+15m白 L_2=2. 从而S=号 -R=T ①反思感悟 联系扇形的半径、弧长和圆心角的两个公式：一是 当半径了二cm时，扇形的面积最大，最大面积是 S=宁=宁lalr,二是1=1al,如果已加其中两 22 cm2,这时a= -=2 个，那么就可以求出另一个 【变式训练3】已知扇形的周长为20cm,面积为 随堂训练 ●●00● 9cm2,求扇形圆心角的弧度数. 1.在不等圆中，1rad的圆心角所对的() 解设扇形的半径为r,孤长为1，圆心角为0，则1十2=20， A.弦长相等 B.弧长相等 1=20-2r,由2=9，得7(20-2r)r=9, C.弦长等于所在圆的半径 ∴.r2-10r+9=0, D.弧长等于所在圆的半径 ∴.(r-1)(r-9)=0, 答案D
第七章 三角函数 【变式训练2】用弧度制表 示顶点在原点,始边重合于x 轴 的正半轴,终边落在如图所示的 阴影部分内(不包括边界)的角θ 的集合. 解 ∵30°= π 6 ,210°= 7π 6 , ∴角θ 的集合为 θ π 6 +2kπ2π(舍). 当r=9时,l=2,则θ= l r = 2 9 , 即扇形圆心角的弧度数为 2 9 . 思 想 方 法 利用函数思想求扇形面积的最值 【典例】已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆 心角取什么值时,才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少? 分析 正确使用扇形弧长公式及面积公式. 解 设扇形的圆心角为θ,半径为rcm,弧长为lcm,面 积为Scm2,则l+2r=40, ∴l=40-2r 20 π+1 <r<20 . ∴S= 1 2 lr= 1 2 ×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+ 100. ∴当半径r=10cm 时,扇形的面积最大,最大值为 100cm2,此时θ= l r = 40-2×10 10 =2. 当扇形的周长一定时,其面积有最大值,最大值的 求法是先把面积S 转化为r的函数,再求函数的最值. 【变式训练】已知扇形的周长为30cm,当它的半径和 圆心角(大于0)分别取什么值时,才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少? 解 设扇形的圆心角为α,半径为rcm,面积为Scm2, 弧长为lcm,则有l+2r=30,∴l=30-2r. 从而S= 1 2 ·l·r= 1 2 ·(30-2r)·r=-r2+15r= - r- 15 2 2 + 225 4 . ∴当半径r= 15 2 cm 时,扇形的面积最大,最大面积是 225 4 cm2,这时α= l r =2. 随堂训练 1.在不等圆中,1rad的圆心角所对的( ) A.弦长相等 B.弧长相等 C.弦长等于所在圆的半径 D.弧长等于所在圆的半径 答案 D 7
数学 必修第三册 配人教B版 2.若圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆 4.用弧度表示出与一780°角终边相同的角的集合为 弧所对圆心角的弧度数为(） A号 B号 C.5 解析-780°= 13π D.2 3 解析设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长为 所泰条合为e=2张xg∈小 √R,所对孤长等于√5R的圆心角的孤度数为a= 3R R 答案〈a =x-g“ke ,故选C 5.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,求扇形的圆心角 答案C 的弧度数. 3-9学转化为角度是 解设扇形的半径为R,孤长为1，则1十2R=6,∴l=6一 2R. 解折1d-(9。 由面教公式S=号R得宁(6-2R)·R=2 -10m=- 即R2-3R+2=0,解得R=1或R=2. 3 答案一600° 则l=4或1=2，心a=反=4或1 课后·训练提升 基础：巩固 2空m 1.集合A==kx受，k∈Z与集合B={aa=kx士 答案B 5.已知扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是 受，k∈Z的关系是( () A.16π B.32π C.16 D.32 A.A=B B.AB C.B车A D.