专题六与中点有关的辅助线作法 教材母题r(教材P99例题) 已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G, H分别是AB,BC,CD,DA的中点 求证:四边形EFGH是平行四边形 证明:见教材P99页
专题六 与中点有关的辅助线作法 教材母题►(教材P99例题) 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：见教材P99页
【思想方法】(1)连接对角线,把四边形 转化为三角形体现了转化思想 (2)遇到中点找中点,这种方法常用于解决 三角形和四边形的有关问题,主要是连接两个 中点作中位线.因此,在三角形中,已知三角 形两边中点,连接两个中点,即可构造三角形 的中位线 (3)遇到中点作中线,这种方法常用于解决 直角三角形或等腰三角形的有关问题,主要是 运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底 边上的中线的性质.因此,遇到直角三角形斜 边上的中点或等腰三角形底边上的中点,应联 想到作中线
【思想方法】 (1)连接对角线，把四边形 转化为三角形体现了转化思想． (2)遇到中点找中点，这种方法常用于解决 三角形和四边形的有关问题，主要是连接两个 中点作中位线．因此，在三角形中，已知三角 形两边中点，连接两个中点，即可构造三角形 的中位线． (3)遇到中点作中线，这种方法常用于解决 直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是 运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底 边上的中线的性质．因此，遇到直角三角形斜 边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联 想到作中线．
变形1如图,在锐角三角形ABC中,分 别以AB,AC为边向外作等边三角形ABM ACN,已知D,E,F分别是BM,BC,CN的 中点,M 证:DE=EF B E C 证明:连接CM,BN’先证 △AMC≌△ABN,得MC=BN由三角形 中位线定理,得DE=MC,EF=BN 于是可得DE=EE
变形1 如图，在锐角三角形ABC中，分 别以AB，AC为边向外作等边三角形ABM， ACN，已知D，E，F分别是BM，BC，CN的 中点，连接DE，EF.求证：DE＝EF. 证 明 ： 连 接 CM ， BN ， 先 证 △AMC≌△ABN，得 MC＝BN.由三角形 中位线定理，得 DE＝ 1 2 MC，EF＝ 1 2 BN， 于是可得 DE＝EF
变形2如图,DB,CE分别是△ABC的外角平分线,过 点A作AF⊥BD,垂足为F,AG⊥CE,垂足为G求证:FG= 2(AB+CB+AC E 证明:延长AF交直线BC于点M 延长AG女直线BC于点N.·BD平 分∠ABM,∴∠ABF= B ∠MBE:AF⊥BD,.∠AFB= ∠MFB.:BF=BF ∴△AFB≌△MFB.∴.AF=MF, AB=BM.同理可证AG=NG,AC =CN.1FG是AAMN的中像线 FG=2 MN=2(MB+ BC+ CN=2 (AB+ CB+AC
变形 2 如图，DB，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过 点 A 作 AF⊥BD，垂足为 F，AG⊥CE，垂足为 G.求证：FG＝ 1 2 (AB＋CB＋AC)． 证明：延长AF交直线BC于点M， 延长AG交直线BC于点N.∵BD平 分∠ABM，∴∠ABF＝ ∠MBF.∵AF⊥BD，∴∠AFB＝ ∠MFB.∵BF＝BF， ∴△AFB≌△MFB.∴AF＝MF， AB＝BM.同理可证AG＝NG，AC ＝CN.∴FG是△AMN的中位线． ∴FG＝ 1 2MN＝ 1 2 (MB＋BC＋CN)＝ 1 2 (AB＋CB＋AC)．
变形3 M 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M, N分别是BC,AD的中点.求证:∠BEM= ∠CF 的:如,连AC,取AC中点G,连接 NG,MG.∵M,N分别是BC,AD的中点, ∴NG是△ACD的中位術G是△ABC的中位线,∴NG∥CD⊥NG CD,MG∥AB且MG=4B.∴:AB=CD NG=MG.∴∠1=∠2.:NG∥CD,∴∠I=∠ CFM. MG∥AB,∴∠2=∠BEM.:∠BEM= ∠CFM
变形3 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M， N分别是BC，AD的中点．求证：∠BEM＝ ∠CFM. 证明：如图，连接AC，取AC中点G，连接 NG，MG.∵M，N分别是BC，AD的中点， ∴NG是△ACD的中位线 MG ， 是△ABC 的中位线．∴NG∥CD 且 NG ＝ 1 2 CD，MG∥AB 且 MG＝ 1 2 AB.∵AB＝CD，∴ NG＝MG.∴∠1＝∠2.∵NG∥CD，∴ ∠1＝∠ CFM.∵MG∥AB，∴∠2＝∠BEM.∴∠BEM＝ ∠CFM