以上都不对 解析周长C=l十2R=16,a=2,由l=aR,得l=2R,即 答案A 2.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所 4R=16,解得R=4,S=2aR=2×2×4=16, 对的弧长是( 答案C 6.把下列各角从弧度化为角度」 A.2 2 B.sin 2 C.sin 1 D.2sin 1 (1)x 解析易知=si1,∴r=d 1 (2)- 4元 孤长l=lar=sm 2 6 -6 答案C 3一受的终边所在的象限是( 2=-×(9）=-240 答案(1)210°(2)-240° A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 7.把下列各角从角度化为弧度， 解析一登=一2登即一登与一受的终道相月，而 (1)315°= (2)-75°= 一登的终边落在第回泉限 解析(1)315°=315×180=4 元7π 答案D 4在半径为5cm的圆中，圆心角为周角的号的角所对的弧 @)-5=-万x高=号 长为() A号m B20 cm C.10z 3 3 cm D.50z 3 cm 8已知扇形的圆心角是，半径为5，则它的弧长1为 解折圆心角。=号 ,面积S为 之之天—一—江>今— 3 答案2π5元 8
数 学 必修 第三册 配人教B版 2.若圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长,则圆 弧所对圆心角的弧度数为( ) A. π 3 B. 2π 3 C.3 D.2 解析 设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长为 3R,所对弧长等于 3R 的圆心角的弧度数为α= 3R R = 3,故选C. 答案 C 3.- 10π 3 转化为角度是 . 解析 ∵1rad= 180 π °, ∴- 10π 3 =- 180 π × 10π 3 °=-600°. 答案 -600° 4.用 弧 度 表 示 出 与 -780°角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 为 . 解析 ∵-780°=- 13π 3 , ∴所求集合为 α α=2kπ- 13π 3 ,k∈Z . 答案 α α=2kπ- 13π 3 ,k∈Z 5.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,求扇形的圆心角 的弧度数. 解 设扇形的半径为R,弧长为l,则l+2R=6,∴l=6- 2R. 由面积公式S= 1 2 lR 得 1 2 (6-2R)·R=2. 即R2-3R+2=0,解得R=1或R=2. 则l=4或l=2,∴α= l R =4或1. 课后·训练提升 基础 巩固 1.集合A= α α=kπ+ π 2 ,k∈Z 与集合B= α α=kπ± π 2 ,k∈Z 的关系是( ) A.A=B B.A⫋B C.B⫋A D.以上都不对 答案 A 2.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所 对的弧长是( ) A.2 B.sin2 C. 2 sin1 D.2sin1 解析 易知 1 r =sin1,∴r= 1 sin1 , ∴弧长l=|α|r= 2 sin1 . 答案 C 3.- 29π 12 的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 - 29π 12 =-2π- 5π 12 ,即- 29π 12 与- 5π 12 的终边相同,而 - 5π 12 的终边落在第四象限. 答案 D 4.在半径为5cm的圆中,圆心角为周角的 2 3 的角所对的弧 长为( ) A. 4π 3 cm B. 20π 3 cm C. 10π 3 cm D. 50π 3 cm 解析 圆 心 角 α= 2 3 ×2π= 4π 3 ,l=αr= 4π 3 ×5= 20π 3 (cm). 答案 B 5.已知扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形的面积是 ( ) A.16π B.32π C.16 D.32 解析 周长C=l+2R=16,α=2,由l=αR,得l=2R,即 4R=16,解得R=4,S= 1 2 αR2= 1 2 ×2×42=16. 答案 C 6.把下列各角从弧度化为角度. (1) 7π 6 = ; (2)- 4π 3 = . 解析 (1) 7π 6 = 7π 6 × 180 π °=210°; (2)- 4π 3 =- 4π 3 × 180 π °=-240°. 答案 (1)210° (2)-240° 7.把下列各角从角度化为弧度. (1)315°= ; (2)-75°= . 解析 (1)315°=315× π 180 = 7π 4 ; (2)-75°=-75× π 180 =- 5π 12 . 答案 (1) 7π 4 (2)- 5π 12 8.已知扇形的圆心角是 2π 5 ,半径为 5,则它的弧长l 为 ,面积S 为 . 答案 2π 5π 8
第七章 三角函数 9.已知a=1690° (1)把a写成2kπ十3(k∈Z,3∈[0,2x)的形式： D.终边在直线y=x上的角的集合是{aa=于+2kπ， (2)求0，使0与a终边相同，且0∈（一4π，4π）. k∈Z 解(1)1690°=1440°+250°=4×360°+250°=4×2π+ 25π 解析终边在直线y=x上的角的集合为e=受十 18 (2)0与a终边相同，∴0=2kπ十 ED). k∈Z,故选D. 答案D 又0∈(-4π，4)，-4r0),当角a为多少弧度 故S=alr2=方×2X2=4cm),故选A 时，该扇形的面积最大？ 答案A 解（1长1=aR=器×X10=号(cm 4.已知一个半径为R的扇形，它的周长为4R,则这个扇形 所含弓形的面积是() (2)由已知c=1+2R,得Sw=R=（c 1 A.(2-sin lcos 1)R BRsin leos 1 2R)R-竖-R=-(R-）广+后 C D.R2-R2sin lcos 1 则当R=时，S取最大值， 解析设孤长为1,1十2R=4R,∴l=2R, c ∴SA=R=R 此时1=a一 :圆心角a=R=2, 故当a为2rad时，该扇形的面积最大 六SaAw=z·2R·sin1,Rcos1=R2sin1·cos1, 拓展：提高 ∴.S5每=S角形-S病每=R2-R2sin1cos1 答案D 1若号=2x+5(∈D.则号的终边在( ) 5.已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度 A第一象限 B.第四象限 数分别是 C,x轴上 D.y轴上 解析由号=2x+号（∈2， 解析设两个角的孤度分别为x,少>，因为1P-高d 1 I= 得a=6kπ十π(k∈Z), x十y=1, +0 所以有 π解得 所以号=3+受（∈ZD, z-y=1801 1π y=2360 当及为奇数时，角号的终边在y轴的非正半轴上：当 π1 即所求两角的孤度数分别为2十360·2360 及为偶数时，角号的终边在y轴的非负半轴上. 1 答案2+360：2一360 综上，角？的终边在y轴上，故选D. 6已知9∈0a=kx+(一1·子k∈Z,则9的终边所 答案D 在的象限是」 2.下列表述中不正确的是() A.终边在x轴上的角的集合是{aa=kπ，k∈Z} 解析当k为偶数时，a=2mx十于(m∈Z),当及为奇数 且终边在y轴上的角的集合是{aa=受+x,k∈习 时a=(2m-1Dx-牙=2m-乎(m∈刀，故角0的终边 在第一象限或第二象限 C终边在坐标轴上的角的集合是{aa=k·乏，k∈Z 答案第一象限或第二象限 9
第七章 三角函数 9.已知α=1690°. (1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式; (2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π). 解 (1)1690°=1440°+250°=4×360°+250°=4×2π+ 25π 18 . (2)∵θ与α终边相同,∴θ=2kπ+ 25π 18 (k∈Z). 又θ∈(-4π,4π),∴-4π0),当角α为多少弧度 时,该扇形的面积最大? 解 (1)弧长l=αR= 60 180 ×π×10= 10π 3 (cm). (2)由已知c=l+2R,得S扇形 = 1 2 lR= 1 2 (c- 2R)R= cR 2 -R2=- Rc 4 2 + c2 16 . 则当R= c 4 时,S扇形 取最大值, 此时l= c 2 ,α= l R = c 2 c 4 =2. 故当α为2rad时,该扇形的面积最大. 拓展 提高 1.若 α 3 =2kπ+ π 3 (k∈Z),则 α 2 的终边在( ) A.第一象限 B.第四象限 C.x 轴上 D.y轴上 解析 由 α 3 =2kπ+ π 3 (k∈Z), 得α=6kπ+π(k∈Z), 所以 α 2 =3kπ+ π 2 (k∈Z). 当k为奇数时,角 α 2 的终边在y 轴的非正半轴上;当 k为偶数时,角 α 2 的终边在y轴的非负半轴上. 综上,角 α 2 的终边在y轴上,故选D. 答案 D 2.下列表述中不正确的是( ) A.终边在x 轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z} B.终边在y轴上的角的集合是 α α= π 2 +kπ,k∈Z C.终边在坐标轴上的角的集合是 α α=k· π 2 ,k∈Z D.终边在直线y=x 上的角的集合是 α α= π 4 +2kπ, k∈Z 解析 终边在直线y=x 上的角的集合为 αα= π 4 +kπ, k∈Z ,故选D. 答案 D 3.已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm,则该扇形的面 积是( ) A.4cm2 B.2cm2 C.4πcm2 D.2πcm2 解析 设扇形的半径为r,则由l=|α|r,得r= 4 2 =2(cm), 故S= 1 2 |α|r2= 1 2 ×2×22=4(cm2),故选 A. 答案 A 4.已知一个半径为R 的扇形,它的周长为4R,则这个扇形 所含弓形的面积是( ) A. 1 2 (2-sin1cos1)R2 B. 1 2 R2sin1cos1 C. 1 2 R2 D.R2-R2sin1cos1 解析 设弧长为l,∵l+2R=4R,∴l=2R, ∴S扇形 = 1 2 lR=R2. ∵圆心角|α|= l R =2, ∴S三角形 = 1 2 ·2R·sin1·Rcos1=R2sin1·cos1, ∴S弓形 =S扇形 -S三角形 =R2-R2sin1cos1. 答案 D 5.已知两角和为1弧度,且两角差为1°,则这两个角的弧度 数分别是 . 解析 设两个角的弧度分别为x,y(x>y),因为1°= π 180 rad, 所以有 x+y=1, x-y= π 180 , 解得 x= 1 2 + π 360 , y= 1 2 - π 360 . 即所求两角的弧度数分别为 1 2 + π 360 , 1 2 - π 360 . 答案 1 2 + π 360 , 1 2 - π 360 6.已知θ∈ α α=kπ+(-1)k· π 4 ,k∈Z ,则θ 的终边所 在的象限是 . 解析 当k为偶数时,α=2mπ+ π 4 (m∈Z),当k 为奇数 时,α=(2m-1)π- π 4 =2mπ- 5π 4 (m∈Z),故角θ的终边 在第一象限或第二象限. 答案 第一象限或第二象限 9
数学 必修第三册 配人教B版 7.如图，圆周上点A以逆时针方向做匀速圆周运动.已知点 A经过1min转过角0(00). 求出sina,cosa,tana的值？若能求出，简述过程；若不能， 三角函数定义名称 请说明理由. sin a 正弦 Y 提示能.过点P作x轴的垂线，垂足为点M,则有 cos a 余弦 OM=3,MP=4.OP==5.sin a=4 5 cos a= tan a 正切 方0= (2)对于每一个角α，都有唯二确定的正弦、余弦与之对 2.上题中，若在角a的终边上另取一点P',则sina, cosa,tana的值有变化吗？ 应：当a≠kx十2，k∈Z时，有唯一的正切与之对应.角。的 提示没有变化 正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数. 3.当a为任意角时，能否用上述方法求sina,cosa 5.做一做：若点(-1，一2)在角a的终边上，则sina= tana的值？ _cos a= ;tan a= 提示能 解析：x=-1,y=-2,r=√x2+y=5, 10
数 学 必修 第三册 配人教B版 7.如图,圆周上点A 以逆时针方向做匀速圆周运动.已知点 A 经过1min转过角θ(00). 三角函数 定义 名称 sinα y r 正弦 cosα x r 余弦 tanα y x 正切 (2)对于每一个角α,都有唯一确定的正弦、余弦与之对 应;当α≠kπ+ π 2 ,k∈Z时,有唯一的正切与之对应.角α的 正弦、余弦与正切,都称为α的三角函数. 5.做一做:若点(-1,-2)在角α的终边上,则sinα= ;cosα= ;tanα= . 解析 ∵x=-1,y=-2,r= x2+y 2 = 5, 10